汉语与中国文化---申小龙2008 复旦大学出版社
前言：语言的人文性与汉语的人文性
1、20世纪80年代中期，申小龙提出“汉语人文性”理论，并把它作为中国文化语言学的理论核心。
可参考书目：《中国语言的结构与人文精神》、《中国句型文化》、《人文精神，还是科学主义》、《汉语人文精神论》、《申小龙文化语言论文集》（高一虹）
2、什么是“汉语人文性”？（两层涵义）
A、人类各民族的语言，不仅仅是一个符号体系或交际工具，而是该民族认识、阐释世界的一个意义体系和价值体系。无论东方还是西方，语言都是一个民族看待世界的一种样式，都是“所有人类活动中最足以表现人的特点的，”“是打开人们心灵深处的钥匙”。因此，人文性是语言的本质属性。
B、与西方语言相比较，汉语的人文性尤为突出。（ps：从什么方面提出此种论点，是否有充分语料能够证明确实如此？）汉民族从不把语言仅仅看做一个客观、静止、孤立、在形式上自足的形象，而把语言看做一个人参与其中，与人文环境互为观照、动态的、内容上自给自足的表达与阐释过程。（ps：从什么角度又能说明这点，又是什么理由能够说明西方语言不是动态的，内容上自给自足的呢？）
西方语言----思维的客体化产物（法治语言）
汉语----思维的主体化产物（人治语言）
3、汉语人文性思想的前提是语言结构和文化结构（主要指思维方式之间存在着同构关系，因而对语言结构的认识有必要“文化认同”，而对文化结构的认识也有必要“语言认同”。
Ps：我们从小学开始的学习科目----“语文”，即“语言的人文”或“语言与人文”。台湾此科目叫“国文”，也即“中国文化”或者精确来说是指“中国语言文化”。
4、申小龙认为“汉语与中国文化之间存在着内在形式格局的一致性。”
Ps：汉语的内在形式格局是什么样的？中国文化的内在形式格局又是什么样的？在什么基础上说它们之间存在着一致性呢？
5、汉语的句子思维是采用散点透视的方法，不受视域的局限，在同一个画面上画出不同视域的景物。由于视线是流动的，转折的，便形成了节奏感。（P7）
西方文化注重的是自然时空，偏重空间的自然真实性；中国文化注重的心里时空，偏重于时间。
Ps：长达几个世纪，中国语言学一直笼罩在西方语言学的阴霾之下。一方面，西方语言学者的话语中心权威，排斥文化语言学的存在，认为英语才是universal，这是非常狭隘的。中国也不应该将自己的文化语言学说成“中国特色”，这个字眼一看就是对自我语言文化不自信的表现。因为中国文化本身就是一门独特的文化，有其自身的特色，没必要再次强调“特色”二字。刘宓庆也提出了“中国译学的文化战略观”，正好契合了“翻译的文化转向”这个时机点。那么，国人应当致力于建立一套完整的“中国语言学”的事业上。语言是有共性的，肯定也是有个性的。西方的语言理论百花齐放，但是肯定有不适合汉语的理论规则。因此我们必须建立汉语的一套特有的，别的语言并不适用的理论或规则，亦即“中国语言学”。
第一章欧洲文化的语言世界观
1、欧洲语言人文主义是同哲学联系在一起的，带有很强的思辨性；美洲语言人文主义是跟
人类学联系在一起的，带有很强的实践性；中国语言人文主义是同经学联系在一起的，
带有很强的释义性。（ps：我觉得中国语言人文主义跟哲学的联系紧密，同样带有很强的思辨性。）P2
第一节语言是世界的尺度
1、英国哲学家洛克：语言范畴构成经验
洛克承认在语言初创时期是先有观念，才有名称。但在语言通行后，则是先学会了名称，然后才得到概念。
2、意大利哲学家维柯：诗性智慧与诗的语言
维柯认为原诗人类的世界观具浓厚的诗性智慧，这种诗性智慧正表现在语言的象征和隐喻上。P5
3、德国洪堡特：语言把世界变成精神财富
