中值定理与导数习题
习题3
一、填空题
i 设孑心 好 m ，则yw=o 有 _________________________ 根，它们分别位于
区间； 2.
函数「'在〔?-上满足
拉格朗日定理条件的-■
----------
3 .函数了（兀2*与削+ *在区间卩总］上满足柯西定理条件的
4. 函数y = 在皿］上满足拉格朗日中值定理条件的 貝
In sin 3z hi ll ---- --- = ____________ 5. In sin 5x
/ W = -y
8.函数
的单调减区间是 -----------
9.设」八在"可导，则「是在点心处取得极值的 ------------------------ 条 件；
2
10?函数■…亠：—二在工「及"=-取得极值，贝F ——?
jf （尤）—工—2冒
6. hm (1 — x) tan ——=
y '
2 7.
lim r-j-0
i
(cos 1
11.函数」一二的极小值是 __________ ;
/⑴二邑壬
12?函数'?1的单调增区间为_____________
13. 函数的极小值点是" ----------------------- ;
14. 函数，二」——'?在一「一上的最大值为 ---------- ,最小值为------
14. 函数他"-"+5在［-H］的最小值为------------------- ;
15. 设点」■是曲线2心：的拐点,则”-…八;
16. 曲线- J的下凹区间为------------- ,曲线的拐点为--------- ；
17. 曲线」一一‘-的上凹区间为 --------- ;
18. 曲线」一一?-的拐点为-------------- ；
19. 若/八是工的四次多项式函数，它有两个拐点' ''：■ ■,并且在点
:二处的切线平行于艺轴,那么函数」八‘的表达式是----------------- ;
《2
20. 曲线“二玄+户任卩叔）的拐点为 -------------- ;
y —-----
21. 曲线：「的水平渐近线的方程是 ------------------ ,垂直渐近线的方程是------------ ；
/ （工）二
22. --的垂直渐近线为______________ ；水平渐近线为_________
兀二——1
23. 曲线」'在的曲率’-------------------- ;
24. 曲线1■■ ：1的曲率计算公式为------- ；
25. 抛物线;_ "' 在顶点处的曲率为----------------- ；
二.单项选择题；1■--
1. 罗尔定理中的三个条件；「■' ■在宀-上连续,在内可导,且備m是/⑴在（佔内至少存在一点,使得广忆）成立的（）.
■」；必要条件」■'充分条件?■充要条件」?既非充分也非必要
2. 函数-"：，：1广，则（）.
? p?在任意闭区间' '■上罗尔定理一定成立；?''在-■-上罗尔定理不成立;
?「在-上罗尔定理成立；--在任意闭区间上，罗尔定理都不成立；
3. 设函数八）在区间卜M上连续,在开区间（7）上可导,且『I朋皿, /（Q）= o,则必有（）.
..I：■: |-^ ；_■….■： I---'； _ : '：- ■■■■■-./.'：|' -
J J
4. 下列函数在「二上满足拉格朗日中值定理条件的是（）.
1
.1： "I .. .'.J. ,-.； u . 3 叱一】?
J
J
J
?'；不满足拉格朗日中值定理的条件；
x EH
满足拉格朗日中值定理的条件，且〔■'； ■' 满足中值定理的条件，但无法求出「的表达式；
?「不满足中值定理条件，但有?
‘：满足中值定理的结论.
6. 若」」在开区间内可导,且；J 是/;内任意两点,则至少存在一点： 使得下式成立
（）?
'： 1-■.: 」；
J
（月）了（可）-）=（珂■心< 乃
（Q 了（吐）-）=（兀-工”?<5 <知
（⑵
= （^2 ^1 <5 < 孔
7. 设」」 '是内的可导函数，「宀'是"7内的任意两点,则（）.
