微积分试卷含答案

微积分考试试题

一、填空题（每题3分，共10题）

1，=++++∞→n

n n n n n 1)8642(lim 。

2、函数)(x f 的定义域为实区间 (0 , 1) , 则)1(-x f 的定义域是 。

3，曲线

3)(x e x f =中的凸曲线所对应的开区间是 。 4，),31ln(2)(x x

x f +=设 为使其在0=x 处连续，需补充定义=)0(f 。

5，已知2)0(='f ，则 =-→x

x f x f x )()5(lim 0 。

6，)(x f 任意阶可导，且)4()3()2()1(f f f f ===，则0)(=''x f 至少有 个实根。 7，设,sin x y = 则 =)2011(y 。

8，函数22+=-x e y x 的单调递增开区间是 。

9，=+⎰dx x x 21arctan 。

10，若x x f +='1)(ln ，且,0)0(=f 则=)(x f 。

二、选择题（每题3分，共5题）

1，下列各式中，正确的是（ ）。

)()(,22x f dx x f dx

d A =⎰ )()(,x f dx x f dx d B ='⎰ )()(,x df dx x f d C =⎰ dx x f d x df D ⎰⎰=)()(, 2，当0→x 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量（ ）

。 2.x A x B cos 1.- 11.2--x C x x D sin .-

3，)(x f 定义域为),(+∞-∞，且,1)(lim =∞→x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

,10),1()(x x x f x g 。 则0=x 是)(x g 的（ ）。 A. 可去间断点 B. 无穷间断点 C. 连续点 D. 不一定，要看

)(x f 公式 4，连续函数)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（ ）

。

0)(.0≠'x f A 0)(.0=x f B 0)(0)(.00<''='x f x f C 且 0)(.0='x f D 或不存在 5，下列说法仅有一个正确，它是（ ）。

A. 无界变量也是无穷大量。

B.

)(),(x g x f 都在0=x 处可导，则)]([x g f 也在0=x 处可导。 C.

),(+∞-∞上的连续偶函数)(x f ，其原函数)(x F 不一定是奇函数。 D. )(x f 是),(+∞-∞上的连续函数，点0x 是)(x f 的唯一驻点，且0x x =是)(x f 的极大值点，

则0x x =也是)(x f 的最大值点。

三，计算题（每题10分，共4题）

1，求 x x x 3011lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→

2, 求曲线

0)cos(ln =++xy y xy 在x = 0 所对应点处的切线方程。

3，计算

⎰--x

x dx

1)24(

4，求x x e e y -+=2的极值。

四，应用题（本题10分）。

某商品的需求函数为20400p

e Q -=，求

(1), p = 10时，总收入对价格的弹性是？并说明其经济意义。

(2), p 多少时，总收入最大？

五，证明题（本题5分）。

已知

0>x ，证明 x x x +>+111ln 。

一、填空题（每题3分，共10题）

1， 8 ； 2，（1 , 2）； 3，)0,32(3

1⎪⎭⎫

⎝⎛- ； 4， 6 ； 5， 8 ； 6， 2 ； 7，x cos - ；8，（0 , 2）； 9，()C x +2arctan 2

1 10，1-+x e x ； 二、选择题（每题3分，共5题） 单选 1-5： A D C D C

三，计算题（每题10分，共4题）

1，x

x x 3011lim ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++→求 解：令)

0(,113>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y x ； 则 ,

11ln 3ln ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⋅=x x y …………（4分）

x

x x x y x x x 1

11ln 3lim 11ln 3lim ln lim 000⎪⎭⎫

⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+

⋅=+→+→+→ ………（7分）

对上式使用罗比达法则，得：上式= 01

3lim 0=++→x x x …….（8分）

1lim ,0ln 0lim

ln 0ln ====∴=⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛+→+

→e e e e y y x y x y 原式 ………（10分）

2, 求曲线 0)cos(ln =++xy y xy 在x = 0 所对应点处的切线方程。

解：两边关于x 求导，得： 0)sin()'('

'=+-++xy xy y y y xy y ………（5分）

将x =0带入原曲线方程中，得, y =e 1：将x = 0, y =e 1

带入下式：

0)sin()'(''=+-++xy xy y y y xy y 得：2

'--=e y ……（7分）

在点（0，e 1）处的切线方程为1

2--+-=e x e y ……（10分）

3，计算 ⎰--x x dx

1)24( 解：令t x =-1 ；2

1t x -= ；tdt dx 2-= ………（4分）

原式= ⎰⎰+-=+-dt t dt t

t t 11)1(2222 ………（6分） C t +-=arctan ………（8分） C x +--=1arctan ………（10分）

4，计算x x e

e y -+=2的极值。

解：x x e

e y --='2； ………（3分） 02>+=''-x

x e e y ………（6分）

令0='y ，得唯一驻点2ln 21

-=x ； ………（7分）

02ln 21>⎪⎭

⎫ ⎝⎛-''y ，因此2ln 21-=x 处取得极小值，………（8分） 极小值为222ln 21=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-y ………（10分）

四，应用（10分）。

某商品的需求函数为20

400p e Q -

=，求

(1),p = 10时，总收入对价格的弹性是？并说明其经济意义。

(2),p 多少时，总收入最大？

解：（1）总收入20

400p pe pQ R -==; ………（2分） 201p R R p Ep ER -='⋅=; 5.010==p Ep ER ………（4分） 其经济意义是：在p = 10时，价格上涨（或下跌）1℅，

总收入将上涨（或减少）0.5℅. ………（5分）

（2）

)20(20)(20p e p R p -='-， ………（7分） 令0)(='p R ，得唯一驻点20=p ； ………（8分）

当200<

'p R ；

当20>p 时，0)(<'p R ； ………（9分）

20=p 是极大值点，也是最大值点；故20=p 时总收入最大。…（10分）

五，证明（5分）。

已知 0>x ，证明 x

x x +>+111ln 。

证法一：令 )0(.ln )(+∞<<=t t t f

在区间[]1,+x x 上应用拉格朗日中值定理即可。 证法二：x x x x f +-+=11

1ln )(令 ()011

)(2<+-='x x x f

因此，上严格单调减少，在)0()(∞+x f 又：0)(lim )(==+∞+∞→x f f x

0)(0>+∞<

即：x x x +>+11

1ln 。

（总分5分，根据不同证明方式和过程，酌情给分）