混沌与分形的哲学启示

·混沌与分形的哲学启示（转【发布:清石2004-06-04 11:45多彩总汇浏览/回复：2169/4】长久以来，我们就知道我们生活在一个非常复杂的世界里，从破碎的浪花到喧闹的生活，从千姿百态的云彩到变幻莫测的市场行情，凡此种种，都是客观世界特别丰富的现象。但是，科学对复杂性的认识极为缓慢。混沌学的问世，代表着探索复杂性的一场革命。由于它，人们在那些令人望而生畏的复杂现象中，发现了许多出乎意料的规律性。分形理论则提供了一种发现秩序和结构的新方法。事物在空间和时间中的汇集方式，无不暗示着某种规律性，并都可以用数学来表述它们的特征。泥沈和分形不仅标志着人类历史上又一次重大的科学进步，而且正在大大地改变人们观察和认识客观世界的思维方式。因此，探讨混沌学和分形理论的哲学启示是非常有意义的。

决定与非决定

决定论与非决定论，或者说必然性与偶然性的关系问题是科学和哲学长期争论不休的难题。决定论的思想自牛顿以来就根深蒂固。牛顿经典力学的建立，一方面推倒了天与地之间的壁垒，实现了自然科学的第一次大综合；另一方面它也建立了机械决定论的一统天下。拉普拉斯设计了一个全能智者，它能够格宇宙最庞大的物体的运动以及最微小的原子的运动都归并为一个单一的因式。其结果，自然成了一个僵死的、被动的世界，一切都按部就班，任何“自然发生”或“自动发展”都不见了。热力学通过涨落的发生而引入了一种新的决定论，即统计决定论。涨落是对系统平均值的偏离，它总是无法完全排除的。应该说，从决定性的牛顿力学发展到非决定性的统计力学，是一次重要的科学进步。特别是量子力学的创立和发展，一种新的统计规律为人们所认识，薛定谔波函数的统计解释，抛弃了传统的轨道概念，清楚地反映了微观粒子运动规律的统计性质。但是在混沌理论问世之前，物理学中确定论和概率论两套基本描述形成了各自为政的局面：单个事件服从决定性的牛顿定律x大量事件则服从统计性的大数定律。当波耳兹曼企图跨越这道鸭沟，从动力学“推导”出热力学过程的不可逆性时，受到来自泽梅罗、洛斯密脱等人的强烈反对：决定性助牛顿定律怎么会导出非决定性的分子运动论?玻马兹曼全力以赴地答辩以捍卫自己的理论，：但是按照当时公众可接受的标淮(主要是机械论)，他失败了。这表明，确定论和概率论、必然性和偶然性的对立是。难以克服的；

一、量子力学也不例外。爱因斯坦是量子论的创始人之一。对于物质的统计理论，特别是对涨落的理论，谁也没有爱因斯坦的贡献大，但他却坚决不相信有掷被子的上帝。爱国斯坦与以玻尔为代表的哥本哈根学派进行了一场长达40年之久的大论战。前者把统计的必要性归结于自由度和方程数目太多，不可能完全列举初始条件，模型中不能计入一切次要因素等外在的和技术上的原因；后者则强调统计规律性是复杂系统所特有的，决不能把它还原为力学规律。测不准关系指出，粒子的位置和速度的测量精度存在着一个限制。这说明偶然性的存在是事物本身所使然，决不是因为我们无知的结果。

混沌的奇特之处在于，它把表现的无序和内在的决定论机制巧妙地融为一体。所以钱学森指出，决定性和非决定性的矛盾直．到本世纪6d年代后兴起的混沌理论才得到解决①。1963年洛仑兹首先发现，只有区区三个因素的简单决定性系统也会产生随机性行为，这种随机性不是起因于任何外界因素，而是从决定性系统内部产生的。“混沌”就是这种内在的随机性的代名词。

