向量知识点归纳与常见总结

向量知识点归纳与常见题型总结

则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

⑸0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数 0仅仅是一个无方向的实数

⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段 .

（7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是一a 。）

2.与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量 ① 当两个向量a 和b 不共线时，a

② 当两个向量a 和b 共线且同向时， ③当向量a 和b 反向时，若|a | > | b | ,

a b 与a 方向相同，且| a —h

—*

—I-

—F-

—I-

—I-

—I-

—￥

—I-

若 | a | < | b | 时，a b 与 b 方向相同，且 | a + b |=| b |-| a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量

.向量减法的实质是加法的逆运算

三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

AB BC AC ; AB AC CB

例2: P 是三角形ABC 内任一点，若CB PA PB, R ，则P —定在（）

,sin

)(0 w

AB

w 2 n ） 表示） .特力别： --- 表示上 Luu

uuur

|AB|

禺

-uu^)( 0）所在直线过 ABC 的内心（是

|AB | I AC I

AB 同向的单位向量。

（可用（cos BAC 的角平分线所在

例如：向量 一、向量知识点归纳

1.与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量） 可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小

而| a | > | b |才有意义.

⑵有些向量与起点有关， 有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性 故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量） .当遇到与起点有关向量时, ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为

，而向量既有大小又有方向；数量 a > b ”错了,

.记号“ （大小和方向）， 可平移向

量

2 2

1的向量，其坐标表示为（x, y ）,其中x 、y 满足x y = 1

直线）；

例1、0是平面上一个定点，A B C 不共线, uuu uuu P 满足

OP OA

uuu (AB (uuu |AB|

Luur AC 、

-tutu-) I AC

[0,).

AB

（变式）已知非零向量A B 与AC 满足（—— +

|AB| |AC|

AC

)

? §G=0 且 AB

|AB|

AC |AC|

D.等边三角形（06陕西）

.（三角形法则和平行四边形法则）

■ — ■ —

b 的方向与a 、b 都不相同，且|a

—* —P- —P- 1 —

■ b | v| a | + | b | ；

bi iai ibi ；

b |=| a |-| b | ；

A ABC 内部 B

___ _____ ______ 2 例 3、若 AB - BC AB 例4、已知向量a （cos 分析：通过向量的坐标运算, 、AC 边所在的直线上 C 、AB 边上 D 、BC 边上

0，则△ ABC 是: △ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰Rt △ ,sin ）,b （J 3, 1），求 |2a b|的最大值。 转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。 解：原式=| （2cos J 3,2S in

1) | J(2cos ^/3)2 (2sin 1)2

2k —(k 呼8sin

（-）。当且仅当 评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式

Z ）时，|2a b|有最大值4.

简洁明快。原式 |2a| |b|=2|a| |b| 量同向）。 ⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示） 如，A B BC C A 0,（在△ ABC 中） ⑷判定两向量共线的注意事项： 共线向量定理 存在实数入使a=入b . 如果两个非零向量 a , b ,使a =^ b （入€ R ）,那么a // b ； 反之，如a // b ，且b 丰0,那么a =入b . 这里在“反之”中，没有指出a 是非零向量，其原因为a =0时，与入 ⑸数量积的8个重要性质 ||a| |b|| |a b| |a| |b|” 就显得 2 4，但要注意等号成立的条件（向 的和为零向量 . AB BC CD DA 对空间任意两个向量 0.( □ ABCD 中) a 、b(b 丰 0 ) ,a // b b

的方向规定为平行. ① 两向量的夹角为 0W wn .由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向 量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数 ② 设a 、 b 都是非零向量，e 是单位向量,

是a 与b 的夹角，则 a e | a| cos .( |e| 1) —H

b 0 (??? =90°, cos 0) ④ 在实数运算中 故a 0或b ⑤ 当a 与b 同向时a ab =0 a =0或b=0.而在向量运算中a b = 0 a =0或b =0是错误的, 0是a b =0的充分而不必要条件. 当a 与b 反向时, |a b| |a| |b|.当

非充分条件；当 分条件； b = | a | | b |( =0,cos =1); —I- —h

—b-

—b

a b =- |a | | b |( =n ,cos f f r 为锐角时，a ? b > 0,且a 、 J L r r a ? b < 0,且a 、b 不反向，a b 0是 为钝角的必要非充 =-1） ,即卩a // b 的另一个充要条件是 b 不同向，a b 0是为锐角的必要

r r 为钝角时, 例5.如已知 b （3 ,2），如果a 与b 的夹角为锐角，贝U 的取值范围是 1 0 且 一）； 3 （,2 ）, 4

或 3 例6、已知i , j 为相互垂直的单位向量， a i 2j , b i j 。且a 与b 的夹角为锐 角，求实数 的取值范围。 (答:

分析：由数量积的定义易得“ a,b

—■ —F-

a b 解：由

a 与

b 的夹角为锐角，得 a b

0 ”但要注意问题的等价性。

1

0.有

而当a tb(t 0),即两向量同向共线时, 2.此时其夹角不为锐

角。

评析：特别提醒的是： 不等价。极易疏忽特例 a,b 是锐角与a

“共线”。 f f — 2 ---- 2 —* /r —

/-?2

特殊情况有 a a a =| a |。或 |a|=Vaa =V a =

如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( |a| = J (X 1

X 2)2 (y 1 y 2)2

⑥ |ab| |a||b|°(因 cos ⑦ 数量积不适合乘法结合律. 如(a b) c a (b c).(因为(a ⑧ 数量积的消去律不成立. b ) 0不等价; c 与c 共线，而 同样 a,b 是钝角与a b 0