㈤在忌工+山之间恰有一个,使得3 =广（力山
2- In x,
1 5.函数 1 <^<3 (1P 3) ,它在内(). 在- -之间至少存在一点--,使得r .-对于+与上二之间的任一点匚,均有■.' 8. 若」」在开区间一〔内可导,且对「''内任意两点恒有 ”伽）-/如1兰（乜-",则必有（）. 1 : .■■'?:.'■' 1.■■'（常数） 9. 已知函数: - 1_ ,则方程■-:有（）'；分别位于区间-；1■ ：| :■-内的三个根； ::四个根,它们分别为J 二I，_：亠; ?四个根,分别位于（叩）20（23）24）; 「分别位于区间':「二内的三个根； 10. 若「'为可导函数，'「为开区间 ' ' '内一定点，而且有 ' - - -：：「，则在闭区间宀［上必总有（）. ⑷/?<0（c）/w > 0 （D） /w>0 11. 若和—弘<0,则方程fg"亠&" +拥+巴=0 ?'；无实根■有唯一实根有三个实根（’?有重实根 12. 若/⑴在区间［见珅上二次可微,且/（□） =虫沁J3 Q/3兰° （.；?）,则方程1在…上（）. '?:没有实根「■有重实根i 〔有无穷多实根? ?有且仅有一个实根 13. 求极限'■ "- -Li ■■时,下列各种方法正确的是（）. '； 用洛必达法则后，求得极限为0； -因为不能用洛必达法则，故极限不存在； lim ° Lum. ' ‘力 ta 14. 设'为未定型,贝『■厂存在是… 邛二也存在的（）. （月）必要条件（月）充分条件充要条件既非充分也非必要条件 -： 因为 1. 上不存在,所以上述极限不存在 原式='r — ---- .工血 sin x 1—5导「，且 ,则（）? gG) 存在,且匸=二 乳命丄 必有…小 曲= E Um = B .「如果存在,且丄"三「如果-"-J'■■■■ 存在,不一定有 A= B 『二——T 16. 函数-在（）. J'?单调增加°二单调减少 （6 （-M）单调增加,其余区间单调减少（门）（-U）单调减少,其余区间单调增加 17. 已知一'-.在上连续,在*'内可导,且当’时，有，■',又㈣沁,则（）. 上单调增加，且-< -1； 上单调增加，且■' '，: ' 1； ■在一」冷上单调减少，且■' '，: ' 1 ; （。）川工）在［口上］上单调增加,但了?）正负符号无法确定. 18. 当二飞-时,有不等式（）成立. （矶,1 + ㈤ / >l+x （匚0当x>0时X w 1 + x当兀吒0时护> H x （口）当z >0时秽>1十x ,当x < 0时秽弋1 +就 19. 函数T二工m的图形,在（）. :八-“［处处是凸的;U〔处处是凹的； （S （-叫0］为凸的,在（Q七幼为凹的（D）卜叫0）为凹的,在（Q网为凸的. 20. 若在区间1 - ■'内，函数的一阶导数「■',二阶导数' 1■,则函数」」在此区间内是（）. ?'；单调减少，曲线上凹；单调增加，曲线上凹； '；单调减少，曲线下凹；’?单调增加，曲线下凹? 丿二 21. 曲线的凹凸区间是（）. （& （-叫丹o）为其凹区间；㈤（~T 为其凸区间； ?当时,曲线是凸的,时是凹的 (D)当 a r 心时，曲线是凹 的， 上时是凸的y = 一 22.曲线】十盂（）. -p'有一个拐点；-■有二个拐点；-，有三个拐点；-■'无拐点； 23. 若点为曲线?「的拐点,则（）. -'「必有，■ '■-存在且等于零；-必有存在但不一定等于零 ?—如果，■ '■-存在,必等于零；-/如果，■ '■-存在,必不等于零. 24. 设函数 1 ：1在x"处有,在处不存在,则(). "及二二? —定都是极值点；，工只有二二?1：1是极值点； '；X二"及二二?都可能不是极值点；-.? = ?：及二■-至少有一个点是极值占八、、? 25. 曲线_' ' ：(). ■有极值点T二,但无拐点；1'有拐点?-丄，但无极值点； ■' ■'"二‘是极值点，匚-」是拐点；■'"既无极值点又无拐点. 26. 若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则(). (国极大值一定是最大值,极小值一定是最小值； ，；极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； (⑺极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值； -极大值必大于极小值. 2I 27. 函数一‘ v :' '在区间■- ■上的最小值为(). 729 V 二— - 28. 指出曲线’二」的渐近线（）. '；没有水平渐近线，也没有斜渐近线； ㈤“运为垂直渐近线,无水平渐近线； '；既有垂直渐近线，又有水平渐近线； -只有水平渐近线. ZT 护+ K +1 y arctan ------------------------ 29. 曲线’「I、的渐近线有（）. ；1条；?2条；「3条；'4条； 30. 设,，在；f：内可导,且对于任意当I ?一时有八亠, 则（）. '?:对于任意；「?对于任意1' ■'：，'：'； 函数，单调增加；「「函数^'：■-：单调增加. 31. 设函数/W 在［叩］上广饲沁,则广或炖5）的大小顺序是（）. '一' . ■/'： .. . ； .：■ ■/ . - : ： J （G）/（D-/（O）> f ⑴> 尸?；9"⑴> /（0）- zm > 尸? J ? 广〔0）二0,1^ 台沪二1 32. 设「'有二阶连续导数,且…' ,则（）. 1是」八的极大值；是八T 的极小值; ?（5））是曲线的拐点; （巧炖不是/（刃的极值,（叮⑼）不是曲线y = /W的拐点. 1 】 33. 在区间（一叫他）内,方程丹十昨一"石（）. ?' 无实根；■有且仅有一个实根；??:有且仅有两个实根；L '?有无穷多个实根34. 设小二时,厂 L与“是同阶无穷小,则为（）. 1；- 2；3；「4 35. 函数炖二雹7不可导点的个数是（）. =3 ；'2 ；- 1 ；''0 . 36. 设函数丿「'在工=-的某个邻域内连续，且丿」为其极大值，则存 在’「当时，必有（）。 「丄-U ；「： 7 7 y= accsj：——cos2^ X =— 37?函数一2在］取得极值，则；飞（） 〔； 2 7 7 17 J 38. 下列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是（） 39. 