二项式定理典型例题解析
）））））））））
二项式定理念篇概4. 的展开式b)【例1】求二项式(a－2.
分析：直接利用二项式定理展开42334201324－()+C)+Ca(－2b=Caa+Ca(－2b)+C(－2b2解：根据二项式定理得(a－b)444444 b)2423243.
－32bab=ab－8a+24ba+16.
b中的符号“－”忽略说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－235－【例2). 】展开(2x2x2.
分析一：直接用二项式定理展开式333355234321032+ )(2x(－)+C(2x)(解法一：(2x－)(2=Cx)－
+C)(2x)(－)+C55552222x2x2x2x2334554－()x)(－) +CC (255
22x22x40524313518025.
－+－120x－+=32x1074xx8x32x.
分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开53)3?(4x35 x－)=解法二：(2
102x32x2143233353433243120+ －3)(－3)+C(4x)()(4x)(－3)+C(4x)(－3)+C(4x+C=［C(4x)55555 10x3255 3)C］(－513615129=+1620xx(1024x－3840x243) +5760x－－4320
10x3240524313518025. －+－=32x+－120x1074xxx328x n.的展开式是解答
好与二项式定理有关问题的前提条件b)说明：记准、记熟二项式(a+.
对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便6103.
的展开式中，x 的系数是(【例3】在x －)64.
的系数是C解法一：根据二项式定理可知x10r10r10r－33.
=Cx((解法二：x－－))T的展开式的通项是+1r104666443=9Cx－)T项为第5项，即=Cx(. r－令10r=6，即=4，由通项公式可知含x4+1101064的系数为9Cx.
∴10上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？
66的二项式系数，所以应是解法二正确x问题要求的是求含x.这一项系数，而不是求含64的二项式系数，解法一就正确了，也即是C如果问题改为求含x.
10说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项））））））））））．）））））））））
.
式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关210x－】已知二项式(3)，【例4x3 求其展开式第四项的二项式系数；(1) (2)求其展开式第四项的系数；.
(3)求其第四项.
分析：直接用二项式定理展开式22r1010rr－xx10).
，1，…，(解：(3－－))的展开式的通项是T=C((3r)=0+1r10x3x33=120. C展开式的第4项的二项式系数为(1)10237377760. )=(2)展开式的第4项的系数为C3(－－10317xx.
)，即－77760(777604(3)展开式的第项为－3x221010xx－(3，从而凑成二项式定理的形式)写成［. 3－+()］说明：注意把x3x31210.
的展开式中的常数项+)x【例5】求二项式(x21r2r10r－”的指xx())，要使得它是常数项，必须使“项为分析：展开式中第r+1C(10x200.
数为零，依据是x≠=1，x 项为常数项，则解：设第r+15115r?20rr10r2rr－2)(r=0，1=C，…，x10)，令20－(r=CT(x=0)，得r(=8. )+1r101022x214588)=. (∴T=C910225645. ∴第9项为常
数项，其值为256T一般采用令通项说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项
不含“变元”，+1r.
中的变元的指数为零的方法求得常数项7求(1+2展开式中系数最大项；x)【例6】(1)7.
展开式中系数最大项2x)(2)求(1－列出相邻两项系数之间关系的不等分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，.
式，进而求出其最大值rrr?1r?1?C2?C2,?77解：(1)设第r+1项系数最大，则有
?rrr?1r?1?C2?C2,?777!7!?rr?1,2?2?r!(7?r)!(r?1)!(7?r?1)!?即
?7!7!?rr?1,22??(r?1)!(7?r?1)!r!(7?r)!?））））））））））．）））））））））
1621??,??,r????3r8?r解得化简得=5.
，∴r又∵0≤r≤7??1312??.??r.??1r37?r???5555.
2xT=C=672x∴系数最大项为67项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取解：展开式中共有8(2)7故系数最大值括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，－2x)得.又因(1344C)?2C(77，所以系数=1＞和必在中间或偏右，故只需比较TT两项系数的大小即可.75661C2)4(C?774.
=560x最大项为第五项，即T5的解法是通过对展开式多项分(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)说明：本例中.
析，使解题过程得到简化，比较简洁n项的系数相等，求展开式中二项式系数最大项与第【例7】(1+2x)7的展开式中第6.
的项和系数最大的项.