“决定性的混沌”说明决定性和随机性之间存在着由此及彼的桥梁，这大大丰富了我们对

偶然性和必然性这对基本范畴伪认识。

首先，混沌现象又一次揭示，偶然性并非只是表面上的。在经典统计力学的描述中，由于没有“蝴蝶效应”，大数系统的涨落一般对系统的宏观面貌石起多大作用。而现在我们发现，由于拉伸和折迭的反复进行，混沌吸引子起着一种“泵”的作用，把微小的涨落迅速地提高到宏观尺度上表现出来。这种误差按指数特性增长的现象是使拉普拉斯决定论不能成立的又一原因。于是，混沌意味着我们的预测能力受到了某种新的根本限制。

其次，既然混沌是由某些本身丝毫不是随机因素的固定规则所产生的，因而许多随机现象实际上比过去所想象的更容易预测。例如，费根鲍姆发现：对截然不同的函数进行迭代(一维单蜂函数)，在迭代过程转向混沌时，它们竟然遵循着同样的规律，受同一个数字的支配，这个数就是δ=4．669201609…。“倍周期分*”现象说明通往混沌的道路不是任意的，而有某种惊人的规律性。对于预测来讲，混沌构成了新的限制，但它也在前人未曾料想到的因果关系上指明了新的机制。

吸引和排斥

混沌作为探索复杂性的新学科，不仅修正了经典科学只有必然性没有偶然性的观念，而且修正了经典科学只有运动没有发展的观念。一般而言，人们认为牛顿的“没有时间箭头”的概念在经典科学框架内已经由效力学解决了，这就是熵增定律：耗散系统在趋向平衡态的演变中，具有对初始条件的遗忘机制，无论初始条件是什么，我们都应把不可逆的变化看成是趋向于某个最可几状态的演变但是，20世纪主张发展而到热力学中寻找科学根据的论者很快迟到了一个难题。如果系统都要趋于一个完全可以由一班定律推出的终态，即热力学平衡态，那么发展在本质上就是暂时的，转瞬即逝的。一旦系统进到平衡态，发展即宣告结束。这样一来，自然的发生，生命的起源和发展，宇宙的进化，统统都成为不可能；因此，系统的演化必定是趋于吸引子又不能止于吸引子的过程。在趋于稳定的过程中，新的非稳定性如何获得，以使系统在适当的时候进到一个更高的层次上，就成了我们面临的又一个重要的科学与哲学问题。

混沌是把偶然性和必然性集于一身的东西，它通过吸引与排斥的对立统一，说明了非稳定性的起源、放大，以及和稳定性相互协调的机制，进而揭示了事物自己运动的原因。研究复杂系统，“吸引子”是后来发展起来的一个极其重要的概念，复杂系统由极多自由度所组成，可能出现的动力学态不胜枚举；加之演化，系统历经许多态。这些态稍纵即逝，无从把握，所以研究复杂性一直困难重重。。现在不同了，我们可以把系统变化规律的研究首先归结为寻找吸引子，找到吸引子即掌握了系统发展变化的趋势。

较之其它吸引子，混沌吸引子是一种奇异吸引子，它不仅有被吸引的一面，还有被排斥的一面。系统的运动在吸引子之外的状态都向吸引子*拢，这是吸引作用，反映系统运动保持“稳定”的一面；而一旦到达吸引子内，其运动又是相互排斥的，这对应着“不稳定”的方面。

贝塔朗菲认为，要认清系统演化的条件与机理，我们既要研究运用自我纠正的负反馈手段达到自我保持的过程，又。耍研究运用自我放大的正反馈手段达到自我创新的过程。在这里，“涨落”和“耗散”这两个概念是掌握吸引和排斥这对矛盾的关键。

摩擦是人人皆知的一种耗散形式。其重要性早在经典力学公式化以前就被人们所认识。亚里士多德认为地球上的物体都具有静止的普遍趋势。他在提出这4假说时，事实上就表达了某种“摩擦”使运动减慢的思想。牛顿则采用了忽略摩擦的理想化作法而得到经典惯性定律。但事实上，无论机械装置如何精巧，惯性定律的实验是做不出来的。在物理科学中国屋使用“理想犹态”这一辞汇，如“无摩擦”、“完全弹性碰撞”、“绝对零度”等等，提出这样一些件件，是为了使问题大大简化。在地球上，要实现这样的理想状态是不可能的。在真实系统中，时间一长，摩擦毋宁说起着支配作用。

