苏教版数学高二-数学选修2-2导学案 1.1导数
1.1 导数
1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数
【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.
1.函数的变化率
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
记作，即f′(x0)＝lim
Δx→0Δy
Δx＝.
引言那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？
探究点一平均变化率的概念
问题1气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？(1)0≤t≤0.5，(2)1≤t≤2.
问题3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？
问题4平均变化率也可以用式子Δy
Δx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？
Δy
Δx有什么几何
意义？
例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.
(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy
Δx ； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy
Δx ； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.
跟踪1 (1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为 ①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
探究点二 函数在某点处的导数
问题1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
问题3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数.
跟踪2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数.
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8).计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
跟踪3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝65
98 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.
【达标检测】
1.在导数的定义中，自变量的增量Δx 满足
( )
A.Δx <0
B.Δx >0
C.Δx ＝0
D.Δx ≠0 2.函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0
f x 0＋h
－f
x 0
h
( )
A.与x 0、h 都有关
B.仅与x 0有关，而与h 无关
C.仅与h 有关，而与x 0无关
D.与x 0、h 均无关
3.已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy
Δx 等于( ) A.4
B.4x
C.4＋2Δx
D.4＋2(Δx )2
4.已知函数f (x )＝
1
x
，则f ′(1)＝________. 【课堂小结】利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝
f
x 0＋Δx －f
x 0
Δx
；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx
简记为一差，二比，三趋近.
1.1.1 函数的平均变化率 1.1.2 瞬时速度与导数 练习题
一、基础过关
1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )
A ．0.41
B ．3
C ．4
D ．4.1 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是
( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．Δx 3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
3Δx 等于
( )
A ．f ′(1)
B ．3f ′(1)
C.1
3
f ′(1) D ．f ′(3) 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为
( )
A ．4
B ．6
C ．24
D ．48 5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为
( )
A ．12
B ．6
C ．3
D ．2
6. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是
( )
A ．甲
B ．乙
C ．相同
D ．不确定
7．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________．
8．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.
9．函数f (x )＝1
x 2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.
二、能力提升
10．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．
11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．
12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．
三、探究与拓展
13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)
s ＝?
????
3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
人教版数学选修2-2：导数及其应用测试题
《导数及其应用》 一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线2 1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4
人教版选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数导学案
1.3.2《函数的极值与导数》导学案 制作马冰审核高二数学组2016-03-16 【学习目标】 1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用． 2．掌握函数极值的判定及求法． 3．掌握函数在某一点取得极值的条件． 4．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力． 【预习导航】 已知y＝f(x)的图象(如图) [问题1]当x＝a时，函数值f(a)有何特点？ [问题2]试分析在x＝a的附近导数的符号． [问题3]f′(a)值是什么？ 【问题整合】 1.极小值点与极小值 2.极大值点与极大值 3.函数极值的求法 【问题探究】 探究活动一求函数的极值 例1求下列函数的极值： (1)f(x)＝ 1 3x 3－x2－3x； (2)f(x)＝x4－4x3＋5； (3)f(x)＝ ln x x. 探究活动二已知函数极值求参数 例2、设函数f(x)＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值． 探究活动三极值的综合应用 例3 已知a为实数，函数f(x)＝－x 3 ＋3x＋a.
(1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ 【课堂巩固练习】 1．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3 －12x ； (2)f (x )＝x 2 e －x . 2．已知函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c ，当x ＝－1时，取得极大值7， 当x ＝3时，取得极小值．求这个极小值及a ，b ，c 的值． 3．将例3中(2)改为： ①f (x )＝0恰有三个实数根；②若只有一个实数根． 试求实数a 的取值范围． 【总结概括】 【课后作业】 习题1.3A 组4,5
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
苏教版数学高二- 选修2-2导学案 《常见函数的导数》
1.2.1 常见函数的导数 导学案 一、学习目标 掌握初等函数的求导公式； 二、学习重难点 用定义推导常见函数的导数公式． 三、学习过程 【复习准备】 1.导数的相关知识 ①导数的定义；②导数的几何意义；③导函数的定义；④求函数的导数的流程图. （1）求函数的改变量 （2）求平均变化率 （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '= 2.如何求切线的斜率? (0)PQ x k P ?→当时，无限趋近于点处切线的斜率 3.导数：函数在某点处的瞬时变化率 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x0∈(a ，b)，若△x 无限趋近于零时，比值 00()()f x x f x y x x +?-?=??.无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称
该常数A 为函数f(x)在x ＝x0处的导数，记作f/(x 0)． 4.由定义求导数（三步法） ①求函数的增量：=?y ②算比值（平均变化率）： =??x y ③取极限，得导数：0 x x y ='= 【情境引入】 本节课我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数. （1）y=x; （2）y=x 2 ; （3）y=x 3 . 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ 【数学建构】 1.几种常见函数的导数: 问题引入1： (1)(23)x '-+= (4)x '= (2)(2)x '-= (5)(5)x '+= (3)3'= (6)(4)'-= 通过以上运算我们能得到什么结论? 公式一:
问题引入2： (1)x '= 2(2)()x '= 2(3)(3)x '= 1(4)()x '= 通过以上运算我们能得到什么结论? 公式二: 【知识应用】 例1 求下列函数的导数： （1）()'3x ;（2）'21x ?? ??? ;（3 ）' . 解： 拓展 例2 求下列函数的导数： 4(1)y x =; 3(2)y x -=; 1(3)y x =; (4)y = =0(5)sin 45y ; =(6)cos u v . 解：
新课标人教A版高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结
高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：
6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个 根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤 （“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a dx x f ①推广：1212[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±± ±=±± ±????