的奇偶性确定二项式系数最大的项分析：根据已知条件可求出n，再根据n655685665的展开式中，(2x)，T=C)=8. (1+2x=C2C2=C，解得n(2x)，依题意有解：T76nnnn444.
=1120=Cx(2x)二项式系数最大的项为T5n1?rrr?1r?,2C2?C?77设第r+1项系数最大，则有
?1?1r?rrr?.2?CC2?77=6.
r=55≤r≤6.∴r或∴65.
，TxT=1792=1792x∴系数最大的项为76为奇数时中间两项的二项说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n.
式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负(2).
变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得篇应用
n*22) n【例8】若∈N(，(+1)∈=ba+(a、b Z)，则b的值nnnnn A.一定是奇数 B.一定是偶数有相同的奇偶性与的奇偶性相反C.与b a D. n.
分析一：形如二项式定理可以展开后考查nn2222 +b=(1+=+ab，知)解法一：由a(+1)nnnnn2323n102222. ()=C+C…)+ +C+C()+C(nnnnn422422 (…)∴b=1+C+ ()+C nnn. b∴为奇数n A
答案：. 分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法1*22.
=1，有+1)b时，n∈解法二：n N，取=1(+1)为奇数=(1））））））））））．
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222.
+5，有=2取n=2时，(b+1)=5为奇数2A
答案：10) 展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为(z)【例9】若将(x+y+D.66
C.55 A.11 B.33
1010］z?y)?［(x.
看作二项式z)展开+分析：(x+y10=
)y+z(x+y)+z，按二项式将其展开，共有11“项”，即(x+解：我们把x+y+z看成10?kk10k10－］?z［(x?y)C. (=x+y)z100k?k 10－展开，不同)这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式(x+y k10kk
－.
)，…，10)z展开后，都不会出现同类项(k=0，1(的乘积Cx+y10k10kk－10).
z，…，()k=0，1下面，再分别考虑每一个乘积C(x+y10k10－的指数都不相同，也x决定，而且各
项中和x+y)y其中每一个乘积展开后的项数由(+1=66.
不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+…D
答案：.
说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法13.
展开式中的常数项－2)｜x｜+10【例】求(||x. 分析：把原式变形为二项式定理标准形状
1136|x| )解：∵(｜x｜+=(，－－2)||x||x1rrrr662rr－－||x|x|－(. ()()∴展开式的通项是T)=(－
1)C=C+1r66||x=3.
=0，rT为常数项，则6－2r若+1r320.
=－项为常数项，即T=－C∴展开式的第446. 说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题
目，可先化为二项式，再求解93xx展开式中的有理项.
(－【例11】求)分析：展开式中的有理项，就是通项公式中x的指数为整数的项.
127?r1rr9rrr－362.
=(－)1)x)(解：∵T=C(x－Cx+1r9927?r3?r∈Z，即4+∈Z，且r=0，1，2，…，9. 令66=9. r=3或∴rr?273443.
x=－T=(－1)C84x=4r当=3时，，496r?279339.
－x=(，T－1)C=x=3时，r当=91096））））））））））．
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9433xx. 项－x，第)10∴的展开式中的有理项是第(4项－－84x说明：利用二项展开式的通项T 可求展开式中某些特定项.
+1r776+ …+axax+a【例12】若(3x－1)，求=ax +0617(1)a+a…+a；712(2)a+a+a+a；7315(3)a+a+a+a. 6204分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特殊值”法，整体解决.
7=128. +a+a=2 －1，令x=1，则a+a+ …解：(1)令x=0，则a=01670①=129.
aa+a+…+∴7127+a+a=(－4) . (2)令x=－1，则a+a+a+a+a+a07416253②1(1)?(2)7］=8256.
－4)=［128－(得：由a+a+a+a7135221(1)?(2)7］=－8128.
=［128+(－4)由得a+a+a+a(3)642022说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特
殊值”法，这是一种重要的方法，它用于恒等式.
n234567，g(xaxax)+ax=a+ax+ax各项的+axx+a++(2)一般地，对于多项式g(x)=(px+q)7420315611系数和为g(1)，g(x)的奇数项的系数和为［g(1)+g(－1)］，g(x)的偶数项的系数和为［g(1)22－g(－1)］.
【例13】证明下列各式
n1nn1?nn21－=3；+ …C+2 C+2+4C(1)1+2C nnnn222nn10)+(C)+ …(2)(C+(C)=C；nnnn2n123n1－2=n+nC.