语言形式是观念和物质的统一，内蕴形式和它所表现的外部形式的统一。前者是后者之差异的多样化表现的根源。
洪堡特认为由于某一种语言都包含着属于某个人类群体的概念和想象方式的完整体系，所以学习外语就是学习一种新的世界观，或者说在业已形成的世界观的领域里赢得一个新的立足点。
语言世界观体现了主体和客体的统一。它既是人的心灵的解放和创造，又是人的心灵的束缚和规范。P8（ps：这说明语言跟个体的人是紧密联系在一起的，更加体现了语言的人文性的合理性。）
4、德国语言学家魏斯格贝尔：语言中间世界
语言世界观就其存在和本质而言是语言内容的荟集，是一种静态的产品和结果。
他否认语言的本质是交际工具。（ps：语言不仅仅是工具，更是具有人文性的灵动音符。
既是人类交流沟通的媒介，更是人类精神文化的承载物。）
魏斯格贝尔进一步认为语言只有在它作为精神的中间世界，作为把世界转变为精神财富力量的意义上才是“工具”。P9-10
第二节思想史的语言转向
1、从苏格拉底追问到笛卡尔怀疑
略
3、德国哲学家海德格尔：人是“语言的”存在者
人永远以语言的方式拥有世界，人只有归属于语言才能认识世界，才能开口讲话。哪里有语言，哪里才有世界。P17
4、伽达默尔：语言是人与世界的本质关系
5、卡西尔：符号化的人类智慧
语言是人性的最高表现。P20
第三节语言是创造性的精神活动
1、洪堡特：语言是精神不由自主的流射
借助语言媒介，极不同的个性通过相互传告各自的外向外向意图和内部感受而统一起来。心灵是最有力、最敏感、最深刻亦且最富足的内在源泉。它以自己的力量、温暖以及深奥的内蕴浇灌着语言，而语言则回应一些相似的音，以便在他人身上引发相同的情感。P24
2、意大利哲学家克罗齐：语言是直觉的创造与表现
艺术的科学和语言的科学，美学与语言学，当作真正的科学来看，并不是两件事而是一事。世间并没有一门特别的语言学。人们所孜孜寻求的语言的科学，普通语言学，就它的内容可转化为哲学而言，其实就是美学。任何人研究普通语言学或哲学的语言学，也就是研究美学的问题。研究美学的问题，也就是研究普通语言学。P2
语言始终是精神的创造。P26（ps：语言不是精神的反应么？怎么会是精神的创造？）语言统一于精神，而精神的表现就是风格，亦即美学。P31
风格是个人选择的结果，风格是个人创造的结果。P32 （ps：作者有自己本身的创作风格，因此他创作的作品也具有他独特的风格，别人无法模仿。译者也是有自己的风格的，碰到了风格类似的作品，译者翻译起来就会得心应手，更易出佳作；若碰到风格相悖的作品，则会遇到阻滞。因此，本人认为译者应该对作品进行筛选，选择符合自己风格的作品来翻译。）
第四节语言的灵魂是民族精神
1、民族语言及民族精神
不论人们怎样关注语言中的个性表现，语言始终是富有民族共性的精神表现。P33
“属于同一个民族的所有人保持着民族同形性，这种民族同形性把每一具体的认识倾向与其他的民族的类似的认识倾向区别了开来。从这样的民族同形性之中，从每一语言所特有的内在动力之中，便形成了语言的个性。”P36 出自洪堡特《论人类语言结构的差异及其对人类精神发展的影响P199》
“智能的形式和语言的形式必须相互适合。语言仿佛是民族精神的外在表现，民族的语言即民族的精神，民族的精神即民族的语言，而这的同一程度超过人们的任何想象。”
P35 出自同上P50页
2、法国哲学家孔狄亚克：语言中的民族偏见与热情
孔狄亚克认为民族性是由地理环境决定的。气候决定了一个民族或是活泼开朗，或是麻木阴沉的性格，国家的处境形式又对民族性施加影响，而民族语言则忠实地表现着民族性。P40
Ps：语言跟气候似乎也有密不可分的关系。比如在俄罗斯一些极寒冷地区，人们说话都极为简短；在日本一些较为寒冷的地区相对于日本其他地区的户外用语也较简短。
