概率论与数理统计结课论文

概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用

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专业：电子信息工程

摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与

数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。

关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式

基本知识

§1.1 概率的重要性质

1.1.1定义

设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。

概率)(A P 满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n

k k

n k k

A P A P 1

1

)()( （n 可以取∞）

1.1.2 概率的一些重要性质

（i ） 0)(=φP

（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n

k k

n k k

A P A P 1

1

)()(

（n 可以取∞）

（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P

（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）

（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

§1.2 随机变量的数字特征

1.2.1 数学期望

设离散型随机变量X 的分布律为k k p x X P ==}{，k=1,2，…若级数

∑∞

=1

k k k

p x

绝对收敛，则称级

数

∑∞

=1

k k k

p x

的和为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即∑=i

k k p x X E )(

设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分?

∞

∞

-dx x xf )(绝对收敛，则称积分?∞

∞

-dx x xf )(的

值为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即?

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(

定理 设Y 是随机变量X 的函数Y=)(X g (g 是连续函数)

（1）如果X 是离散型随机变量，它的分布律为k p X P ==}x {k ，k=1,2，…若

k

k k

p x g ∑∞

=1

(）

绝对收敛则

有=)Y (E =

))((X g E k

k k

p x g ∑∞

=1

(）

（2）如果X 是连续型随机变量，它的分概率密度为)(x f ，若

?

∞

∞

-dx x f x g )()(绝对收敛则有

=)Y (E =

))((X g E ?

∞

∞

-dx x f x g )()(

数学期望的几个重要性质 (1)设C 是常数，则有C C E =)(;

(2)设X 是随机变量，C 是常数，则有)()(X CE CX E =; (3)设X,Y 是两个随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+； (4)设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有)()()(Y E X E XY E =.

1.2.2 方差

定义 设X 是一个随机变量，若[]})({2

X E X E -存在，则称[]})({2

X E X E -为X 的方差，记为

D （x ）即D （x ）=[]})({2

X E X E -，在应用上还引入量)(x D ，记为)(x σ，称为标准差或均方差。

222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=

方差的几个重要性质

(1)设C 是常数，则有 ,0)(=C D

(2)设X 是随机变量，C 是常数，则有)(C )(2X D CX D =，D(X))(=+C X D ;

(3)设X,Y 是两个随机变量，则有E(Y))}-E(X))(Y -2E{(X D(Y)D(X))(++=+Y X D 特别，若X,Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=+;

(4)0)(=X D 的充要条件是X 以概率1取常数E(X)，即1)}({==X E X P .

切比雪夫不等式：设随机变量X 具有数学期望2)(σ=X E ，则对于任意正数ε，不等式

22

}-X P{ε

σεμ≤≥成立

§1.3 点估计

1.3.1 矩估计

用矩法求估计很古老的估计方法，是建立在独立同分布情形下的大数定律（样本均值趋向总体

平均），它由K .Pearson 在20世纪初提出，其中心思想就是用样本矩去估计总体矩

。

总体X 分布函数的未知参数为12(,,,),T m θθθθ=???如果总体的k 阶原点矩

12()(,,,),1,2,,k k m E X k m αθθθ=???=???存在，我们设总体的k 阶原点矩与它的样本的k 阶原点矩相等

1

1,1,2,,n k

k i i A X k m n ===???∑

即121

1(,,,)(),1,2,,n

k

k k m i k i E X X A k m n αθθθ=???====???∑

从上面式子可得到关于未知量θ的解12??(,,,),1,2,,i n X X X i m θθ=???=???

，取12????(,,,)

T m θθθθ=???作为12(,,,)T m θθθθ=???的估计，就称?θ为θ的矩估计。

关键要掌握两个式子（设总体的均值为μ，方差为2

σ，12,,,n X X X ???是来自总体X 的一个样本）：可得总体X 的一阶，二阶原点矩为

12222

2=E(X)=,

()()[()],

E X D X E X αμασμ??==+=+? 而样本的一阶，二阶原点矩为

21211

11,n n

i i i i A X X A X n n =====∑∑

由此可得到

2

2

21

1,n

i i X X n μσμ==+=∑，

所以?X μ

=，其中由于上面无偏性有提到方差并不等于样本方差2S ，而是2

2

1?n S n

σ-=，矩估计为21

1()1n i i X X n =--∑。 当矩估计不唯一时，我们可以根据下面的两个基本原则来选择是否用矩估计：a 、涉及到矩的阶数尽量小， 对总体X 的要求也尽量少； 比较常用到的矩估计的阶数一般是一、二阶数；b 、用的估计最好是最小充分统计量的函数，因为在各种统计问题中充分性原则都应是适合的。