+2C+3C+ …(3)C nnnn分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列
求和，因此可以研究它的通项寻求规律.
nn22n1nn1nn?1n201－－－b中，aba=C+Cb+Cab+ …+Ca(1)证明：在二项展开式(a+b)+C nnnnnn1nn1n?n21－，即+2C…=1，b=2，得(1+2)+4C=1+2C+ C+2令a nnnnn1nn1n?n12－.
=3 C+2+4C1+2C+ C+2…nnnnnn2n，)) =(1+(2)(1+x)x(1+x nn2n2r2r12rr12x+Cx+ …+Cx+ …
+x)(1+Cx+C(1+Cx+ …+Cx+ …+x)=(1+x). ∴nnnnnn2nnn是(1+x)的展开式中x而C的系数，由多
项式的恒等定理，得n2n?1n?1n11n0n0C+CC+ …+CC+CC=CC. nnnn2nnnnnn?mm，0≤m≤Cn，=C∵
nn222n0n1)+(C)+ …+(C)∴(C=C.
nn2nn23n1+2C+3C+ …+nC. =C(3)证法一：令S ①nnnn1n?12n Cn令S=C+2C+ …+(－
1)C+n nnnn1n?n21 +2C+C+ －1)C…C=nn+(nnnnn?1n?n21+2C…+ －+(. C=n+C n1)C ②nnnn））））））））））．
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23nn123n1+nC+nC+ …+nC=n(C+C+C+C+ …由①+②得2S=nC+C)
nnnnnnnnnn123n0 +C+C+C+ …+C)==n(Cn2.
nnnnnn1n113n2－－2=n…+n，即CC. +2C+3C+ =∴Sn2nnnn!1)n(n?k?1k Cn?n?.
=Ck证法二：观察通项：k n1?n
!k)!(n??k)!(k?1)k!(n123n?101230+nC+nC+nC+ …+nC=∴原式=nCn(C+C+C+C+…
1?n?11?1?nn?1?nn?1?11n?1nnnn1?1n－2)=+Cn，1?nn123n1－2=n+nC. +2C+3C+ …即C nnnnk?1k=nCC可作为性质记住. 说明：解法二中k1?nn5精确到0.001的近似值】求1.997.
【例14分析：准确使用二项式定理应把1.997拆成二项之和形式如1.997=2－0.003.
55－1.9970.003)=(2解：42332512320.003+C20.003－C20.003+…=2 －C555≈32－0.24+0.00072≈31.761.
说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.
51－1能被7整除【例15】求证：51.
分析：为了在展开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形式. 505051515151501510492+ …+C49·2－1=C49+C+C2－1证明：51，－1=(49+2) 5151515151512－1以外各项都能被易知除C7整除.
5151317171716161017－7+C+ －1=C7…+C又2 －1=(2)7－1=(7+1)+C1717171716151016).
7+…+C1=7(C7+C17171751－1能被517整除.
显然能被7整除，所以说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式.
创新篇
lgxn的展开式的最后三项系数之和为22，中间一项为20000.(x求x+1). 【例16】已知分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理准确表达出来，不难求解！
2*1n?nn?2，∴n=6. +C+C42=0. 又n∈解：由已知C N=22，即n+n－nnnlgx3lgx3lgx3 (x)=20000，即(x)T为中间一项，T=C=1000. x=10.
44612x=1，lgx=±1，∴x=10或x=.
lg两边取常用对数，有10说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式，根据已知条件列出等式或不等式进行求解.
mn*)，若其展开式中关于N x的一次项的系数和为(m，n)【例17】设f(x)=(1+x∈+(1+x)2项的系数取最小值？并求这个最小值.
为何值时，含x11，问m，n2的系数是关于xx的二次表达式，然后利用二次函数性质探分析：根据已知条件得到讨最小值问题.
22?11?nm1222121=(m－m+n－n)=，+C=11. C+=C解：+Cnm nnmm22*，N n∵∈））））））））））．
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225.
项系数最小，最小值为=5或6时，x∴n=6或5，m.
