大学生数学竞赛习题及详细解答
一、 填空题(每小题4分,共40分)
1. 设
?
?????
+=∞→x t x x t t f 2)11(lim )(,则=')(t f . 解:)(t f t
x x x t 2)11(lim ??
????
+=∞
→t
te
2=,t
t t e t te e t f 222)21(2)(+=+='∴.
2. 设曲线L 的方程为t
e
x 2=,t
e
t y --=,则L 的拐点个数为 .
解:)(2
1213-22t
t
t
t
t t e e e
e x y dx
dy +=
+=
'
'=--,
)32(4
12/)32(2
15-423-22
2
t
t
t
t
t
t t
e
e
e
e
e
x dx dy dx
y d +-
=--=
''
??
? ??=--.
02
2
y d ,∴无拐点,即L 的拐点个数为0. 3. 设2 )1()(x e x x f +=,则=)0() 2009(f . 解:n n x x n e ∑ ∞ == ! 1 ,n n x x n e 20 ! 1 2 ∑ ∞== ∴,1 20 20 ! 1! 1)1()(2 +∞ =∞ =∑ ∑ + = +=∴n n n n x x n x n e x x f . 令200912=+n ,则20082=n ,1004=n ,∴2009次幂项的系数! 100412009= a . 又! 2009) 0() 2009(2009f a = ,! 1004!2009)0() 2009(= ∴f . 另解:利用2009阶Peano 型余项(或者拉格朗日型余项)的麦克劳林公式,或者高阶导数 的乘法法则. 4. 设x e f x sin 1)(+=',则=)(x f . 解:x e f x sin 1)(+=' , ??- +=+= ∴x d e e x de x e f x x x x sin )sin 1()sin 1()(?- +=xdx e e x x x cos )sin 1(. 而?xdx e x cos ?=x d e x sin ?- =xdx e x e x x sin sin ?+ =x d e x e x x cos sin )cos cos (sin ?- +=xdx e x e x e x x x ?- +=xdx e x x e x x cos )cos (sin , ?∴ xdx e x cos C x x e x ++= )cos (sin 2 1. )(x e f ∴x e x )sin 1(+=C x x e x ++-)cos (sin 2 1C x x e x +-+= )cos sin 2(2 1. C x x x x f +-+= ∴)]cos(ln )sin(ln 2[2 1)(. 另解:x e f x sin 1)(+=' ,令x e t =,则t x ln =,)sin(ln 1)(t t f +='∴, dx x x x x x dx x x f ? ?? ?- +=+= ∴1)cos(ln )]sin(ln 1[])sin(ln 1[)(dx x x x ?- +=)cos(ln )]sin(ln 1[. 而dx x ?)cos(ln dx x x x x x ? ? ?+ =1)sin(ln )cos(ln dx x x x ?+ =)sin(ln )cos(ln dx x x x x x x x 1)cos(ln )sin(ln )cos(ln ? ?- +=? dx x x x x ?- +=)cos(ln )]sin(ln )[cos(ln . 而dx x ?∴)cos(ln C x x x ++= )]sin(ln )[cos(ln 2 1. - +=∴x x x f )]sin(ln 1[)(C x x x ++)]sin(ln )[cos(ln 2 1C x x x ++-= )]sin(ln )cos(ln 2[2 1. 5. 设)(x f 在),(+∞-∞上连续,且?-+=-02 )1()(x x x e x dt t x f ,则=)1(f . 解:? --02 )(x x dt t x f ? -= -=x x t x u du u f 2 ))((? = 2 )(x x du u f ,? +=∴ 2 )1()(x x x e x du u f . 对方程两边求导,有x x xe e x f x x f ++=-?1)(2)(2 . 令1=x ,有e e f f ++=-1)1()1(2,e f 21)1(+=∴. 6. =??? ? ?? -+ +-+ -∞→2 2 2 2 2 412 411 41lim n n n n n . 解:原式 n n k k n n k n n k n 1) ( 41lim 41lim 1 2 1 2 2 ? -=-=∑ ∑ =∞ →=∞ →6 2 1arcsin 2 arcsin 411 10 2 π= ==-= ? x dx x . 7. 设曲线)(x f y =在原点处有拐点及切线x y 2=,且满足微分方程0='-'''y y ,则曲线 的方程为 . 解:)(x f 为0='-'''y y 满足00 ==x y ,20 =' =x y ,00=''=x y 的特解. 由特征方程03 =-r r ,得特征根01=r ,12-=r ,13=r , 得微分方程的通解为x x e C e C C y 321++=-. 由初始条件,有0)0(321=++=C C C y , 2)0(32=+-='C C y , 0)0(32=+=''C C y ,解得01=C ,12-=C ,13=C .∴曲线方程为x x e e y --=. 8. 设y x xy z )(=(0>x ,0>y ),则 =??==1 2 y x x z . 解:由)ln (ln ln y x y x z += ,有 )1ln (ln 1 1)ln (ln 11++=???????++='y x y x x y x y z z x , )1ln (ln 1)(++? ='∴y x y xy z y x x .)12(ln 4)12(ln 22 1 2+=+?='∴==y x x z .. 9. 已知{}n a 为等差数列,01≠=-+d a a n n ,0≠n a ( ,2,1=n ),且∞=∞ →n n a lim ,则级 数∑ ∞ =+1 1 1n n n a a 的和是 . 解: ) 111( lim 11 3 22 11 1 +∞ →∞ =++ ++ =∑ n n n n n n a a a a a a a a ? ?????-++-+-=++∞→)(1lim 1132232112n n n n n a a a a a a a a a a a a d )111111( lim 11 3 2 2 1 +∞ →- + +- + - =n n n a a a a a a d 1 1 1 1)11( lim 1da a a d n n = - = +∞ →. 10. 设L 为圆周12 2=+y x ,则{ }=++?ds y x y x y L 2 22 2 sin )cos( π . 解:原式 L ds y x ds x ds y ds y L L y x L L 21)(2 1cos 2 22 2 2L - =+- =- =-== ?? ?? ?方程 对称性的方程 πππ-=?- =22 1. 二、 计算题(10分) 设0)1(=f , 2)1(='f ,求x e x x f x x cos )cos (sin lim 2 2 -+→. 