人教新课标版数学高二-数学选修2-2导学案 1.3.1利用导数判断函数的单调性
1.3.1利用导数判断函数的单调性学案编号：GEXX1-1T3-3-1 【学习要求】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想. 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 导数函数的单调性 f′(x)>0单调递 f′(x)<0单调递 f′(x)＝0常函数 探究点一函数的单调性与导函数正负的关系 问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？ 问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？ 问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 例1已知导函数f′(x)的下列信息： 当1
(1)f (x )＝2x (e x －1)－x 2； (2)f (x )＝3x 2－2ln x . 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2 －ln x ； (2)f (x )＝e x x －2 ； (3)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x <2π). 探究点二 函数的变化快慢与导数的关系 问题 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？ 例3 如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象. 跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是 ( ) 【达标检测】 1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( ) A.单调增函数 B.单调减函数 C.在????0，1e 上是减函数，在????1e ，6上是增函数 D.在????0，1e 上是增函数，在????1 e ，6上是减函数 2. f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是 ( )
高中数学选修22：第一章导数及其应用单元测试题.doc
数学选修 2-2 第一章 单元测试题 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()
3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数
苏教版数学高二-数学选修2-2导学案 1.1导数
1.1 导数 1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数 【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想. 1.函数的变化率 2.函数f(x)在x＝x0处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数， 记作，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝. 引言那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一平均变化率的概念 问题1气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度v，并思考平均速度有什么作用？(1)0≤t≤0.5，(2)1≤t≤2. 问题3什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 问题4平均变化率也可以用式子Δy Δx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？ Δy Δx有什么几何 意义？
例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5. (1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义. 跟踪1 (1)计算函数f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为 ①2；②1；③0.1；④0.01. (2)思考：当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 探究点二 函数在某点处的导数 问题1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？ 问题3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数. 跟踪2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数. 例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8).计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 跟踪3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝65 98 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况. 【达标检测】 1.在导数的定义中，自变量的增量Δx 满足 ( )
高中数学北师大版选修2-2学案：2.2.1 导数的概念+2.2 导数的几何意义 含解析
§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义 1.理解导数的概念及导数的几何意义.(重点、难点) 2.会求导函数及理解导数的实际意义.(重点) 3.掌握利用导数求切线方程的方法.(难点) [基础·初探] 教材整理1 函数f(x)在x＝x0处的导数 阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题. 函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符 号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim Δx→0f（x1）－f（x0） x1－x0 ＝lim Δx→0 _ f（x0＋Δx）－f（x0） Δx . 设函数y＝f(x)可导，则lim Δx→0f（1＋Δx）－f（1） Δx 等于( ) A.f′(1) B.3f′(1) C.1 3 f′(1) D.以上都不对
【解析】由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A. 【答案】 A 教材整理2 导数的几何意义 阅读教材P34～P36，完成下列问题. 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. 抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________________. 【解析】因为y′＝lim Δx→0（x＋Δx）2＋4－（x2＋4） Δx ＝lim Δx→0 (2x＋Δx)＝2x， 所以k＝－4， 故所求切线方程为4x＋y＝0. 【答案】4x＋y＝0 [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)
高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 》 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ） ． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2π e C ．],1[2π e D ．),1(2π e 8.07622 3 =+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ） ] A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
苏教版数学高二- 选修2-2导学案 1.1.4《导数的概念》
1.1.4 导数的概念 导学案 一、教学目标 (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 二、教学重点难点 导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力. 三、教学过程 【复习引入】 1.什么叫做平均变化率； 函数y=f(x)的定义域为D ，x 1.x 2∈D ，f(x)从x 1到x 2平均变化率为: 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- 2.曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间上的平均变化率 2121 ()()f x f x y k x x x -?==?- 3.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 曲线的割线和切线 【数学建构】 1.导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A,则称()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0x x y ='.