说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题1n+x. 18】若(－2)【例的展开式的常数项为－20，求n x11n2n x时，－)；当x＜时，把三项式(x+－2)0转化为(≠分析：题中x0，当x＞0xx11nn2n x. (n－).－2)然后写出通项，令含=(－1)x的幂指数为零，进而解出同理(x+xx11n2n x ，=(－2)－)＞解：当x0时，(x+xx1r2rr2nr2nrr－－xx)－)=(－1)=CC()((. 其通项为T+1rnn22x rn C；n=r，∴展开式的常数项为(－1)令2n－2r=0，得n211rnnn2n x. －1)C－)－2).=(－1)同理可得，展开式的常数项为(x当x＜0时，(+(n2xx rn.
－1)C无论哪一种情况，常数项均为(n2rn=20.以n=1，2，3，…，逐个代入，得n令(－1)C=3. n2
说明：本题易忽略x＜0的情况.
22n1－＜().
【例19】利用二项式定理证明3n?12n?1不易从二项展开式中得到，可以考虑其倒数. 分析：21?n321?2n1nn1－－.
成立成立，只需证()证明：欲证()＜＜2321n?1111311n21nnn1?102－－－(+C+C(=C)+C 而())+ =(1+)…11?n?11n?n?n22222111?n1n2n12?－(() +C…)+ +C=1+1n?n?1
2221?n.
＞2131nn1－－然后利用二项式定理展开式是解，转化为(1+)(说明：本题目的证明过程中将)
22.
决本问题的关键1*n).
∈N＜3(n【例20】求证：2≤(1+)n1n.
与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析分析：(1+)n1n=2.
)n=1时，(1+证明：当n111111nnn212nn(2. )＞+ …)+C=1+C=1+1+C+C+ …+C()(1+n当≥2时，nnnnn22nnnnnn1)?k1)?(n?1n(n?1kk( ≤)=C又，n
k!knn!k））））））））））．
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1111111n)≤2+++ …+＜2++所以(1++ …+
n?1)!(n?2!3!nn22?31?11111)+(－)+ …－+(－) =2+(1n3221n?1＜－3. =3
n1n)＜3. 综上有2≤(1+n再采用放缩法和其他有关在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式展开，说明：.
知识，将不等式证明到底11n+1*n.
∈N(1+，(1+))＜【例21】求证：对于n n1n?.
分析：结构都是二项式的形式，因此研究二项展开式的通项是常用方法r A11nrn证明：(1+)展开式的通项T=C= +1rn rr nnr!n1n(n?1)(n?2)?(n?r?1) =
r!rn1211r?). (1－－)…=(1－)(1!rnnn r A11n+1rn?1(1+)展开式的通项T′=C= +1r 1n?rr1?n)r!(n?11)(n?1n(n?1)(n?2)?(n?r?1) =
r!rn11?2r1). －…(1(1－)(1－)=
!r1?1nn?1n?由二项式展开式的通项可明显地看出T＜T′+1r+1r11n+1n)＜(1+) 所以(1+
n1?n证明时，根据题设特点，说明：本题的两个二项式中的两项均为正项，且有一项相同..
采用比较通项大小的方法完成本题证明n*n cac成等差数列，n∈N+，求证：b【例22】设a、b、c 是互不相等的正数，且a、、n.
b＞2成等差数列创造条件使用b、c分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据a、.
二项式定理.
b+db－d，c==证明：设公差为d，则a nnnnnn b－2+(b++cd－2b)=(b－d)a n1n22n1n22nnnnn2121－－－－bbb+ …+d+(d+ …－1)bd［］+b］+C d+Cb=［d－Cd+C nnnnn22n4424－－b＞0. bd+Cd…)=2(C nn，这就给利用二项式定理证+dd，c=bda、b、c成等差，公差为，可得a=b－说明：由nnnnn)dd)+(b+－d问题即变为.(b－)b+(+d)＞2b，然后用作差法改证(b明此问题创造了可能性n0.
b－2＞526.
x)x的展开式中项的系数3x】求【例23(1+2－））））））））））．
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6
226))xxx分解因式，把三项式化为两个二项式的积，即(1+2x－3=(1+3分析：先将1+2x－36.
)(1－x5.
的系数，问题可得到解决然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x6kk666k展开式之)(1－x)x展开式之通项为T=C3x解：原式=(1+3x)，(1－x)，其中(1+3+1k6rr.
)(－x通项为T=C+1r6rrkk+66rk.
31)x展开式的通项为CC原式=(1+3x)((1－x)－66 5，，6}1，2，3，4，，1，2，3，4，5，6}，r∈{0，r现要使k+=5，又∵k∈{0,5k?k?3,k?4,k?0,k?1,k?2,??????或或或或或必须
??????.0r?3r?2r?1r?4r?5?r??????53405434120524331142 C33C(－1)+C+C3C(－1)+C3C(－1)故x+C项系数为C3C(－1)66666666660550168.
