微积分考试题库(附答案)

85

考试试卷（一）

一、填空

1．设c b a

,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=

2．x

x e 10

lim +→= ，x

x e 10

lim -→=

，x

x e 1

lim →=

3．设2

11)(x x F -=

'，且当1=x 时，π2

3)1(=F ，则=)(x F

4．设=

)(x f ⎰

dt t x 2sin 0

，则)(x f '=

5．⎩

⎨⎧>+≤+=0,0

,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b

二、选择

1．曲线⎩⎨⎧==-0

1

22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。

（A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ；

（C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x

2．2

)1

1(lim x

x x x -∞→-+=（ ）。

（A ）1

（B ）2

1

e （C ）0 （D ）1-e

3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰

dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)(

4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）a

b a f b f f --=

')

()()(ξ

86

（C ）0)(=ξf （D ）a

b dx

x f a b

f -=⎰)()(ξ

5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =

3

π

处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题

1． 求与两条直线⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+==2

11

t z t y x 及112211-=

+=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 2．求下列极限 （1）12cos 1lim

21

+-+→x x x

x π； （2）1

arctan lim 30--→x x e x x

3．计算下列积分

（1）⎰dx x sin ； （2）

⎰

+dx x

sin 21

（3）⎰+dx x x e ln 11

2； （4）⎰--+2/12

/111dx x x

4．求下列导数或微分

（1） 设32

)

1)(21()2(x x x y +--=，求dy 。

（2）⎩

⎨⎧+=+-=2

3)1ln(t t y t t x ，求22dx y

d 。 （3）x

x

x y sin )1(+=，求dy 。

（4）设a y x =+

，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx

y

d 。

四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈，且1)2

1

(,0)1()0(===f f f ，证明：

（1）存在)1,2

1(∈η，使ηη=)(f

（2） 对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使1])([)(=--'ξξλξf f

87

高等数学（上册）考试试卷（二）

一、填空

1、已知2)3(='f ,则=--→h

f h f h 2)