矩估计的两个基本特点是1、由于矩估计是基于经验分布函数，而经验分布函数逼近真实分布函数的前提条件是样本容量较大，所以理论上，矩估计是以大样本为应用对象的；2、矩估计没有用到总体分布的任何信息时，本质上是一种非参数方法，对已知的总体分布，它不一定是一个好的估计。

1.3.2 极大似然估计

极大似然方法是统计中最重要、应用最广泛的方法之一。该方法在1821年由德国数学家Gauss 提出的，但并没有得到重视，在1922年R.A.Fisher 再次提出，并探讨研究了它的性质。它利用总体分布函数的相关信息，克服矩估计的一些不足。

总体X 的分布律或概率密度函数为(;),f x θθ∈Θ是未知参数，其中总体的样本是

12,,,n X X X ???，则

121

(;)(;,,,)(;)n

n i

i L x L x x x f x θθθ==???=

∏

为θ的似然函数。若统计量12???()(,,,)n

X X X X θθθ==???满足条件 ?(();)sup (;),L X X L x θθ

θ∈Θ

= ??()()()()min Y X Y X Y X Y X β

ββββ''--=--

则称?()X θ

为θ的极大似然估计。 极大似然法有许多优良的性质：相合性与渐进有效性、渐进正态性等等。可以计算一些比较复

杂的点估计。尽管如此，极大似然也有它的局限性，比如说：极大似然法一定要知道总体分布形式，并且一般情况下，似然方程组的求解比较复杂，一般需要在计算机上通过跌代运算方能计算出其近似解，且并不是通过求导数都获得极大似然估计值的，以及任何统计推断都应该依赖损失函数，但是极大似然方法没有考虑到损失函数。

§1.4贝叶斯公式

设n B B B ...,21是一系列互不相容的事件，且有

Ω== n

i i

B

1

, ....2,1,0)(n i B P i =>

则对任一事件A ，有 )

()()

()()(1

j

n

j j

i i i B A P B P B A P B P A B P ∑==

， ....2,1n i =

)(i B P 叫先验概率，也叫边缘概率，)(A B P i 叫后验概率（....2,1n i =）。

§1.5 中心极限定理

1.5.1林德伯格定理

设独立随机变量 n X X X ,,,21满足林德伯格条件，对于任意的正数ε,有

∑?

=-∞→=-n

i s x i i n

n n

i dx x f x S 1

220)()(1

lim εμμ＞。

其中)(x f i 是随机变量i X 的概率密度,则当∞→n 时,我们有

dt e

z Z P z

t n n ?∞

--

∞

→=

≤2

2

21

)(lim π

即

dt e

z s X

P z

t n

n

i i i

n ?

∑∞

--

=∞

→=

≤-2

1

221))

((lim π

μ

其中z 是任何实数。

1.5.2棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：

设在独立试验序列中,事件A 在各次试验中发生的概率为)10(＜

＜p p ,随机变量n Y 表示事件A 在n 次试验中发生的次数,则有

dt e z p np np Y P z t

n n ?∞--∞

→=??

????????≤--2

2

21)1(lim π,

其中z 是任何实数。

§1.6随机变量及其分布

1.6.1随机变量

设随机试验的样本空间为X(e)X {e}.S ==是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称X(e)X =为随机变量

1.6.2离散性随机变量及其分布律

(1) 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。

k k )(p x X P ==满足如下两个条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞

=1

k k P =1

三种重要的离散型随机变量

设离散型随机变量的分布律为)1()1(}{K K P P K X P --==,其中K =0、1，P 为k =1时的概率(0

设实验E 只有两个可能结果：A 与—

A ，则称E 为伯努利实验.设1)p 0p P(A)<<=（，此时

p -1)A P(=—

.将E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的独立实验为n 重伯努利实验。

n 2,1,0k q p k n )k X (k

-n k ，，=?

??