设^为正整数，则一」 ?'；一：心；「，1 ; 「0 ;― 丄 lun何 40. =()。 ? “；：「— ： 三. 计算题 1.求下列极限一」 2.求极限: 3.求极限: 4.求极限: 5.求极限: 血1 e sin r hm 产带 13.求极限： fcn (丄)呎 14. 求极限：?— lim Intan7x 6.求极限: r-Kfl lntan2r 7.求极限: 8. 求极限: 呗十丄) lim ------- L ir-fr+w cctx 9.求极限: liin ?rcot2z 5 10. 求极限: 11. 求极限: 12. 求极限: 16. 17. 按(x 4)的幕展开多项式 4 3 2 x 5x x 3x 4 应用麦克劳林公式 按x 幕展开函数f(x) (x 2 3x 1)3 求函数-'： 按(x 4)的幕展开的带有拉格朗日型余项的 3阶泰勒公式 18.. 求函数"'; 按(x 1)的幕展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式 求函数f(x) tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式 20. 判定函数f(x) arctan x x 单调性 21. 判定函数f (x) x cos x (0 x 2 )的单调性 lim lim 7 hm(l+-),r FTg X 确定下列函数的单调区间 工(x>0) 确定下列函数的单调区间 y 二诚工+站1十* \ 确定下列函数的单调区间 y (x 1)( x 1)3 确定下列函数的单调区间 确定下列函数的单调区间 y x n e x (n>0 x 0) 确定下列函数的单调区间 y x |sin 2 x| 判定下列曲线的凹凸性 y 4x x 2 判定下列曲线的凹凸 性： y=l + 丄 工(x>0) 判定下列曲线的凹凸 性： y x arctan x 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间 y x 3 5x 2 3x 5 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：yxe x 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：y (x 1)4 e x 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：y ln( x 2 1) 试决定曲线y ax 3 bx? cx d 中的a 、b 、c 、d 使得x 2处曲线有水平切线 10)为拐点且点(2 44)在曲线上 试决定y k(x 2 3)2中k 的值 使曲线的拐点处的法线通过原点 求函数的极值 y 2x 3 6x 2 18x 7 求函数的极值 y x ln(1 x) 求函数的极值； 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.. 33. 34. 35. 36. (1 37. 38. 39. 40. 41. 22.确定下列函数的单调区间 3 2 y 2x 6x 18x 7 14 ■強 求函数的极值 42. 求函数的极值y e x cos x 1 43. 求函数的极值 '' 44. 求函数的极值y x tan x /(r)=［?sinx-i- r=— 45. 试问a为何值时函数…」在匚处取得极值？它是极大值还 是极小值？并求此极值 46. 求下列函数的最大值、最小值y=2x3 3x2 1 x 4 47. 问函数y 2x3 6x2 18x 7(1 x 4)在何处取得最大值？并求出它的最大值 48. 问函数. ■- (x 0)在何处取得最小值？ 49. 问函数°「十-(x 0)在何处取得最大值？ 50. 求椭圆4x2+y2=4在点(0 2)处的曲率 51. 求曲线y=lnsec x在点(x y)处的曲率及曲率半径 52. 求抛物线y=x2 4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径 53. 求曲线x a cos 3t y a sin 3t在t t o处的曲率 四. 证明题 1验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间丿」上的正确性 2验证拉格朗日中值定理对函数y 4x3 5x2 x 2在区间［0 1］上的正确性 3对函数f(x) sin x及F(x) x cos x在区间 -上验证柯西中值定理的正确性 4不用求出函数f(x) (x 1)( x 2)( x 3)( x 4)的导数，说明方程f (x) 0有几个实根并指出它们所在的区间 5 ?证明恒等式arcsine匚匚osx?=5 (1x1) 6. 若方程a o x n a i x n 1 a n i x 0有一个正根x o 证明方程 n 1 z 丄、 n 2 _ a o nx a i ( n 1) x a n i 0 必有一个小于x o 的正根 7. 设a b 0 n >1证明 nb n 1 ( a b )< a n b n ( a b ) 8.设a b 0证明 9.证明下列不等式 (1)|arctan a arctan b | | a b | ⑵当x 1时e x ex 15. 设 0,证明多项式f(x) a 。QX aX 在(0,1)内至少有一 个零点? 16?设f(x)在［0, a ］上连续，在(0, a)内可导，且f(a) 0,证明存在一点 (0, a),使 f( ) f ( ) 0. 17. 设Ovavb,函数f(x)在a b 上连续 在(a b)内可导 试利用柯西中值定理 证明存在一点 (a b)使- 18. 设f(x)、g(x)都是可导函数,且| f (x)|< g (x),证明:当x>a 时，| f(x) f(a)|vg(x) g(a). 10. 5 证明方程x x 1 0只有一个正根 11. 证明下列不等式 1-h —-Jl + X 当x 0时 -' 12. 证明下列不等式 当 x 0 时 一J ' 13. 证明下列不等式 0 当 二时 sin x tan x 2x 14. 证明下列不等式 曹 I 当」时 _ 19?设函数广八在宀-上连续，在??厂内具有二阶导数，且连接点■'和的直线与「「交于点lr(. -■'■■',证明：存在：」，使. 20. 设在一内连续,在.