3、德国学者施坦达尔：语法的最高使命是民族逻辑
他提出：“语言即是民族的精神，民族的精神即是民族的语言。这是精神的自我理解。
在语言中存在着民族的逻辑，即民族对思想的观念和原始关系的认识。这样，语法在其最高的使命上就是民族逻辑的历史。”P42
4、魏斯格贝尔：母语决定人一生的精神格局
语言是一个群体的文化财富和精神力量，这种力量决定了人类历史的发展。每一种语言都可视为人类观察世界、认识世界的一条途径。
以人类星空为例，中国古代有二十八宿（苍龙、朱雀、玄武、白虎）；而古希腊则将星空划分为40个星座。
5、伽达默尔：语言工具论批判
通过语言了解一种文化，很重要的工作是翻译。译者必须首先成为被译语言的一个“说话人”，而成为“说话人”意味着他须获得被译语言中人与人之间对话的无限性内容。
P45 （ps：这是对译者的素养提出的明确要求，说话人不仅需要充分理解源语言的无限性内容，还必须深谙被译语言的无限性内容。）
翻译的艰难就在于要真正成为另一个民族的“说话人”，获得对话的无限可能性。
6、海德格尔：人的语言本质决定人的文化属性
略
第二章美洲文化的语言视界
第一节人类学的语言视野
1、思想背景思维本体论到语言本体论的转变
亚里士多德认为思维范畴决定语言范畴，“口语是心灵的经验的符号。”
2、基本原则
人类语言学的先驱是现代普通人类学的创始人鲍阿斯。
语言是文化最有特征的创造。
第二节语言纲目与文化模型
1、语言的非本能性
2、语言的内面是思维模式，思维模式受制于语言结构
Ps：不能说语言决定思维，认识语言反映思维，使主体的思维流畅表达，但主体的思维又无法任意语言表达，受制于语言结构，否则是思维错乱。
3、语言是一种文化模型
萨丕尔认为语言是一种世界观，每一种文明都有自己的文化模型，这一模型的纲目是在这种文化的语言中编织的。P64
第三节语言分析的人文主义范型
1、感觉范型：萨丕尔所说的语文“感觉”，也就是一种语言的结构“模型”所依据的心心
理现实，或者说一种语言的“模型”直觉。
2、表达范型：
3、语序范型：语序的分析不仅揭示出各种语言形式的生命理据----它的原逻辑形态，从而把
综合语和分析语统一在人类语感的某一种语义的深层结构上，而且揭示出现代各种纯粹关系的标志都曾经历了由具体观念到关系观念的“价值转移”。
4、语义范型
5、列表相对范型
第四节人类认知的语言限度
1、沃尔夫的发现：事象的语言性
2、语法类推与人类认知：沃尔夫的“客体化”问题的比较为我们展示了不同语言决定不同
认知的生动图景。
第五节语言与文化的结构通约
1、语言对文化的建构性影响
沃尔夫认为，在语言和文化之间，存在整体上的“平等交换”关系，而这种“交换关系”
的实质，是语言对文化的建构性影响。因而一个民族的语言与该民族的思维方式是同构的，并由此形成每个人用以衡量和理解宏观世界的“微观世界”即“思维世界”。-----对霍皮语的研究
2、文化的语言限度
西方文化的语言限度：
A 语言二项式与西方哲学
B 语言二项式与历史观
C 语言二项式与单一性（单一性指看问题的机械性、片面性、直线性）
3、语言与文化的系统相关
第三章中国文化的语言视界
第一节本体论的语言观
1、同义汇通的世界图景
《尔雅》反映的是中国先秦的汉时期人的文化知识结构，将语言摆在首位。在古代中国人对世界的语义阐释中，同义现象的汇通与辨析成为一种独特的方式。汉民族有机整体的宇宙观使古人认识到你中有我，相互联系，相互转化的辩证关系。P117
2、语言的世界性涵义
人与世界的关系绝不是单方面的，而是全方位的。体现和维系人与世界的这种多方位关系的语言，因而也非纯粹的符号系统和工具。