解:原式 [ ] x e x x x x f x x f x x x cos 1 cos sin lim 1 cos sin )1(1)1cos (sin lim 2 2 2 2 --+?-+-+-+= →→∴;变形; 连续乘法 )) (2 1())(1(1))(2 1()) ((lim )1(2 2 2 2 2 2 2 )1(x o x x o x x o x x o x f x f +- -++-+- ++?'= →'存在; 泰勒公式 ) (23) (2 )(lim 22 2 2 2 2 2 2 )1(x o x x o x x o x x f ++-+= →=' 3 2) 1(2 3 ) 1(2 1 lim 20= ++=→o o x . 三、 计算题(10分) 设可导函数)(x f y =由方程32233 2 3 =+-y xy x 所确定,求)(x f 的极值点与极值. 解:视)(x f y =,对方程两边求导,得 06)2(332 22 =? +? +-dx dy y dx dy xy y x , 即 0)(22 2 =---dx dy y x y y x . 由原方程知,有 x y ≠, 02=-+∴dx dy y y x .……………………………………① 令 0=dx dy ,得x y -=,代入原方程,有32233 3 3 =--x x x , 解得唯一驻点2-=x ,此时2)2(=-=f y . 再对①式两边求导,得 0)(2122 2=? ?? ???+-+dx y d y dx dy dx dy .………………………………………② 在驻点2-=x 处,有02020122 2 2=??? ?????+-+-=x dx y d ,04 12 2 2 >= ∴-=x dx y d , 2-=∴x 为)(x f 的极小值点,)(x f 有极小值2)2(=-f . 四、 证明题(10分) 试证:当0≠x 时,有不等式2 1)4 (arctan 10< - < πx e x 成立. 证明:令t e t f arctan )(=,t t g =)(,则对0≠x ,在0与x 构成的闭区间上)(t f 与)(t g 满足柯西中值TH 条件,所以存在介于0与x 之间的ξ,使得 ) ()() 0()()0()(ξξg f g x g f x f ''=--, 即 2 2) (1110 4arctan ξ ξξ ξ πe e e e x e x += ?+= -- . 由2 12) (102 = < +< ξ ξξ ξe e e e ,即得2 1)4 (arctan 10< - <πx e x ,证毕. 另证:利用拉格朗日中值定理,或者泰勒中值定理. 五、 计算题(10分) 计算二次积分dy e x dx dy e x dx I y x y x 2 2 10 1 301 13}1){sin(}1){sin(? ? ? ? +- += --. 解:?dy e y 2 积不出来,∴考虑交换积分次序. dy e x dx dy e x dx I y x y x 2 2 10 1301 13 }1){sin(}1){sin(? ? ? ? ++ += ∴<--交换上下限 下限,上限第二个积分的内积分有 . 相应二重积分区域D 如图所示. ? ? ????-= = += 10 y x )sin(32 2 3 2 )1)(sin( y y y D y D x D y dx dy e dxdy e dxdy e x I 后先左右对称 为奇函数 121 10 10 2 2 2 -=== = ? ? e e de dy ye y y y . 六、 计算题(10分) 求幂级数∑∞ =-+1 1 21 3 n n n x n 的收敛半径、收敛域及和函数. 解: 2 1 21 1 22 133 3)1(lim )()(lim x x n x n x u x u n n n n n n n n =+=-+++∞ →+∞ → ,∴收敛区间为3 1< x ,收敛半径为 3 1. 当3 1± =x 时,级数为∑∑∞ =∞ =+±=± 1 1 1 33)3(3 13 n n n n n n ,发散.∴收敛域为 )3 1, 3 1(- . ∑∑∑∞ =∞ =++∞ =-++=+= 20 1 22 1 1 21 )3)(1(93 )1(3 n n n n n n n n x n x x n x n )(9)(9)1(90 1 1 32 '='=+= ∑∑∑∞ =+∞ =+∞==n n n n n n x y y x y x y n x 令 2 2 2 2 ) 31(9) 1(19) 1() 1()1(9)1( 9x x y x y y y x y y x -= -? =--?--? ='-=. 七、 计算题(10分) 求曲面积分?? ∑++++= 2 3 2 22)(z y x zdxdy ydzdx xdydz I ,其中∑是球面 4)1()1()1(2 2 2 =-+-+-z y x 的内侧. 解:( 直接计算困难,∴考虑借助高斯公式). 记2 2 2 z y x r ++= ,则3 r x P = ,3 r y Q = ,3 r z R = . 52 2 6 2 3 3 33)( r x r r r x r x r r x x x P -=??-= ?? = ?? , 有对称性可知, 5 2 2 3r y r y Q -= ??, 5 2 2 3r z r z R -= ??, 有 0335 2 2 =-= ??+ ??+ ??r r r z R y Q x P ,)0,0,0(),,(≠?z y x .∴可以改变积分闭曲面. 记2 2221:ε=++∑z y x (320- <<ε),取内侧, 则?? ?? ∑∑∑++= ++++= 1 1 13 2 3 2 221 )(zdxdy ydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz I ε 方程 改变积分闭曲面 ππε ε ε ε ε 43 431 31 )3(1 3 3 13 :3 2 2 2 2 1-=? ?- =Ω?- =- = ??? ≤++Ωz y x Gauss dV 方程 第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算__ ,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设是连续函数,且满足, 则____________. 3.曲面平行平面的切平面方程是__________. 4.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则_____. 二、(5分)求极限,其中是给定的正整数. 三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性. 四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证: (1);(2) . 五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、(15分)已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、(10分)求时, 与等价的无穷大量. 第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、(25分,每小题5分) (1)设其中求(2)求。 (3)设,求。 (4)设函数有二阶连续导数,,求。 (5)求直线与直线的距离。 二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且 且存在一点,使得,证明:方程在恰有两个实根。 