2.4.2等比数列的基本性质及其应用

2.4.2 等比数列的基本性质及其应用

三维目标

一、知识与技能

1.了解等比数列更多的性质

2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中

3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题

二、过程与方法

1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学

2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程

3.当好学生学习的合作者的角色

三、情感态度与价值观

1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力

2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值

重难点

教学重点1.探究等比数列更多的性质

2.解决生活实际中的等比数列的问题

教学难点渗透重要的数学思想

教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等

教学过程

导入新课

师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的

探究结果展示一下

生 由学习小组汇报探究结果 师 对各组的汇报给予评价

师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答： 第3题解答：

(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i

则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，

因为

q a a b b i

k i k i i ==++++1

1 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列 (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则

10

9

101101121111......q a a a a a a k k =====-+

所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10

为公比的等比数列

猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1

为首项、q m

为公比的等比数列

◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学

生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法

第4题解答：

(1)设{a n }的公比是q ，则

a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8

而a 3·a 7=a 1q 2

·a 1q 6

=a 12q 8

所以a 52

=a 3·a 7

同理,a 52=a 1·a 9

(2)用上面的方法不难证明a n 2

=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同

理可证a n 2

=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞

师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作

进一步的探究

推进新课 ［合作探究］ 师 出示投影胶片1

例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？

师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？ 生 用等差数列1，2，3，

师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？ 生 在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *

)，则a k +a s =a p +a q

师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？

生 思考、讨论、交流

师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系

［教师精讲］

师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出

q

s a a p k a a q s p k ==,

根据等式的性质，有1

=++=++q

p s

k a a a a q p s k

所以a k +a s =a p +a q

师 在等比数列中会有怎样的类似结论？

生 猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N *

)，则

a k ·a s =a p ·a t

师 让学生给出上述猜想的证明

证明：设等比数列{a n }公比为q ，

则有a k ·a s =a 1q k-1

·a 1q s-1

=a 12

·q

k+s-2

a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2

因为

所以有a k ·a s =a p ·a t

师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质

即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N *

)，则有a k ·a s =a p ·a t

师 下面有两个结论：

(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积； (2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方

你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？

生 思考、列式、合作交流，得到：

结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形； 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形 师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价 师 上述性质有着广泛的应用

师 出示投影胶片2：例题2

例题

（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18

（2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.

例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程

解答：

(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18

解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=

5

100

1109=

a a a

(2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积

解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4

∵b 42

=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3

×3=37

(3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8

解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542

=a 8×(-

∴a 8=-

另解：a 8=a 5q 3

=a 5·

2

5454

25-?=a a =-

［合作探究］

师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3

、通项公式法

例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得

出什么结论？证明你的结论

师 请同学们自己完成上面的表

师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？

生 得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列

证明如下：

设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p

n -1

b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为

pq q

b p a q b p a b a b a n n n

n n n n n ==?--++1

1111111

它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列

［教师精讲］

除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二：

设数列{a n }的公比是p ，{b n

}公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *

)分别为a 1p n -1b 1q n -1

、a

1p

n -2

b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为

(a n b n )2

=(a 1

p

n -1

b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1)

(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2

b 1q n -2

)(a 1p n

b 1q n

)=(a 1b 1)2

(pq)2(n -1)

即有(a n b n )2

=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *

所以{a n ·b n }是一个等比数列

师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：

证法三：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的通项公式为

a n

b n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n

-1

设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(p q)

n

-1

所以{a n ·b n }

是一个等比数列

课堂小结

本节学习了如下内容： 1.等比数列的性质的探究

2.

证明等比数列的常用方法

布置作业

课本第60页习题2.4 A 组第3题、B 组第1题.