? ??==P 满足条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞

=1k k P =1注意到k -n k q p k n ???? ??是二项式n

q p ）

（+的展开式中出现k

p 的那一项，我们称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。 （3）泊松分布

设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为

,2,1,0,k!

e )k X (-k ==

=k P λ

λ其中0>λ是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布记为）

（λπ~X

1.6.3 随机变量的分布函数

设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数∞<<∞≤=x -x},P{X )x (F 称为X 的分布函数

分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质 )(x F 是一个不减函数

（2）1)(,0)(1)(0=∞=-∞≤≤F F x F ，且 （3）是右连续的即)(),()0(x F x F x F =+

1.6.4 连续性随机变量及其概率密度

连续随机变量：如果对于随机变量X 的分布函数F （x ），存在非负可积函数)(x f ，使对于任意函数x 有,dt t f )x (F x

-?

∞

=）（则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X 的概率密度函数，简称概

率密度

1 概率密度)(x f 具有以下性质，满足（1）1)(

(2) ,0)(-=≥?

+∞

∞

dx x f x f ；

（3）?

=

≤≤2

1

)()(21x x dx x f x X x P ；

（4）若)(x f 在点x 处连续，则有=)(F x ，

)(x f 2,三种重要的连续型随机变量

(1)均匀分布

若连续性随机变量X 具有概率密度??

???<<=，其他，0a a -b 1)(b

x x f ，则成X 在区间(a,b)上服从均匀分布.

记为），（b a U ~X

(2)指数分布

若连续性随机变量X 的概率密度为?????>=，其他

，0

0.e

1)(x -x x f θθ

其中0>θ为常数，则称X 服从参数为

θ的指数分布。

（3）正态分布

若连续型随机变量X 的概率密度为，

，）

∞<<∞=

--

x e

x f x -21)(2

2(σμσ

πσμσσμ，服从参数为为常数，则称（，其中X )0>的正态分布或高斯分布，记为），（2N ~X σμ 特别，当10==σμ，时称随机变量X 服从标准正态分布

1.6.5 随机变量的函数的分布

设随机变量X 具有概率密度,-)(x ∞<<∞x x f ，又设函数)(x g 处处可导且恒有0)(,

>x g ，则

Y=)(X g 是连续型随机变量，其概率密度为[]?

??<<=其他，0,)()()(,β

αy y h y h f y f X Y

在日常生活中的应用

中国的经济在近些年发展极为迅速，但市场难料，盲目投资也是不理性的。概率论是根据大量随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性的科学判断，对这种现象出现的可能性大小做出数量上的描述。而经济市场是一个极大的随机系统，其中许多问题都是一种随机现象，因此，完全可以用概率论的思想来对一些经济问题进行指导。

§2.1 在中奖问题中的应用

集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小.形状.质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1-20号）和1只红球，规定：每次只摸一只球。摸前交1元钱且在1--20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。 （1） 你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。

（2） 若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？ 分析：（1）分别求出“摸彩”者获奖5元和获奖10元的概率，即可说明； （2）求出理论上的收益与损失，再比较即可解答．

20

（5+10）-1=-0.25＜0，故每次平均损失0.25元．

§2.2 在经济管理决策中的应用

某人有一笔资金,可投入三个项目:房产x 、地产y 和商业z ,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为

10.2p =,20.7p =, 30.1p = ,根据市场调研的情

况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元) ,见下表: 各种投资年收益分布表

请问:该投资者如何投资好?

解 我们先考察数学期望,可知

()()110.230.730.1 4.0E x =?+?+-?=； ()()60.240.710.1 3.9E y =?+?+-?=； ()()100.220.720.1 3.2E z =?+?+-?=；

根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风 险,我们再来考虑它们的方差:

()()()()222

1140.2340.7340.115.4D x =-?+-?+--?=;

()()()()2

2

2

6 3.90.24 3.90.71 3.90.1 3.29D y =-?+-?+--?=; ()()()()2

2

2

10 3.20.22 3.20.72 3.20.112.96D z =-?+-?+--?=

因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。

§2.3 在经济损失估计中的应用

随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。 已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布()2

,N μσ ,今随

机抽取8 次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。

仓库货物损失金额表

解 利用矩估计法或最大似然估计法可知: μ, 2σ的矩估计量分别为:

11n i i X X n μ===∑—，2

2

1

1()n i i X X n σ==-∑

从而根据表2 中的数据可计算出:

()1

1000220001300045000126258μ=

?+?+?+?=()()()()2222

2110002625220002625300026254500026258σ??=-?+-+-?+-?

?

^

1101562.5=；

1049.55σ=

从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049. 55 元。

§2.4 在求解经济最大利润问题中的应用

如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。

某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量x (单位:吨) 服从

()300500，

上的均匀分布,每售出1 吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1 吨,则公司损失0.5 千元,问公司应该组

织多少货源,可使期望的利润最大?