3()3(lim

2、设⎰

--=x

dt t t y 0

2

)2()1(,则

=x dx

dy =

3、设)(x f 的一个原函数为x x -3

，则

⎰=xdx x f cos )(sin

4、)(lim 0

x f x x →存在的充分必要条件是)(lim 0

0x f x x -→和)(lim 0

0x f x x +→

5、若两平面0=-++k z y kx 与02=-+z y kx 互相垂直，则k = 二、选择

1、 点M （2，-3，-1）关于yoz 坐标面的对称点M 1的坐标为

88

A 、（-2，3，-1）

B 、（-2，-3，-1）

C 、（2，3，-1）（

D ）、（-2，-3，1） 2、下列命题不正确的是

A 、非零常数与无穷大之积是无穷大。

B 、0与无穷大之积是无穷小。

C 、无界函数是无穷大。

D 、无穷大的倒数是无穷小。 3、设⎰

===dx x f x f f x f )(')(,1)0(,2)('则且

A 、c x ++)12(2

B 、c x ++)12(2

1 C 、c x ++2)12(

2 D 、c x ++2)12(2

1 4、x x f =)(,则)(x f 在x =0处

A 、)0('+f 存在，)0('-f 不存在

B 、)0('-f 存在，)0('+f 不存在

C 、)0('+f ，)0('-f 均存在但不相等

D 、)0('+f ，)0('-f 存在且相等 5、

⎰-=-2

/2

/2cos 1ππ

dx x

A 、0

B 、1

C 、2

D 、4 二、计算题 1、求下列极限

（1）x e e bx ax x -→0lim （2）)1

1

ln 1(lim 1--→x x x

2、求下列导数或微分 （1） 设)(x f =)0('0

),1ln(0

,f x x x x 求⎩⎨

⎧≥+<

（2） 求由椭圆方程

12

22

2=+

b

y a

x 所确定的函数y 的二阶导数。

（3） 已知2

9

6

3

,

,2dx dy

dx dy x x x y 求--= （4） 设n

n dx

y d x x y 求

,2

312

++=

3、计算下列积分 （1）dx e x

⎰-2ln 01 （2）⎰2

1

ln xdx x

（3）

⎰

∞+-0

dx e x （4）⎰dx x x sin cot

4、求曲线x y x y ==2

2

和所围图形绕轴旋转一周所成立体的体积。 三、证明：当ex e x x

>>,1时

89

高等数学（上册）考试试卷（三）

一、填空

1．设)(lim ,1][)(0

x g x x g x +→+=则= ，)(lim 0

x g x -→= ，)(lim 0

x g x →= 。

2．设=+⋅+⨯+=⋅⨯)()]()[(,2)(a c c b b a c b a

则 。

3．过两点（4，0，-2）和（5，1，7）且平行于ox 轴的平面方程为 。 4．设=++=dy x a x y x x a 则, 。 5．由曲线x y x y cos ,sin ==以及直线2

,0π

==x x 所围图形的面积由积分可表示为

。

二、选择

1．若

⎰⎰'=',)()(dx x g dx x f 则必有 。

（A ）)()(x g x f = （B ）

dx x g dx x f )()(⎰

⎰

=

（C ）c x g x f +=)()( （D ）0)()(=-x g x f

2．设函数0)(x x x f =在处连续，若)(0x f x 为的极值点，则必有 。 （A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）)(0)(00x f x f '='或不存在 （D ）)(0x f '不存在

3．设==-=a prj b a b

则},1,2,2{},4,3,4{ 。

（A ）1 （B ）

2

1

（C ）2 （D ）3 4．若l x ax x x =+++-→1

4

lim 31，则 。

（A ）3,6==l a （B ）3,6=-=l a （C ）6,3==l a （D ）6,3-=-=l a

5．函数x

x

y ln =

的单调增加区间为 。 （A ）（0，e ） （B ）（1，e ） （C ）（e ，∞+） （D ）（0，∞+）

三、计算题

1．求下列导数或微分

（1） 设)()(x x x f ϕ=，其中)(x ϕ在0=x 处连续，求)0(f '

90

（3） 已知02|,01sin 23=⎩⎨⎧=+-+=t y dx

dy

y t e t t x 求

（4） 设2222

,,sin dx

dy

dx y d x y 求=

2．计算下列极限

（1）⎰

⎰-+→x x x dt

t t t dt

t 0

2

30

)sin (lim

2 （2）)(lim x x x x x -+++∞

→

3．计算下列积分 （1）

⎰

--11

2

45x

xdx （2）

⎰

++330

2

2

1)51(x

x dx

（3）

⎰dx x x ln （4）⎰-dx x x

3

4．求函数x e x x f |2|)(-=在[0，3]上的最大、最小值。

四、若)(x f 在[0，1]上有二阶导数，且)()(,0)0()1(2x f x x F f f ===，

证明：在（0，1）内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξF

高等数学（上册）考试试卷（四）

一、填空

1、x = 是函数1

1

--=

x x y 的第 类间断点，且为 间断点。 2、=⎪⎩

⎪⎨⎧-==⎰⎰dx

dy

du u y du

u x t

t 则002)cos 1(sin 2

3、若a 与b

垂直且=+==b a b a 则,12,5 , =-b a

4、设,1)('x e f x +=则)(x f =

91

5、曲线x xe y -=的拐点为 ,下凸区间为 二、选择

1、 设22

,2

,2

1)(2

=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=x x b ax x x x f 在处可导，则必有 A 、==b a 2 B 、a =2,2-=b C 、a =1, b =2 D 、a =3, b =2

2、 已知三点A （1，0，-1），B （1，-2，0），C （-1，2，-1）

=

A 、62

B 、63

C 、26

D 、36

3、 若22

lim 2

21=-+++→x x b

ax x x ，则 A 、a =2,b =4 B 、a =4, b =-5 C 、a =1, b =-2 D 、a =-4, b =5 4、 已知

⎰

+=++)(,)1(1x f c xe dx x f x 则

A 、x

xe B 、1

+x xe C 、x e x )1(+ D 、1

)1(++x e

x

5、 设⎰

+=

22,2)(x

dt t x f 则)1(f '=

A 、-3

B 、3

C 、36-

D 、63-

三、计算题 （1）

⎰

4

/0

3

cos sin πdx x

x

x （2）求抛物线及其在点342-+-=x x y （0、-3），（3，0）处的切线所围图形的面积。

（3）设⎩⎨⎧-='=)

()(')(t f t tf y x f x ，)(t f ''存在且不为0，求2

2dx y d （4）设2

34x

x y +=，求y 的单调区间，凸区间，极值及拐点。

（5）

⎰+x

e dx

1 （6）⎰

+dx e

x 1

2

（7）A 、B 为何值时，平面π：053=-++Z By Ax 垂直于直线L ：t z t y t x 22,35,23--=-=+=?