内可导r ：,且为单调增函数, 令八.■,证明：」…在“-为单调增函数. 21. 设函数■■- ：1对一切一㈠八,满足方程 (—切0) + 2(一l)f ⑴ i J 证明：当」J -在点’I 处取得极值，则此极值必是极小值? 22.证明：: 1 - X 1 + A H arctan -------- + arctan --------- = 一当E杏±1日寸1十工1- x 2 五. 应用题 1. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋现有存砖只够砌20cm长的墙壁问应围 成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 2 2. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆截面的面积为5m问底宽x为多少 时才能使截面的周长最小从而使建造时所用的材料最省？ 3. 从一块半径为丘的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图) 问留下的扇形的中心角取多大时做成的漏斗的容积最大？ + 刍"—1,（应』＞0） 4. 求内接于椭圆J .i 且两边分别平行于坐标轴的面积最大的 矩形? 5. 欲作一个容积为3000^ '的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位面积造价为池壁 单位面积造价的3倍，问蓄水池的尺寸怎样设计才能使得总造价最省？ 6. 已知球的半径为三，试在它的内接圆柱体中，求出具有最大侧面积的圆柱体的底 半径与高. 7. 求点（「到曲线- 的最短距离. 8. 一艘停泊在海之中的军舰，离海岸垂直距离9；「，离海岸上的兵营二'■', 今欲从舰上送信到兵营，已知送信人步行的速度为",划船速度是',问送信人应该在何处上岸，才能使信在最短的时间内到达兵营.（假定海岸线是直 的） 9. 「与码头位于一条东西向直线形河流的同一侧，河岸边的V厂离码头10 公里，三厂在码头的正北方4公里,今要在两厂之间修一条公路，如果延河岸筑路费用为3千元/公里,不沿河岸筑路费用为5千元/公里，问此公路沿河岸修筑几公里,才使筑路总费用最省？ 第三章 中值定理与导数的应用 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点 )(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf . 例:设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)1(=f ，证明：在(0,1)内存在ξ，使得ξ ξξ) ()(f f - ='． 【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析： ()0)(0)()(0)()() ()(=' →='+→='+→- ='x xf x f x x f f f f f ξξξξ ξξ 【证明】令)()(x xf x G =，则)(x G 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 0)1(1G (1 )0,0)(0)0(====f f G ,)()()(x f x x f x G '+=' 由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()(ξξξξf f G '+='．即ξ ξξ) ()(f f - =' 例：设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''= 【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令 ()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同， 习题3 一、填空题 1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______ 区间； 2．函数在上满足拉格朗日定理条件的； ３．函数与在区间上满足柯西定理条件的 ； 4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的； ５．； 6．； 7．; 8．函数的单调减区间是； 9．设在可导，则是在点处取得极值的条件； 10．函数在及取得极值，则； 11. 函数的极小值是; 12．函数的单调增区间为； 13. 函数的极小值点是； 14. 函数在上的最大值为，最小值为； 14. 函数在的最小值为; 15. 设点是曲线的拐点,则; 16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为; 17. 曲线的上凹区间为; 18. 曲线的拐点为; 19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点 处的切线平行于轴,那么函数的表达式是; 20. 曲线的拐点为; 21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是; 22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为; 23. 曲线在的曲率; 24. 曲线的曲率计算公式为; 25. 抛物线在顶点处的曲率为; 二. 单项选择题 1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在可导,且 是在至少存在一点,使得成立的( ). 必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要 2. 函数，则（）. 在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立； 在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立； 3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且, ,则必有( ). ; ; 4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). ; ; ; 5. 