三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具 有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。 四、(15分)设证明:(1)当时,级数收敛; (2)当且时,级数发散。 五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均 匀椭球,其中(密度为1)绕旋转。(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。(1)设为正向闭曲线 前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看 一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=, ? -=10 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, 2.设)(x f 是连续函数,且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行,因此,由 x z x =, y z y 2=知 2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足: 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++, 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ; Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切, 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有: 2. 设(1n n a b =+, 其中,n n a b 为正整数,lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以,若则解得: lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠, 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?, 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小, 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑: 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导,下列结论成立的是:________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若,则在[1,+)上有界; 河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续,故dx x ?1 02-1存在,且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i , 所以,= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中,无论a 为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必 须为无穷小量,于是可知必有0=b ,当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?, 由上式可知:当0→x 时,若1≠a ,则此极限存在,且其值为0;若1=a ,则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x , 综上所述,得到如下结论:;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。 【解】 作变换t x -= 2 π ,则 =I 22 20π π = ?dt , 所以,4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0, 容易看出:当e x <<0时,0<'y ;当e x >时,0>'y 。 所以,x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1. 计算()ln(1) d y x y x y ++=??,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ,则()f x =. 3.曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且 1≠'f ,则=22d d x y . 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,10()() g x f xt dt =?,且A x x f x =→) (lim 0,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ,且n e u n =)1(,求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 浙江省首届高等数学竞赛试题(2002.12.7) 一. 计算题(每小题5分,共30分) 1 .求极限lim x →。 2.求积分 |1|D xy dxdy -??,11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3.设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解,求常数,,,a b c h 。 4.设()f x 连续,且当1x >-时,20()[()1]2(1)x x xe f x f t dt x +=+? ,求()f x 。 5.设21 1arctan 2n n k S k ==∑,求lim n n S →∞。 6.求积分1 2121(1)x x x e dx x ++ -?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题(2003.12.6) 一.计算题 7.求20 50sin()lim x x xt dt x →?。 8.设31()sin x G x t t dt =?,求21()G x dx ?。 9.求2401x dx x ∞+?。 10. 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。 浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题 1.计算:( )()2 00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。 2.计算:20cos 2004 x dx x x π ππ+-+?。 3.求函数()22,415f x y x y y =++在 (){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。 4.