人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形考试复习题(含答案) (9)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形

考试复习题（含答案)

已知：如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，AD，BE 相交于点F，AD=BD.

（1）求证：△BDF≌≌ADC；

（2）若∠BAC=75 ，求∠DBF的度数；

（3）若点D，E分别是边BC，AC的中点，则△ABC是什么特殊的三角形？[请直接写出你的猜想]

【答案】（1）证明见解析；（2）30°（3）△ABC是等边三角形.

【解析】

【分析】

（1）根据ASA即可证明；

（2）利用全等三角形的性质即可解决问题；

（3）通过证明AB=AC=CB，可得结论.

【详解】

解：（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠C=∠C,

∴∠DBF=∠DAC. 在△BDF和△ADC中，

90DBF DAC BD AD BDF ADC ∠=∠??=??∠=∠=??

， ∴△BDF ≌△ADC （ASA ）．

（2）∵AD =BD ，AD ⊥BC ，

∴∠BAD =∠ABD =45°，

∵∠BAC=∠BAD +∠DAC =75?，

∴∠DAC =75-45??=30?，

由（1）可知，∠DBF =∠DAC ,

∴∠DBF =30?.

(3)若点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点,则△ABC 是等边三角形,理由如下： 在△ABC 中,AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的高,

∴AD ⊥BC,BE ⊥AC,

∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，

∴AD 、BE 分别是BC 、AC 的垂直平分线,

∴AB=AC, AB=CB,

∵AB=AC=CB ，

∴△ABC 是等边三角形.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

82．如图：已知△ABC 中，∠ABC ＝45°，F 是高AD 和BE 的交点，AC ＝8，求线段BF 的长.

【答案】8

【解析】

【分析】

求出∠BDF=∠ADC ，∠DBF=∠DAC ，∠DAB=∠DBA ，推出BD=AD ，根据ASA 证△BFD ≌△ACD ，即可得出答案．

【详解】

∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，

∴∠BEA=∠ADC=∠ADB=90°，

∴∠DAB=90°-45°=45°=∠ABD ，

∠C+∠CBE=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴BD=AD ，∠DBF=∠CAD ，

∵在△BFD 和△ACD 中

ADC BDF BD AD

DBF DAC ＝＝＝∠∠????∠∠?

， ∴△BFD ≌△ACD （ASA ），

∴BF=AC=8，

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理有SAS ，ASA

，

AAS ，SSS ，全等三角形的对应边相等．

83．如图，AD AE =，ADC AEB ∠∠=，BE 与CD 相交于点O ．

()1在不添加辅助线的情况下，由已知条件可以得出许多结论，例如：ABE ≌ACD 、DOB EOC ∠∠=、DOE BOC ∠∠=等.请你动动脑筋，再写出3个结论，(所写结论不能与题中举例相同且只要写出3个即可)

() 2请你从自己写出的结论中，选取一个说明其成立的理由．

【答案】()1DBC ≌ECB ；ACD ABE ∠∠=；BD CE =；()

2选择BD CE =．理由见解析.

【解析】

【分析】

本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再针对三角形全等条件求解，做题时要结合已知条件在图形上的位置进行思考．

【详解】

（1）①△DBC △△ECB ；②△ACD ＝△ABE ；③BD ＝CE ．

（2）选择③BD ＝CE ．理由如下：

在△ABE 与△ACD 中，△A ＝△A ，AD ＝AE ，△ADC ＝△AEB ，

△△ABE △△ACD （ASA ），△AB ＝AC ，△AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，△BD ＝CE ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质．三角形全等的判定是中考的热点，一

般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

84．如图，在≌ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，≌BAD ＝≌EAC ，BC 、DE 交于点O.

（1）在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等的过程.

（2）求证：OD ＝OC ．

【答案】（1）全等三角形为：△ABC △△AED ，证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由∠BAD=∠EAC 可知∠BAC=∠EAD ，所以有

AB AE BAC EAD AC AD ＝=??∠∠??=?

可证△ABC ≌△AED （SAS ）；

（2）由（1）知∠ABC=∠AED ，AB=AE 可知∠ABE=∠AEB ，所以∠OBE=∠OEB ，则OB=OE ，再由BC-OB=DE-OE ，即可得OD=OC ．

【详解】

全等三角形为：△ABC ≌△AED

证明：（1）∠BAD ＝∠EAC ，

∠RAD ＋∠DAC ＝∠EAC ＋∠DAC

即∠BAC ＝∠EAD ．

在△ABC 和△AED 中

AB AE BAC EAD AC AD ＝=??∠∠??=?

