。随机微分方程的数值解读后感

随机微分方程的数值模拟算法的读后感

本文主要分为九个部分，对随机微分方程的数值模拟进行了介绍。这篇文章建立在MATLAB程序的基础上，主要包过随机积分、欧拉—丸山法、米尔斯坦法，强弱收敛性、线性稳定性，随机链法则。

第一部介绍了随机微分方程的应用领域，研究需要的背景知识，以及下面几部分的研究你内容和参考文献介绍。

第二部分介绍了布朗运动和计算布朗路径。首先规定了满足布朗运动的三个条件；然后用随机号码发生器通过for循环或randn(1.N)创建一维数组来模拟布朗路径；最后找出通过1000点布朗路径的函数，并与五个独立路径对比。同时也为下面的研究作铺垫。

第三部分我们验证了关于布朗运动的积分并说明了与Ito积分与斯特拉托诺维奇积分的不同点。我们通过两种黎曼和来类比的得到ito积分和斯特拉托诺维奇积分。同时也给出了他们两个的区别，最后给出精确估计随机积分的办法。

第四部分叙述了欧拉—丸山法怎样模拟随机微分方程的。首先引入自治标量的随机微分方程的积分式，通过变形，变量的重新定义得到EM法的表达式。后来通过一个在金融数学中资产价值的模型——毕苏期机定价模式的偏微分方程来进一步说明。

第五部分介绍了强弱收敛性概念，在数值上证明了欧拉—丸山的收敛区间[0.5,1].

第六部分通过研究米尔斯坦方法来校正欧拉—丸山的收敛性，使强收敛性为1。从第一部分我们知道欧拉—丸山的收敛性为1时才起决定性作用，但是前面满足条件的值是0.5。这一部分就通过米尔斯坦高阶法用在随机增量增加修正值的办法使收敛性为1。

第七部分介绍两种不同的线性稳定性，进而强调随机分析不同与基本定积分。稳定性部分理论是依据变量趋于无穷条件子啊拟合的数值结果，这种数值方法应用于一些定性描述的问题上的，这种方法重现部分性质的能力也是可以分析的。关于稳定性的度量这里只考虑两种，均方数和渐进性。我们通过matlab编程改变参数值和步长来观察均方稳定性和渐进稳定性，最后得到参数和步长变化所对应的不同稳定性的区域。

第八部分引出并证明随机链法则。在第三部分我们发现不只是一种办法可以对随机函数的积分的扩展，这种办法有点像黎曼积分的链式法则，然后对以前的式子进行改进，然后通过matlab编程实现。

第九部分对重要结论简要的叙述。同时指出了一些不足，如没有讨论许多额外的条件，仅仅为了能产生我一定结果，没有提及到随机微分方程和有时间决定的偏微分方程之间的联系，没有注意到标量问题等。

通过这篇文章的学习使我对随机过程有了一定了解，对matlab软件有了更深的认识。同时通过查阅专业数学字典和相关文献使我对专业英文论文的阅读能力有一定的提高。我相信一个暑假的努力对我以后研究生的会有很大的帮助的。

朱园珠

2011年9月1日

随机微分方程在物理学中的应用

科技大学本科毕业论文论文题目：随机微分方程在物理学中的应用院系：物理科学与技术学院专业：应用物理姓名：vvv 学号：0700000069 指导教师：xxx

二零一二年三月摘要牛顿和莱布尼兹创建了微积分学，为了描述机械动力学、天文学等领域的物理现象，建立了确定性的微分方程。确定性的微分方程在实际问题中有大量的应用。然而在研究实际物理现象的数学模型时，描述一个具体物理现象所用的一组数学方程不会是完全精确的。实际问题中不确定性因素大量存在且往往是问题的关键所在，不可忽视。由于二十世纪中叶大量的含有不确定性的实际问题的出现，以及对模型精确性要求和实际问题复杂性认识的不断提高，不确定性因素越来越多的被考虑到模型的建立中，这就在微分方程的基础上引入了随机因素，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。随着科技的发展，随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。本文针对物理学中存在随机性的特征，提取其中的数学本质，利用数学方法和策略，建立相应的随机微分方程，分析其中数学特征和数学机理，推导相关的公式和性质，通过分析来更好的理解物理学中的随机性问题。关键词：随机微分方程；布朗运动；matlab模拟；