A 语言是人性的表现。（例证说明）
B 语言是天道的表现。（例证说明）
C 语言是事物本质的表现。
D 语言是治理天下、教化人伦的基础。
第二节实践论的语言观
1、孔子：正名名义
语言规范着一个社会的秩序，它使社会在实践运作中有条不紊，孔子的语言观正是这样一种忠实语言的人文性和世界性的实践论语言观。
2、墨子：取名予名
从某种意义上说，墨子完全是从实用功利的标准来评判语言的。他的语言哲学中充盈着经验主义精神。
3、名家：名实一体
尹文（名与实的制约关系）：“无名，故大道不称；有名，故名以正形。今万物俱存，不以名正之则乱；万名具列，不以形应之则乖。故形名者，不可不正也。”
名家以为“不正之名”的来源：名实不一；名分不察；语言本身（同音异义&同词异境）4、荀子：有循于旧名，有作于新名
荀子认为人类之所以有语言是因为“语言对于人类社会具有‘别同异’和‘明贵贱’的双重作用。”
“别同异”是一种认知作用，交流作用。
“明贵贱”则是语言的政治理论作用。
荀子提出语言是“约定俗成”的独到见解。他指出：“名无固宜，约之以命。约定俗成谓之宜，异于约则谓之不宜。名无固实，约之以命实，约定俗成谓之实名。---《荀子-正名》（P133-134）
5、《吕氏春秋》：正名审分
从上述论断可以看出：中国古代的语言观是一种肩负着社会实践实名的。以意义的政治伦理阐释为核心的语言观。中国古人从语言本质的方面----它的世界性和人文性来思考语言问题。P137
第三节语言哲学的民族本性
张世禄认为“语音是具有民族倾向的，语法是具有强烈的民族性的。”
1、汉语的功能含蕴与语序明晰
张世禄指出汉语有两个鲜明的特征：一是汉语词的功能是含蕴而非形态化的；二是汉语的词基本上是单音缀的。“语序论---凭语序建立范畴，以适合中国语的特性。”
语序论认为汉语句子中语词间的关系，不是用语词某种本身某种标志表明出来的，而是用固定的序次和附加的词语表明的。
2、汉语的形式矛盾与语气本质
A 形式与功能
张世禄把语气和语调看成构成句子的重要因素、语言交际中必不可少的成分，并把语气词的运用看成区别句子类型的重要依据，这是汉语语法学史上的一个创见。
B 语法与逻辑
张世禄否定“形式逻辑”在汉语中的运用性。
第四节语文精神的文化反思
1、汉语的形式弹性与功能弹性
郭绍虞认为，汉语语法的一个基本特点是语词的形式和功能都具有弹性P148
A 重言可以伸缩，如“高高”“低低”“洋洋”等（长言与短言的关系）
B 连语可以伸缩。如“崔嵬---卒”“奈何---那”（徐言与疾言的关系）
C 语缓可以增字，语疾可以减字。
D 复语可以单义
E 骈词可以分合
F 语词可以变化
G 语词可以颠倒
Ps：以上可以表明汉语十分具有形式张力，灵活多变，弹性十足，变化多端，无边无穷。汉语的语词不仅在形式上有很大的灵活性，而且功能上对语境、上下文也有很强的适应性。
郭绍虞在《汉语语法修辞新探》中说得非常深刻：“汉语语法的灵活性是建立在单音孤立的基础上的，不是建立在形态变化上的。各种语言都有多种多样的不同说法以表达极为复杂的思想情感，但是语言的本质不同，当然表达的形式也会不同。在形态变化上表达多种多样的不同说法，那还是比较容易的。而汉语则是在同一形式上表达多种多样的复杂的思想情感，这就特别显示出汉语语法的灵活性与复杂性了。”P153
2、汉语的句读脉络和“名词重点”
郭绍虞认为汉语的造句是“积词组而成句”。以词组作为汉语造句的基本构件，汉语的句子分析就呈现出许多新的样态和特质。
流块堆叠态；大主语态；节律声态：郭认为，汉语是一种讲究音乐性的语言。
3、汉语语法的修辞内涵与综合知解
语言的运用不能单靠语法，而须兼顾修辞。