计算:()3max ,D xy x d σ?? ,其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x -=+,求)0()(n f 。 天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220 21cos 1sin dx x x dx x x ππ. 2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且 ,4)]0([)]0([22='+f f 证明:存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f . 3. (1)证明:当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立. (2)设,1tan 12 k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞ → 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ,求()()05f 。 6. 对k 的不同取值,分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。 7. 设a ,b 均为常数且2->a ,0≠a ,问a ,b 为何值时,有 ()()??-=?? ????-+++∞ +10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a , ,,,n ,a a n n 321121=+=+,证明:n n a ∞ →lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数,且()1≤x f ,()1≤''x f ,证明:()2≤'x f ,[]2+∈a,a x 。 北京市竞赛试题(2008、2007、2006) .______,111,1.11 =-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,) ()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (非数学类) 考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分: 100 分. 一、 计算下列各题(共20分,每小题各5分,要求写出重要步骤). (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元,而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案:即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少? (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+,求()f x . 二、(10分)求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????; (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、(10分)设()f x 在1x =点附近有定义,且在1x =点可导, (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、(10分) 设()f x 在[0,)+∞上连续,无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、(12分)设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明:(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=;(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、(14分)设1n >为整数, 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 2013年全国大学生数学竞赛练习题(一) 1.(第一届全国大学生数学竞赛初赛题)求极限2lim ()0 e x x nx e e e x n x +++→ 2.(第二届初赛题)设22(1)(1)...(1),n n x a a a =+++其中1a <,求lim n n x →∞ . 3.(第一届决赛题)设()f x 在1x =点附近有定义,且在1x = 点可导,(1)0,(1)2f f '==,求220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 4.(第二届决赛题)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数, 且()(0),0,(0)f f f '''均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ,使得 ()()()()1232 0230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。 5.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶导数, 且1 0()lim 13x x f x x x →? ?++=???? ,试求(0)f ,(0)f ',(0)f '' 6. (1)若函数()f x 在x 附近有连续的二阶导数, 且()0f x ''≠,则?θ由中值定理,,使得:0 ()=()(),lim ;h f x h f x hf x h →'+++θθ求 (2)若函数()f x 在x 附近有连续的非零n+1阶导数, 则0n ?θ≠,使得:()()=()()+(),!n n n h f x h f x hf x f x h n θ'+++ +0lim n h θ→求。 7.()lim[lim cos (!)]n m n f x m x π→∞→∞=求函数( x R ∈)的表达式 8. (刘丛志题) 当0x →时,估计无穷小量()f x =x 的阶. 9.求()lim (1)(0)k k n n n k →∞+-> 10.(刘丛志题)设 ()lim 20131n n n n αββ=→∞--,求,αβ的值。 11. (刘丛志题)求lim sin n ? ?→∞ 12.证明:limsin n n →∞? 13.0110,0,(),lim 2n n n n n a a a a a a a +→∞>>= +设求 14.设(1n n a b =+,其中,n n a b 为正整数,求lim n n n a b →∞. 15.(1)证明:(斯托尔兹定理) 12n +++lim lim n n n a a a a a a n →∞→∞=若=,则L (2)设11(0,1),(1)n n n x x x x +∈=-,试利用斯托尔兹定理证明lim 1n n nx →∞= (3)(第三届初赛题)若存在正整数p ,使得lim )n p n n a a λ+→∞-=(,试利用斯托尔兹定理证明lim n n a n p λ→∞= 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下: 一、函数、极限、连续 1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2.