92

(8) 设⎪⎩

⎪

⎨⎧>+=<=-2,42,2,)(2x ax x k x e x f x ，(i)a 为何值时，)(x f 在x =2处的极限存在？（ii ）k 为何

值时，)(x f 在x =2处连续？

（9）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<+=⎰0

,sin 10,)

3/1ln()(0

23x dt t x x x

x x f x ，求)(lim 0x f x →

四、设)(),(x g x f 在),(b a 内可微，0)(≠x g ，且),(,0)()()()(b a x x g x f x g x f ∈≡'-'。

证明：存在常数k ，使),(),()(b a x x kg x f ∈∀=

高等数学（上册）考试试卷（五）

一、填空

1、

⎰-=+1

122)1(arctan dx x x

__________

2、设)(x f 的一个原函数是x sin ,则⎰

=dx x xf )('

3、方程xy =1在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何中表示

4、内有且仅有在)1,1()(-+=x e x x f 个零点。

5、曲线处的切线方程为在213

2=⎪⎩⎪⎨⎧=+=t t

y t

x

二、选择

1、 设)(x f 在0x 处可导，则=--+→h

h x f h x f h )

()(lim

000

A 、)('0x f

B 、)('20x f

C 、0

D 、)2('0x f 2、 若则,)(lim c x f x =∞

→

A 、)(x f y =有水平渐近线c y =

B 、)(x f y =有铅直渐近线c x =

C 、c x f =)(

D 、)(x f 为有界函数

93

3、已知,5,3==b a

当=λ 时，相互垂直与b a b a λλ-+。

A 、53-

B 、53±

C 、5

3

D 、1

4、已知

⎰

⎰

=++=dx x

f c x F dx x f )12

(,)()(则

A 、c x F +)(2

B 、c x F +)2(

C 、c x F ++)12(

D 、c x F ++)12

(2 5、设⎰='''='='''b

a dx x x

b a a b b a )()(,)(,)(],[ϕϕϕϕϕ则上连续且在

A 、b a -

B 、)(21

b a - C 、22b a - D 、)(2

122b a -

三、计算题

1、 求下列极限

（1）2)3

1(x

x x

Lim +∞→ （2）2tan )1(1x x Lim x π-→

2、 求下列导数或微分

（1）dy x x y 求),1ln(2++= （2）设函数)(x y y =由方程⎰

⎰=+-20

20cos y a

x

t dt t dt e 确定，求

dx

dy 3、 计算下列积分 （1）

⎰

+2

1

ln 1e x

x dx （2）⎰++x dx

11

4、 设 0,0

,1sin )(⎪⎩

⎪⎨⎧≤+>=x e x x

x x f x βα

，讨论)(x f 在0=x 处的连续性。 5、 求曲线⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧==⎰⎰t t du

u u y du u u x 11sin cos 自1=t 至2π=t 一段弧的长度。

四、证明题

1、 证明：当x x e x x

cos 1)1(,0->+->时

2、 设)(x f 在[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且0)1(,1)0(==f f ,求证在（0，1）

94

内至少有一点ξ，使ξ

ξξ)

()('f f -=

高等数学（上册）考试试卷（六）

一、填空

1、 抛物线2

4x x y -=在其顶点处的曲率为_______________

2、 a c b b c b a c c b a

⨯-+⨯+++⨯++)()()(=______________________

3、

⎰+x dt t

t

dx d 0sin 1cos =____________________ 4、 已知)()(x f x F ='，则

⎰

=+dx x f )2

2(π

π_______________ 5、 若0lim =∞

→n n x ，则=∞

→n n x lim ________；若A x n n =∞

→lim ，则=∞

→n n x lim __________

二、选择

1、 若a x f x x =→)(lim 0

，则必有_____

A 、)(x f 在0x 点连续；

B 、)(x f 在0x 点有定义；

C 、)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义；

D 、)(0x f a = 2、 设有直线1

8

2511:

