第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
第四章 中值定理与导数的应用
一、填空
1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。
2、若2
1
cos 1sin lim
20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2
3bx ax y +=的拐点。
4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。
5、函数)1ln(2
x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23
)5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。
7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x
x x ，则=a ，=b 。
8、x
x x y )1
1(-+=的水平渐近线为 。
二、选择
1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4
1
,21(-
内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹
2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 3、函数)(x f y =在0x x =处取得极大值，则必有（ ） A 、0)(0='x f B 、0)(0<''x f C 、0)(0='x f 且0)(0<''x f D 、0)(0='x f 或不存在 4、1 ln )(2 -= x x x f 的垂直渐近线为（ ） A 、1=x B 、1±=x C 、1±=x ，0=x D 、0=x 5、函数)(x f 有连续二阶导数，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(-=''f ， 则=-→2 )(lim x x x f x （ ） A 、-1 B 、0 Ｃ、不存在 Ｄ、－２ ６、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1) (lim 0=-→x x f x ， 则在0=x 处)(x f （ ） Ａ、不可导 Ｂ、可导且0)0(≠'f Ｃ、取得极大值 Ｄ、取得极小值 ７、设在［０，１］上，0)(>''x f ，则)(x f 满足（ ） Ａ、)0()1()0()1(f f f f ->'>' Ｂ、)0()0()1()1(f f f f '>->' Ｃ、)0()1(')0()1(f f f f '>>- Ｄ、)0()1()0()1(f f f f '>->' ８、设)()(x f x f --=对一切x 恒成立，且当),0(+∞∈x 时，有0)(>'x f ， 0)(>''x f ，则)(x f 在) 0,(-∞内一定有（ ） Ａ、0)(<'x f ，0)(<''x f Ｂ、0)(<'x f ，0)(>''x f Ｃ、0)(>'x f ，0)(<''x f Ｄ、0)(>'x f ， 0)(>''x f ９、设函数)(x f 在上有定义，在开区间),(b a 内可导，则（ ） Ａ、当时，存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf B 、对任何),(b a ∈ξ，有0)]()([lim =-→ξξ f x f x C 、当)()(b f a f =时，存在),(b a ∈ξ，使0)(' =ξf D 、存在),(b a ∈ξ，使=-)()(a f b f ))((' a b f -ξ 10、设)1()(x x x f -=，则（ ） A 、0=x 是)(x f 的极值点，但（0，0）不是曲线)(x f y =的拐点 B 、0=x 不是)(x f 的极值点，但（0，0）是曲线)(x f y =的拐点 C 、0=x 是)(x f 的极值点，且（0，0）是曲线)(x f y =的拐点 D 、0=x 不是)(x f 的极值点，（0，0）也不是曲线)(x f y =的拐点 三、计算 1、0 lim →x x x 3sin )21ln(+ 2、0lim →x )21ln(arctan 3x x x +- 3、0lim →x )tan 1 1(2x x x - 4、-∞→x lim )arctan 2(x x +π 5、0lim →x x x e x 11 ) 1(???? ???? ? ? + 6、0lim →x x x 12)1(+ 四、应用题 1、已知函数)(x f y =，在),(+∞-∞上具有二阶连续的导数，且其一阶导函数)(' x f 的图形如图所示，且 8)1(=-f ，7)0(=f ，6)1(=f ，5)2(=f ，4)3(=f 则（1）函数)(x f 的驻点是 。 （2）函数)(x f 的递增区间为 。 （3）函数)(x f 的递减区间为 。 （4）函数)(x f 的极大值为 。 （5）函数)(x f 的极小值为 。 为 。 （6）曲线)(x f y =的上凹区间为 。 （7）曲线)(x f y =的下凹区间 （８）)(x f y =的拐点为 。 （注：只写结果即可） ２、一商家销售某商品，其销售量Ｑ （单位：吨）与销 售价格Ｐ（单位：万元／吨）有关系：Ｑ＝３５－５Ｐ，商品的成本函数为Ｃ＝３Ｑ＋１（万元），若销售一吨商品，政府要征税a 万元 （１）求商家获得最大利润（指交税后）时的销售量Ｑ （２）每吨税收a 定为何值时，商家既获得最大利润，且政府税收总额最大？ ３、已知c bx ax x x f +++=2 3 )(在0=x 处有极大值，且有一拐点（１，－１），求c b a ,,之值，且求) (x f 的单调区间，凹向与极小值。 五、证明 １、证明：当π< x x >2sin ２、设)(x f 在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，且0)1()0(==f f ，1)2 1(=f 试证明：至少存在一个点)1,0(∈ξ，使得1)(='ξf 答案 一、 填空 1、2 ； 2、±2 ； 3、2 9 ,23=-=b a ； 4、2； 5、),(+∞-∞；1-ln2 ; -1-ln2； 6、01 =x ，32=x ，;53=x 108；0； 7、4,1-==b a ； 8、2e y = 二、选择 1、D 、 2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、B 8、C 9、B 10、C 三、计算 1、解：原式=0lim →x 3 2 3cos 3212 =+x x 2、解：原式=0lim →x =-32arctan x x x 0lim →x =-+226111 x x 0lim →x 61)1(6222-=+-x x x 3、解：原式=0lim →x x x x x tan tan 2-=0lim →x 3 tan x x x -=0lim →x 2231sec