1、文学和语言的沟通：语言功能最完美的体现在文学语言上。
2、古语与今语的沟通
3、分析与综合的沟通
在世界语言学史上，任何辉煌的语言学说都有其身后的文化渊源和哲学精神；而任何机
械模仿的语言研究，即是它有恢宏的构架，精致的外壳，它在哲学上必然是苍白无力的，它在文化渊源上必然是断裂的，它的土壤是滥施化肥后的一片板结与贫瘠。P172
第五节语言研究的功能主义
1、语言研究的辩证法-----陈望道
1、同一与差别：陈望道的语法同异观的核心是“灵活取法”P176
2、学说与事实
3、罗列与综合
4、表达与分析
2、汉语分析的功能网络
所谓功能，指的是词在语文组织中的活动能力。P184
“功能说”外部面面观：
功能与形态：形态是外显，功能是内蕴，是品格。
功能与意义；功能和组织；功能和实体；功能和分布；功能和层次；功能和词序
第四章汉语建构的文化精神
第一节气的思维与气的语言
1、由语言之气到哲学之气
2、汉语的文气与句法脉络
1、流动型语象与几何型语象
中国语文传统所说的“文气”，也就是这种与情理相一致的抑扬顿挫
疾徐有致的动态和语句组织精神。P219
2、动向与名向
3、结构限度与认知限度
第二节汉语语法的虚实建构
1、团块写实与疏通写意
2、有形之虚---语法方面
3、无形之虚----语境方面
4、虚位的解读
汉语句子中虚伪的设置依赖于语境的制约，虚位的解读依赖于以大观小的领悟。语境的制约主要有以下五种：
1、话题的制约，即一个话题通贯数个评论短语，每一个评论短语之所评都承前虚化。
2、施事者的制约，即在一个叙述行为事件的句子里，施事者通贯多个动作语。
3、泛指的制约
4、平型结构的制约
5、对话的制约
第三节汉语语法的耦合建构
1、阴阳合德与句法耦意“物生有两”、“物莫无合”---对偶性思维
2、句法耦合的语义类型
1、视景对：前半部分叙述施事者行为，是一个施事句形式；后半部分则表达施事者在一
系列行为之后所看到的结果。由“视”而“景”，一“视”一“景”。
2、应接对：构成应接对的句读段在语义上互为呼应，后半部分是对前半部分的接应。
3、彼此对：特定的文化序列
4、主客对
5、纵擒对
6、比兴对
7、名实对
8、比较对
9、分合对
10、诠释对
11、平衡对
12、事实对
13、继发对
第六节汉语建构的艺术气质
“简约气质”---主要表现在语词的弹性上。所谓弹性，是指语词分合伸缩的不固定性。“观物取象”---汉语的语言思维是一种具象思维。
“节奏旋律”---跟中国画结合来看
“传神写意”
“音韵象征”
第五章汉语交际的思维方式
第一节汉语与直觉思维
1、直觉思维与功能主义
把握运动形态中的有机整体，不能靠逻辑分析，只能考直觉顿悟。P361
Eg. 先秦孔子、老子都认同汉语的直觉顿悟。
庄子认为人能体悟万物。
禅宗提出“超言绝虑”，中断一切空间和时间思维，以无念为宗，以无思为思，在完全自发的状态下进入本体境界，强调刹那间的非逻辑解悟。
2、中西语言交际理论的共性
人类语言研究的原诗动机：一是典籍阐释的需要；二是交际修辞的需要。古希腊修辞学家伊索克雷第斯Isocrates 认为“人类擅用文辞”。
3、中西语言交际理论的对立：内涵与形式
中：内涵修辞立其诚
西：形式例证法&推理法
第二节汉语交际与整体思维
1、整体思维与辞境交融
2、辞之修功在整体、在适变、在宜人
第六章汉字的文字内涵
略去可与《说文解字》联系起来看
高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案
1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠??