1+=

--=-z y x l 与⎩⎨

⎧=+=-3

26

:2z y y x l ，则1l 与2l 的夹角为____ A 、6/π； B 、4/π； C 、3/π； D 、2/π

3、⎪⎩⎪

⎨⎧=≠=0

,00,1sin )(x x x

x x f 在0=x 处____ A 、 不连续； B 、连续但不可导；

C 、可导，但导数在该点不连续；

D 、导函数在该点连续 4、 已知

⎰+=c x

dx x f 2

)(，则⎰=-dx x xf )1(2____

A 、c x +-2

2)1(2； B 、c x +--)1(22

； C 、

c x +-22)1(21； D 、c x +--22)1(2

1

95

5、 广义积分

dx e kx ⎰

∞

-0

收敛，则____

A 、0>k ；

B 、0≥k ；

C 、0

D 、0≤k

三、计算题

1、 求下列极限

（1）x

x x x x x ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++-∞→1212lim 22 （2）1arctan 4lim

1--→x x x π

2、 求下列导数或微分

（1）⎪⎩

⎪⎨⎧=≠=0

,00,sin 2x x x x

y ，求dx dy （2）x e y x sin =，求)

(n y

（3）设x

x t x t x t t f ⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=∞

→lim )(，求)(t f '

（4）求由方程a y x =+所确定的函数y 的导数y '

（5）1

2

+=

x x y ，求dy

3、 求下列积分 （1）⎰+x dx 21 （2）⎰+x dx

2sin 3

（3）

dx x x ⎰

20

3},max{ （4）dx x e

⎰1

)sin(ln

4、 在抛物线)10(12

≤<+-=x x y 上找一点M ，使得过该点的切线与抛物线及两坐标

轴所围图形的面积最小。

五、证明：2)(a

b a a b p ⋅-=与向量a

垂直

高等数学（上册）考试试卷（七）

一、填空

1、 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，则=')0(f _______________

2、 曲线1

23

-=x x y 的渐近线方程是______________________

96

3、 一平面过原点及点（6，-3，2）且与平面824=+-z y x 垂直，则此平面方程为_______

4、 已知x x ln 是)(x f 的一个原函数，则⎰

='dx x f x )(_________________ 5、 由定积分的性质知：______⎰≤≤2/4

/sin

ππ

dx x

x

_____

二、选择

1、 设a x f x x =-→)(lim 0

0，b x f x x =+→)(lim 0

0，下列命题正确的是_________

A 、 若b a =,则)(x f 一定连续；

B 、若b a =，则2

)(lim 0

b

a x f x x +=

→； C 、若b a ≠，则2

)(lim 0b

a x f x x +=

→； D 、若b a ≠，则)()(lim 00x f x f x x =→；

2、 设t e x

=，则

⎰

=+-10

dx e

e e x

x x

___________ A 、

⎰

--e dt t t t 0

1

；B 、⎰

+e dt t 0

11

；C 、⎰+e dt t 1

21

1；D 、以上都不对； 3、

⎰=+-+dx x x x x )1()

ln()1ln(_______________

A 、c x ++)1(ln 2

1

2

； B 、c x x ++-

)1(ln 212；C 、)1(ln 212x x +-； D 、c x

x ++)1

ln(；

4、三点（1，1，-1）、（-2，-2，2）和（1，-1，2）决定一平面，则此平面的法向量为

A 、（-3，9，6）；

B 、（-3，-9，6）；

C 、（3，-9，6）；

D 、（3，9，-6）；

5、⎪⎩⎪

⎨⎧≤<+≤≤-=31,111

/1,ln 2)(x x

x e x x f 在)3,1(e 内______________

A 、 不满足拉格朗日条件；

B 、满足拉格朗日条件且5

1

9-=e ξ C 、满足拉格朗日条件，但ξ无法求出；

D 、不满足拉格朗日条件，但有5

1

9-=

e ξ满足中值定理的结论。 三、计算题

97

1、 求下列极限 （1）2

12]