按照伽利略作“描述地上的运动的法则同天上的运动法则是相同的”结论，支配天体运动的法则，连同地球上落体运动的定律，都可以由牛顿所推导的方程式普遍地表达出来，它构成了近代科学的主体。但在这一背景中，存在着只有天上的运动才是完一美的，而地上的运动则是这种理想状态的不完全反映这样一种潜在观念。经典力学排除了摩擦，也就排除了由摩擦产生的“热”的存在。这里被排除的不仅仅是热，还有时间的不可逆性。其实，它排除了事物的发展，这才是问题的症结所在。到了热力学，寻求演化判据导致的结果是使人们认识到耗散的重要性。“耗散使得相体积不断收缩(而不是刘维定理所保证的相体积不变)……。各种各样的运动模式在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定系统长时间行为。”耗散过去总是被人们看作妨障效率、消耗能量的有害而无益的东西，但热力学的证据表明，对于研究复杂性，耗散使系统运动速度减慢，自动趋向平衡。于是“吸引”的一面，也就是运用负反馈手段达到自我保持的过程得到了说明。要说明“排斥”的一面，离不开“涨落”概念。众所周知，涨落是由系统内部产生出来的与外因无关的非稳定，它与耗散一样，总是无法完全排除的。但问题是，涨落究竞能不能对系统产生重大影响?大数定律证明，微观上的涨落总是衰减的，在宏观上意义不大，这个结论曾大大影响了人们对涨落伪重视。

揭示涨落放大的机制，这是现代非线性动力学最重要的成就之一，而混沌是非线性现象的核心问题。非线性的实质是系统各要素之间相互作用、相互影响、相互联系，这也是辩证唯物主义的一个基本观点，而经典科学几乎是线性律的一统天下，因此在那里没有运用自我放大的正反馈手段达到自我创新的过程；在混沌理论中，涨落放大的机制是“对初始条件的敏感性”。

彭加勒早就意识到这一点，他说：。“初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别，前者的微小误差促成了后者的巨大误差。预言变得不可能，我们有的是偶然发生的现象。”洛仑兹还用“蝴蝶效应”来加以形象描绘，意思是说，尽管我们可以用一个完全确定的模型来描述大气运动，但只要一进入混沌态，一只蝴蝶翅膀所造成的影响，都足以使一个地区的整个天气为之改观。“对初始条件的敏感性”丰富了我们对非线性作用的认识，它“是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的结果”。

综上所述，耗散和涨落存在于任何系统之中，又作用在同一系统之上，两者缺一，系统演化的条件就不充分了。耗散是系统自我保持的主导因素，涨落是系统自我创新的主导因素。如果只有涨落没有耗散，系统就会失去任何稳定性；而如果只有耗散没有涨落，系统就不会发生新旧结构的转换，演化在到达某一“终态”后即告结束。涨落是以耗散为背景的，守恒系统中没有涨落，耗散是以涨落为前提的，：没有涨落，耗散系统的响应无从谈起。没有涨落的耗散和没有耗散的涨落，都是不可能存在的。耗散和涨落又是对立的，它们分别对系统起着吸引和排斥的两种作用。系统的自己运动是涨落和耗散两种因素相互竞争的结果。当耗散起主导作用时；系统呈稳定状态，演化循序渐进，具有决定论性质；当涨落起主导作用

时；系统状态失稳渐进为跃变所中断，最后的状态取决于哪个涨落先发展起来，在这个意义上少演化变成了一个随机过程；经过环境选择，体系将最终到达三个与微小涨落无关的稳定态，并成为演化的新起点，从稳定到不稳定又到新的稳定，系统的演化就是在耗散和涨落的联合作用下无限地展开。

有序与无序

有序与无序是二对关系到物质进化；生命起源、社会发展的哲学范畴。在这里，关键是事物从低级向高级发展问题。系统自己走向有序结构，对物理学来说是一个破天荒的发展。许多人认为，较之耗散结构理论、协同学；超循环理论这些自组织理论，混沌在这方面的哲学意义似乎要小得多。但事实上，混掂与自组织的关系，就象熵与信息的关系一样，是；枚钱币的两面。

