新物理高中物理动量守恒定律

动量、冲量和动量定理

1、动量：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量．是矢量，方向与速度方向相同；动量的合成与分解，按平行四边形法则、三角形法则．是状态量；通常说物体的动量是指运动物体某一时刻的动量，计算物体此时的动量应取这一时刻的瞬时速度。是相对量；物体的动量亦与参照物的选取有关，常情况下，指相对地面的动量。单位是kg·m/s；

2、动量和动能的区别和联系

①动量的大小与速度大小成正比，动能的大小与速度的大小平方成正比。即动量相同而质量不同的物体，其动能不同；动能相同而质量不同的物体其动量不同。

②动量是矢量，而动能是标量。因此，物体的动量变化时，其动能不一定变化；而物体的动能变化时，其动量一定变化。

③因动量是矢量，故引起动量变化的原因也是矢量，即物体受到外力的冲量；动能是标量，引起动能变化的原因亦是标量，即外力对物体做功。

④动量和动能都与物体的质量和速度有关，两者从不同的角度描述了运动物体的特性，且二者大小间存在关系式：P2＝2mE k

3、动量的变化及其计算方法

动量的变化是指物体末态的动量减去初态的动量，是矢量，对应于某一过程（或某一段时间），是一个非常重要的物理量，其计算方法：

（1）ΔP=P t一P0，主要计算P0、P t在一条直线上的情况。

（2）利用动量定理ΔP=F·t，通常用来解决P0、P t；不在一条直线上或F为恒力的情况。

二、冲量

1、冲量：力和力的作用时间的乘积叫做该力的冲量．是矢量，如果在力的作用时间内，力的方向不变，则力的方向就是冲量的方向；冲量的合成与分解，按平行四边形法则与三角形法则．冲量不仅由力的决定，还由力的作用时间决定。而力和时间都跟参照物的选择无关，所以力的冲量也与参照物的选择无关。单位是N·s；

2、冲量的计算方法

（1）I=F·t．采用定义式直接计算、主要解决恒力的冲量计算问题。

（2）利用动量定理Ft=ΔP．主要解决变力的冲量计算问题，但要注意上式中F为合外力（或某一方向上的合外力）。

三、动量定理

1、动量定理：物体受到合外力的冲量等于物体动量的变化．Ft=mv/一mv或Ft＝p/－p；该定理由牛顿第二定律推导出来：（质点m在短时间Δt内受合力为F合，合力的冲量是F合Δt；质点的初、未动量是mv0、mv t，动量的变化量是ΔP=Δ（mv）=mv t－mv0．根据动量定理得：F合=Δ（mv）/Δt）

2．单位：牛·秒与千克米／秒统一：l千克米／秒=1千克米／秒2·秒=牛·秒；

3．理解：（1）上式中F为研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。

（2）动量定理中的冲量和动量都是矢量。定理的表达式为一矢量式，等号的两边不但大小相同，而且方向相同，在高中阶段，动量定理的应用只限于一维的情况。这时可规定一个正方向，注意力和速度的正负，这样就把大量运算转化为代数运算。

（3）动量定理的研究对象一般是单个质点。求变力的冲量时，可借助动量定理求，不可直接用冲量定义式．

4．应用动量定理的思路：

（1）明确研究对象和受力的时间（明确质量m和时间t）；

（2）分析对象受力和对象初、末速度（明确冲量I合，和初、未动量P0，P t）；

（3）规定正方向，目的是将矢量运算转化为代数运算；

（4）根据动量定理列方程

（5）解方程。

四、动量定理应用的注意事项

1．动量定理的研究对象是单个物体或可看作单个物体的系统，当研究对象为物体系时，物体系的总动量的增量等于相应时间内物体系所受外力的合力的冲量，所谓物体系总动量的增量是指系统内各个的体动量变化量的矢量和。而物体系所受的合外力的冲量是把系统内各个物体所受的一切外力的冲量的矢量和。