0' 000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x =+?-?'===?→??当. 2.求导数的步骤： ①求函数的增量：=?y 00()();y f x x f x ?=+?- ②算比值（平均变化率）： =??x y 00()()f x x f x y x x +?-?=?? ③取极限，得导数：0x x y ='= 0.0x x y y x x =?'=?→?在时 上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限. 3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率 0000()()()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. 4.函数在一区间上的导数： 如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x 0，都对应着一个确定的导数 f '(x 0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作 ''()()(),0y f x x f x f x y x x x ?+?-===?→??当时的值 【数学应用】 例1 求y=x 2+2在点x=1处的导数. 解：222 [(1)2](12)2()y x x x ?=+?+-+=?+?
数学选修2-2第一章导数及其应用练习题汇编
第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为()． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋1 x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝2 x，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝1 x2＋2在点x＝1处的导数． 7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44
8．设函数f(x)可导，则lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1) 3Δx等于()． A．f′(1) B．3f′(1) C.1 3f′(1) D．f′(3) 9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________． 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．
高中数学北师大版选修2-2《导数的四则运算》word导学案
第4课时导数的四则运算 1.掌握导数的四则运算法则. 2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 你能利用导数的定义推导f(x)·g(x)的导数吗?若能,请写出推导过程. 问题1:基本初等函数的导数公式表: ①若f(x)=c,则f'(x)=; ②若f(x)=xα(α∈Q),则f'(x)=; ③若f(x)=sin x,则f'(x)=; ④若f(x)=cos x,则f'(x)=; ⑤若f(x)=a x,则f'(x)=(a>0); ⑥若f(x)=e x,则f'(x)=; ⑦若f(x)=log a x,则f'(x)=(a>0,且a≠1); ⑧若f(x)=ln x,则f'(x)=. 问题2:导数运算法则 ①[f(x)±g(x)]'=; ②[f(x)·g(x)]'=; ③[]'=(g(x)≠0) . ④从导数运算法则②可以得出 [cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'=, 也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导数,即[cf(x)]'=. 问题3:运用导数的求导法则,可求出多项式f(x)=a0+a1x+…+a r x r+…+a n x n的导数. f'(x)=. 问题4:导数法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些? (1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形: 若y=f1(x)±f2(x)±…±f n(x),则y'=. (2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b为常数). (3)[f(x)±c]'=f'(x). 1.函数f(x)=sin x+x的导数是(). A.f'(x)=cos x+1 B.f'(x)=cos x-1 C.f'(x)=-cos x+1 D.f'(x)=-cos x+x
高中数学第一章导数及其应用1_3导数在研究函数中的应用教材习题点拨新人教A版选修22
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用教材 习题点拨 新人教A 版选修2-2 教材问题解答 (问题) 如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )有什么特征？ 答：如果在某个区间上恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )在这个区间上是常数函数． (思考) 请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系． 答：函数y ＝f (x )的平均变化率 f x 2－f x 1 x 2－x 1 的几何意义是经过(x 1，f (x 1))，(x 2， f (x 2))两点直线的斜率． 当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率f x 2－f x 1 x 2－x 1 ＞0；当导数为负值时， 函数单调递减，平均变化率 f x 2－f x 1 x 2－x 1 ＜0. (问题) 如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？ 答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性． 练习1 1．解：(1)因为f (x )＝x 2 －2x ＋4，所以f ′(x )＝2x －2. 当f ′(x )＞0，即x ＞1时，函数f (x )＝x 2 －2x ＋4单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜1时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4单调递减． (2)因为f (x )＝e x －x ，所以f ′(x )＝e x －1. 当f ′(x )＞0，即x ＞0时，函数f (x )＝e x －x 单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜0时，函数f (x )＝e x －x 单调递减． (3)因为f (x )＝3x －x 3 ，所以f ′(x )＝3－3x 2. 当f ′(x )＞0，即－1＜x ＜1时，函数f (x )＝3x －x 3 单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1或x ＜－1时，函数f (x )＝3x －x 3 单调递减． (4)因为f (x )＝x 3 －x 2 －x ，所以f ′(x )＝3x 2 －2x －1.