Abstract. Newton and Leibniz created calculus, in order to describe the mechanical dynamics, astronomy and other fields of physics, the establishment of a deterministic differential equation. Deterministic differential equations large number of practical problems in application. However, the actual physical phenomena in the study mathematical model to describe the physical phenomenon of a specific set of mathematical equations used to not be completely accurate. Practical problems of uncertainties abound and often the crux of the problem can not be ignored. Since the mid-twentieth century, a lot of uncertainty with the actual problems, and the accuracy of the model and actual problems requires understanding the complexity of continuous improvement, more and more uncertainty to the model to be considered in This is the basis of the differential equations introduced random factor

数值分析常微分方程的数值解法

《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导 14 常微分方程的数值解法一.重点内容 1. 欧拉公式：）心知1）a 儿+1 =儿 + hfg ，儿） m 1、伙=0丄2,…川一 1） I 无=x Q +kh 局部截断误差是0（*）。 2. 改进欧拉公式：预报一校正公式：预报值 _v*+1 =儿+ hf （x k ,儿） - h - 校正值 y M = y k +-［f （x kt y k ） + /（x A+1, y M ）］即儿+1 =儿+ ￡ "（忑'儿）+心+「儿+ hfg ,儿））］或表成平均的形式：儿=儿+ hfg ,儿） '儿=儿+"（无+】，儿） +K ）改进欧拉法的局部截断误差是0（2） 3. 龙格一库塔法二阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（爪）三阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（护）四阶龙格F 塔法公式：儿计=儿+ 2（匕+ 2心+ 2? + ?）四阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（爪）。二实例 y' = — y — xv f2（0 < x < 0.6）例1用欧拉法解初值问题｛ ' ? -取步长/匸02计算过程保留 b （o ）= 1 4位小数。解/i=0.2. f （x ）= —y —xy 2<,首先建立欧拉迭代格式 y*+i =儿+ hf g,y k ） = y k -hy k -hx k y ； =0.2 儿（4 - x k y k ）（k = 0,1,2） K 2=f(x n +^h, yk+-hK\)t gg+舟人，>'n +y/?A3）；

当k=0, xi=0.2 时，已知x（）=0,y（）=l,有 y(0?2)今i=0?2X l(4-0X 1)=0.8000 当k=\. M=0?4时，已知“=0?2」尸0?8,有 y(0?4)今2=0.2 X 0.8X(4-0.2X0.8)=0.614 4 当k=2, xs=0.6 时，已知x2=0.4,y2=0.6144,有 y(0?6)今3=0.2 X0.6144X (4-0.4 X 0.4613)=0.8000 「J, ,2 ?_ ZX 例2用欧拉预报一校正公式求解初值问题\y + v +V sinx=,取步长/?=0.2,计算 .y ⑴=1 y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。解步长力=0.2,此时/(x,y)=—y—fsiiu 欧拉预报一校正公式为：预报值兀I = y k + hfg y k) - I J_ 校正值)3=儿+尹(忑，儿)+ fg,儿+1)] 有迭代格式] 预报值儿+] = y k 4-h(-y k -y； sin x k) =y k (0?8-0?2儿sin x k) < h 、—— 2 校止值y如]=儿 +尸[(一片一力sinxJ + LN+i-yl sin.v I+1)] ——?> =儿(°?9一0?1儿sin心)一0?1(儿+| +y；j sin心利) 、"M=0.別=1」)=1 时，Xj=1.2> 有儿=yo(°?8-O?2yo sinx0) = 1 x (0.8-02x lsin 1) = 0.63171 y(1.2) ?= lx(0.9-0.1xlxsinl)-0.1(0.63171+0.631712sinl.2) = 0.71549 当 T xi=1.2, yi=0.71549 时,x2=1.4,有 y2 =儿(0.8-0?2儿sinXj) = 0.71549x(0.8-02x0.71549sinl.2) =0.47697 y(14) z y2 = 0.71549x(0.9-0.1x0.71549xsin 1.2)-0.1(0.47697+ 0.476972 sin 1.4) =0.52608 V = 8 — 3y 例3写出用四阶龙格一库塔法求解初值问题^ ‘的计算公式，取步长/匸0.2计 b(0) = 2 算y(0.4)的近似值。讣算过程保留4位小数。解此处.心,刃=8 —3”四阶龙格一库塔法公式为艰=儿 + % + 2? + 2勺 + ?) 1 h, y n+ y/?A3)：本例计算公式为: 0 2 呱严儿+三(32?+2?+心