1)[()

1()1)(1(lim

+∞

→++++n n n x nx x x x （2）x

x x tan 2

/)

(sin lim π→

2、 求下列导数或微分

（1） 设22x

a x

y -=

，求y '' ； （2）设3

2

3,2t t y t t x -=-=，求22dx y

d ； （2） 设4

2

ln 2x y y =+，求y '； （4）设2

2)

3(31x x

x x y +--=，求y '； 3、 求下列积分

（1）

⎰

+)

1(28x x dx

（2）⎰+dx x x x arctan 1 （3）

⎰

-++-11

2

3

22

)11(dx x x

x x

（4）

⎰

-π

sin 1dx x

4、某车间靠墙壁要盖一间高为h 的长方形小屋，现有存砖只够砌20M 长的墙壁，问应

围成怎样的长方形，才能使这间小屋的面积最大？

四、明：⎰

⎰

-=2

/0

2

/0

cos 2cos sin ππxdx xdx x n n n n ， n 为正整数。

高等数学（上册）考试试卷（八）

一、填空

1、设x x f 2

2

cos )(sin =',则)(x f = 2、设)(0x f '存在，则0

lim

→h =--h

h x f x f )

()(00

3、一平面与02:1=++z y x π及1:2=-y x π都垂直，则该平面的法向量为

4、

⎰-=2

/2

/sin ππ

dx x

5、设2

)(x e x f =,,1)]([x x f -=ϕ且0)(≥x ϕ,则)(x ϕ= 二、选择：

98

1、设⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧>=<+=0

,1

cos 0,00,sin )(x x x x x x x x x f ，则x =0是)(x f 的

（A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）振荡间断点

2、下列各式中正确的是

（A ）1211021<<⎰dx x （B ）1211

2

<<⎰dx x

（C ）⎰

⎰<---1

1

2

22dx dx x

x

（D ）

⎰⎰<-2

/0

2

/cos cos ππ

xdx xdx 3、空间点A （1，2，3）和点B （4，5，6）的距离为 （A ）3； （B ）3； （C ）33； （D ）9

4、设)(x f 在0x x =处连续且)(0x f '不存在，则)(x f y =在))(,(00x f x 处 （A ）没有切线 （B ）有一条不垂直 x 轴的切线

（C ）有一条垂直x 轴的切线 （D ）或者不存在切线或者有一条垂直于x 轴的切线。 5、设)(1x F 与)(2x F 是)(x f 在区间I 上的两个不同的原函数，则 （A ）c x F x F =+)()(21 （B ）c x F x F =)()(21 （C ）)()(21x cF x F = (D)c x F x F =-)()(21 三、计算题

1、求下列极限

（1）x x x Lim 3sin 1

02)cos 45(-→ (2)x

x Lim x -→ππsin

2、求下导数或微分 （1）dx

dy

a a a x

y x

a a x a

a 求

),0(>++= （2）设)(x

e f y =,f 可微，求2

2dx

y

d （3）设arctan

=y V U V

U

,,为x 的可微函数，求dy

99

3、求下列积分 （1）dx e x ⎰-12 （2）xdx e x 2sin 2

sin 1⎰+

（3）

2

23

1

1x x dx +⎰

（4）

⎰

π

2)sin (dx x x

5、 设)(x f 具有二阶连续导数，且x

x x x

x f Lim f x x f Lim

/100

])(1[,4)0(,0)(+=''=→→求

四、证明题

1、 证明：x ≠0时,2

122

x e e x x +>+- 2、设)(x f 在[a,b]上连续且)(x f ＞0,证明：在[a,b]内有唯一的一点ξ，

使得⎰

⎰

=ξ

ξ

a

b

x f dx

dx x f )