函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7.函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型. 8.连续函数的性质和初等函数的连续性. 9.闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念. 2.不定积分的基本性质、基本积分公式. 3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、 全国大学生数学竞赛(非数学专业) 微分学 一、基本概念与内容提要 1.出参数方程确定的函数的导数 则冬二 dy df 二 d ),/dx 二 ?'(/)二儿 ‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t ' d 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0? 1 dt(p\ty dx~ [?(or dt 2.多元函数微分学 全微分:衣二空血臬密?腸式不变^=—dx + — Jy + — dx oy dx dy dz 处的切线对和轴的斜率。函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。 连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。 二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。 二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。 偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。函数连续是可微的必要不充分条件。 全微分的近似计算:Az"卩人(兀,刃山+/;(x ,y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O] — = — dt du dt dv dt 偏导数的儿何意义:粼規示册緝奇成,, z = /(s) y = >o (x o Jo Zo) z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv —= ----- ---- 1 -- --- dx du dx dv dx f du . du f du =—dx-\ --- dy dx dy dv = ^dx^dy dx dy 隐函数的求导公式: 隐函数F(X,)')F O 尘=_? dx F y 台7 F 隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx E d~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑 ) J 比_ Py 高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 高数竞赛预赛试题(非数学类) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,?=10d )()(t xt f x g ,且A x x f x =→) (lim 0,A 为常数,求) (x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、(10分)求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 试题1:如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆,求实数,A B 的比值。 解:不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面,以(0,/,0)D B -为原点,以 '223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=?=为基本向量 建立一个新的坐标系''''O X Y Z ,则坐标变换公式为 '' 2222 ''2222'/B A x x z A B A B A B y D B x z A B A B z y ?=+?++? ?=-- +?++? ?=?? 在新的坐标系中,平面的方程为:'0z =, 而曲线的方程为: '2'''' 22 22 2 2 2 2 6( )(/)1 B A A B y x z D B x z A B A B A B A B ++ -- + =+++ + 所以交线的方程为: '2' '''22 22 22 22 '6()(/)1 B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ?++--+ =?++++? ?=? 化简得: '2' '22 22 '6()(/)1 0B A y x D B x A B A B z ?+--=?++? ?=? 因为交线是圆,所以 226AB A B -=+ 解得 322A B =-. 试题2:求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ? ? ?=+=+++?? ?=+=++020 13:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。 解:把直线的方程化为点向式方程为: ,1 11 2 :,1 20 1:21-+==-=+=-z y x l z y x l 设所求的直线为,l 记l 和i l 所确定的平面为,1,2i i π=,那么12l ππ=, 试题3:在二次曲面2222360x y z xy xz z +-++-=上,求过点(1,4,1)-的所有直线的方程. 解:设所求的直线的方程为:141x lt y mt z nt =+??=-+??=+? ,又因为所求的直线在二次曲 面上,所以对任意的,t 有 2222(1 )(4)(1) 3(1)( 4)(1)(1 )6(1) l t m t n t l t m t l t n t n t ++--+++-+++-+=, 化简得; 2222(23)(757)0t l m n ml nl l m n t +-++-++= 由于上式对任意的,t 都成了,所以 222230 (1)7570l m n ml nl l m n ?+-++=? ++=? 由于n m l ,,可相差一个公共的非零常数倍,所以可分两种情况讨论 (1):,0=l 代入方程组(1)得 220 (1)570 m n m n ?-=? +=? 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,? = 10 d )()(t xt f x g ,且A x x f x =→) (lim ,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量:180分钟满分:150分 院系:专业:学号:姓名: 一、选择题(2分/题×10题=20分) 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述,下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中,把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按(B)优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中,下列描述是正确的是( D ) A.