函数,它在( ). 不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且; 满足中值定理的条件,但无法求出的表达式; 不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论. 6. 若在开区间可导,且是任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ). ; 7. 设是的可导函数,是的任意两点,则( ) . 第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,< (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加； 第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 第三讲 导数（中值定理部分） 1．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =；证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得 2() ()f f ξξξ '=- 。 证明：作2 ()()F x x f x =，(0)(1)0F F ==，2 ()()2()F x x f x xf x ''=+，由Rolle 定理知，至少存 在一点(0,1)ξ∈，使得2 ()()2()[()2()]0F f f f f ξξξξξξξξξ'''=+=+=，因为0ξ≠，故有 ()2()0f f ξξξ'+=，即2() ()f f ξξξ '=- 。 （本题思路：由2() ()f f ξξξ '=- 得()2()0f f ξξξ'+=，疑似某个函数与()f x 相乘后求导，不难 看出该函数的导数比原函数低1次且为2倍，考虑是2 x ，即2 ()()F x x f x =。） 2．设()f x 在[,]a b 上二阶可导，1x ，2x ，3x 为[,]a b 内三点，123x x x <<，且 123()()()f x f x f x ==；证明在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()0f ξ''=。 证明：因为12()()f x f x =，且()f x 在12[,]x x 上满足Rolle 定理条件，故至少存在一点 112(,)y x x ∈，使得1()0f y '=；同理由于23()()f x f x =，故至少存在一点223(,)y x x ∈，使 得2()0f y '=；综上，()f x '在区间12[,]y y 上可导且12()()0f y f y ''==，故至少存在一点 12(,)[,]y y a b ξ∈?，使得()0f ξ''=。 3．设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导；连接点(,())a f a 和(,())b f b 的直线与曲线()y f x =交于点(,())c f c （a c b <<），证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ''=。 证明：由Lagrange 中值定理可知 在[,]a c 上，存在11(,)a c η∈，使1()()()() ()f c f a f b f a f c a b a η--'== --， 在[,]c b 上，存在2(,)c b η∈，使2()()()() ()f b f c f b f a f b c b a η--'== --， 所以12()()f f ηη''=。 在12[,]ηη上，由Rolle 定理，至少存在一点12(,)ξηη∈，使()0f ξ''=。 4．设在[,]a b 上，()0f x >且可导；证明存在一点(,)a b ξ∈，使得()() ln ()()() f b f b a f a f ξξ'=-。 证明：因为()0f x >，作()ln ()F x f x =，() ()() f x F x f x ''= 在[,]a b 上运用Lagrange 中值定理，存在一点(,)a b ξ∈，使得()()() ()() F b F a f F b a f ξξξ'-'==-，即 得()() ln ()()() f b f b a f a f ξξ'=-。 （本题思路：由()()ln ()()()f b f b a f a f ξξ'=-得ln ()ln () [ln ()]x f b f a f x b a ξ =-'=-， 故取()ln ()F x f x =。） 5．设()f x 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ''<，证明：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=。 (A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。 证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x - 计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。 证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5 1X1, X 2 ，使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。 求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点 第四章．中值定理与导数的应用 要求掌握的内容： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 2、会用洛必达法则求函数极限 3、掌握函数单调性的判别方法 4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用 5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。 