2．动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。它可以是恒力，也可以是变力。当合外力为变力时F则是合外力对作用时间的平均值。

3．动量定理公式中的Δ（mv）是研究对象的动量的增量，是过程终态的动量减去过程始态的动量（要考虑方向），切

不能颠倒始、终态的顺序。

4．动量定理公式中的等号表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等，方向一致，单位相同。但考生不能认为合外力的冲量就是动量的增量，合外力的冲量是导致研究对象运动改变的外因，而动量的增量却是研究对象受外部冲量作用后的必然结果。

5．用动量定理解题，只能选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体做参照物。忽视冲量和动量的方向性，造成I与P 正负取值的混乱，或忽视动量的相对性，选取相对地球做变速运动的物体做参照物，是解题错误的常见情况。

规律方法1、冲量和动量变化量的计算

【例1】如图所示，倾角为α的光滑斜面，长为s，一个质量为m的物体自A点从静止滑下，

在由A到B的过程中，斜面对物体的冲量大小是，重力冲量的大小是。

物体受到的冲量大小是（斜面固定不动）．

【例2】一单摆摆球质量m=0．2kg，摆长l=0．5m．今将摆球拉高与竖直方向成50角处由静止释放，求摆球运动至平衡位置过程中重力的冲量和合力的冲量．（g＝10 m／s2）

【例3】以初速度v水平抛出一质量为m的石块，不计空气阻力，则对石块在空中运动过程中的下列各物理量的判断正确的是（）

A.在两个相等的时间间隔内，石块受到的冲量相同

B.在两个相等的时间间隔内，石块动量的增量相同

C.在两个下落高度相同的过程中，石块动量的增量相同

D.在两个下落高度相同的过程中，石块动能的增量相同

2、动量定理的初步应用

【例4】质量为2kg的物体，放在水平面上，受到水平拉力F＝4N的作用，由静止开始运动，经过1s撤去F，又经过1s 物体停止，求物体与水平面间的动摩擦因数。

【例5】质量为m=2kg的小球，从离地面h1=5 m高处自由下落，球和地面相碰后又反弹至h2＝3.2 m高处，已知上述过程经历的时间t=1.9s，求地面和小球间的平均弹力是多大？

【例6】如图所示，A、B经细绳相连挂在弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，

当A、B间绳突然断开物体A上升到某位置时速度为v，这时B下落速度为u，在这段时间

内弹簧弹力对物体A的冲量为

【例8】滑块A和B用轻细绳连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F作用在B上，使A、B一起由静止开始沿水平桌面滑动，已知滑块A、B与水平桌面间的滑动摩擦因数μ，力F作用t秒后，A、B间连线断开，此后力F仍作用于B，试求：滑块A刚刚停住时，滑块B的速度多大？滑块A、B的质量分别为m A、m B

二、动量守恒定律

1、内容：相互作用的物体，如果不受外力或所受外力的合力为零，它们的总动量保持不变，即作用前的总动量与作用后的总动量相等．

2、动量守恒定律适用的条件

①系统不受外力或所受合外力为零．

②当内力远大于外力时．

③某一方向不受外力或所受合外力为零，或该方向上内力远大于外力时，该方向的动量守恒．

3、常见的表达式

①p/=p，其中p/、p分别表示系统的末动量和初动量，表示系统作用前的总动量等于作用后的总动量。

②Δp=0 ，表示系统总动量的增量等于零。

③Δp1=－Δp2，其中Δp1、Δp2分别表示系统内两个物体初、末动量的变化量，表示两个物体组成的系统，各自动量的增量大小相等、方向相反。

动量守恒定律习题归纳

1、“合二为一”问题：两个速度不同的物体，经过相互作用，最后达到共同速度。

例1、甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为6m/s.甲车上有质量为m=1kg 的小球若干个，