, △ABC ≌△AED （SAS ）

（2）由（1）知△ABC ≌△AED

∴∠ARC ＝∠AED ，BC ＝DE

AB=AE

∴∠ABE ＝∠AEB ，

∴∠ABE －∠ABC ＝∠AEB －∠AED

∴∠OBE ＝∠OEB

∴OB=OE

∴BC-OB=DE-OE

∴OD=OC

【点睛】

本题考查的知识点是三角形全等的性质和判定方法，也涉及到等腰三角形的性质，解题关键是熟记判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

85．数学学习中常常需要用到从特殊到一般的数学思想来解决问题，即先观察一些特殊的事例，然后分析它们共同具有的特征，从而作出一般的结论.例如：数学课上，王老师出示了一道题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB 上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.”

小慧与同桌小明讨论后,进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论：当点E是AB的中点时（如图1），线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE___________DB(填“＞”,“=”或“＜”).

（2）特例启发，解答题目：当点E是AB上的任意一点时（如图2），线段AE与DB的大小关系是AE___________DB(填“＞”,“=”或“＜”)，请你判断后写出解答过程.

【答案】1）AE=DB；（2）AE=DB

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形性质可得∠ECB=30°=∠D=∠DEB，从而DB=BE=AE；

（2）作EF∥BC，交AC于点F．则△AEF为等边三角形．根据“SAS”证明△BDE≌△FEC，得BD=EF=AE．

【详解】

（1）E为AB的中点时，AE与DB的大小关系是：AE=DB；

理由如下：

∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，

∴AE=BE；∠BCE=30°，

∵ED=EC，

∴∠ECD=∠D=30°，

又∵∠ABC=60°，

∴∠DEB=30°，

∴DB=BE=AE；

（2）AE=DB，

如图，过点E作EF∥BC交AC于点F，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

∴△AEF是等边三角形，AE=EF=AF，

∴BE=CF，

∵ED=EC，

∴∠ECD=∠D，

又∵∠ECF=60°-∠ECD，∠DEB=∠EBC-∠D=60°-∠D，∴∠ECF=∠DEB，

在△BDE与△FEC中，

BE CF ECF DEB ED EC =??∠=∠??=?

， ∴△BDE ≌△FEC （SAS ），

∴BD=EF

∴BD=AE

【点睛】

此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，综合性较强，特别是分类讨论及辅助线的作法难度较大．

86．如图①，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8 cm ，AB=10 cm.

现有一动点P ，从A 点出发，沿着三角形的边AC-CB-BA 运动，回到A 点停止，速度为1 cm/s ，设运动时间为t s.

（1）当t=_______时，△ABC 的周长被线段AP 平分为相等的两部分.

（2）当t=_______时，△APC 的面积等于△ABC 面积的一半.

（3）还有一个△DEF ，∠E=90°，如图②所示，DE=4cm ，DF=5cm ，∠D=∠A ．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q ，与P 同时从A 点出发，沿着边AB-BC-CA 运动，回到点A 停止. 在两点运动过程中某一时刻，恰好△APQ 与△DEF 全等，则点Q 的运动速度 cm/s.

．

【答案】（1）12 （2）11 （3）542019

,,,

451920

【解析】

【分析】

(1)根据△ABC的周长,结合点P的运动路线即可求出;

(2) 根据△ABC的面积,结合点P的运动路线即可求出;

(3)分情况讨论, ①当点P在AC上,点Q在AB上时,又分两种情况; ②当点P 在AB上,点Q在AC上时,又分两种情况.

【详解】

（1）∵△ABC的周长=AC+BC+AB=8+6+10=24,

∴△ABC的周长被平分为相等的两部分时,

点P运动的路程为12,

又∵速度为1 cm/s,

∴运动时间t=12÷1=12S.

故答案为:12.

（2）∵∠C=90°，BC=6cm,AC=8 cm，

∴△ABC的面积=6×8÷2=24,

当△APC的面积等于△ABC面积的一半时,

△APC的面积为12,

此时点P在BC上,

∴8×(t-8) ÷2=12

解得t=11

故答案为:11.

（3）设点Q的运动速度为x cm/s.

