随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：

试求:在时,求。

解：

当时，＝

＝

1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：

试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：

所以：

2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个

任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t

?????=时取得白球如果对时取得红球

如果对t e t t

t X t 3)(

.维分布函数族试求这个随机过程的一

2.2 设随机过程

，其中

是常数，与是

相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概

率密度为

试证明为宽平稳过程。

解：（1）

与无关

（2）

，

所以

（3）

只与时间间隔有关，所以

为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E

.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（

2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且

数。试求它们的互协方差函

2.5，

试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立

为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分

钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）

解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的

poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。

40

300

(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解：

法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1

N T 表示1()N t =1N 的发生时

刻，2

N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。

1

11

1111111()exp()(1)!

N N

N T f t t t N λλ-=

-- 2

22

1222222()exp()(1)!

N N

N T f t t t N λλ-=

--

1

2

121

2

1

2

2

1

112,12|1221

1122212(,)(|)()exp()

exp()

(1)!

(1)!

N N N N N N

N

N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--==

----

1

2

2

121

2

1

11221

11222100

12()exp()

exp()(1)!

(1)!

N

N

t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞

--<=----??

（2）当1N =2N 、1λ=2λ时，1

2

1

2

1()()2

N N N N P T T P T T <=>=

法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为1λ+2λ的泊松过程。令1Z 、2Z 分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则1Z 、2Z 分别服从参数为1λ、2λ的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。

2

12211122210

()exp()exp()z p P Z Z dz z z dz λλλλ∞

=<=--??

112

λλλ=

+。

故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-p 212

λλλ=

+

上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1λ+2λ的泊松过程时，乘客分别以

112λλλ+概率乘坐公共汽车1，以212

λ

λλ+的概率乘坐公共汽车2。

将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：

121111

1112112

12

(1=

(

)(

)N N N N k N k k N P C λλλλλλ+----=++∑

路汽车比2路汽车先出发）

（2）当1N =2N 、1λ=2λ时

21

211

111

11111(1=()()2222N N N k N k k k k N k N P C

C -------====∑∑路汽车比2路汽车先出发）

3.3设{(),0}i N t t ≥，(1,2,,)i n =是n 个相互独立的

Poisson 过程，参数分别为

i λ(1,2,

,)i n =。记T 为全部n 个过程中，第一个事件发生的时刻。

（1）求T 的分布； （2）证明1{()(),0}n i i N t N t t ==

≥∑是Poisson 过程，参数为1n

i i λλ==∑；

（3）求当n 个过程中，只有一个事件发生时，它是属于1{(),0}N t t ≥的概率。

解：（1）记第i 个过程中第一次事件发生的时刻为1i t ，1,2,...,i n =。

则1min{,1,2,...,}i T t i n ==。由1i t 服从指数分布，有

11111

1

{}1{}1{min{,1,2,...,}}1{,1,2,...,}1{}

1{1(1)}1exp{}

i i n

i i i n

n

t

i i i P T t P T t P t i n t P t t i n P t t e

t λλ=-==≤=->=-=>=->==->=---=--∏∑∏

（2）方法一：由{(),1,2,...,}i N t i n =为相互独立的poisson 过程，对于,0s t ?≥。

11

1

1

1

{()()}{[()()]}

{()(),,1,2...,}

(exp(()))

!

()exp(())

!

n n

i i

n n

i n

i i i i

i

i

i

n

n

n n

i i i i i n n

i n

i i i P N t s N t n P N t s N t n P N t s N t n n

n i n s

s n s s n λλλλ=∑=∑=====+-==+-==+-====

-=

-∑∑∑∑∑∏

∑∑

这里利用了公式11

(...)!!

i

n n

i n

n

n

i n i i n n λλλ=∑=++=∑∏

所以1

{()(),0}n i i N t N t t ==≥∑是参数为1

n

i i λλ==∑的poisson 过程。

方法二： ○

1当0h →时，

1

111

1

{()()1}{[()()]1}

{(())(1())}

[()]()

n

i i i n

n i j i j j i

n

n

i i i i P N t h N t P N t s N t h o h h o h h o h h o h λλλλ===≠==+-==+-==+-+=+=+∑∑∏∑∑

○

2当0h →时， 11

1

1

1

1

{()()2}{[()()]2}

1{[()()]2}

1(1())()

1(1())()