x x - =0lim →x x x x 222 cos 3cos 1-=0lim →x 6 132122 =x x 4、原式= -∞ →x lim x x 1 arctan 2 +π =-∞→x lim 2 2 1 11x x -+=-∞→x lim 1122 -=+-x x 5、解：原式=0lim →x =+x x e x 11]) 1([ x x x z e 1)1ln(1 lim 0-+→=2 )1ln(lim x x x x e -+→=x x x e 2111 lim 0-+→=1) 1(21lim 0 -=+- →x x e 6、解：原式= )1ln(1 lim 2x x x e +-∞→=x x x e )1ln(lim 2+-∞→ -∞→x lim x x ) 1ln(2 +=-∞→x lim 01 122=+x x ∴ 原式=10=e 四、应用 1、解：（1）3,1,1==-=x x x ； （2）)1,(--∞和),3(+∞；（3）[-1，3]；（4）8；（5）4；（6）（0，1）和),2(+∞；（7）)0,(-∞和（1，2）；（8）（0，7），（1，6），（2，5） 2、解：（1）税后利润为：aQ Q QP Q L ---=13)( 又由p Q 535-=得Q P 2.07-= a Q Q L -+-='44.0)( 令0)(='Q L 得驻点 ∴a Q 5.210-=（吨）时，获利润最大。 （2）征税总额为：aQ T =，而Q 是厂家获利最大时的销售量，因此，此处a Q 5.210-= 25.210a a T -= a T 510-=' 令0='T 得驻点2=a 05<-=''T ∴ 当2=a 万元时，征收税额最大。 3、解： 1)0(=f ? 1=c 令0)2(363)(2=-=-='x x x x x f ? 2,0==x x 令 0)1(666)(=-=-=''x x x f ? 1=x 1、证明：设 π x x x f -=2sin )( 则 π 12cos 21)(-= 'x x f ∴ 函数)(x f 对应曲线在),0(π内向上凸 又由于0)()0(==πf f ∴ 当π<< x 0时， )(x f >0 即：π x x >2sin 2、证明：作辅助函数x x f x F -=)()( 显然)(x F 在[ 21，1]上连续，在（21，1）内可得，且021)21(,01)1(>=<-=F F ，由零值定理，存在点)1,2 1 (∈η， 使得0)(=ηF ，又由于0)0(=F ，对)(x F 在],0[η上应用罗尔定理，存在点)1,0(),0(?∈ηξ使得0)(='ξF ， 即 1)(='ξf 习题3 一、填空题 1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______ 区间； 2．函数在上满足拉格朗日定理条件的； ３．函数与在区间上满足柯西定理条件的 ； 4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的； ５．； 6．； 7．; 8．函数的单调减区间是； 9．设在可导，则是在点处取得极值的条件； 10．函数在及取得极值，则； 11. 函数的极小值是; 12．函数的单调增区间为； 13. 函数的极小值点是； 14. 函数在上的最大值为，最小值为； 14. 函数在的最小值为; 15. 设点是曲线的拐点,则; 16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为; 17. 曲线的上凹区间为; 18. 曲线的拐点为; 19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点 处的切线平行于轴,那么函数的表达式是; 20. 曲线的拐点为; 21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是; 22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为; 23. 曲线在的曲率; 24. 曲线的曲率计算公式为; 25. 抛物线在顶点处的曲率为; 二. 单项选择题 1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在内可导,且 是在内至少存在一点,使得成立的( ). 必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要 2. 函数，则（）. 在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立； 在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立； 3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且, ,则必有( ). ; ; 4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). ; ; ; 5. 函数,它在内( ). 不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且; 满足中值定理的条件,但无法求出的表达式; 不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论. 6. 若在开区间内可导,且是内任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ). ; 7. 设是内的可导函数,是内的任意两点,则( ) . 应用数学习题集 第二章导数及其应用 一. 选择题 1．若 f ( x) 在x0处可导，则以下结论错误的是（D）。 A f ( x) 在x0处有极限； B f ( x) 在x0处连续； C f ( x) 在x0处可微； D f '( x )lim f (x) 必成立。 x x 2．若 f ( x) 在x0处可导，则（B）是错误的。(02-03 电大试题 ) A 函数f ( x)在点 x 0处有定义； B lim f ( x) A ，但A f (x0 ) ； x x0 C 函数f ( x)在 x 0处连续；D函数 f ( x) 在x0处可微。 3． f (x) 在x0处不连续，则 f (x) 在x0处（A） A 必不可导； B 有时可导； C 必无定义； D 必无极限。 4．函数 f ( x) =|2x|在x=0处的导数（D）。 A等于 0 ；B等于 2 ； C 等于 -2 ；D不存在。 5．函数 f ( x) =|sinx|在点 x=0处的导数（D）。 A等于 -1 ；B等于 0 ； C 等于 1；D不存在。 6 ．y ln | x |，则 y ’= （ B）。 A1；B 1 ；C 1 ；D 1 。 | x |x x| x | 7．曲线 y=sinx在点 (0,0)处的切线方程是（C）。 A y=2x B y 1 x C y=x D y=-x 2 8． f (x)x cos x，则 f " ( x) =（D）。 (02-03电大试题 ) A cosx+xsinx B cosx-xsinx C2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx 9．函数中在 [1 ， e] 上满足 Lagrange定理条件的函数是（B）。 A y=ln(lnx)； B y=lnx； C y=1； D y=ln(2-x)。 ln x 10 ．若f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导，Lagrange定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。 （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1．已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 （ t 表示时间， s 表示位移），则瞬时速度为 4 0 的时刻是：（ ） A ． 0 秒、 2 秒或 4 秒 B ． 0 秒、 2 秒或 16 秒 C ． 2 秒、 8 秒或 16 秒 D ． 0 秒、 4 秒或 8 秒 2．下列求导运算正确的是（ ） A ． ( x 1 ) 1 1 B ． (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C ． (3x ) 3x log 3 e D ． x 2 cos x 2sin x 3．曲线 y x 3 2x 4 在点 (13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 120° 4．函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（ ） s s s s O tO tO t O t A ． 1 B ． C ． D ． 6．设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) （ ） x A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 7．如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图，那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 （ ） 8．设 f ( x) x ln x ，若 f '(x 0 ) 2 ，则 x 0 （ ） A ． e 2 B ． e C ． ln 2 D ． ln 2 2 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1. 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，函数的改变量y ?为【 】 A .()x x f ?+0 B .()x x f ?+0 C .()x x f ??0 D .()()00x f x x f -?+ 2. 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为【 】 A .－4 B .－8 C .6 D . －6 3. 曲线=y x x 32+在2x =处的切线的斜率为【 】 A . 7 B . 6 C . 5 D . 4 4. 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1，2）及附近一点()y x ?+?+2,1，则x y ??为 【 】 A .21+?+ ?x x B .21-?- ?x x C .2+?x D .x x ?- ?+12 5. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球体积的平均变化率为【 】 A .()()2 3 24 443R R R R R πππ??+??+? B .()2 24443 R R R R πππ+??+? C .24R R π?? D .24R π 6.某质点的运动方程是2(21)s t t =--，则在t=1s 时的瞬时速度为 【 】 A ．－1 B ．－3 C ．7 D ．13 7.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动，则在4s 附近的平均变化率为 . 8.已知物体的运动方程是23(s t t t =+秒,s 米)，则物体在时刻t = 4时的速度v = . 9.求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 10． 求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1，2)处的切线方程. 11.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 1.2 导数的运算 1. 函数y = (2x ＋1) 3在x = 0处的导数是 【 】 A .0 B .1 C .3 D .6 2.函数y =x 2co sx 的导数为 【 】 A . y ′=2x co sx －x 2s i nx B . y ′=2x co sx +x 2s i nx C . y ′=x 2co sx －2xs i nx D . y ′=x co sx －x 2s i nx 3. 已知函数f (x ) = a x 2 ＋c ，且(1)f '=2 ， 则a 的值为 【 】 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同， 《导数及其应用》单元测试 一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共计70 分） 1、函数()cos sin f x x x x =+的导数()f x '= ； 2、曲线2 4x y =在点(2,1)P 处的切线斜率k =_________ ___； 3、函数13)(2 3+-=x x x f 的单调减区间为_________ __ _____； 4、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =__________ ______； 5、函数3 2 ()32f x x x =-+的极大值是___________； 6、曲线3 2 ()242f x x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是________________； 7、函数93)(2 3 -++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =_______ __； 8、设曲线2 ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ____________； 9、已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为2 1 ，则切点的横坐标为_____________； 10、曲线3 x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 ； 11、已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ， 则M m -=___________； 12、设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ； 13、已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中)(x f '是函数))(的导函数x f ， 下面四个图象中)(x f y =的图象大致是______ ______； ① ② 14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形， 记2 (S =梯形的周长） 梯形的面积 ，则S 的最小值是___ ____。 