()(

高等数学（上册）考试试卷（九）

一、填空

1、x

x x sec 32

/)

cos 1(lim +→π=

2、两平行平面01=+-+z y x 与03222=--+z y x 之间的距离为 。

3、过原点作直线L 与曲线x

e y =相切，则L 的方程为 4、曲线x

x

y ln =的拐点坐标为 5、

⎰

-=11

2sin xdx x

二、选择：

1、设x

e

-是)(x f 的原函数，则

dx x xf )(⎰

=

（A ）c x e x

++-)1( (B)c x e x

+--)1( (C)c x e x

+--)1( (D) c x e x

++--)1(

2、若0)(>''x f ,则=

（A ）)1()2()1()2(f f f f ->'>' (B))1()2()1()2(f f f f '>'>-

100

(C) )1()1()2()2(f f f f '>->' (D) )2()1()2()1(f f f f '>->'

3、若积分

⎰

∞+2

,)

(ln 应满足则收敛p x x dx

p

（A ）p =0 (B)p =1 (C)p ＜1 (D)p ＞1

4、设1,1,113→-=+-=

x x x

x

当βα时 （A ）α与β是等价无穷小； （B ）α是比β高阶的无穷小 （C ）α是比β低阶的无穷小； （D ）α与β是同阶无穷小

5、在曲线3

2

,,t z t y t x =-==的所有切线中与平面42=++z y x 平行的切线 （A ）只有一条 （B ）只有两条 （C ）至少有三条 （D ）不存在 三、计算题 1、 求极限 （1）x

x e Lim

x x ----→111sin 0

(2)1

sin 1sin 20

-+→x x x Lim

x

2、求下列导数或微分

（1）⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=⎰t du u u y t x 02

221)1ln(，求22

,dx y d dx dy

（2）设)23ln(2

++=x x y ，求)

2000(,y dy

（3）设x

x

y tan =，求y '

（4）已知xy

xe y +=1,求0

='x y

3、求下列积分 （1）

⎰

-2/10

2

21dx x x （2）⎰为实常数a xdx x a ,ln

（3）

⎰+++

dx x

x 111

（4）⎰++1

02)1ln(dx x x

4、设)(t f 是非负的连续整数，)(,)()(a x a dt x f t x x g a

a

≤≤--=⎰

-,讨论)(x g '的单调性。

四、证明题：

101

1、 设)(x f 满足x

e

x f x x f x --='+''1)]([3)(2

（1）若)(x f 在)0(≠=c c x 取得极值，证明它是极小值

（2）若0)0()0(='=f f ，求最小的常数k ，使得当0≥x 时有2)(kx x f ≤.

2、 设)(x f 可导，证明)(x f 的两个零点之间一定有)()(x f x f '+的零点。

高等数学（上册）考试试卷（十）

一、填空

1．已知)()(x f x F ='，则

⎰+dx b ax f )()0(≠a =

2．经过点（2,0,-1）且与直线⎩

⎨⎧=++-=-+-093240

632z y x z y x 平行的直线方程为

3．设

⎰

⎰=+y xy

t tdt dt e 0

0cos ，则y '=

4．函数]