首先，混沌有助于解决复杂性的起源问题。对于自组织来说，复杂性的起源很重要，因为如果终态是唯；的，就没有选择；没有选择，也就没有进化。在混沌动力学中，相空间对系统有吸引力的态不止一个。既然系统的吸引子不止一个，演化就成了一个由可能性转变为现实性的过程。可能性有多种，现实性只有一个如何解决这多与一的矛盾呢?*选择，多中选一。系统自组织所遵循的原则，如果从外部看，就成了最适合组织复杂客体的控制论方法。于是，就可以解决如何把“多中选一”变成“多中选优”这个合目的控制”的核心问题。

其次，混沌有助于解决突变的问题。根据超循环理论，除了突变之外，系统是不产生新信息的。自组织理论感兴趣的是质的变化，即从一个状态到另一个状态的跃变，通过跃变，新信息被创造出来。在哲学认识中，一连串的事件中有一个能牵一发而动全身的临界点，混沌意味着这种临界点无处不在。对于物质进化，人们最感棘手的是那些光滑变化和突然变化的过渡．例如在生物进行过程中，物种与物种之间更替，常常留有一个化石记录的空白。大多数人弄不懂，怎么竟能在“一瞬间”形成新物种呢?现在，混沌理论的“蝴蝶效应”揭示了宏观结构形成的机制和触发过程，这是非常重要的。

再次，混沌有助于解决有序和无序对立统一的问题．比起前两点来讲，这具更大的·哲学意义。过去，在人们的认识中，混沈和有序是对立的、绝对排斥的，混沈为无序和无组织的代名词。现在，混池理论使我们看到了“热平扔泥钝”和“非平衡湍流混沌”的划分，只有前者才是“渺渺蒙蒙不分上下，昏昏沉沉不辨内外”，而后者却在宏观无序之中包藏着十分惊人的秩序性。混沌把有序和无序集于一身，不仅在静态关系上，说明有序和无序的对立统一，而且在动态关系上，有助于阐明事物发展“呈螺旋式上升”的否定之否定规律。

中国自古以来就把盘古开天辟地说成是混沌初开。阴阳五行说认为，混沌生阴阳，阴阳生五行，五行生万物。古希腊先哲也有这样的观点，正如思格斯所说：“在希腊哲学家看来，世界在本质上是某种从泥吨中产生出来的东西，某种逐渐生成的东西。”②根据现代宇宙演化理论，我们认为，混沌在我们这个宇审中是物质进行的始点。

但是，事物的发展不是直线地、无限地趋于复杂和有序化。当代科学对混沌的研究表明，有序来自混沌．又可以产生混沌；泥沌来自有序，又可以产生有序，事物发展充满着有序棗无序的辩证转化。具体可表述为如下图式：…混沌态＜1＞→有序态＜1＞→ 混沌态＜2＞→有序态＜2＞→……

值得注意的是，混沌态＜2＞较之混沌1态＜1＞，不是简单的复归。在混沌态＜2＞之中保留着有序态＜1＞之中的信息，又包含着有序态＜2＞的“胚胎”。这就是说，系统在自组织地形成结构后，在混沌中生成的有序有可能复归混沌。但这不是简单的复归，因为混沌中包藏着秩序，而且这很可能类似于宏观能量向微观能量转移那样，是一种宏观序向微观序的转移。而这种转移正是产生高一级有序结构的前提和基础。

现在能比较完整地剖析无序棗有序的转化关系了。我们看到，自然界物质的运动充满着矛盾．存在着转折点。物质演化必定是既组织自身又破坏自身的组织。但由于混浊有内部结构，混沌态是分层次的，与历史有关，这样，从有序到无序，再从无序到新的有序，事物从低级走向高级，这和否定之否定规律比较接近。

