电大微积分初步复习题与答案
微积分初步复习试题
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)
2ln(1
)(的定义域是 ]4,1()1,2(-?-- ．
⒉若24sin lim
0=→kx
x
x ，则=k 2 ．
⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y
．
⒋
=+?e 12
d )1ln(d d x x x
0 ．
⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
⒉当=k （ C ）时，函数???=≠+=0,0
,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．
A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.
B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.
C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.
D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）．
A . )cos d(d sin x x x = B. )1
d(d ln x
x x =
C. )d(d x x a x a =
D. )d(2d 1
x x x
= ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ）
A. 2；
B. 3；
C. 4；
D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限238
6lim 222+-+-→x x x x x ．
原式21
4
lim )1)(2()2)(4(lim
22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .
)sin (cos 31
2x x x y -+=
' x x x x
y d )cos sin 31
(d 2-=
⒊计算不定积分x x d )12(10?-
x x d )12(10
?
-= c x x x +-=--?11
10)12(22
1)12(d )12(21 ⒋计算定积分
x x d ln 2
e 1
?
x x d ln 2
e 1
?-
=2
1ln e x x 1e 1e e 2d 2
22e 12
+=+-=?x x x 四、应用题（本题16分）
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108
,108x
h h x ==
x x x
x x xh x y 432
108442222+=?+=+= 令0432
22=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，
且0432
226
3>?+
=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336
108
==h
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x
．
⒉当→x 0 时，x
x x f 1
sin
)(=为无穷小量. ⒊若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-
．
⒋=+-?-x x x d )135(1
13 2 ．
⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数)
1ln(1
)(-=
x x f 的定义域是（ C ）．
A ．),1(+∞
B ．),1()1,0(+∞?
C ．),2()2,1(+∞?
D ．),2()2,0(+∞?
⒉曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（D ）． A ．2 B ．2e C ．4e D ．42e
⒊下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点
B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0
C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点
D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 ⒋下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．?
∞+-0
2d e x x B ． ?
∞
+1
d 1x x
C ． ?
∞
+1
d 1
x x
D ． ?∞+0d in x x s
⒌微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D
4
6lim 222----→x x x x 45
23lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 4
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限4
6
lim 222----→x x x x ． ⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y d .
)sin (cos 35cos 52x x x y -+='
x x x 2cos sin 35cos 5-=
x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= ⒊计算不定积分?
+-x x x
x x d sin 33 ?+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 32
3
⒋计算定积分?π0d sin 2
x x x
?
π
d sin 2x x x
2sin 212d cos 21cos 210
00πππ
ππ=+=+-=?x x x x x 四、应用题（本题16分）
用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24
x
h =
所以,16
4)(22x
x xh x x S +
=+= 2162)(x
x x S -
=' 令0)(='x S ，得2=x ，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小.
此时的费用为 1604010)2(=+?S （元）
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f
12-x
．
⒉=∞→x
x x 1
sin lim 1 ． ⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 2
1
21+=
x y ．
⒋若?+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s - ． ⒌微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．
A ．非奇非偶函数
B ．既奇又偶函数
C ．偶函数
D ．奇函数 ⒉当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）.
A ．x 1
B ．x x sin
C ．)1ln(x +
D ．2x
x
⒊下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ B ）． A ．x cos B ．x -5 C ．2x D ． x 2
⒋ 设c x
x
x x f +=?ln d )(，则=)(x f （ C ）．
A. x ln ln
B. x x ln
C. 2
ln 1x
x
- D. x 2ln ⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程．
A ．x y y x y x ln e sin ='-''
B ．x xy y y e 2=+'
C ．y y x y e ='+''
D ． y y yx '=+ln 2
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限62
3lim 222-++-→x x x x x ．
原式5
1
31lim )3)(2()2)(1(lim
22=+-=+---=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 2cos +=，求y d .
2ln 221
sin x x x y +-='
x x
x
y x d )2sin 2ln 2(d -
=
⒊计算不定积分x x d )12(10?-
x x d )12(10
?-=
c x x x +-=--?1110
)12(221)12(d )12(21
⒋计算定积分?π
20
d sin x x x
?
20
d sin π
x x x +
-=20cos π
x x 1
sin d cos 2020
==?
π
π
x x x
四、应用题（本题16分）
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知2
2108
,108x h h x =
= x x x
x x xh x y 432108442
2
22+=?
+=+= 令0432
22=-
='x
x y ，解得6=x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，
336
108==h 时用料最省.