①当点P在AC上,点Q在AB上,△APQ≌△DEF时,

AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm,

△4÷1=5÷x

解得x=4

,

5

②当点P在AC上,点Q在AB上,△APQ≌△DFE时,

AP= DF =5cm,AQ=DE=4cm,

△5÷1=4÷x,

,

解得x=5

4

③当点P在AB上,点Q在AC上,△AQP≌△DEF时,

AP= DF =5cm,AQ=DE=4cm,

△(24-5) ÷1=(24-4) ÷x

,

解得x=20

19

△当点P在AB上,点Q在AC上,△APQ≌△DEF时,

AP= DF =5cm,AQ=DE=4cm,

△(24-4) ÷1=(24-5) ÷x

解得x=19

.

20

．

故答案为:542019

,,,

451920

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的面积问题，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算问题．

87．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC，点D为BC的中点，

CE ⊥AD 于点E ，其延长线交AB 于点F ，连接DF .求证：∠ADC =∠BDF .

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

作BG ⊥CB ，交CF 的延长线于点G ，由ASA 证明△ACD ≌△CBG ，得出

CD=BG ，∠CDA=∠CGB ，证出BG=BD ，∠FBD=∠GBF=12

∠CBG ，再由SAS 证明△BFG ≌△BFD ，得出∠FGB=∠FDB ，即可得出结论．

【详解】

证明：作BG ⊥CB ，交CF 的延长线于点G ，如图所示：

∵∠CBG=90°，CF ⊥AD ，

∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°，

∴∠CAD=∠BCG ，

在△ACD 和△CBG 中，

90CAD BCG AC BC

ACD CBG ∠∠????∠∠??＝＝＝＝ ，

∴△ACD ≌△CBG （ASA ），

∴CD=BG ，∠CDA=∠CGB ，

∵CD=BD ，

∴BG=BD ，

∵∠ABC=45°，

∴∠FBD=∠GBF=12

∠CBG ， 在△BFG 和△BFD 中，

BG BD FBD GBF

BF BF ＝＝，＝??∠∠???

∴△BFG ≌△BFD （SAS ），

∴∠FGB=∠FDB ，

∴∠ADC=∠BDF ．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．

88．如图≌．在△ABC 中，AB ＝AC ，≌ABC ＝60°，延长BA 至点D ，延长CB 至点E ，使BE ＝AD ，连接CD 、AE ．

（1）求证：≌ACE ≌≌CBD ；

（2）如图≌，延长EA 交CD 于点G ，则∠CGE 的度数是 度．

【答案】（1）证明见解析；（2）60°．

【解析】

【分析】

(1)根据等边三角形的判定与性质可知，AC＝CB＝AB，∠ABC＝∠ACB＝60°，因为BE＝AD，所以CE＝BD，然后根据全等三角形的判定定理，即可证明结论成立；

(2)根据全等三角形的性质即可求出∠CGE的度数.

【详解】

（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB ＝∠ABC．

∵BE＝AD，∴BE+BC＝AD+AB，即CE＝BD．在△ACE和△CBD中，，∴△ACE≌△CBD（SAS）；

（2）如图2中，∵△ABC是等边三角形，由（1）可知△ACE≌△CBD，∴∠E＝∠D．

∵∠BAE＝∠DAG，∴∠E+∠BAE＝∠D+∠DAG，∴∠CGE＝∠ABC．∵∠ABC＝60°，∴∠CGE＝60°．

【点睛】

本题是一道基础题，紧扣课标，贴近课本，考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，以及三角形外角的性质，解答本题的关键是题图结合进行解答.

89．(12分)如图AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，AB交CE于M，AC交BD于N，求证：AM=AN．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

?,推出求出∠EAC=∠DAB,根据全等三角形的判定得出△EAC DAB

?即可.

∠D=∠E,根据ASA推出△EAM DAN

【详解】

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC，

∴∠EAC=∠DAB，

在△EAC和△DAB中

∴△EAC≌△DAB，

∴∠D=∠E，

在△EAM和△DAN中

∴△EAM≌△DAN，

∴AM=AN．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL,全等三角形的对应边相等,对应角相等.

90．如图，已知：AC=EC，≌ACE=90°，B为AE上一点，ED≌CB于D，AF≌CB交CB的延长线于F，求证：DF=CF–AF．

【答案】证明见解析

【解析】

△AF△CB，△ACE=90°，

△△CAF+△ACF=△ACF+△ECD，△△CAF=△ECD；

又△AC=EC，且△AFC=△EDC=90°（已知），△△AFC△△CDE（AAS），△AF=CD；

△DF=CF–CD，△DF=CF–AF．