甲和他的车及所带小球的总质量为M 1=50kg ，乙和他的车总质量为M 2=30kg 。现为避免相撞，甲不断地将小球以相对地面16.5m/s 的水平速度抛向乙，且被乙接住。假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不致相撞，试求此时：

（1）两车的速度各为多少？（2）甲总共抛出了多少个小球？

分析与解：甲、乙两小孩依在抛球的时候是“一分为二”的过程，接球的过程是“合二为一”的过程。

（1）甲、乙两小孩及两车组成的系统总动量沿甲车的运动方向，甲不断抛球、乙接球后，当甲和小车与乙和小车具有共同速度时，可保证刚好不撞。设共同速度为V ，则:

M 1V 1－M 2V 1=（M 1+M 2）V

s m s m V M M M M V /5.1/680

20

12121=?=+-=

（2）这一过程中乙小孩及时的动量变化为:△P=30×6－30×（－1.5）=225（kg ·m/s ） 每一个小球被乙接收后，到最终的动量弯化为 △P 1=16.5×1－1.5×1=15（kg ·m/s ）

故小球个数为)(1515

225

1个==??=

P P N 2、“一分为二”问题：两个物体以共同的初速度运动，由于相互作用而分开后以不同的速度运动。

例2、人和冰车的总质量为M ，另有一个质量为m 的坚固木箱，开始时人坐在冰车上静止在光滑水平冰面上，某一时刻

人将原来静止在冰面上的木箱以速度V 推向前方弹性挡板，木箱与档板碰撞后又反向弹回，设木箱与挡板碰撞过程中没有机械能的损失，人接到木箱后又以速度V 推向挡板，如此反复多次，试求人推多少次木箱后将不可能再接到木箱？（已知2:31:=m M ）

解析:人每次推木箱都可看作“一分为二”的过程，人每次接箱都可以看作是“合二为一”的过程，所以本题为多个“一

分为二”和“合二为一”过程的组合过程。

设人第一次推出后自身速度为V 1， 则：MV 1=mV ， 人接后第二次推出，自身速度为V 2，则mV+2mV=MV 2 (因为人每完成接后推一次循环动作，自身动量可看成增加2mV) 设人接后第n 次推出，自身速度为V n ，则mV+2mV(n-1)=MV n

∴V n =

M

m

(2n-1)V ， 若V n ≥V ，则人第n 次推出后，不能再接回，将有关数据代入上式得n ≥8.25，∴n=9。

M (甲

甲推出木箱速度为v ' v m Mv v m M '+=+0)( m

Mv

v m M v -+=

'0)(

s m v /2.515

4

.030245=?-?=

'

3、“三体二次作用过程”问题

所谓“三体二次作用”问题是指系统由三个物体组成，但这三个物体间存在二次不同的相互作用过程。解答这类问题必须弄清这二次相互作用过程的特点，有哪几个物体参加？是短暂作用过程还是持续作用过程？各个过程遵守什么规律？弄清上述问题，就可以对不同的物理过程选择恰当的规律进行列式求解。

例3、光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg 的A 、B 两物块都

以V 0=6m/s 的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4kg 的物块C 静止在前方，如图所示。B 与C 碰撞后二者粘在一起运动，在以后的运动中，当弹簧的弹性势能达到最大为 J 时，物块A 的速度是

m/s 。 分析与解：本题是一个“三体二次作用”问题：“三体”为A 、B 、

C 三物

块。“二次作用”过程为第一次是B 、C 二物块发生短时作用，而A 不参加，这过程动量守恒而机械能不守恒；第二次是B 、C 二物块作为一整体与A 物块发生持续作用，这过程动量守恒机械能也守恒。

对于第一次B 、C 二物块发生短时作用过程，设B 、C 二物块发生短时作用后的共同速度为V BC ，则据动量守恒定律得：

BC C B B V m m V m )(0+= (1)