高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解
206 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ +?? 与 2 [ln()]d D x y σ +?? 的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(, )|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ 从而 0l n ()1 x y ≤+< 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +≥+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+≥ +?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥ . 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +<+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+< +?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1 ）,{(,)|02,02}D I D x y x y σ==≤≤≤≤??; （2）2 2 sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ==≤≤≤≤??; （3）2 2 2 2 (49)d ,{(,)|4}D I x y D x y x y σ= ++=+≤?? . 解：（1）因为当(, )x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤
207 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤故 2d d d D D σσσ≤ ≤ ?? ?? ?? 即 2d d D D D σσσ ≤ ≤???? 而 d D σσ =?? （σ为区域D 的面积），由σ=4 得 8D σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 2 2 0sin sin 1x y ≤≤ 故 22 0d sin sin d 1d D D D x y σσσ ≤ ≤ ?? ?? ?? 即2 2 sin sin d d D D x y σσσ ≤ ≤ =?? ?? 而2 π σ= 所以222 0sin sin d π D x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 2 2 2 2 9494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 22 9d (49)d 25d D D D x y σσσ ≤ ++≤ ?? ?? ?? 即 2 2 9(49)d 25D x y σσσ ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 22 36π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： （1 ） 222 (, {(,)|};D a D x y x y a σ- =+≤?? （2 ） 2 2 2 , {(,)|}.D D x y x y a σ=+≤?? 解：（1 ） (, D a σ-?? 在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以
概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案
第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34
高等数学习题11答案(复旦大学出版社)
261 习题十一 3．计算下列对坐标的曲线积分： (1)() 22d -?L x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)d L xy x ? 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； (6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-?，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线； 解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2， ()()2 22224 35001156 d d 3515 L x y x x x x x x ??-=-=-=-?????? (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为 图11-1 cos 0πsin x a a t t y a t =+?≤≤?=? L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()() 12 π 200π32 0π π322003 d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π 2L L L a xy x xy x xy x a a t a a t t x a t t t a t t t t a =+'=?++=-+=-+=-???????? (6)直线Γ的参数方程是32=??=??=?x t y t z t t 从1→0．
262 故()()3220322103 10 4 1 d 3d d 27334292d 87d 187487 4x x zy y x y z t t t t t t t t t Γ++-??=?+??+-???==?=-??? 7．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-? x y x y x y Γ ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； 解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，3Q x ?=?，1P y ?=-?，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 14322 12 L D D D x y x y x y Q P x y x y x y x y +-++-????-= ????? ===???=??????? 8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ； 解：(1) ()()()()()2π 3202π2π242222002π20 2π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 4 3d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416 312π+d cos 2cos61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-?-==?= --=--+??=+????=??????? 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--? ； (3)()() 1,22 1,1d d x y x x y -?沿在右半平面的路径；
高等数学(复旦大学版)第十章_多元函数积分学(一)
第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.
《概率与统计》习题答案(复旦大学出版社)
习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】 故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图； (3) . 【解】 故X的分布律为 X 0 1 2 P （2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0 当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3. 故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数
4.（1）设随机变量X的分布律为 P{X=k}= ， 其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a. （2）设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 试确定常数a. 【解】（1）由分布律的性质知 故 (2) 由分布律的性质知 即 . 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) + (2) =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有 即 利用泊松近似 查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）
21世纪大学实用英语综合教程4册答案_复旦大学出版社
Unit 1 5. Fill in the blanks with the words given below. Change the forms where n ecessary. 1. forbade 2. mourning 3. charge 4. accumulate 5. begged 6. declared 7. n arrow 8. penniless 9. unioading 10. stolen 11. absenee 12. faithfully 6. Fill in the blanks with the expressions given below. Change the forms where n ecessary. 1. a good deal of 2. speak of 3. lea ning on 4. stood on his feet 5. at (the) most 6. both …and 7. counted out 8. with the help of 9. heard of 10. be blessed with 10. Tran slate the followi ng sen ten ces into En glish. 1. Driven by a strong will, he eventually fulfilled the task he had undertaken. 2. He promised to write to me as soon as he got there, but nothing has bee n heard of him so far. 3. The boss has n ever bee n so pleased with any employee before. The young man is a real find. 4. With the help of the doctors and nurses, the patient was able to stand on his feet once more and soon resumed work ing. 5. The old man? _s wrinkled face spoke of the hardships he had endured in his life. 6. When she recovered somewhat, she leaned on the window watching the children play on the lawn. Unit 2 5. Fill in the blanks with the words given below. Change the forms where n ecessary. 1. statistics 2. versions 3. legal 4. adventurous 5. fate 6. indeed 7. chatting 8. online 9. owed 10. I nternet 11.Hopefully 12. expe nses 6. Fill in the blanks with the expressions given below. Change the forms where necessary. I. insisted on 2. gave …notice 3. base ???on 4. from the beginning 5. in the middle of
高等数学复旦大学出版社习题答案七
习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s= x s== y s== 5 z s==. 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z=
即所求点为M （0，0， 149 ）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=-- c a 222 5D A BA BD =-=--c a 333 5D A BA BD =-=--c a 444 .5 D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则 1 Pr j cos604 2.2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标. 解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则 {4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----
大学高等数学上考试题库及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.