2[1

-=

x y 的定义域为

5．设)(x f 是[a,b]上的连续函数，则)(x f 有一个原函数为 二、选择

1．设)(x f 在[a,b]上可积，下列各式中不正确的是 （A ）⎰⎰=b a b a

dt t f dx x f )()( （B ）⎰⎰=b a

a

a

dx x f dx x f )()(

（C ）

⎰

⎰

=a

a

b b

dx x f dx x f )()( （D ）

⎰

⎰-=b a

a

b

dt t f dx x f )()(

2．x

x e 10

lim →=

（A ）0 （B ）+∞ （C ）-∞ （D ）不存在 3．过点（2,0,-3）与直线⎩⎨

⎧-=-+=+-1

2537

42z y x z y x 垂直的平面方程为

（A ）065111416=++-z y x （B ）065111416=+-+z y x

102

（C ）065111416=-++z y x （D ）065111416=---z y x 4．设x

e 2为)(x

f 的原函数，则⎰

'dx x f x )(=

（A ）

C e x +221 （B ）C xe x +22 （C ）C e xe x x +-222

1

（D ）C e xe x x +-222 5．曲线1

1arctan 2

-+=-x x e y x 的渐近线有

（A ）0条 （B ）1条 （C ）2条 （D ）3条 三、计算题

1．求下列极限

（1）)1()1)(1(lim 22

n

n x x x +++∞

→ )1(

（2）x

x x x x cos sin 1lim

2

-+→

2．求下列函数的导数y ' （1）)31ln(sin 2

x y += （2）)12ln(3

+=x x y

3．求下列积分

（1）⎰++dx x x x 221)1ln( （2）⎰+-+dx x x x 5

21

2 （3）

⎰

-a a

dx x a x 242

2 （4）⎰--1127

61sin dx x

x x 4．设],0[)(+∞∈D x f ，0)0(=f ，且反函数为)(x g ，⎰

=)(0

2)(x f x e x dt t g ，求)(x f 。

5．方程)0(ln >=a ax x 有几个实根？ 四、证明题

1．设{}2,3,1-=a

，{}4,3,2--=b ，{}6,12,3-=c ，证明三向量c b a ,,共面。

2. 设]1,0[)(C x f ∈，且0<)(x f <1，证明至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ=)(f 。

高等数学（上册）考试试卷（十一）

一、填空

103

1．直线l ：

6

3

321-=

=+z y x 和平面0311210=--+z y x 的夹角为 2．设23)(-+=x

x

e x

f ，当x →0时，)(x f 与x 是 无穷小。 3．设y x y +=tan ，则dy = 4．广义积分

⎰

∞

+1

p x

dx

当 时收敛。 5．已知x x ln 为)(x f 的一个原函数，则⎰='dx x f )(

二、选择

1．设)(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([

0'⎰

dt t f x

=

(A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f - 2．设函数)(x f 在给定区间上连续，

dx x f x a o

)(23⎰

=

(A)dx x xf a o )(21⎰ (B) dx x xf a o )(2

12

⎰ (C) dx x xf a o )(22⎰ (D)

dx x xf a o

)(⎰

3．已知x x f sin )(=，2

1)]([x x f -=φ,则)(x φ的定义域为 (A)),(+∞-∞ (B)[-1,1] (C)[2,2-

] (D)]2

,2[π

π-

4．设向量a

与x 轴、y 轴、z 轴的正向所成的角分别为γβα,,，已知α=135°，0

60=β，

γ 为锐角，则γ为

(A)45° (B)30° (C)60° (D)75°

5．设)(x f 是),(+∞-∞内的偶函数，且)(x F 是它的一个原函数，则 (A))()(x F x F -= (B))()(x F x F --=- (C) c x F x F +-=)()( (D)c x F x F +-=-)()(

三、计算题

1．求下列极限

（1）)0()1(lim >-∞

→a a n n n （2）])2[(lim 1x e x x

x -+∞

→

2．求下列函数的导数或微分

104

（1）设)0,0()

()()(>>⋅⋅=b a a

x x

b b

a y b

a

x

，求y '

（2）设,ln 24

2

x y y =+求dy

（3）设⎩⎨⎧>≤+=0

,sin 0

,)(x ax x b e x f x ，确定b a ,使)(x f 在0=x 处可导，并求)0(f '

3．求下列积分 （1）⎰

x dx

x

sin ln cot （2）⎰

++dx x

x 11 （3）

⎰

-2

1

25dx x （4）⎰

-2

/2

/4cos 4ππθθd

4．讨论函数x

y 1

11-

=

的间断点的类型

5．设直线b ax y +=与1,0==x x 及0=y 所围面积为A ，试求b a ,，使该梯形绕x 轴旋转所得立体的体积最小。

四、证明题

1．设),()(),,[)(2

+∞∈+∞∈a D x f a C x f ，且0)(>''x f ，记)()

()()(a x a

x a f x f x F >--=，

证明：)(x F 在),(+∞a 内单调增加。

2． 设

⎰

+=)(,)()(x f C x F dx x f 可微，且)(x f 的反函数)(1

x f

-存在，证明：

⎰

+-=---C x f F x xf dx x f )]([)()(111

高等数学（上册）考试试卷（十二）

一、填空

1．xoy 平面上的圆1)2(2

2=+-y x 绕y 轴旋转所生成的旋转曲面的方程为 2．)4(log )(2

2x x f -=在区间 是连续的。 3．广义积分

⎰

10

q

x dx

当 时收敛。 4．若

⎰⎰=≠+=+=dt t f a b at x C x F dx x f )(),0(,)()(则且