湖北省荆门市2020届高三4月模拟考试数学(理)试题(含答案)

2020年荆门市高三年级高考模拟考试

理科数学试题

全卷满分150分，考试用时120分钟

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，若复数i

i z -=123，则z =（ ） A.i -1 B.i +1 C.i --1 D.i +-1

2．已知集合{})3lg(,11x y x B x x A -==?

?????>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y

3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则9

762S a a -=（ ） A.5m B.9m C.51 D.9

1 4．已知+∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）

A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。 小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A.81 B.41 C.43 D.8

7

6．已知][x 表示不超过x 的最大整数，（如1]5.0[,1]2,1[-=-=），执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）

A ，49850

B ．49950 C. 50000 D ．50050

7.在二项式721

)21(x

x +的展开式中有理项的项数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

8．函数x x x x f sin )(2

+=的图像大致为（ ）

9．已知定义在R 上的函数y=f （x ）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当)1,0[∈x 时，

x x f 2sin )(π

=，则函数x e x f x g --=)()(在区间]2020,2019[-上的零点个数为（ ）

A ．1009

B ．2019 C.2020 D.4039

10．已函数],0[,cos sin )(2a x x x x f ∈+=的值域为]4

5

,1[，则实数a 的取值范围是（ ） A.]6,0(π B.]3,0(π C.]2,6[ππ D.]2,3[π

π

11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的右焦点为F ，直线034=-y x 与双曲线右支交于点M ，若OF OM =,|则该双曲线的离心率为（ ） A.3 B.2 C.5 D.6

12．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）

①若P 为棱1CC 中点，则异面直线AP 与CD 所成角的正切值为2

5； ②若P 在线段B A 1上运动，则1PD AP +的最小值为2

26+； ③若P 在半圆弧CD 上运动，当三棱锥ABC P -ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的表面积为π2；

④若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

433 A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知)3,0(),2,1(-==b a ，则向量在向量方向上的投影为 ．

14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。然而，在1983年底到1984年初，在荆州城西门外约1.5公里的张家山247号墓出士的《算数书》，比现有传本《九章算术》还早二百年，某高校数学系博士研究生5人，现每人可以从《算数书》、《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《术》等五部著作（每部著作有多本）中任意选择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有 种.（请用数字作答）

15．已知曲线y x 82=Γ：的焦点为F ，点P 在曲线Γ上运动，定点A （0．-2），则PA PF

的最小值为 ．

16．定义：若数列{n t }满足)()(1n n n n t f t f t t '-=+,则称该数列为“切线一零点数列”已知函数q px x x f ++=2)(有两个零点1，2，数列{n x }为“切线一零点数列”，设数列{n x }满足2,12ln

,21>--==n n n n x x x a a ，数列{n x }的前n 项和为n S 。，则2020S = ．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步。第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17．（本题12分

已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，且满足（a-b ）sinA= csinC- bsinB

（1）求角C;

（2）若2,2

1==

c AB AD 求CD 的最大值.

18．（本题12分）

在平行国边形EABC 中，D E EC EA ,45,22,4ο=∠==是EA 的中点（如图1），将ECD ?沿CD 折起到图2中△PCD 的位置，得到四棱锥是ABCD P -.

图1 图2

（1）求证：CD ⊥平面PDA ；

（2）若PD 与平面ABCD 所成的角为60°．且△PDA 为锐角三角形，求平面PAD 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值。

某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在学期末，校学生会为了调研学生对本校食堂A部和B 部的用餐满意度，从在A部和B部都用过餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将分数分成6组：

第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到A部分数的频率分布直方图和B部分数的频数分布表.

（1）求A部得分的中位数（精确到小数点后一位）；

（2）A部为进一步改善经营，从打分在80分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，在第3组抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率；

（3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选A部还是B部（将频率视为概率）

已知椭圆1342

2=+y x E ：的左焦点为F ，点M （-4，0），过M 的直线与椭圆E 交于A ，B 两点，线段A B 中点为C ，设椭圆E 在A ，B 两点处的切线相交于点P ，O 为坐标原点.

（1）证明：O 、C 、P 三点共线；

（2）已知B A ''是抛物线)0(22

>=p py x 的弦，所在直线过该抛物线的准线与y 轴的交点，P '是弦B A ''在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：P '在定直线上.你认为小明猜想合理吗?若合理，请写出P '所在直线方程；若不合理，请说明理由.

21．（本题12分）

设函数)1ln(2)(2+-+=x a x x x f .

（1）讨论f （x ）的单调性；

（2）设x e

x f x g -+=)()(，若1

1)(+>x x g 在（0．+∞）上恒成立，求a 的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修44：坐标系与参数方程]（本题10分）

在平面直角坐标系xOy ，以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是12cos 2=θρ，直线l 的参数方程为?????=-=t y t x 33

（t 为参数）

（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；

（2）设点P 的直角坐标为（3-，0），直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求

PB

PA 11+.

23．[选修45：不等式选讲]（本题10分）② 已知函数)(221)(R x x x x f ∈-+-=，记f （x ）的最小值m

（1）解不等式f （x ）5≤；

（2）若a+2b+3c=m ，求222c b a ++的最小值.