复旦高等数学B期终试卷Word版
复旦大学数学科学学院 2008～2009学年第二学期期末考试试卷 A 卷 B 卷 课程名称：__高等数学B _________ 课程代码： MATH120004.02.03__ 开课院系：__数学科学学院 _____________ 考试形式：闭卷 姓 名： 学 号： 专 业： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 (以下为试卷正文) （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
注意：答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 一、简单计算（每题4分，共40分） 1. 写出函数y x x u +=arccos 的定义域。 2. 求( )2 20 1ln lim y x e x y y x ++→→。 3. 设f 是一个三元可微函数，() xy y x y x f u 2,,2 222-+=，求 y u ??。 4. 设()y x z z ,=是由方程()0,,=+xz z y xy F 所确定的隐函数，且F 具有连续的一阶偏导数，求 x z ??。 5. 交换二次积分 ()? ? 20 32 ,y y dx y x f dy 的积分顺序。
6. 求级数()() ∑ ∞ =+-113231 k k k 的和。 7. 判别级数∑∞ =1 3sin 2n n n π 的收敛性。 8. 求幂级数() ∑∞ =--1 1 21n n n n n x 的收敛域。 9. 求方程() 042 =-+dy x x dx y 的通解。 10. 求方程023=+'-''y y y 的通解。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
二、 设 ()333,y x y x f +=，判断()y x f ,在()0,0处是否可微，为什么？（6分） 三、 计算二重积分( )dxdy xe y I D y ??+=2 ，其中D 是由1=y ，2 x y =及0=x 所围成的 有界闭区域。（6分）
高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)
第十章多元函数积分学（Ⅰ） f x在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数() 了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容： 一、二重积分的概念 1曲顶柱体的体积 设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面z f(x y)这里f(x y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先用一组曲线网把D分成n个小区域 1 2n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(i i)以f (i i)为高而底为i的平顶柱体的体积为
f ( i i ) i (i 1 2 n ) 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D 它在点(x y )处的面密度为(x y ) 这里 (x y )0且在D 上连续 现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D 分成n 个小区域 1 2 n 把各小块的质量近似地 看作均匀薄片的质量 ( i i ) i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 i i i n i M σηξρ?≈=∑),(1 将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 i i i n i M σηξρλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 定义 设f (x y )是有界闭区域D 上的有界函数 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 2 n 其中 i 表示第i 个小区域 也表示它的面积 在每个 i 上任取一点( i i ) 作和 i i i n i f σηξ?=∑),(1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f (x y )在 闭区域D 上的二重积分 记作 σ d y x f D ??),( 即
高等数学上复旦第三版 课后习题答案
283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??
284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；
研究生综合英语2(修订版)复旦大学出版社 曾道明 陆效用 课后答案与课文翻译
浙江工业大学 Unit One Key to Exercises III. Vocabulary A. 1. came up with 6. put your mind 2. The chances are 7. appalled 3. fell flat 8. verdict 4. bestowed upon 9. poise 5. downright 10. blurted out B 1. inarticulate 6. enhance 2. insults 7. invite 3. inept 8. sickly 4. glowingly9. adroit 5. execrable 10. charming C. 1. A 6. C 2. C 7. D 3. C 8. A 4. B 9. C 5. A 10 A IV. Cloze 1. hesitant 6. external 11. Given 16. achieved 2. playing 7. lurking 12. for 17. equal 3. contributes 8. whose 13. perspective 18. based 1.or 9. because 14. drawback 19. enters 2.confidence 10. withhold 15. competition 20. enhancing V. Translation A． 我想了片刻，觉得世界上讲西班牙语的人最善于辞令，也许可以从他们身上学到点什么。你对他们中的一个人赞叹道，“这是我曾经见到过的最漂亮的房子”，他立刻回应道，“您大驾光临，更使蓬荜生辉。”让你站在那儿，一脸尴尬。要想回敬他们是没有用的——不管说什么，最后他们总会占上风的。 有一点很清楚：所有得体的社交最根本的就在于保持镇定。Eliza. W. Farrar，写过一本美国最早的关于礼仪方面的书。她在书中讲述了在新英格兰举行的一次
高等数学复旦大学出版社习题答案十三
习题十三 1. 求下列函数在所示点的导数： (1)()sin cos t f t t ??= ???，在点π4t =； 解：( )π4f ?? ?'= - ? (2)()22,x y g x y x y +??= ? ?+?? ，在点()(),1,2x y =； 解：()111,224g ??= ??? (3)sin cos u v u T u v v v ???? ?= ? ??? ??? ，在点π1u v ????= ? ?????； 解：1010101T -???? ?'=- ? ?π?? ??? (4)2222232u x y v x x y w x y y ?=-?=-??=-? 在点()3,2-. 解：6 26 6362-?? ?- ? ?--?? 2. 设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z ??????. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z ????????????=+=+=????????????， 3. 若r =()()21,,,,3n r r f r r n r ?????≥. 解： ()()()()()()()2231111,,,2,,,,,,,,,,,n n r x y z r x y z x y z f r f r x y z r nr x y z r r r r -'?=?=?=?=?=