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2）这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3）其中n t hn =，0h >称为步长。在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法：（i.4）从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

数值分析第五版全答案chap1

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5 7 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *** 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24 /x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 2 3 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值分析讲义线性方程组的解法

数值分析讲义第三章线性方程组的解法 §3.0 引言 §3.1 雅可比(Jacobi)迭代法 §3.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 §3.3 超松驰迭代法§3.7 三角分解法 §3.4 迭代法的收敛性§3.8 追赶法 §3.5 高斯消去法§3.9 其它应用 §3.6 高斯主元素消去法§3.10 误差分析 §3 作业讲评3 §3.11 总结

§3.0 引言重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用.如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题. 分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法. (a) 直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解.最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发.计算代价高. (b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题.简单实用,诱人.

§3.1 雅可比Jacobi 迭代法 (AX =b ) 1 基本思想: 与解f (x )=0 的不动点迭代相类似,将AX =b 改写为X =BX +f 的形式,建立雅可比方法的迭代格式：X k +1=BX (k )+f ,其中，B 称为迭代矩阵.其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的方程组. 2 问题: (a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{X k }是否收敛以及收敛条件? 3 例题分析: 考虑解方程组??? ??=+--=-+-=--2.453.82102 .72103 21321321x x x x x x x x x (1) 其准确解为X *={1, 1.2, 1.3}. 建立与式(1)相等价的形式： ??? ??++=++=++=84.02.01.083.02.01.072 .02.01.02 13312321x x x x x x x x x (2) 据此建立迭代公式： ?????++=++=++=+++84 .02.01.083.02.01.072.02.01.0)(2)(1)1(3 )(3 )(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (3) 取迭代初值0) 0(3 )0(2)0(1===x x x ,迭代结果如下表. JocabiMethodP31.cpp

常微分方程的数值解

实验4 常微分方程的数值解【实验目的】 1．掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例用微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。【实验内容】题3 小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。模型及其求解火箭在上升的过程可分为两个阶段，在全过程中假设重力加速度始终保持不变，g=9.8m/s2。在第一个过程中，火箭通过燃烧燃料产生向上的推力，同时它还受到自身重力（包括自重和该时刻剩余燃料的重量）以及与速度平方成正比的空气阻力的作用，根据牛顿第二定律，三个力的合力产生加速度，方向竖直向上。因此有如下二式： a=dv/dt=(F-mg-0.4v2)/m=(32000-0.4v2)/(1400-18t)-9.8 dh/dt=v 又知初始时刻t=0，v=0，h=0。记x(1)=h，x(2)=v，根据MATLAB 可以求出0到60秒内火箭的速度、高度、加速度随时间的变化情况。程序如下： function [ dx ] = rocket( t,x ) a=[(32000-0.4*x(2)^2)/(1400-18*t)]-9.8; dx=[x(2);a]; end ts=0:1:60;