()

n

i i i n

i i i n n

j i i j n n

i i i i P N t h N t P N t s N t P N t s N t h o h h o h h o h h o h o h λλλλ======+-≥=+-≥=-+-<=--+-+=--+-+=∑∑∑∏∑∑

得证。

（3）11{()1|()1}{()1,()0,2,...,}/{()1}i P N t N t P N t N t i n P N t ======= 1

1111

2

1/...n

i i i n

n

t

t

t

i i i n

te

e

e

t λλλλλλλλ=-

--==∑==

++∑∏

3.4 证明poisson 过程分解定理：对于参数为λ的poisson 过程

{(),0}N t t ≥，01i p <<，1

1

r

i i p ==∑，1,2,,i r =，可分解为r 个相

互独立的poisson 过程，参数分别为i p λ，

1,2,

,i r =。

解：对过程{(),0}N t t ≥，设每次事件发生时，有r 个人对此以概率

12,,...,r p p p 进行记录，且11r

i i p ==∑，同时事件的发生与被记录之

间相互独立，r 个人的行为也相互独立，以()i N t 表示为到t 时刻第i 个人所记录的数目。现在来证明{(),0}i N t t ≥是参数为

i p λ的poisson 过程。

00

{()}{()|()}{()}

()(1)()!

()!

i i i n m n m m

n

t

m n

i i n m

p t

i P N t m P N t m N t m n P N t m n t C

p p e

m n p t e

m λλλλ∞

=+∞

-+=-====+=+=-+=∑∑

独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录， 一个以概率p ，一个以概率1p -记录，则1{(),0}N t t ≥是参数为

p λ的poisson 过程，2{(),0}N t t ≥是参数为(1)p λ-的poisson

过程。

12112

121212

1212

112211121211121212121212{(),()}{(),()}{()}{()|()}()(1)()!

()!()(1)()!!!()(1)!!(k k k k k t k k k k k k t k k k k t P N t k N t k P N t k N t k k P N t k k P N t k N t k k t e C p p k k k k t e p p k k k k t e p p k k pt λλλλλλλ+-++-+-=====+==+==+=-++=-+=-=12(1)121122)((1))!!{()}{()}

k k t p t p t e e

k k P N t k P N t k λλλ----===

得证。

3.5 设{(),0}N t t ≥是参数为3的poisson 过程，试求 （1）{(1)3}P N ≤； （2）{(1)1,(3)2}P N N ==； （3）{(1)2|(1)1}P N N ≥≥

解：（1）3

3

30

3{(1)3}13!k

k P N e e k --=≤==∑ （2）{(1)1,(3)2}{(1)1,(3)(1)1}P N N P N N N ====-=

369{(1)1}{(3)(1)1}3618P N P N N e e e ---==-===

（3）3

3

{(1)2}14{(1)2|(1)1}{(1)1}1P N e P N N P N e

--≥-≥≥==≥- 3.6 对于poisson 过程{(),0}N t t ≥，证明s t <时，

{()|()}P N s k N t n ===(1)()n k k n s s

k t t -??- ???

解：

()

{(),()}

{()|()}{()}

{(),()()}{()}

{()()}{()}{()}(())()()!!

()!

()!()!!()n k k

t s s n

t n k k n

n k k P N s k N t n P N s k N t n P N t n P N s k N t N s n k P N t n P N t N s n k P N s k P N t n t s s e e

n k k t e

n t s s n n k k t n t s s k λλλλλλ-------=======-=-=

=-=-==

=--=-=

-??-= ???(1)()n k k n k k

t t n s s k t t --??=- ???

3.7 设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是参数为1λ，2λ的

Poisson 过程，另

12()()()X t N t N t =-，问{()}X t 是否为Poisson 过程，为什么？

解：不是

12()()()X t N t N t =-，()X t 的一维特征函数为：

121212121122(()())()()()()1200

1200

1212()()()()()()!!()()!!exp{(iu

iu iu N t N t iuN t iuN t iuX t X t k k t t

iuk

iuk k k iu k iu k

t

t k k t e

t t e t

iu iu f u E e E e E e e t t e

e e e k k e t e t e

e k k e e e e

e t e t λλλλλλλλλλλλλλλλ--∞

∞--==∞

∞--==---=====?==+-+∑∑∑∑)}

t

参数为λ的Poisson 过程的特征函数的形式为exp{1}iu e t λ-，所以

()X t 不是poisson 过程。

3.8 计算1T ，2T ，3T 的联合分布 解：

123123123()3,,123123(,,)()()()x x x X X X X X X f x x x f x f x f x e λλ-++== 123110(,,)0111001J t t t -?? ?