第四章 微分中值定理与导数的应用习题 § 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且 )()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分 也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A. x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）． A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π =， 故 )(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 5． 证明方程06 213 2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03 1 )2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点 存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在) ,(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02 112>++ηη矛盾．故方程0 62132=+++x x x 只有一个实根． 导数及其应用的习题 一．要点梳理 1．f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是f (x )在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a ，b )内可导的函数f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f (x )在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f ′(x 0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ′(x )不恒为0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立解出的参数的取值范围确定． 2．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 二．疑点清源 1．运用导数不仅可以求解曲线的斜率，研究函数的单调性，确定函数的极值与最值，还可利用导数研究参数的取值范围，来讨论方程根的分布与证明不等式． 2．用导数研究参数的取值范围，确定方程根的个数，证明不等式，其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题，运用导数进行研究． 3．函数的极值与函数的最值是有区别与联系的：函数的极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数的极值可以有多个，而函数的最大(小)值最多只有一个 4．极值点不一定是最值点，最值也不一定是极值点，但如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值． 5．在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可． 6．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为零的点，导数不存在的点，端点． 三．典例精析 题型一：利用导数求函数的单调区间 例1：已知函数f (x )＝x 3－ax 2 －3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解：(1)对f (x )求导，得 f ′(x )＝3x 2－2ax －3.由 f ′(x )≥0，得a ≤32? ????x －1x .记t (x )＝32? ? ???x －1x ， 当x ≥1时，t (x )是增函数，t (x )min ＝3 2(1－1)＝0.∴a ≤0. (2)由题意，f ′(3)＝0，即27－6a －3 ＝0，∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1 3，x 2＝3. 当x 增 减 增 选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题 一、选择题：(每小题有且只有一个答案正确，每小题5分，共50分) 1．下列结论中正确的是（ ） A ．导数为零的点一定是极值点 B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)(' 第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 习题课（二） 导数及其应用 1.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函 数f (x )的图象可能是( ) 解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0 导数单元测试题 11.29 一、填空题 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是_______ 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是________ 3．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则实数b 的范围是_______ 4．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为______ 5．