x0=[0,0]; [t,x]=ode45(@rocket,ts,x0); h=x(:,1); v=x(:,2); a=[(32000-0.4*(v.^2))./(1400-18*t)]-9.8; [t,h,v,a]; 数据如下： t h v a 0 0 0 13.06 1.00 6.57 13.19 13.30 2.00 26.44 26.58 1 3.45 3.00 59.76 40.06 13.50 4.00 106.57 53.54 13.43 5.00 16 6.79 66.89 13.26 6.00 240.27 80.02 12.99 7.00 326.72 92.83 12.61 8.00 425.79 105.22 12.15 9.00 536.99 117.11 11.62 10.00 659.80 128.43 11.02 11.00 793.63 139.14 10.38 12.00 937.85 149.18 9.71 13.00 1091.79 158.55 9.02 14.00 1254.71 167.23 8.33 15.00 1425.93 175.22 7.65 16.00 1604.83 182.55 6.99 17.00 1790.78 189.22 6.36 18.00 1983.13 195.27 5.76 19.00 2181.24 200.75 5.21 20.00 2384.47 205.70 4.69 21.00 2592.36 210.18 4.22 22.00 2804.52 214.19 3.79 23.00 3020.56 217.79 3.41 24.00 3240.08 221.01 3.07 25.00 3462.65 223.92 2.77 26.00 3687.88 226.56 2.50 27.00 3915.58 228.97 2.27

随机微分方程2种数值方法的稳定性分析_邱妍

文章编号：１００９－１１３０（２００７）０４－００３５－０４随机微分方程２种数值方法的稳定性分析邱妍，朱永忠（河海大学理学院，江苏南京２１００９８）摘要：给出了求解随机微分方程的２种数值方法：有限差分法和向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法，基于随机微分方程的试验方程分析讨论了２种数值方法的均方稳定性和Ａ!稳定性，得到了相应的稳定性条件和稳定域．最后应用ＭａｔＬａｂ进行模拟演示，模拟演示结果表明，有限差分法和向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法都全局一阶强收敛于随机微分方程的求解过程，并且验证了均方稳定理论的正确性．关键词：随机微分方程；均方稳定；Ａ!稳定；向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法；有限差分法中图分类号：Ｏ２４１．８文献标识码：Ａ收稿日期：２００７－０６－１９作者简介：邱妍（１９８４－），女，江苏扬州人，硕士研究生，应用数学专业．随机微分方程是针对物理、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其理论研究和实际应用均取得了丰富而又成熟的成果．但在多数情况下随机微分方程与常微分方程类似，其解析解不易求出，因此，构造有效的数值方法进行数值求解显得十分重要．近２０年来，随机微分方程数值计算方法不仅作为随机分析、微分方程数值分析的交叉研究方向得到了高度重视和发展，而且在自然科学以及工程领域得到了广泛的应用，但随机变量的存在给数值方法的构造和各种性质的研究带来了一定的难度．本文中作者在Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法的基础上建立有限差分格式，讨论了向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法［１］和有限差分法的均方稳定性和Ａ!稳定性．１求解随机微分方程的２种数值方法考虑如下标量自治初值问题：ｄＸ（ｔ）＝ｆ（Ｘ（ｔ））ｄｔ＋ｇ（Ｘ（ｔ））ｄＷ（ｔ）Ｘ（０）＝Ｘ０ｔ∈［０，Ｔ"］（１）式中：参数ｔ表示时间；指标集Ｔ是一个有限或无限区间，通常取为实轴或实轴上的一个区间；ｆ（Ｘ）和ｇ（Ｘ）是区间［０，Ｔ］上的连续可测函数，分别称为偏移系数和扩散系数；Ｗ（ｔ）为标准Ｗｉｅｎｅｒ过程，其增量"Ｗ（ｔ）＝Ｗ（ｔ＋ｈ）－Ｗ（ｔ），ｔ＋ｈ∈［０，Ｔ］，若步长ｈ充分小，则ΔＷ（ｔ）的均值和方差分别为Ｅ"Ｗ（ｔ"# ）＝０，Ｅ［"Ｗ（ｔ）］"$２＝ｈ为讨论２种数值方法的均方稳定性和Ａ!稳定性，给出式（１）的２类试验方程，即ｄＸ（ｔ）＝!Ｘ（ｔ）ｄｔ＋"Ｘ（ｔ）ｄＷ（ｔ）（２）ｄＸ（ｔ）＝!Ｘ（ｔ）ｄｔ＋#ｄＷ（ｔ）（３）式中：!，"，#是常系数．对于求解随机微分方程的数值方法，１９７４年，Ｍｉｌｓｔｅｉｎ给出了以下差分格式［２］：Ｘｎ＋１＝Ｘｎ＋ｆ（Ｘｎ）ｈ＋ｇ（Ｘｎ）"Ｗｎ＋１２［ｇ′ｇ］（Ｘｎ）［（"Ｗｎ）２－ｈ］ｎ＝０，１，…（４）并证明了该方法在均方意义下的收敛阶为Ｏ（ｈ）．本文在此基础上给出了２种数值方法：第１种为向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法，即将式（４）中偏移系数变为隐式；第２种为有限差分法，即将式（４）中的微分用有限差分代替．有限差分法是十分有用的，因为在通常情况下用式（４）求解随机微分方程（１）时需要对其中的ｇ（Ｘｎ）求导，若ｇ（Ｘｎ）的值是由试验得出的具体数据，则无法进行求导计算，而采用有限差分法将微分转化为差分，避免第２１卷第４期２００７年１２月Ｖｏ１．２１Ｎｏ．４Ｄｅｃ．２００７河海大学常州分校学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＯＨＡＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＣＨＡＮＧＺＨＯＵ

。随机微分方程的数值解读后感

随机微分方程的数值模拟算法的读后感本文主要分为九个部分，对随机微分方程的数值模拟进行了介绍。这篇文章建立在MATLAB程序的基础上，主要包过随机积分、欧拉—丸山法、米尔斯坦法，强弱收敛性、线性稳定性，随机链法则。第一部介绍了随机微分方程的应用领域，研究需要的背景知识，以及下面几部分的研究你内容和参考文献介绍。第二部分介绍了布朗运动和计算布朗路径。首先规定了满足布朗运动的三个条件；然后用随机号码发生器通过for循环或randn(1.N)创建一维数组来模拟布朗路径；最后找出通过1000点布朗路径的函数，并与五个独立路径对比。同时也为下面的研究作铺垫。第三部分我们验证了关于布朗运动的积分并说明了与Ito积分与斯特拉托诺维奇积分的不同点。我们通过两种黎曼和来类比的得到ito积分和斯特拉托诺维奇积分。同时也给出了他们两个的区别，最后给出精确估计随机积分的办法。第四部分叙述了欧拉—丸山法怎样模拟随机微分方程的。首先引入自治标量的随机微分方程的积分式，通过变形，变量的重新定义得到EM法的表达式。后来通过一个在金融数学中资产价值的模型——毕苏期机定价模式的偏微分方程来进一步说明。第五部分介绍了强弱收敛性概念，在数值上证明了欧拉—丸山的收敛区间[0.5,1]. 第六部分通过研究米尔斯坦方法来校正欧拉—丸山的收敛性，使强收敛性为1。从第一部分我们知道欧拉—丸山的收敛性为1时才起决定性作用，但是前面满足条件的值是0.5。这一部分就通过米尔斯坦高阶法用在随机增量增加修正值的办法使收敛性为1。第七部分介绍两种不同的线性稳定性，进而强调随机分析不同与基本定积分。稳定性部分理论是依据变量趋于无穷条件子啊拟合的数值结果，这种数值方法应用于一些定性描述的问题上的，这种方法重现部分性质的能力也是可以分析的。关于稳定性的度量这里只考虑两种，均方数和渐进性。我们通过matlab编程改变参数值和步长来观察均方稳定性和渐进稳定性，最后得到参数和步长变化所对应的不同稳定性的区域。第八部分引出并证明随机链法则。在第三部分我们发现不只是一种办法可以对随机函数的积分的扩展，这种办法有点像黎曼积分的链式法则，然后对以前的式子进行改进，然后通过matlab编程实现。第九部分对重要结论简要的叙述。同时指出了一些不足，如没有讨论许多额外的条件，仅仅为了能产生我一定结果，没有提及到随机微分方程和有时间决定的偏微分方程之间的联系，没有注意到标量问题等。通过这篇文章的学习使我对随机过程有了一定了解，对matlab软件有了更深的认识。同时通过查阅专业数学字典和相关文献使我对专业英文论文的阅读能力有一定的提高。我相信一个暑假的努力对我以后研究生的会有很大的帮助的。朱园珠 2011年9月1日