=-= ? ???

1231233,,123,,121321233123(,,)(,,)(,,)

00T T T X X X t

f t t t f t t t t t J t t t e t t t λλ-=--?<<

3.9 对0s >，计算[()()]E N t N t s +。 解：

222222[()()][()(()())][()]

[()][(()())][()]

()E N t N t s E N t N t s N t E N t E N t E N t s N t E N t t s t t t st t

λλλλλλλ+=+-+=+-+=?++=++

3.10 设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已经有无数患者等候，

而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则8:00到12:00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。

解：从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3的泊松过程（以小时

为单位）。

则在[0,]t 小时内接受治疗的患者平均停留时间为：

()

()

1

1

[

][[]|()]()()2[][]22

N t N t i

i

i i T

T

E E E N t n N t N t nt

t t

E E n =======

∑∑ 当ｔ＝４时，平均等待停留时间为２ｈ。

３.11 {(),0}N t t ≥是强度函数为()t λ的非齐次Poisson 过程，

12,,X X 是

事件发生之间的间隔时间，问： （1）诸i X 是否独立? （2）诸i X 是否同分布？

解：

（1）0()()

1{}{()0}t

s ds

m t P X t P N t e e λ-

-?>====。

211()[()()]

{|}{()()0|}{()()0}t s

s

d m t s m s P X t X s P N t s N s X s P N t s N s e

e λττ

+-

-+->==+-==?=+-===

从上面看出1X 、2X 不独立。 以此类推，i X 不独立。

（2）01()()1t

s ds

X F t e λ-

?=-；

212210

[()()]()()0

()1()1{|}()

1()1()X X m t s m s m s m t s F t P X t P X t X s dF s e e s ds e s ds

λλ∞

∞∞

-+---+=->=->==-=-???

分布不同。

3.12 设每天过某路口的车辆数为：早上7:00

8:00,11:0012:00为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆。则早上7:3011:20平均有多少辆车经过此路口，这段时间经过路口的车辆数超过500辆

的概率是多少？

解：（1）记时刻7:00为时刻0，以小时为单位。经过路口的车辆数

为一个非齐次poisson 过程，其强度函数如下：

12001,45()6014s s s s λ≤≤<≤?=?<≤?

则在7：30~11：20时间内，即13

[0.5,]3t ∈时，13()(0.5)

3

N N -

代表这段时间内通过的车辆数，它服从均值为如下的poisson 分布。

13131

4

330.5

0.5

1

4

()()120601206018040280m t s ds ds ds ds λ==++=++=????

即：13[()(0.5)]2803

E N N -=，在给定的时间内平均通过的车辆数为280。

（2）280

501

13(280)[()(0.5)500]3!n n P N N e n ∞

-=->=∑

。 3.13 [0,t]时间内某系统受到冲击的次数()N t ，形成参数为λ的

poisson 过程。每次冲击造成的损害i Y ，1,2,,i n =独立同指数分布，

均值为μ。设损害会积累，当损害超过一定极限A 时，系统将终止运行。以T 记系统运行的时间（寿命），试求系统的平均寿命ET 。

解：在[0,]t 内某系统受到的总损害()

1

()N t i i X t Y ==∑为一个复合poisson 过

程，其中1

~()i Y e μ

。

00

()()()(1())()t T T

T T x

ET tdF t dxdF t dF t dx F x dx P T x dx

∞

∞∞∞

∞∞

====-=>??

???

??

()

()

011

11

1

(){}

{|()}{()}

{}{()}

()

(){}(1)!

!

N t i i N t i n i n

t

i n i n x

n A

t

n t

n P T t P Y A P Y A N t n P N t n e P Y A P N t n t e

x e dx e

n n λμλλμλ=∞==∞

-==∞

-

---=>=<=<===+<==+-∑∑∑∑∑∑?

11

1

110

1

111

01

()

()(){[]](1)!

!

()

()[](1)!

!

()

1

()1()[()]

0(1)!!(1)!n

x

n

A

t

n t

n n x

n A

t

n t

n n

x

n n A

n t t

n t P T t dt e

x e dx e

dt n n t e dt x e dx e dt n n t t x e dx e e dt n n n μλλμμλλμ

μλλμ

λλλλλ

λ

∞

-∞

∞

---=∞

-∞

∞

---=-∞

-

∞---=>=+-=+-∞=+-+--∑?