一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f
32+x
．
⒉若函数???=≠+=0,0
,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．
⒊函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是 ).1[∞+- ． ⒋=?∞-dx e x 0
2
2
1 ．
⒌微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 ．
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数 ⒉当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.
A ．
x
x
sin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +1
⒊若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．
A ．函数f (x )在点x 0处有定义
B ．函数f (x )在点x 0处连续
C ．函数f (x )在点x 0处可微
D ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠
⒋若)0()(>+=x x x x f ，则='?x x f d )(（ C ）.
A. c x x ++23
2
2
3
B. c x x ++2
C. c x x ++
D. c x x ++2
3
23
221
⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）
A. )(ln d d y x x y ?=；
B. x y x y +=e d d ；
C. y x x y e e d d +=；
D. )ln(d d y x x
y +=
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
⒈计算极限234
lim 222+--→x x x x ．
原式41
2
lim )1)(2()2)(2(lim
22=-+=---+=→→x x x x x x x x ⒉设x y x cos 2+=，求y d
x x y x 21
sin 2ln 2?-=' .
x x
x
y x d )2sin 2ln 2(d -
=
⒊计算不定积分x x x d e ?- 解：x xe x d ?-= c
e xe x e xe x x x x +--=+-----?d
⒋计算定积分x x x d ln 113
e 1
?+ 解：x x
x d ln 113
e 1
?
+2ln 12)ln 1d(ln 11331
1
=+=++=?
e e x x x
四、应用题（本题16分）
某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？
解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是
2r
V
h π=，则其表面积为
r
V
r rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r V
r S -='
令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2V
r =时可使用料最
省，此时3
π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π
4V
时，用料最省．
微积分试题及答案(5)
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。 二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ） （A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ） （A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ， 上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（ ） （A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。 （A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 2015年电大专科微积分初步期末考试试题及答案微积分初步考试试题 1、填空题 1(1)函数的定义域是 ( f(x),ln(x,2)x,2x,3答案:且. 12(2)函数的定义域是 ( f(x),，4,xln(x，2) 答案: (,2,,1),(,1,2] 2(3)函数，则 ( f(x),f(x，2),x，4x，7 2 答案: f(x),x，3 3,,xsin，1,x,0x,0k,f(x),(4)若函数在处连续，则 ( ,x ,k,x,0, k,1 答案: 2(5)函数，则 ( f(x),f(x,1),x,2x 2 答案: f(x),x,1 2x,2x,3y,(6)函数的间断点是 ( x，1 x,,1 答案: 1x,limsin (7) ( x,,x 答案:1 xsin4k,lim,2(8)若，则 ( x,0kxsin k,2 答案: (1,2)(9)曲线在点的切斜率是 ( f(x),x，11答案: 2 x(10)曲线(0,1)在点的切线方程是 ( f(x),e y,x，e答案: 3x,(11)已知，则= ( f(3)f(x),x，3 2x,答案: f(x),3x，3ln3,=27( f(3)1，ln3) ,,(12)已知，则= ( f(x),lnxf(x) 11,,,f(x),,答案:，= f(x)2xx ,x,,(13)若，则 ( f(0),f(x),xe ,x,x,,答案: f(x),,2e，xe ,,,2 f(0), 2(14)函数的单调增加区间是 ( yx,,31() 答案: (1,，,) 2(15)函数在区间内单调增加，则应满足 ( a(0,，,)f(x),ax，1a,0答案: 2lnx(16)若的一个原函数为，则 . f(x)f(x), 2答案: x f(x)dx,sin2x，c(17)若，则 ( f(x), 2cos2x答案: cosxdx,______________(18)若 , sinx，c答案: 2,xde,(19) ( , 2,xe，c答案: ,(sinx)dx,(20) ( , sinx，c答案: f(x)dx,F(x)，cf(2x,3)dx,(21)若，则 ( ,, 1答案: F(2x,3)，c2 2(22)若，则 ( f(x)dx,F(x)，cxf(1,x)dx,,, 12答案: ,F(1,x)，c2 12(23) (sinxcos2x,x，x)dx,______.,,1 微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 微积分试题及答案 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数 一、 选择题 1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=- 微积分初步形成性考核作业（一）解答 ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 解：0 20)2ln({ >-≠-x x ， 2 3{ >≠x x 所以函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是),3()3,2(+∞? 2．函数x x f -= 51)(的定义域是 ． 解：05>-x ，5 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a １ 微积分初步模拟试题一 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数) 2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：),3()3,2(+∞? ⒉函数1 322+--=x x x y 的间断点是= ． 