数值分析实验2_求解线性方程组直接法

一实验目的 1．掌握求解线性方程组的高斯消元法及列主元素法； 2. 掌握求解线性方程组的克劳特法； 3. 掌握求解线性方程组的平方根法。二实验内容 1．用高斯消元法求解方程组（精度要求为610-=ε）： 1231231 233272212240x x x x x x x x x -+=??-+-=-??-+=? 2．用克劳特法求解上述方程组（精度要求为610-=ε）。 3. 用平方根法求解上述方程组（精度要求为610-=ε）。 4. 用列主元素法求解方程组（精度要求为610-=ε）： 1231231 233432222325x x x x x x x x x -+=??-+-=??--=-? 三实验步骤（算法）与结果 1. 程序代码（Python3.6）： import numpy as np def Gauss(A,b): n=len(b) for i in range(n-1): if A[i,i]!=0: for j in range(i+1,n): m=-A[j,i]/A[i,i] A[j,i:n]=A[j,i:n]+m*A[i,i:n] b[j]=b[j]+m*b[i] for k in range(n-1,-1,-1): b[k]=(b[k]-sum(A[k,(k+1):n]*b[(k+1):n]))/A[k,k]

print(b) 运行函数： >>> A=np.array([[3,-1,2],[-1,2,-2],[2,-2,4]],dtype=np.float) >>> b=np.array([7,-1,0],dtype=np.float) >>> x=Gauss(A,b) 输出：结果：解得原方程的解为x1=3.5,x2=-1,x3=-2.25 2 程序代码（Python3.6）： import numpy as np A=np.array([[3,-1,2],[-1,2,-2],[2,-2,4]],dtype=float) L=np.array([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]],dtype=float) U=np.array([[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]],dtype=float) b=np.array([7,-1,0],dtype=float) y=np.array([0,0,0],dtype=float) x=np.array([0,0,0],dtype=float) def LU(A): n=len(A[0]) i=0 while i

9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2 1cm ？解：正方形的面积函数为2 ()A x x = p7 当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21 (*)102 x ε-≤ ? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2 1cm 第二章插值法p48 1．当1,1,2 x =-时，()0,3,4f x =-, 分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求() f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，

数值分析第五版全答案

第四章数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。令4 ()f x x =，则

数值分析第五版答案

第一章绪论 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。解： *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51 ()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈

** 24**** 24422 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε=?≈ 6．设028Y = ，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=- 10099Y Y ∴=- 9998Y Y = 9897Y Y =-…… 10Y Y =- 依次代入后，有1000100Y Y =- 即1000Y Y = 27.982, 100027.982Y Y ∴=-

常微分方程的几种数值解法

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊ 常微分方程的几种数值解法数学与应用数学肖振华指导教师张秀艳【摘要】自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge—Kutta方法、Adams预估校正法以及勒让德谱方法等，通过具体的算例，结合MA TLAB求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。【关键词】常微分方程数值解法MA TLAB 误差分析【Abstract】 Many phenomena in nature and engineering can be attributed to the definite solution of the problem for differential equations. Among them, the ordinary differential equation solving is an important foundation for the content of the differential equations. However, many of the differential equations are often difficult to obtain accurate analytical expression .At this time, the numerical solution provides a good idea. For the Numerical Solution of Ordinary Differential Equations in this article, we focuses on some commonly used numerical solution, such as the Euler method, improved Euler method, Runge-Kutta method, Adams predictor corrector method as well as newer spectral methods. Through specific examples, combined with MATLAB solving and drawing, we initially know the solution process of general numerical solution of ordinary differential equations . At the same time, according to the error analysis of various methods , everyone has an intuitive feel of the characteristics and scope of the various methods. 【Keywords】Ordinary Differential Equations Numerical Solution MATLAB error analysis

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