简单与复杂

客观世界既是简单的，又是复杂的。客观存在的任何事物，都是简单和复杂的对立统一。人类对事物的认识也经历了由简单到复杂的发展历程。十七世纪以来近代自然科学的发展，强调在实验的基础上分析和解剖，把复杂的要素简化后进行研究，取得了极大的成功。久而久之也导致了简单化的思潮。在经典科学中，复杂性仅仅是简单性的面纱。牛顿有句名言代表了经典科学的这个基本观点：“自然界喜欢简单化，而不爱用什么多余的原因来夸耀自己。”

进入本世纪，人们对自然的认识经历了一个向着多重性、暂时性和复杂性发展的根本转变，复杂性也随之作为一个重要的概念频频出现。混沌运动作为崭新的科学范例，使我们认识到复杂性如何在自然界中出现，以及在何种程度上被加以研究。

但是，认识到复杂性是物质世界的属性，并不意味化繁为简这条原则就不重要了。：简单与复杂的辩证关系既有认识论的意义，：更有方法论的意义。化繁为简作为一条重要的方法论原则，即使对于研究复杂系统问题也是绝对少不了的。就多年来人们形成的观念来讲，生物在其形态和功能两方面都无可争议的是自然界中最复杂、最有组织性的物体。但我们看到，自组织现象的突破却是从无生命世界中较简单的物系开始的。如贝纳德不稳流、化学钟等等，它们常来的连锁反应是整个科学界对复杂性科学的重视大大增加。?

在这方面，分形理论提供的范例是最具说服力的。分形理论作为以研究无规则形体为对象的一门新的几何学，与经典的数学大相径庭。但是它的研究成果却有助于使人们相信／简单与复杂之间的距离绝不象人们想象的那样大；过去，由于缺乏对复杂性进行定量研究的工具．人们对复杂性的认识极其缓慢。现在分形理论给我们提供了一个量度复杂性助重要概念：分数维。分数维作为一神新方法，用以量度那些会此就无法定义、那些粗糙、破碎和不规则客体的性质。例如，?对于曲折的海岸线，尽管我们知道它在长度上不能精确测量，然而其曲折程度却有某种特征。这样，对于自然现象中的不规则形体，现在有了i种数学上的精彩说明。

应该看到，分形几何的简单性完全不同于欧氏几何的简单性。传统几何学的形体是线和面、圆和球、角和锥；是从现实中抽象出来的，它们使人领悟到以和谐著称的柏拉图哲学。艺术家从它们之中发现了理念的美，托勒密体系的天文学家根据它们建立了棗种宇宙理

论。但就复杂性而言，现在它们已被证明是一种错误的抽象。?

…分形几何作为洞察事物结构本质的钥匙，。揭示的是一种复杂性之中的简单性，分数绍则被证明是一种合适的尺度。在某种意义上，分数维对应于不规则性填充空间的能力。一条欧几里德的一维直线不占据任何空间，而以无限长度充斥有限面积的科契曲线，其外廓线却占据了空间。它多于，根直线而又少于一个平面；它大于＝维却又不到二维。就科契曲线而论、以4／3倍乘无倔扩展，、算出来的维数是1．2618。*…、关于化繁为简的方法论原则，爱因斯坦说：“自然规律的简单性也是一种客观事实，而且正确的概念体系必须使这种简单性功主观方顶和客观方面保持平衡。”简单性原则总是科学发展的个种推动力。问题是过去不恰当地把它和复杂性对立起来，用它来否认事物的复杂性和整体性，结果导致简单化的倾向。事物是复杂的，．但复杂性并非随机性，也并非偶然性。分形、理论发展了观察客观性男的新的思维方式，在那些令人望而生畏?的复杂现家中，找到了如下规律性。

第一，无限自相激。如果想到埃菲尔铁塔，你便会茅塞顿开。埃菲尔铁塔是谢宾斯基讨垫的三维类似物，它的小梁、构架每大梁?不断分*成构件更纫的格式，精细的网络结构浑然一体，这类尺度越来越纫的重复结构完全展示了一个新天地。

第二，标度无关性。．当曼德布罗特海过IBM计算机对雕的价格数据进行格L1分析易i发现了令人嫁异的植况。从正态分布伪观点来看是反常的数据，从标度的观点来看却出现了对称牲。和个特殊的价格变化是偶然的和不可预测的，但变化的序列却与标度无关：每天价格变化的曲线和每月价格变化的曲线相当吻合。更惊人的是，根据星德布罗特的分析，价格变化的程度，竞在发生过两次世界大战和一次经济大萧条的剧烈动荡的60年中保持不变。?