答案：1-=x ⒊曲线1)(+= x x f 在)1,0(点的斜率是 ． 答案： 21 ⒋若?+=c x x x f 2cos d )(，则)(x f ' ． 答案：x 2cos 4- ⒌微分方程0)(3='+''y y x 的阶数是 ． 答案：2 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 答案：B ⒉若函数x x x f 2sin )(= ，则=→)(lim 0x f x （ ）. A ．2 1 B ．0 C ．1 D ．不存在 答案：A ⒊函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先减后增 D ．先增后减 答案：C ⒋下列无穷积分收敛的是（ ）． A ． ?∞+0d in x x s B ．?∞+-02d e x x C ．?∞ +1d 1x x D ．?∞+1d 1x x 答案：B ⒌微分方程1+='y y 的通解是（ ） ２ A. c x y += 22 1； B. c x y +=2； C.c y x +=e ； D.1e -=x c y 答案：D 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈ 计算极限1 23lim 221-+-→x x x x ． 解 2112lim )1)(1()2)(1(lim 1 23lim 11221-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⒉ 设x x y cos ln 2 3 +=，求y '. 解 )sin (cos 12321x x x y -+='x x tan 2 321 -= 3．计算不定积分x x x d e 5e ?+ 解 c x x x x x x x ++=++=+??e 52d e 5)e d(5d e 5e 4．计算定积分 ?20d sin πx x x 解 ?20d sin πx x x 1sin d cos cos 202 020==+-=?ππ πx x x x x 四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸 如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24x h = 所以,164)(22x x xh x x S +=+= 2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+?S （元）. 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++??? 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x 微积分初步复习试题 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是 ]4,1()1,2(-?-- ． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y ． ⒋ =+?e 12 d )1ln(d d x x x ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ． 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）． A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 ⒉当=k （ C ）时，函数???=≠+=0,0 ,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．函数的极值点一定发生在其驻点上. C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）． A . )cos d(d sin x x x = B. )1 d(d ln x x x = C. )d(d x x a x a = D. )d(2d 1 x x x = ⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限238 6lim 222+-+-→x x x x x ． 原式21 4 lim )1)(2()2)(4(lim 22-=--=----=→→x x x x x x x x ⒉设x x y 3cos ln +=，求y d . 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人 2010 年 6 月10日使用班级 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 3.设，其中可导，则（）. (A) (B) (C) (D) 4.设点使且成立，则（） (A) 是的极值点 (B) 是的最小值点 (C) 是的最大值点 (D)可能是的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) (B) (C) (D) 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1. 2. 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设，求 2.设函数，而，求. 3.设方程确定隐函数，求 五、计算二重积分其中是由三条直线所围成的闭区域. (本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分） 1.判别正项级数的收敛性． 2. 求幂级数收敛区间（不考虑端点的收敛性）. 七、求抛物线与直线所围成的图形的面积（本题10分） 八、设，求.（本题6分） 徐州工程学院试卷 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末B 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人杨淑娥 2010 年 6 月10日使用班级 09财本、会本、信管等 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.下列广义积分发散的是 ( ). (A) (B) 电大《微积分初步》形成性考核作业（一）参考答案 ——函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．()()3,+∞ 2，3 或填{}23x x x >≠且； 2．(),5-∞或填{}5x x <； 3．()(]2,11,2--?-或填{}121x x x -<≤≠-且； 4．26x +； 5．2； 6．21x -； 7.1x =-； 8.1； 9.2； 10. 32 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分） 1、1/4; 2、7/2; 3、3/2; 4、2/3; 5、2； 6、-1/2; 7、-1/8; 8/16 《微积分初步》形成性考核作业（二）参考答案 ——导数、微分及应用 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．12 ； 2．10x y -+=； 3．230x y +-=； 4．1 2ln 2 x x -； 5．6-； 6．()271ln3+；7.21x -； 8.2-； 9.()1,+∞； 10. 0a >. 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1.D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分） 1．解：()111 2 21221x x x y xe x e x e x ? ?'=+-=- ??? . 2．解：24cos43sin cos y x x x '=-. 3．解：1 2121 x e y x x +'=- +. 4．解：3sin 3tan 2cos 2 x y x x x x '= -=-. 