分析: 此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。

解答：设公司组织该货源a 吨,则显然应该有300a 500≤≤,又记y 为在a 吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即

()y g x = ,由题设条件知:

当x a ≥时,则此a 吨货源全部售出,共获利1.5a ； 当x

a <时,则售出x 吨(获利1.5x ) 且还有a x -吨积压(获利()0.5a x --) ,所以共获利

1.5x ()0.5a x --，由此得

(){1.52 0.5a X a

X a X a x Y g ≥-<==

从而得

()()()()

500

300

1

200

x y g x p x dx g x dx E +∞-∞

=

=

?

?

()

500300

1120.5 1.5200200

a

a x a dx a dx -+=

?

?

()221

900300200

a -+-= 上述计算表明()y E 是a 的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,450a =吨时,能够使得期

望的利润达到最大。

§2.5，在保险问题中的应用

某保险公司有2500个人参加保险,每人每年付1200元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.002,

死亡时某家属可向保险公司领得20万元。 问：(1)保险公司亏本的概率多大？

(2)保险公司一年的利润不少于100万元,200万元的概率各位多大？

解：（1）设X 为一年内死亡的人数,则X ～B(2500,0.002),5=np ,99.4=npq

P(亏本)=)15(1)15()30020(≤-==X P X P X P ＞＞

00007.099993.01)48.4(1)99

.4515(

1=-=Φ-=-Φ-=

保险公司亏本的概率为0.00007,几乎为零。 （2） P(利润100≥))10020300(≥-=X P

98.0)99

.4510(

)10(=-Φ≈≤=X P

P(利润200≥))20020300(≥-=X P

5.0)99

.4515(

)5(=-Φ≈≤=X P

以上结果说明保险公司几乎不可能亏本,不过要记住,关键之处是对死亡率估计必须正确,如果所估计死亡率比实际低,甚至低得多,那么情况就会不同。

§2.6，在疾病诊断中的应用

据调查某地居民肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法来检查肝癌：若呈阳性表明患病，若呈阴性表明未患病。假阳性（即未患病结果却呈阳性）和假阴性（即患病结果却称阴性）的概率分别为0.05 和0.01。某人经检验结果呈阳性，他确实患肝癌的概率有多大？

令A=“被检验者患肝癌”，B=“检验结果呈阳性”

则0004.0)(=A P 9996.0)(=A P 005.0)(=A B P 01.0)(=A B P 由贝叶斯公式可得 P(A|B)=

)

()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P +

05

.09996.0)01.01(004.0)

01.01(004.0?--?-?=

00786.0≈

由此可见，虽然检测结果为阳性，但实际患病的可能性非常之小，这不得让我们大吃一惊。但其实仔细一想，也是能够理解的。在上述计算中，假阳性的概率并不大，即检验结果是错误的情况并不多，但肝癌的发病率更小，即绝大多数情况下不会患肝癌，这就使得检验结果是错误的部分P(A)P(B|A)相对很大，这就造成了P(A|B)很小。但这并不能这种检测方法没有用，像我们在医院检查的时候都会有所谓的“初查”，包括体温，心率，血压等，然后在这之后再对有患病可能性的人进行甲胎蛋白法检查，

其准确率就会提高很多。

§2.7 在质量检测方面的应用

§2.8 概率知识证明不等式

)()()()()(B P A P B P A P B A P -+=+

而1)(0≤+≤B A P ，得

10≤-+≤βαβαSin Sin Sin Sin

即为βαβαβαSin Sin Sin Sin Sin Sin +≤+≤1 故原不等式得证.

通过上例应用概率论的基本概念、性质和概率模型等有关方法证明不等式，感悟数学的统一性.

总结

本文通过对概率论与数理统计相关知识的介绍以及解决生活、生产中的几个实际问题，建立概率模型，培养概率论思维的能力，从中看出实际问题中的概率奥妙，消除主观认识上的一些误区，从而达到激发学生学习科学知识的兴趣、认识到学好科学知识的重要性，真正证明了科学技术是生产力的客观事实.

参考文献

[1] 魏宗书 概率论与数理统计（第二版） 高等教育出版社，2008.4. [2] 韦来生 数理统计 科学出版社, 2008.2

[3] 谢兴武．李宏伟主编,概率统计释难解疑[M]．科学出版社,2007：98-109 [4] 马丽迪，张吉龙. 概率论在经济生活中的多维应用：应用概率与数理统计，