6、会描绘简单函数的图形 一、罗尔定理 如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ 第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数 最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法; 3、函数图形的凹凸性; 4、洛必达法则。 教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点ｘ0的某邻域U (x ０)内有定义, 并且在x ０处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f （x ）≤f (ｘ0) (或f （x )≥f (ｘ0）), 那么f '（x ０)=0. 罗尔定理 如果函数ｙ=f (x )在闭区间[a ， b ]上连续, 在开区间(a , ｂ)内可导, 且有ｆ(a )=f (b ), 那么在(a , b ）内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1）如果f (x ）是常函数, 则f '（ｘ）≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(ａ, ｂ）内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(ａ, b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →- ξξξξξx f x f f f x , 0) ()(lim )()(≤--='='+ →+ ξ ξξξξx f x f f f x , 第三章 中值定理与导数的应用 一、是非题 1．函数12+=x y .在区间［－１,１］上满足罗尔中值定理条件的是（ √ ） 2．方程0155 =+-x x 在()1,1-内有且仅有一个实根 ( √ ) 3．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则对任意()b a x ,∈，有()()x g x f =， (× ) 4．sin lim x x x →∞是未定型。. ( × ) 5．在罗比塔法则中，A x g x f x x =→)(')('lim 0是 A x g x f x x =→) ()(lim 0的充要条件. （ × ） 6．.因 x x x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim +-=+-∞→∞→不存在，所以x x x x x sin sin lim +-∞→不存在. ( × ) 7．.3 2122lim )'1()'1(lim 11lim 1221221=+=-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x . ( × ) 8． 若函数)(x f 在区间 ),(b a 内可导，则0)('>x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的充分必要条件. ( × ) 9．. 若0x 是)(x f 的极值点，则一定有)('0x f =0. ( × ) 10．. 若0x 是)(x f 的一个不可导点，则一定是)(x f 的一个极值点.( × ) 二、选择题 1. 函数x x x f -=3)(在［０，３］上满足罗尔中值定理的=ξ（ D ） （A ）0； （B ）３； （Ｃ） 23； （Ｄ）２. 2．函数x x f 21)(=满足拉格朗日中值定理条件的区间是( A ) （A ） [1，2]； （B ）［－２，２］； （Ｃ）［－２,０］； （Ｄ）［０，１］. 3．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( C ) A ．四个极值点； B ．三个极值点 C ．二个极值点 D ． 一个极值点 4．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( C ) > 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ ， 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4 , 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， & 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 、 二、填空题 2 x - 第四章微分中值定理与导数的应用习题 § 微分中值定理 1．填空题 （１）函数 f ( x)arctan x 在 [ 0, 1] 上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是4 ． （２）设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 5) ，则 f (x) 0 有3个实根，分别位于区间 (1,2), (2,3), (3,5) 中． 2．选择题 （１）罗尔定理中的三个条件: f (x)在[ a,b]上连续，在(a, b)内可导，且f ( a) f (b) ，是 f (x)在 (a,b) 内至少存在一点，使 f () 0 成立的（B）． A．必要条件B．充分条件C．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 （２）下列函数在[1,1] 上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A. f ( x)e x B. f ( x) | x | C. f ( x) 1x2 D. f ( x)x sin 1 , x0 0, x x0 （３）若 f ( x) 在 ( a,b) 内可导，且 x1、 x2是 ( a, b) 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B）． A． f ( x2 ) B． f ( x1 )f ( x1 )(x1x2 ) f()(a,b) f ( x2 )( x1x2 ) f ()在 x1 , x2之间 C． f ( x1 ) D． f ( x2 )f ( x2 )(x2x1 ) f()x1x2 f ( x1 )(x2x1 ) f()x1x2 3．