第三，比例对称。标度无关性必然意味着比例对称。在一种尺度上去寻找图形(如海岸线)，都是无规的。但在不同尺度上同时去寻找图形，我们却找到了规律性，即不规则程度在不同尺度上重复叠合。这不是左右高低的对称，而是大小比例的对称。分数维形态对于混沌运动的描述是必不可少的。就象无理数远多于有理数的道理一样，非整数维给混沌运动的奇异轨道的构型提供了充分的选择余地。对于混沌，这种结构不一定指它的实际形状，而是指它的行为特征。当我们用相空间的轨线来描述系统的变化时，“无穷嵌套的自相似结构”指的就是这种运动轨迹的几何形态。换言之，非整数维数给出了一个对混沌吸引子的识别判据。混沌吸引子是分数维图形，即在不断被放大时可以显示出越来越多的细节的图形，从而揭示出混沌之中隐藏着的秩序，为在种种不同的复杂系统中发现规律性开辟了道路。

引人注目的是，分数维方法正在逐渐向社会科学的领域渗透。例如在对矛盾现象进行研究时，有这样一种设想f即从分形理论出发，把复杂的矛盾变化区分为几种基本形式，诸如矛盾有规分形、矛盾定向选择分形。矛盾平行联锁分形、矛盾垂直分形等等。然后对这些基本的矛盾分形进行定量研究，即引入分数维方法计算其比例变化，用分数维的值的大小来定量地表征矛盾分形的复杂程度③。

“分数维”是继运动的“熵”之后，又一个对泥沌复杂性的量度，当然分数维的概念及其方法并非尽善尽美。比如物体维数的测定；常具有不可忽略的主观性；维数是一个非常粗放的或宏观的标度，知道了某个客体的维数，但却很难据此推知其具体的复杂程度或结构；分数维数本身还没有形成一个统一的定义，即对任何客体都适合的定义，等等应该清醒地认

识到，分数维的应用范围是有一定界限的，不能企求用它来度量自然界的全部复杂性。尽管如此，在探索复杂性的进程中，分数维加深了我们对客观世界复杂性的认识和理解，它的应用前景无疑是非常广阔的。

整体与部分

整体与部分是系统论的一对范畴。系统整体性原理指出，备部分一旦组成系统整体，就具有孤立的部分所不具备的性质和功能，整体的性质和功能不等于各个部分的性质和功能相加。系统整体观强调，整体大于部分之和，整体与部分具有本质的区别，部分不具有整体性，因而部分依赖于整体的性质。但是，分形理论却揭示出部分与整体关系的另一个侧面。

曼德布罗特对分数维的研究，是为理解复杂性的一个组成部分，特别令人鼓舞的是发现了一批细致的现象，它们无规则的表观的背后有一类无穷嵌套的自相似的几何结构。其结果，世上万事万物的“无规则性”以出人意料的规则性呈现在我们面前。如果在许多复杂的图形中任取出一部分放大到原来的大小，看起来仍然与原来的图形没有什么区别，这就叫做“自相似性”。自相似性是分形理论的实质，它的提出具有重大的科学和哲学意义；自相似的概念与西方的古代文明，特别是与古老的东力传统思想有着密切的联系。古希腊哲学家阿那克萨戈拉提出了著名的种子说。认为一切复合物都是由种子构成的，每一粒种子都包含着一堆有相同部分的物体。存在物本身是由许多自身相同的部分组成的，即部分与整体相同。世界也是由许多相似的小片构成的。宇宙万物都只是种子的组合与分离。每种东西都包含着其他一切东西，任何一物在任何一物之中。莱布尼兹曾经设想，一滴水中蕴含着整个浩翰的宇宙，必然也包含着其他水滴和新创生的宇宙。居维叶则断言，科学家可以通过一根骨头再现整个动物的全貌。东方的先哲们强调宇宙的基本统一性，把万事万物看成是宇宙整体中相互依赖的、不可分割的部分，是同一终极实在的不同表现。古老的宗教典籍《华严经》的中心主题是所有事物和事件的统一及相互关系，也包含着朴素而神秘的自相似思想，这在因陀