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________ 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是_______ 7．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为________ 8．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的______________条件 9． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 10．函数()ln f x x x =的单调递增区间是＿＿＿＿． 高二数学《导数及其应用》 一、选择题 1.0()0f x '=是可导函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线2 1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4 第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,< (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加； 导数及其应用测试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1.函数()2 sin f x x =的导数是（） A.2sin x B.2 2sin x C.2cos x D.sin2x 2．已知()2 1 cos 4 f x x x =+，() ' f x为() f x的导函数，则() ' f x的图像是（） 3.若2 x=-是函数21 ()(1)x f x x ax e- =+-的极值点，则() f x的极小值为（） A.1 - B.3 2e- - C.3 5e- D.1 4．若曲线() ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b为正实数，则 2 e a b + + 的取值范围是（） A. 2 , 2 e e ?? ++∞ ? ?? B.[) ,e+∞ C.[) 2,+∞ D.[) 2,e 5．已知函数2x y=的图象在点) , (2 x x处的切线为l，若l也与函数x y ln =，)1,0( ∈ x的 图象相切，则 x必满足（） A． 2 1 < 习题3 一、填空题 i 设孑心 好 m ，则yw=o 有 _________________________ 根，它们分别位于 区间； 2. 函数「'在〔?-上满足 拉格朗日定理条件的-■ ---------- 3 .函数了（兀2*与削+ *在区间卩总］上满足柯西定理条件的 4. 函数y = 在皿］上满足拉格朗日中值定理条件的 貝 In sin 3z hi ll ---- --- = ____________ 5. In sin 5x / W = -y 8.函数 的单调减区间是 ----------- 9.设」八在"可导，则「是在点心处取得极值的 ------------------------ 条 件； 2 10?函数■…亠：—二在工「及"=-取得极值，贝F ——? jf （尤）—工—2冒 6. hm (1 — x) tan ——= y ' 2 7. lim r-j-0 i (cos 1 11.函数」一二的极小值是 __________ ; /⑴二邑壬 12?函数'?1的单调增区间为_____________ 13. 函数的极小值点是" ----------------------- ; 14. 函数，二」——'?在一「一上的最大值为 ---------- ,最小值为------ 14. 函数他"-"+5在［-H］的最小值为------------------- ; 15. 设点」■是曲线2心：的拐点,则”-…八; 16. 曲线- J的下凹区间为------------- ,曲线的拐点为--------- ； 17. 曲线」一一‘-的上凹区间为 --------- ; 18. 曲线」一一?-的拐点为-------------- ； 19. 若/八是工的四次多项式函数，它有两个拐点' ''：■ ■,并且在点 :二处的切线平行于艺轴,那么函数」八‘的表达式是----------------- ; 《2 20. 曲线“二玄+户任卩叔）的拐点为 -------------- ; y —----- 21. 曲线：「的水平渐近线的方程是 ------------------ ,垂直渐近线的方程是------------ ； 第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为()． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋1 x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝2 x，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝1 x2＋2在点x＝1处的导数． 7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 8．设函数f(x)可导，则lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1) 3Δx等于()． A．f′(1) B．3f′(1) C.1 3f′(1) D．f′(3) 9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________． 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值． 《导数及其应用》单元测试题（理科） （满分150分 时间：120分钟 ） 一、选择题（本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 2 8)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()() ()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4． =-+? dx x x x )1 11(322 1 （ ） (A)8 7 2ln + (B)872ln - (C)452ln + (D)812ln + 5．曲线1 2 e x y =在点2 (4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． 2 9e 2 Ｂ．24e Ｃ．2 2e Ｄ．2 e 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 7．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有中值定理与导数习题
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