上下拼接的命令为C=[A, B],要求矩阵A, B的列数相同; B.左右拼接的命令为C=[A; B],要求矩阵A, B的行数相同; C.上下拼接的命令为C=[A; B],要求矩阵A, B的行数相同; D.左右拼接的命令为C=[A, B],要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为(C ) A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的(A)的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b,可以用Matlab的命令(A)实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令,下列说法正确的是(b) A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列,并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是(d) A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中,以下错误的是( d ) A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种; B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头; 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算____________,其中区域由直线与两坐标轴所 围成三角形区域. 解 令,则,, (*) 令,则,,,, 2.设 是连续函数,且满足, 则____________. 解 令,则, , 解得。因此。 3.曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由 =--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+ ,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u u t -=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-?+--=01 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053=??????+-=t t t )(x f ?--=2 2 2d )(3)(x x f x x f =)(x f ? = 2 d )(x x f A 23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2 2-=+-=--=?3 4= A 3103)(2 - =x x f 22 22 -+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22 22 -+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(- 一、 填空题(每小题4分,共40分) 1. 设 ? ????? +=∞→x t x x t t f 2)11(lim )(,则=')(t f . 解:)(t f t x x x t 2)11(lim ?? ???? +=∞ →t te 2=,t t t e t te e t f 222)21(2)(+=+='∴. 2. 设曲线L 的方程为t e x 2=,t e t y --=,则L 的拐点个数为 . 解:)(2 1213-22t t t t t t e e e e x y dx dy += += ' '=--, )32(4 12/)32(2 15-423-22 2 t t t t t t t e e e e e x dx dy dx y d +- =--= '' ?? ? ??=--. 02 2 大学生数学竞赛(非数学类)试卷及标准答案 考试形式: 闭卷 考试时间: 120 分钟 满分: 100 分. 20分). )cos 1(cos 1lim 0x x x x --+ →= . (2)设()f x 在2x =连续,且2 ()3 lim 2 x f x x →--存在,则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2)1 1(lim )(+=∞→,则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ,则()xf x dx '?= . (1) 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. ,其中 解: dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 21 -??+dy x y dx x )(1 210 2??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名: 身份号: 所在院 校: 级: 业: 线 封 密 注意:1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸 上一律无效. 2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关 三、(10分)设)](sin[2 x f y =,其中f 具有二阶2dx 解: )],(cos[) (222x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 222222222 2x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(22 2 2 2 2 2 2 2 x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、(15分)已知 3 1 23ln 0 = -?? dx e e a x x ,求a 的值 解: )23(232123ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-??? ---------3分 令t e x =-23,所以 dt t dx e e a a x x ?? -- =-?231ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 2 21-?-------------7分 =]1)23([31 3--?-a ,-----------9分 由3123ln 0=-??dx e e a x x ,故]1)23([313--?-a =31 ,-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3 =a -------------15分.全国大学生数学竞赛预赛试题
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