对于第二次B 、C 二物块作为一整体与A 物块发生持续作用，设发生持续作用后的共同速度为V ，则据动量守恒定律和机械能守恒定律得：

m A V 0+V m m m V m m C B A BC C B ))(++=

+（ （2） 22

20)(2

1)(2121V m m m V m m V m E C B A BC C B A P ++-++=

（3） 由式(1)、（2）、（3）可得：当弹簧的弹性势能达到最大为E P =12J 时，物块A 的速度V=3 m/s 。

4、“二体三次作用过程”问题

所谓“二体三次作用”问题是指系统由两个物体组成，但这两个物体存在三次不同的相互作用过程。求解这类问题的关

键是正确划分三个不同的物理过程，并能弄清这些过程的特点，针对相应的过程应用相应的规律列方程解题。

例4、如图所示，打桩机锤头质量为M ，从距桩顶h 高处自由下落，打在质量为m 的木桩上，且在极短时间内便随桩一

起向下运动，使得木桩深入泥土的距离为S ，那么在木桩下陷过程中泥土对木桩的平均阻力是多少？

分析与解：这是一道联系实际的试题。许多同学对打木桩问题的过程没有弄清楚，加上又不理解“作用时间极短”的含

意而酿成错误。其实打木桩问题可分为三个过程：

其一：锤头自由下落运动过程，设锤刚与木桩接 触的速度为V 0，则据机械能守恒定律得：

Mgh=

202

1

MV ,所以V 0=gh 2。 其二：锤与木桩的碰撞过程，由于作用时间极短，

内力远大于外力，动量守恒，设碰后的共同速度为V ， 据动量守恒定律可得：

MV 0=(M+m)V, 所以V=

m

M MV +0

其三：锤与桩一起向下做减速运动过程，设在木桩下陷过程中泥土对木桩的平均阻力为f,由动能定理可得：

（M+m ）gS-fS=0-2

)(21V m M +,所以f=(M+m)g+S

m M gh M )(2+.

练习：

1、如图所示，C 是放在光滑的水平面上的一块木板，木板的质量为3m ，在木板的上面有两块质量均为m 的小木块A 和B ，它们与木板间的动摩擦因数均为μ。最初木板静止，A 、B 两木块同时以方向水平向右的初速度V 0和2V 0在木板上滑动，木板足够长， A 、B 始终未滑离木板。求：

（1）木块B 从刚开始运动到与木板C 速度刚好相等的过程中，木块B

所发生的位移；

（2）木块A 在整个过程中的最小速度。

解：（1）木块A 先做匀减速直线运动，后做匀加速直线运动；

木块B

一直做匀减速直线运动；木板C 做两段加速度不同的匀加速直线运动，直到A 、B 、C 三者的速度相等为止，设为V 1

。对

M

V 0 2V 0

A 、

B 、

C 三者组成的系统，由动量守恒定律得：

100)3(2V m m m mV mV ++=+ 解得：V 1=0.6V 0

对木块B 运用动能定理，有：

2021)2(2

121V m mV mgs -=

-μ 解得)50/(91:20g V s μ= （2）设木块A 在整个过程中的最小速度为V ′，所用时间为t ，由牛顿第二定律： 对木块A ：g m mg a μμ==/1, 对木板C ：3/23/22g m mg a μμ==,

当木块A 与木板C 的速度相等时，木块A 的速度最小，因此有： t g gt V )3/2(0μμ=- 解得)5/(30g V t μ= 木块A 在整个过程中的最小速度为：.5/2010/V t a V V =-=

2、如图所示为三块质量均为m ，长度均为L 的木块。木块1和木块2重叠放置在光滑的水平桌面上，木块3沿光滑水平桌面运动并与叠放在下面的木块2发生碰撞后粘合在一起，如果要求碰后原来叠放在上面的木块1完全移到木块3上，并且不会从木块3上掉下，木块3碰撞前的动能应满足什么条件？设木块之间的动摩擦因数为。 解：设第3块木块的初速度为V 0,对于