X 1, y 1),( X 2, y 2),则 a (b c)与a 共线) 若a 、b 、c 是非零向量且a c 1

即1

是无意义的. c c 并不能得到a b 这是因为向量不能作除数, ⑹向量b 在a 方向上的投影I b I cos (7) ei 和e 2是平面一组基底，则该平面任一向量 a uuu r , 2OB 则1 2 1是三点P 、A 、B 共线的充要条件. 注意：起点相同，系数和是 1。基底一定不共线 1 uuu uur uLur 例7、已知等差数列｛ a n ｝的前n 项和为S n ,若 一B0= a 1 0A +

a 200 OC ，且A B 、C

2 ，亠" —- uLur 特别：.OP = 1OA 三点共线(该直线不过点 0,贝y S 200=() A. 50 B. 51 例 &平面直角坐标系中， 2 e 2 ( 1, 2 唯—■)

O 为坐标原点，已知两点 A(3,1), B( 1,3),若点C 满足 OC 1 OA 2 OB ,其中 1, 2 R 且 1 2 例9、已知点A,,B,C 的坐标分别是(3,1),(5,2), (2t ,2 1,则点C 的轨迹是 t ).若存在实数 (直线AB ) 使 OC OA (1 )OB ,则 t 的值是:A. 0 B. 1 定 例10下列条件中，能确定三点 A, B, P 不共线的是: C. 0 或1 D. 不确

a (h,k)平移得函数方程为：

y k f (x h)

A . MP sin 2

20 M A

C. MP sin 2 20 M A cos 2

20 MB

cos 2

70 M B B. D .

M P M P sec 2

20 MA

CSC 2 31 MA tan 2 20 M B cot 2

31 M B 分析：本题应知：“ 4 ” A,B, P 共线， 等价于存在 J

R,使 MP M A M B'

且 1 ” UULT 4 UUU UUU UULT

(8) ①在 ABC 中， PG 1(PA PB PC) G 为 ABC 的 重心

,特别地 UUT UUU UULT r 1

PA PB PC 0 p 为 ABC 的重心； AB - BC AD 则AD 过三角形的重心； 例11、设平面向量 2a i , a i 、 a 3 2 0。如果向量b

、b 2、b 3,满足b

a 2、a 3 的禾n a-, a 2 且a i 顺时针旋转30o

后与b i 同向，其中 A. b 1 b 2 b 3 C. b 1 UUU ②PA 1,2,3，则(D ) ( 06河南高考)

bl b 2 b 3 0

.bl b 2 b s ABC 的垂心； 0 ULU

PC uur 礎)( |A C| D UUU PA P 为 b 2 b 3 UUU UUU PB PB UUU (UUU

|AB| ,. UULT UUU UULT UUU LUU UUU T ④ |AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 1

⑤ S 』AO 尸-|x A y B X B y A ； ③向量 ULU PC 0)所在直线过 ABC 的内心(

BAC 的角分线所在直线)； ABC 的内心; UUU UUUT 例12、若O 是VABC 所在平面内一点， 且满足OB OC 的形状为 (答：直角三角形) 例

13、若D 为 ABC 的边 UUU

uur LUU UUU r i Ap i PA BP CP 0,设 |PD|

例14、若点O 是^ ABC 的外心, (9)、 P BC 的 分P 1P 2的比为，则PP = ，则 ULU OA 0P =

OP i 1 坐；若入=1则O P UUU UHJT UUU OB OC 2OA ，贝U VABC ABC 所在平面内有

的值为—(答: 2);

ULU UUU r c

OB CO 0,则内角 C 为 __________ (答: 120o

); ,> 0内分；V 0且 M -1外分.

PE

1

=2( OP 1 + O P 2)；设 P(x,y),P 1(x 1,y 1),

X P 2(X 2,y 2)则

y X 1 X 2

1 ;

y 1 y ，

1 . 中占 I 八、、 X 1 X 2

2

，重心 y 1 y 2

2 . X 1 X 2 X

3 x -------------

3

y y 1 y 2 y 说明：特别注意各点的顺序, 子分母的位置。 分子是起点至分点， 3 分母是分点至终点，不能改变顺序和分 例 15、已知 A (4, -3 ), B 标是( )(2, 0), (6, -6 ) (-2 , 6)，点P 在直线AB 上，且I AB I 3| AP|，贝y P 点的坐 UULT x (10)、点 P (x,y)按 a (h,k)平移得 P (x,y),则 PP = a 或 y

X h

函数y f(x)按 y k

说明：(1)向量按向量平移，前后不变；

(2)曲线按向量平移，分两步：i 确定平移方向

----与坐标轴的方向一致;

ii 按左加右减，上加下减(上减下加)

a (2, 2)平移后得到的解析式是 —

(答：(一,1))

4

结论：已知 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), l :

Ax

Ax 1 By 1

C ,若用此结论，以下两题将变得很简单.

Ax 2 By 2 C

例18、已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别是(1,1),(2,2)，若直线I 的方程是 x my 解：由 解得 3 m 0 ,直线l 与PQ 的延长线相交，则m 的取值范围是 AX 1 By 1 C 得 Ax 2 By 2 C 2 m —

3 4 Q m ,因为直线l 与PQ 的延长线相交,故

1,

变式：已知点 A(2,-1),B(5,3). AX 1 By 1 Ax 2

提示：由 By 2 C

若直线l : kx y 1 0与线段AB 相交，求k 的范围. C 2k 2 2 得： ----- 0及直线过端点得

1k —

5k 2

5

y 2x 2

的图象按向量 6

例16、把函数

2

y 2x 8x

例17、函数y

sin 2x 的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是 y cos2x 1，则a

By C 0 ,过A, B 的直线与I 交于点P ,则P 分 AB 所成的比是