板书设计

习题详解

（课本第60页习题2.4）

组

1.(1)a 7=a 4·q 3

=27×(-3)3

=-

(2)设等比数列{a n }的公比是

?????=-=-????=-=-②

①

.6)1(

,15)1(6152

1

4

12415q q a q a

a a a a ②÷①，整理得6q 2

- 解方程得q=2或2

1

=q

由a 4-a 2=6，得

a 3(q-q -1)=6,

所以，当q=2时，由③得，a 3=4当2

1

=

q 时，由③得a 3=-

2.设n 年后，需退耕a n ，则{a n }是一个等比数列，其中a 1=8,q=0.1.那么2005年需退耕

a 5=a 1(1+q)5=8(1+0.1)5=13(万公顷

3.若{a n }是各项均为正数的等比数列，则首项a 1和公比q 都是正数， 由a n =a 1q

n -1

，得

121

12

111

1)

(---===n n n n q a q

a q

a a ，

所以数列{a n }是以a 1为首项，2

1

=

q 为公比的等比数列

4.这张报纸的厚度为0.05 mm ，对折一次后厚度为0.05×2 mm，再对折后厚度为0.05×22

mm ，

再对折后厚度为0.05×23

mm ，设a 0=0.05，对折n 次后报纸的厚度为a n ，则{a n }是一个等比数列，公比q=2，对折50次后，报纸的厚度为

a

50=a 0q 50=0.05×250≈5.63×1013=5.63×1010

这时报纸的厚度已经超过地球和月球之间的平均距离(约3.84×108

m)，所以能够在地球和月球之间建一座桥

5.设年平均增长率为q ，a 1＝105，n 年后空气质量为良的天数为a n ，则{a n }是一个等比数列，由a 3=240，得a 3=a 1(1+q)2

=105(1+q)2

=240,解得q=

105

240

-

6.由已知条件，知

2

b a A +=

,G=

ab

，且

2

)(222

b a ab b a ab b a G A -=

-+=-+=-≥0， 所以有A ≥G，等号成立的条件是a =b .而a ,b 是互异正数，所以一定有A ＞

7.(1)±2 (2)±ab (a 2

+b 2

8.略

组

1.证明略

2.(1)设生物死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为q ，n 年后的残留量为a n ，则{a n }是一个等比数列，由碳14的半衰期为5 730，则

a n =a 1q

5 730

=q

5 730

=21，解得57301

)2

1

(=q

(2)设动物约在距今n 年前死亡，由a n =0.6，得a n =a 1q n

=0.999 879n

解得n ≈4 221，所以动物约在距今4 221年前死亡

3.略

备课资料

备用例题

1.已知无穷数列5010,5110,5210 ,…, 5

110-

n

求证：(1)这个数列成等比数列；

(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的

10

1

； (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中

证明：(1)

10

1

10101015

45

11===-+--n n n n a a (常数)，∴该数列成等比数列

(2)

101

1010

1015

45

15===-+-+n n n n a a ,即：5

101+=n n a

a

(3)a p a q =5

25

15

110

10

10-+--=q p q p ，∵p,q∈N

，

∴p+q -1≥1且(p+q-1)∈N .∴5210-+q p ∈?

??

???-51

10n (第p+q-1

项

2.设a ,b ,c,d 均为非零实数，(a 2+b 2)d 2-2b (a +c)d +b 2+c

2

求证：a ,b ,c 成等比数列且公比为d

证法一：关于d 的二次方程(a 2

+b 2

)d 2

-2b (a +c)d +b 2

+c 2

=0有实根， ∴Δ=4b 2

(a +c)2

-4(a 2

+b 2

)(b 2

+c 2

)≥0.∴-4(b 2

-a c)2

≥0.∴-(b 2

-a c)2

则必有：b 2

-a c=0，即b 2

=a c ，∴a ,b ,c

成等比数列

设公比为q ，则b =a q,c=a q 2

代入 (a 2

+a 2q 2

)d 2

-2a q(a +a q 2

)d +a 2q 2

+a 2q

4

∵(q 2

+1)a 2

≠0，∴d 2

-2q d +q 2

=0，即d

证法二：∵(a 2

+b 2

)d 2

-2b (a +c)d +b 2

+c 2

=0, ∴(a 2d 2

-2abd +b 2

)+(b 2d 2

-2b c d +c

2

∴(ad -b )2

+(bd -c)2

=0.∴ad =b ，且

bd

∵a ,b ,c,d 非零，∴d b

c

a b ==d .∴a ,b ,c 成等比数列且公比为

d