云南大学2004年数学分析考研题

2004年云南大学硕士研究生入学考试试题

专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论考试科目：《数学分析》

一、（20分）已知x

1x n x 2x 1n a a a )x (f ???? ?

?+++= ，其中n 21a ,,a ,a 为n 个正实数，求极限（1）)x (f lim 0x →；（2）)

x (f lim x ∞→二、（10分）证明：函数x

1cos e )x (f x =在（0，1）内非一致连续。三、（10分）求证不等式2

,0(x ,tan x x x sin x π∈>四、（15分）设y=y(x)是由方程组?????=+-++=0

1y sint e 32t 3t x y 2所确定的隐函数，求微分0

t 20t y d dy ==和五、（15分）设函数f(x)在[]b ,a 上连续，在（a,b ）内二阶可导，弦)))b (f ,b (B )),a (f ,a (A (AB 与曲线)x (f y =相交于点),b ,a (c )),c (f ,c (C ∈证明：在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得0

)(f ''=ξ六、（15分）将函数)x -4x (ln )x (f 2=在x=1处展开为幂级数，并求出其收敛域。

七、（20分）设),x y ,xy (f x u 3

=其中f 具有连续的二阶偏导数，求y x u ,y u ,y u ,x u 222?????????八、（15分）设),n ,,2,1i (0x i =>且,a x x x n 21=+++ 求函数n n 21x x x u =的最大值，并证明不等式n

x x x x x x n

21n n 21+++≤ 九、（15分）计算积分[]

,dxdydz )z x ()x y ()y z (v 222???-+-+-其中区域v 由不等式1z y x 22≤≤+表示

十、（15分）计算积分?+++++=L

,dz )3x (dy )2z (dx )1y (I 其中L 为圆周,0z y x R z y x 2

222???=++=++从x 轴正向看去，L 为逆时针方向