证明恒等式：arctanx arc cot x(x) ． 2 证明：令 f (x) arctan x arc cot x ，则 f 11 0，所以 f ( x) 为一常数．( x) 2 1 x2 1 x 第四章 中值定理与导数的应用 习题4-1 1、验证下列各题,确定ξ的值： (1)对函数x y sin =在区间]65,6[ π π上验证罗尔定理； 解：显然]6 5, 6[ sin )(π πC x x f y ∈==,)65,6()(π πD x f ∈， 且2 1 )65( )6(==ππ f f ,可见罗尔定理条件成立； 而x x f cos )(=',取)65,6(632ππππξ∈= =,有02 cos )(=='π ξf , 所以罗尔定理结论成立. (2)对函数2642 3 --=x x y 在区间]1,0[上验证拉格朗日中值定理； 解：显然]1,0[264)(2 3 C x x x f y ∈--==,)1,0()( D x f ∈， 可见拉格朗日中值定理条件成立；而 2)2(40 1) 0()1(-=---=--f f , x x x f 1212)(2-=',令 212122-=-x x ,得 6 3 312243662,1±=-±= x , 取)1,0(6 3 3∈+=ξ,有01)0()1()(--= 'f f f ξ, 所以拉格朗日中值定理结论成立. (3)对函数3 )(x x f =及1)(2 +=x x g 在区间]1,0[上验证柯西中值定理. 解：显然]1,0[)(),(C x g x f ∈,)1,0()(),(D x g x f ∈, 且02)(≠='x x g ,)1,0(∈x ,可见柯西中值定理条件成立； 令x x x x g x f g g f f 2 3 23)()(11201)0()1()0()1(2==''==--=--,得32=x , 中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若f(x)在［a,b］上连续，则在［a,b］上至少存在一点， b 使得f(x)dx f( )(b a)。积分第二中值定理为前者的推广，即若f(x),g(x)在a ［a,b］上连续，且g(x)在［a,b］上不变号，则在［a,b］上至少存在一点，使得 b b a f (x)g(x)dx f( ) a g(x)dx。 a a 一、微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等 式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基 本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合 所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这 一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一.设(X)在［0,1］上连续可导，且(0) 0, (1) 1。证明：任意给定正整数a,b，必存在(0,1)内的两个数，，使得」b a b成立。 () () 证法1 :任意给定正整数a，令t(x) ax, f2(x) (x)，则在［0,1］上对 fdx), f2(x)应用柯西中值定理得：存在(0,1)，使得一◎红卫a。 () (1) (0) 任意给定正整数b，再令g,x) bx,g2(x) (x),则在［0,1］上对5(x),g2(x)应用 柯西中值定理得：存在(0,1)，使得一^ 匚°b。 ()(1) (0) 两式相加得：任意给定正整数a,b，必存在(0,1)内的两个数，，使得 a b a b () () 成立。 证法2：任意给定正整数a,b，令￡3 ax, f2(x) (x)，则在［0,1］上对 第三章 中值定理与导数的应用 (A) 1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21 x y = D ．x y sin = 2．函数()x x f 1 = 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f = C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数) D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( ) A ．四个极值点； B ．三个极值点 C ．二个极值点 D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．9 7．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'， ()00=f ，则必有 ( ) A ．()M x f ≥ B ．()M x f > C ．()M x f ≤ D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θ中值定理与导数的应用
微分中值定理与导数的应用总结
中值定理与导数习题
中值定理与导数的应用(包括题)
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
第三讲 导数(中值定理部分)
第三章中值定理与导数的应用答案
第四章.中值定理与导数的应用
《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
第三章中值定理与导数的应用综合练习参考答案
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
微分中值定理与导数的应用习题.docx
高等数学 中值定理与导数的应用(习题)
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中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案