人教版 高中数学 选修2-2《1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数》导学案
人教版高中数学精品资料 §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 复习1：常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=； ()ln (0)x x a a a a '=>；()x x e e '=； 1()(0,ln log a x a x a '=>且1)a ≠；1(ln )x x '=. 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2）y （3） 21y x =（4）y = 二、新课导学 学习探究 探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数 新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=± [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2 ()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.
典型例题 例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大 约是多少？ 例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x =<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%； （2）98%. 小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.
选修2-2 导数及其应用 典型例题
第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小.
题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.
最新人教版2020高中数学选修22学案：1.1.2导数的概念
1.1.2导数的概念 【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，并体会导数的思想及其内涵． 2.理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来．如导数就是瞬时变化率，导数反映了函数在x 附近变化的快慢等． 【新知自学】 知识回顾： 1. =?x ___________叫做函数)(x f y =从21x x 到的平均变化率．（类似的则有函数)(x f y =在点0x x =附近的平均变化率为=??x y _______________________）． 2.平均变化率的几何意义是______________ __________________________________________ ___________________________________________. 新知梳理： 1.函数)(x f y =在点0x x =处的瞬时变化率是=??→?x y x 0lim _____________． 2.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =??→?x y x 0lim _____________________． 感悟： 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系： 平均变化率x x f x x f x ?-?+=??)()(y 0，当x ?趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率.即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外,它们都是刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化的越快. 对点练习： 1.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是（ ） A.)()(00x f x x f y -?+=?叫做函数的增量 B.()()x x f x x f x y ?-?+=??00叫做函数在0x 到x x ?+0之间的平均变化率 C.()()x x f x x f ?-?+00叫做函数()x f y =在0x 处的导数 D.()()0 0x x 0lim x x x f x f --→ 叫做函数()x f y =在0x 处的导数
2018版高中数学第一章导数及其应用课时作业12定积分在几何中的应用新人教A版选修22
课时作业12 定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．已知自由落体运动的速度v ＝gt (g 是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.gt 20 3 B ．gt 2 C. gt 20 2 D.gt 20 6 解析：由定积分的物理意义，得所走的路程为 答案：C 2．曲线y ＝x 3 与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( ) A. ??-11 (x －x 3)d x B . ??-1 1 (x 3 －x )d x C ．2??01(x －x 3)d x D ．2??-1 0 (x －x 3 )d x 解析：由? ???? y ＝x y ＝x 3 求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3 的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，由于 两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2??0 1(x －x 3 )d x . 答案：C 3．如果某物体以初速度v (0)＝1，加速度a (t )＝4t 做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．13 解析：v (2)－v (0)＝??02a (t )d t ＝??0 24t d t ＝2t 2 | 2 0＝8.∴v (2)＝9. 答案：C 4．如图，两曲线y ＝3－x 2 与y ＝x 2 －2x －1所围成的图形面积是( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．3 解析：由? ???? y ＝3－x 2 y ＝x 2 －2x －1
解得交点(－1,2)，(2，－1)， 所以S ＝? ?2－1[(3－x 2)－(x 2 －2x －1)]d x ＝? ?2－1(－2x 2 ＋2x ＋4)d x ＝? ????－23x 3＋x 2＋4x ??? 2 －1 ＝9，故选B. 答案：B 5．一物体在力F (x )＝3x 2 －2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 解析：依题意F (x )做的功是W ＝∫10 5F (x )d x ＝(x 3 －x 2 ＋5x )| 105 ＝825(J)． 答案：C 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________． 解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，∴F (x )＝50x . ∴W ＝∫0.12 050x d x ＝25x 2 | 0.12 0＝0.36(J)． 答案：0.36 J 7．由曲线y 2＝x ，y ＝x 2 所围图形的面积S ＝________. 解析：由??? ? ? y 2 ＝x ，y ＝x 2 ， 得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD ＝??01x d x －??0 1x 2 d x ＝23x 32| 10－13x 3| 1 0＝23－13＝13 . 答案：13 8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________． 解析：由速度—时间曲线得
(新课标)高中数学《1.2.2 导数的运算法则及复合函数的导数》导学案 新人教A版选修2-2
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 复习1：常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=； ()ln (0)x x a a a a '=>；()x x e e '=； 1()(0,ln log a x a x a '=>且1)a ≠；1(ln )x x '=. 复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数 （1）6y x = （2）y （3） 21y x =（4）y = 二、新课导学 学习探究 探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数 新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=± [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2 ()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数. 典型例题 例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么
在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)? 变式：如果上式中某种商品的 05 p=，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ 例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断 增加. 已知将1吨水净化到纯净度为% x时所需费用（单位：元）为 5284 ()(80100) 100 c x x x =<< - . 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%；（2）98%. 小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.