罗网的隐喻中表现得很充分。据说在因陀罗的天堂里有一张宝石的网，人们可以从其中一个宝石看到反映出来的其他所有宝石。自相似性深刻地揭示了部分与部分、部分与整体相似这一宇宙的基本规律。实际上，部分与整体相似意味着部分包含了整体的全部信息。在国内，“全息”的概念，已进入了科学的各个领域，产生了时间全息、思维全息、情感全息、文化全息、生物全息、社会全息、。宇宙全息等。其实，全息理论中的“全息元”?就相当于分形理论中的“分形元”或“生成元”。唯物辩证法告诉我们，整体和部分是对立的统一；整体以部分为基础，部分以整体为归宿。?一般来讲，整体与部分的关系有如下两种情况：

第一，整体大于部分之和。就空间意义和显态功能而言，整体大于部分之和，即整体的性质与功能大于部分的性质与功能简单相加。例如正常人的一双眼睛的视力，就大于两只眼睛的视力之和；既时间意义和潜在功能而言，也存在着部分大于整体的情况。系统论所要阐明的正是这两种情况，并且已经得出了明确的结论。

第二，部分与整体相似。部分与整体相似，不能被认为是整体等于部分简单叠加的“还原论”，而是一种递归，即结构之中存在着结构。分形是一种新方法，用以度量舍此就无法确定的客体的性质。从中我们了解到，不规则程度在不同尺度上重复叠合，即标度无关性。标度无关性意味着，部分中已经包含了整体的全部组织信息或特征信息。令人惊异的是，

这种观察无限的新方法，在遍及自然的几乎所有领域中，通常都被证明是正确的。

生物学研究表明，、生物体的结构方面具有自相似特征。生物体中的任一分形元都在不同程度上成为整体的缩影，并且各分形元之间在不同程度上班是相似的。老于在《道德经》中说：“道大，天大，地大，人亦大。”而四者之间的密切联系充分表现在它们的依次相“法”上，即“人法地，地法天，天法道，道法自然”。这种“四大相法”的观点，猜测到了宇宙中部分与整体的关系。现代科学研究已经证明，在宇宙这个统一体中，其结构之间存在着自相似性。各子系与系统、系统与宇宙之间存在着棗一对应的关系，其相互对应的部位较之非相互对应的部位，物质特性相似程度较大。在潜态信息上，子系包含着系统的全部信息，系统包含着宇宙的全部信息。在显态信息上，子系是系统的缩影，系统是宇宙的缩影。

《易经》一书中也隐含着这种宇宙自相似的思想，为探索宇宙的奥秘作出了很大的贡献。现代天文学告诉我们，宇宙结构皆呈螺旋形状(两边为螺旋星云)，这与《易经》中的太极图极为相似。我国刘子华博士曾运用《易经》的易理探讨宇宙的构成，结合现代天文成果，预言在太阳系的最边缘存在着第10赖行星。

这在当时(4D年代)引起了学术界的极大重视。随着人类观察宇宙的技术手段不断发展，这颗行星的存在正在得到确认。部分与整体的关系既是一对哲学范畴，也是分形理论的研究对象。分形的自相似揭示了一种新的对称性，这不是左右高低的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息，从而可以通过认识部分来映象整体。自相似性从部分出发来确定整体的性质，沿着微观到宏观的方向来分析事物，这正好与系统论形成了互补。系统论由整体出发来确定各部分的系统性质，是沿着宏观到微观的方向来考察整体与部分的相关性的。它们之间的互补恰恰完整地构成了辩证的思维方法。

混沌与分形是按自组织方式，人类经过多次认识而达到的一种新的认识。人类经过长期的努力，现在对自然的认识是历史的、辩证的和科学的。当然；混沌与分形的哲学启示还有待进一步探究，哲学还要深化，混油与分形也还要发展，人类的认识必将开拓出一个更加广阔的科学棗哲学空间。