??

∑??

?

∑?

?11

1

11

1

01

()

1

1

(1)!

()

1

11(1)!

1

n

x

A

n n n x

A n n x e dx

n x e dx

n A

μμμμ

λ

λλ

λμλλμ

∞

-

-=-∞

-

-==+-=+-=

+

∑?

∑?

系统的平均寿命为1

A

λ

λμ+

14

某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设

男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。

（1） 试求到某时刻时到达商场的总人数的分布；

（2） 在已知时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，

平均有多少个女性顾客？ 解：设分别为（0,t ）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及

总人数。 （1） 由已知，

为强度

的泊松过程，

为强度

的泊松过程；

故，

为强度

的泊松过程；于是，

（5分）

（2）

（5分）

一般地，

故平均有女性顾客

人 （4分）

4.1（1）对 （2）错 当()N t n =时，n T 有可能小于t （3）错，n T t <

时，()N t 可能等于n 。

4.2 更新过程的来到间隔服从参数为(,)n λ的Γ分布。 （1）试求()N t 的分布； （2）试证()lim

t N t t n λ

→∞

=。

解：（1）{()}{()}{()1}P N t k P N t k P N t k ==≥-≥+

111

1

1

(1)1

{}{}

{}{}

()()(1)!

((1)1)!

k k k

k i i i i s kn s k n t

t

P T t P T t P X t P X t e s e s ds ds

kn k n λλλλλλ++==---+-=≤-≤=≤-≤=--+-∑∑?

?

（2）由强大数定律：

1

k

i

k i i X

T

n

EX k

k

λ

==

→=

∑，以概率1成立。

()()1,N t N t t T t T +?≤<，()()1()()()N t N t T T t

N t N t N t +≤

≤， ()lim

()

N t t T n

N t λ

→∞

=

，

()1()1

()1,()

()1()N t N t T T N t n

t N t N t N t λ

+++=

?

→→∞+。

则：lim

()t t n

N t λ→∞

=，故()lim

t N t t n

λ→∞=。 4.3 对于Poisson 过程证明定理4.1. 解：

()(())M t E N t t λ==； 111001

1

1

()(1)!(1)!n n n n t t x

x n n n n x x F t e

dx e dx t n n λλλλλλ---∞

∞

∞--======--∑∑∑??。 4.4 设1

{1}3i P X ==，2

{2}3

i P X ==

，计算{(1)}P N k =，{(2)}P N k =，{(3)}P N k =。

解：（1）

01112

12{(1)0}{(1)0}{(1)1}{1}{1}133

1{(1)1}{(1)1}{(1)2}{1}{1}3P N P N P N P T P T P N P N P N P T P X X ?

==≥-≥=≤-≤=-=???

?==≥-≥=≤-+≤=

??

12234

144999X X P +

（2）

12123112

1{(2)2}{(2)2}{(2)3}{2}{2}918

{(2)1}{(2)1}{(2)2}{1}{1}199P N P N P N P X X P X X X P N P N P N P T P X X ?

==≥-≥=+≤-++≤=???

?==≥-≥=≤-+≤=-=??

1234516128

27272727X X P +3+X 6

（3）

123112

345114{(3)2}{(3)2}{(3)3}{3}{3}9272754{(3)1}{(3)1}{(3)2}{3}{3}19911{(3)3}{(3)3}{(3)4}{3}{3}02727P N P N P N P X X P T P N P N P N P T P X X P N P N P N P T P T ?

==≥-≥=+≤-≤=-=??

?

==≥-≥=≤-+≤=-=??

?

==≥-≥=≤-≤=-=??