4. 求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点，，，1，1，1，1，1，1(000)()()O A B ---的梯度，并求梯度为零的点. 解：()()()() 54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42------- 5. 证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略 6. 计算下列向量场A 的散度与旋度： (1)()222222,,y z z x x y =+++A ； 解：()0,2,,y z z x x y --- (2)()222,,x y z x y z x y z =A ； 解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x --- (3),,y x z y z z x x y ?? = ???A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ??--- ??? 7. 证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。 8. 证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符?推导） 解：略。 9. 证明：场()()()()2,2,2y z x y z x z x y z x y x y z =++++++A 是有势场，并求其势函数. 解：略。 10. 若流体流速()222,,x y z =A ，求单位时间内穿过18球面，22210,0,0x y z x y z ++=>>>的流量. 解：38 π 11. 设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周221,0x y z +==； 解：2π (2)沿圆周()2251,0x y z -+==. 解：2π
高等数学下 复旦大学出版 习题九
194 习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ ,,343 αβγ===的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343 xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：{4,3,12},13.AB AB == AB 的方向余弦为 4312cos ,cos ,cos 131313 αβγ= == (5,1,2) (5,1,2) (5,1,2)(5,1,2) (5,1,2)(5,1,2) 2105 u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故 4312982105.13131313 u l ?=?+?+?=? 3. 求函数222 21x y z a b ?? =-+ ??? 在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点处切线斜率为 2.b y a a ' ==-
195 法线斜率为cos a b ?=. 于是tan sin ??== ∵ 2222,,z z x y x a y b ??=-=-?? ∴ 2222z l a b ??=- -= ?? 4.研究下列函数的极值： (1)z =x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2)z =e 2x (x +y 2+2y ); (3)z =(6x －x 2)(4y －y 2); (4)z =(x 2+y 2)2 2() e x y -+; (5)z =xy (a －x －y ),a ≠0. 解：（1）解方程组2 2 360 360 x y z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2). z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6 在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8. (2)解方程组22 2e (2241)0 2e (1)0x x x y z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??- ??? . 22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x yy z x y y z y z =+++=+= 在点1 ,12??- ??? 处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ?? =-- ??? . (3) 解方程组2 2 (62)(4)0 (6)(42)0x y z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx =－2(4y -y 2), Z xy =4(3－x )(2－y )
线性代数习题答案详解__复旦大学出版社
线性代数课后习题答案 习题一 1、2、3(答案略) 4、 (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= (奇数) ∴所求为397281564 5、(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ (正号) (2)∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- (负号) 6、 (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- (2)()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- (3)原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7、8(答案略) 9、 ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10、 (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- (2)按第一列展开: 11100000 (1)(1)0 n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
高等数学(复旦大学版)第九章 多元函数微分学的应用
第九章 多元函数微分法的应用 在高数上册中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数. 第一节 空间曲线的切线与法平面 教学目的： 1、理解空间曲线的切线与法平面的概念； 2、掌握空间曲线的切线与法平面的计算 教学重点：空间曲线的切线与法平面的计算 教学难点：空间曲线的切线与法平面的计算 教学内容： 设曲线Γ的参数方程为 )(),(),(t z z t y y t x x === 其中[,]t a b ?，(),(),()x t y t z t 在区间[,]a b 上可导。 曲线Γ在点0P 处的切线方程为 .) ()()(00 0000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 切线的方向向量000('(),'(),'())x t y t z t 称为曲线在点0P 的切向量. 过点0P 且与切线垂直的平面称为曲线Γ在点0P 处的法平面. 曲线的切向量就是法平面的法向量，因此法平面的方程为 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x 如果曲线Γ的方程为 ? ??==0),,(0 ),,(z y x G z y x F 的情形； 曲线Γ在点0P 处的切线方程为 00 00 (,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---= =抖?抖?