3、2两木块的系统，设碰撞后的速度为

V 1，据动

量守恒定律得：mV 0=2mV 1

○

1 对于3、2整体与1组成的系统，设共同速度为V 2，则据动量守恒定律得：

2mV 1=3mV 2 ○

2 (1)第1块木块恰好运动到第3块上，首尾相齐，则据能量守恒有：

3221.3.2

1.2.21

V m V m mgL -=μ ○

3 由○

1○2○3联立方程得：E k3=6μmgL ○4 (2)第1块运动到第3块木块上，恰好不掉下，据能量守恒定律得：

3221.3.2

1.2.21

)5.1(V m V m L mg -=μ ○5 由○

1○2○5联立方程得：E k3=9μmgL 故：mgL E mgL k μμ963≤≤

二、课后检测

1、小车AB 静置于光滑的水平面上，A 端固定一个轻质弹簧，B 端粘有橡皮泥，AB 车质量为M ，长为L ，质量为m 的木块

1

2

3

V

C 放在小车上，用细绳连结于小车的A 端并使弹簧压缩，开始时AB 与C 都处于静止状态，如图所示，当突然烧断细绳，弹簧被释放，使物体C 离开弹簧向B 端冲去，并跟B 端橡皮泥粘在一起，以下说法中正确的是（ BC

D ） A ．如果AB 车内表面光滑，整个系统任何时刻机械能都守恒 B ．整个系统任何时刻动量都守恒

C ．当木块对地运动速度为v 时，小车对地运动速度为M

m v D ．AB 车向左运动最大位移小于

M

m L 2、质量为M 的小车静止在光滑的水平面上，质量为m 的小球用细绳吊在小车上O 点，将小球拉至水平位置A 点静止开始释放（如图所示），求小球落至最低点时速度多大？（相对地的速度） 答案：

m

M MgL

+2

3、如图所示，在光滑水平面上有两个并排放置的木块A 和B ，已知m A =0.5 kg ，m B =0.3 kg,有一质量为m C =0.1 kg 的小物块C 以20 m/s 的水平速度滑上A 表面，由于C 和A 、B 间有摩擦，C 滑到B 表面上时最终与B 以2.5 m/s 的共同速度运动，求：（1）木块A 的最后速度； （2）C 离开A 时C 的速度。

答案：（1）v A =2 m/s （2）v C =4 m/s

4、如图所示甲、乙两人做抛球游戏，甲站在一辆平板车上，车与水平地面间摩擦不

计.甲与车的总质量M =100 kg ，另有一质量m =2 kg 的球.乙站在车的对面的地上，身旁有若干质量不等的球.开始车静止，甲将球以速度v （相对地面）水平抛给乙，乙接到抛来的球后，马上将另一质量为m ′=2m 的球以相同速率v 水平抛回给甲，甲接住后，再以相同速率v 将此球水平抛给乙，这样往复进行.乙每次抛回给甲的球的质量都等于他接到的球的质量为2倍,求： （1）甲第二次抛出球后，车的速度大小.

（2）从第一次算起，甲抛出多少个球后，再不能接到乙抛回来的球.答案：（1）

10

1

v ,向左 （2）5个 A

B

C

v C

解析：当滑块C 滑到A 上时，AB 一起加速，C 减速，水平方向ABC 系统动量守恒，当C 滑到B 上时A 达最大速度，C 在B 上继续减速，B 继续加速直到BC 等速。由动量守恒定律得v m m v m v m C B A A C C )(++=得s m v A /6.2=

C 刚滑到B 上时速度为'

C v ，B 与A 等速 ∴

6 mgS =μμ由②③得

22

0)(2

121

v M m mv mgl +-=μ

把④代入得220mv M m M mgl +=μ M

m M

g v l +=μ22

点评：系统内物体间相互作用力对物体的冲量总是大小相等方向相反，相互作用力对两物体做功数值一般不等。