4.5 一个过程有n 个状态1,2,,n ，最初在状态1，停留时间为1X ，离开1到达2

停留时间为2X ，再达到3，

，最后从n 回到

1，周而复始，并且过程对每一

个状态停留时间的长度是相互独立的。试求

lim {t i}

t P →∞

时刻系统处于状态

设12(++)n E X X X +<∞且12++n X X X +为非格点分布。

解：记过程处于状态i 记为开，从状态i+1到n ，经过n 再回到

1，再到i-1这一过程记为关。 则有k i Z =X ，1n

j i

j ≠=∑k j Y =X 。

设初始状态从1第一次到i 需要时间0t 。 则lim {t i}lim {t }t t P P →∞→∞

=时刻系统处于状态时刻系统是开着的 01lim

{t-t }(...)

k i

t k k n EZ EX P EZ EY E X X →∞

===+++时刻系统是开着的。

4.6 用交错更新过程原理计算t 时刻的寿命与剩余年龄的极限分布。

解：()1()N t Y t T t +=-为t 时刻剩余寿命，()()N t A t t T =-为t 时刻年龄。 若假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所

产生的，则()A t 表示

在时刻t 部件所使用的年龄，而()Y t 表示它的剩余寿命。

令()()()X t Y t A t =+，即()X t 表示两次相邻更新的时间间隔，我

们要计算{()}P A t x ≤，为此我们将一个开-关的循环对应于一 个更新区间，且若在t 时刻的年龄小于或等于x ，就说系统 在时刻t “开着”。换言之，在两次相邻的时间为()X t 的时间 内，前x 时间内系统“开着”，而其余时间“关着”。

那么若()X t 的分布非格点的，由定理4.10得到

lim {()}lim {t }[min(,)]/[]

[min(,)]{min(,)}[(){min(,)|}(){min(,)|}][(){min(,)|}(){min(,)|}][()t t x

x

P A t x P E X x E X E X x P X x y dy

P X x P X x y X x P X x P X x y X x dy

P X x P X x y X x P X x P X x y X x dy

P X x P →∞

→∞

∞

∞

≤===>=>>>+≤>≤+>>>+≤>≤=>???在时刻开着法一：0

{|}(){|}][(){|}(){|}][()()]()[()()][()()](){min(,)}/[]{x

x

x x

x

x

x

x y X x P X x P X y X x dy

P X x P x y X x P X x P X y X x dy

P X x P y X x dy P y X x dy

P X x P y X x dy

P X x y P y X x dy

P X y dy

P X x y dy E X P X ∞

∞

∞>>+≤>≤+>>>+≤>≤=>+<≤+<≤=>+<≤=>>+<≤=>>=>????????则：0

min(,)00

1

}/[]()[min(,)]/[]min(,)()/[]

1

(){}[()()()]

1

1

[()]()x

x

X x x

x

x x

x

y dy E X F y dy

E X x E X X x d

F y E X ydF y xP X x xF x F y dy x xF x dy F y dy F y dy

μμ

μ

μ∞

=

==+>=

-+-=

-=

????????法二：

同理: 0

1lim {()}lim {t }[min(,)]/[]()x t t P Y t x P E x X E X F y dy μ

→∞

→∞

≤===?在时刻关着

4.7 对t 时刻最后一次更新取条件重新给出定理4.10的证明。 解：()N t T 表示时刻t 前的最后一次更新。

令(){}P t P t =时刻是系统开着的 对最后一次更新取条件概率有：

()111{}

{|}0

{|}00N t P t T x P Z t Z Y t x P Z t x Z Y t x x t

x =>+>=??

=>-+>-≤??=?

时刻是系统开着的| 0< ；

111()

{|}()

H t P Z t Z Y t F t >+>=

； ()

{|}()

H t x P Z t x Z Y t x F t x ->-+>-=

-；

()()00

()

()(){0}()

()()()()()

N t t N t T t

H t H t x P t P T dF x F t F t x H t H t x dM x -=

=+-=+-?? ()H t 为非负不增函数，且0()n H t dt EZ ∞

=<∞?，则由关键更新

定理得到：0

1

lim

()()n

t F

n n

EZ P t H t dt EZ EY μ∞

→∞

==

+?

。

4.8 对延迟更新过程证明更新方程 ()M t =0()()()t

G t M t s dF s +-?

解：*1()()n n M t F t ∞

==∑，*1()()*()n n F t F t G t -=，0()1F t =。

令*

1

()()n n M t F t ∞

==∑，从上面可以推出：

*11

2

121

***()()()()*()

()()*()

()()*()

()()*()

()()*(()()*())

()()*()()*()*()()()*()()*(()())()()n n n n n n n n M t F t G t F t G t G t G t F t G t G t F t G t G t M t G t G t F t F t M t G t G t F t G t F t M t G t G t F t F t M t G t G t F t ∞∞

-==∞

-=∞

===+=+=+=+=++=++=++-=+∑∑∑∑0*()()()()

t

M t G t M t s dF s =+-?