5．解：方程两边同时对x 求微分，得 ()()220 2222xdx ydy xdy ydx x y dx x y dy x y dy dx x y +--=-=--∴= - 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0 ()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②, 2 2π π? ? - ???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞ -=+____________. 2.3 1lim (1) x x x +→∞ + =____________. 3.()f x = 那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11lim ( )ln 1 x x x →- - 2.t t x e y te ?=?=?,求2 2d y d x 3.ln (y x =+,求dy 和 2 2 d y d x . 4.由方程0x y e x y +-=确定隐函数y = f (x ) ,求d y d x . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞ . 高等数学基础试题 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1.函数2 e e x x y -=-的图形关于（ ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中，（ ）是无穷小量． (A) )(1 sin ∞→x x x (B) )0(1 sin →x x (C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1 ∞→x x 3.设)(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h 2)()2(lim 000（ ）． (A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '- 4.若?+=c x F x x f )(d )(，则?=x x f x d )(ln 1（ ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x +)(ln 1 (D) c x F +)1( 5.下列积分计算正确的是（ ）． (A) 0d sin 11 =?-x x x (B) 1d e 0=?∞--x x (C) πd 2sin 0=?∞-x x (D) 0d cos 11=?-x x x 二、填空题（每小题4分，共20分） 1.函数24) 1ln(x x y -+=的定义域是 ． 2.若函数?????≥+<+=0 0) 1()(21x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ． 3.曲线1)(3 +=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 ． 4.函数x y arctan =的单调增加区间是 ． 5.若?+=c x x x f sin d )(，则=')(x f ． 三、计算题（每小题11分，共44分） 1.计算极限1)1sin(lim 21-+-→x x x ． 2.设x x y e cos ln +=，求'y ． 3.计算不定积分 ?x x x d e 21． 4.计算定积分?e 1d ln x x ． 四、应用题（本题16分） 某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 高等数学基础 答案 一、单项选择题 1.A 2.C 3. C 4. B 5. D 二、填空题 1. )2,1(- 2. e 3. 3 4. ),(∞+-∞ 5. x sin - 三、计算题 1. 解：21)1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-=-++=-+-→-→x x x x x x x 2. 解：x x x y e sin e 1-=' 3. 解：由换元积分法得 c u x x x u u x x +-=-=-=???e d e )1(d e d e 121 c x +-=1e 4. 解：由分部积分法得 ??-=e 1e 1e 1)d(ln ln d ln x x x x x x 1d e e 1?=-=x 四、应用题（本题16分） 姓名： 微积分初步 作业1 学 号： 得 分： 教师签名： ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数) 2-ln(1)(x x f =的定义域是)∞,3(∪)3,2(+ 2．函数x x f -51)(=的定义域是)5,- 3．函数2 -4) 2ln(1 )(x x x f ++= 的定义域是]2,1-(∪)1-,2-( 4．函数72-)1-(+=x x x f ，则=)(x f 62+x 5．函数>+=0 e ≤2 )(2x x x x f x ，则=)0(f 2 ． 6．函数x x x f 2-)1-(2=，则=)(x f 1-2x 7．函数1 3 -2-2+=x x x y 的间断点是1-=x 8．=x x x 1 sin lim ∞→ 1 ． 9．若2sin 4sin lim 0→=kx x x ，则=k 2 ． 10．若23sin lim 0→=kx x x ，则=k 23 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2 e e x x y += ，则该函数是（B ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（A ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 3．函数2 2 2)(x x x x f +=的图形是关于（D ）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点 4．下列函数中为奇函数是（ C ）． A ．x x sin B ．x ln C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x + 5．函数)5ln(4 1 +++= x x y 的定义域为（ D ） ． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 6．函数) 1-ln(1 )(x x f = 的定义域是（D ）． A ． )∞,1(+ B ．)∞,1(∪)1,0(+ C ．)∞,2(∪)2,0(+ D ．)∞,2(∪)2,1(+ 7．设1-)1(2x x f =+，则=)(x f （ C ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2-(x x D ．)1-)(2(x x + 8．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =，x x g =)( C ．2ln )(x x f =， 9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x 1 B ． x x sin C ．)1ln(x + D ．2x x 10．当=k （ B ）时，函数=+= , ≠, 1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1 11．当=k （ D ）时，函数=+= , ≠, 2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. 试卷代号：7032 上海开放大学2017至2018学年第一学期 《高等数学基础》期末复习题 一．选择题 1．函数2sin(4)2()2 2 x x f x x k x ?-2015年电大专科微积分初步期末考试试题及答案
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