－3C(－1)(－1)+C=66.
说明：根据不同的结构特征灵活运用二项式定理是本题的关键16x) ()【例24】(2004年全国必修+选修1)(展开式中的常数项为－x20
D.－ C.20 A.15 －B.15
33r?32rr6rr2rr－－x2=15. (CT=(=2时，－1)3)－－1)x=(－1)r=0CC，x，当r=(解析：T3+1r6662A
答案：34x) x)(2x+的系数是)(的展开式中(2004【例25】年江苏B.12 C.24 D.48 A.6
r r?224rrrrr2rr－x2=24. －2)2+(C)=3，T=((21)xC)=(x－1)2，当r=2时，解析：T=(－C3r+14442C
答案：1119x lim++ …+)则展开式的第3项为288，)( 【例26】(2004年福建理)若(1－2
n2xxx??n的值是()
12 B.1 D. C. A.2 52xr2xrxrr22rr C2=288.
T=(－1)－=(1)=2C2，当r时，=(解析：T－1)C(2)3+1r9993. x=∴221113lim=2.
+)=+ (+…∴2n2xxx?n?1?3答案：A
））））））））））．
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a8)展开式中常数项为1120，其中实数(x－a是常数，【例27】(2004年福建文)已知x)
则展开式中各项系数的和是(
8888或2 A.2 B.3 C.1或3D.1a r82r8rrr44rr－－C=1120－解析：T=(1)，∴Cx(a=±2. r=4时，T=(－a))=(－a)xC，当3+1r888xa88. 或3，则f－(1)=1).令x=1∴有函数f(x)=(x x答案：C 200422004(x∈R)…+ax，x)a=+ax+ax则+若28【例】(2004年天津)(1－22004012)+
a)+(a+(a+a2010)
用数字作答.( +…+(aa)= +(aa)+ 20043002004，a +=1a+a+a+ …x解析：在函数f(x)=(1－2)=1中，f(0)=a，f(1)=20040210) aa++a)+…+()+(+(aa)+(a+aa20040002031 +aa+ …
=2004a+a+2004021 a +++aa+ …a=2003a+20041020(1) (0)+f=2003f=2004. 2004
答案：
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(完整版)二项式定理典型例题解析
二项式定理 概 念 篇 【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3 +C 44(－ 2b )4 =a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略. 【例2】展开(2x － 223x )5 . 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2 23x )3+ C 4 5 (2x )(－223x )4+C 55(－2 23x )5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二：(2x －223x )5=105 332)34(x x =10321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5 ］ = 10 321 x (1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10－ r (－3)r . 令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4 10. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项
动量冲量和动量定理典型例题精析
动量、冲量和动量定理·典型例题精析 [例题1]质量为m的物体，在倾角为θ的光滑斜面上由静止开始下滑．如图7－1所示．求在时间t内物体所受的重力、斜面支持力以及合外力给物体的冲量． [思路点拨]依冲量的定义，一恒力的冲量大小等于这力大小与力作用时间的乘积，方向与这力的方向一致．所以物体所受各恒力的冲量可依定义求出．而依动量定理，物体在一段时间t内的动量变化量等于物体所受的合外力冲量，故合外力给物体的冲量又可依动量定理求出． [解题过程]依冲量的定义，重力对物体的冲量大小为 I G＝mg·t， 方向竖直向下． 斜面对物体的支持力的冲量大小为 I N＝N·t＝mg·cosθ·t，
方向垂直斜面向上． 合外力对物体的冲量可分别用下列三种方法求出． (1)先根据平行四边形法则求出合外力，再依定义求出其冲量． 由图7－1(2)知，作用于物体上的合力大小为F＝mg·sinθ，方向沿斜面向下． 所以合外力的冲量大小 I F＝F·t＝mg·sinθ·t． 方向沿斜面向下． (2)合外力的冲量等于各外力冲量的矢量和，先求出各外力的冲量，然后依矢量合成的平行四边形法则求出合外力的冲量． 利用前面求出的重力及支持力冲量，由图7－1(3)知合外力冲量大小为 方向沿斜面向下．
或建立平面直角坐标系如图7－1(4)，由正交分解法求出．先分别求出合外力冲量I F在x，y方向上分量I Fx，I Fy，再将其合成． (3)由动量定理，合外力的冲量I F等于物体的动量变化量Δp． I F=Δp=Δmv=mΔv=m(at)=mgsinθ·t． [小结] (1)计算冲量必须明确计算的是哪一力在哪一段时间内对物体的冲量． (2)冲量是矢量，求某一力的冲量除应给出其大小，还应给出其方向． (3)本题解提供了三种不同的计算合外力冲量的方法．
二项式定理经典习题及标准答案
二项式定理经典习题及答案
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二项式定理 1. 求()x x 2 9 12- 展开式的： （1）第6项的二项式系数； （2）第3项的系数； （3）x 9 的系数。 分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为C 95 126=； （2）T C x x x 392 27 2 12129=??-=()()，故第3项的系数为9； （3）T C x x C x r r r r r r r +--=??- =-?192991831212 ()()()，令1839-=r ，故r ＝3，所求系数是()-=- 1 2 212 393 C 2. 求证：51151 -能被7整除。 分析：5114921494924922151 51 5105151150515150515151 -=+-=+?++?+-()C C C C Λ， 除C 5151 51 2 1-以外各项都能被7整除。 又C C C C C 5151 51 31717170171711617161717 2 1217117771?-=-=+-=++++-()()Λ 显然能被7整除，所以51151 -能被7整除。 3. 求9192 除以100的余数。 分析：91 90190909092 92920929219192919292=+=++++()C C C C Λ 由此可见，除后两项外均能被100整除，而C C 9291 9292 9082818210081+==?+ 故9192 除以100的余数为81。 4.（2009北京卷文）若4 (12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += A ．33 B ． 29 C ．23 D ．19 【答案】B .w 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵() () ()() () ()4 1 2 3 4 012344 4 4 4 4 12 22222C C C C C +=++++ 1421282417122=++++=+， 由已知，得171222a b +=+，∴171229a b +=+=.故选B . 5.（2009北京卷理）若5 (12)2(,a b a b +=+为有理数），则a b += （ ） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 【答案】C 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵
二项式定理 练习题 求展开式系数的常见类型
二项式定理 1．在()103x -的展开式中，6 x 的系数为 . 2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 . 3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(x x - 展开式中5x 的系数为 。 5.843)1()2 (x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65 )1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是 . 7.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为 . 8.()()8 11x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。 10.54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为 . 11.在6 2)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 . 12.5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 13.求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．
14.(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 . 15.若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则n= ，展开式中的常数项是 . 16.已知(124 x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数． 17.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为64，则二项式系数的最大值为________． 18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则展开式的系数和为________． 19.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 20.已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.
二项式定理典型例题
二项式定理典型例题-- 例1 在二项式n x x ?? ? ??+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数． 分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开． 解：方法一：[]6 262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=4 4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5 x 项的系数为6． 例3 求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n ；
（2）)12(1 1C 11C 31C 21C 1210 -+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 n n n n n n 2C C C C 210 =++++ ． 解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-? =k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边． （2）)! ()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+ 11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 1 1C 11C 11++++++++++= n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 例4 展开5 2232??? ? ?-x x ． 例5 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开． 解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即 ∑=-?+=++=++100101010 10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ． 这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开， 不同的乘积k k k z y x C ?+-1010) (（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ?+-1010)(（10,,1,0 =k ）． 其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定，
最新二项式定理练习题(含答案)
二项式定理 1 单选题 2 （x+1）4的展开式中x的系数为3 A.2 B. 4 C. 6 D.8 4 答案 5 B 6 解析 7 分析：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C 4 r x r；分析可得，r=1时，有x 8 的项，将r=1代入可得答案．9 解答：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C 4 r x r； 10 当r=1时，有T 2=C 4 1（ x）1=4x； 11 故答案为：4． 12 故选B． 13 点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简． 14 2 （x+2）6的展开式中x3的系数是 15 A.20 B.40 C.80 D. 160 16 答案 17 D 18 解析 19 分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中20 x3的系数． 21 解答：设含x3的为第r+1， 22 则Tr+1=C6rx6-r?2r， 23
24 令6-r=3， 25 得r=3， 26 故展开式中x3的系数为C63?23=160． 27 故选D． 28 点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工29 具 30 3在（1+数学公式）4的展开式中，x的系数为 31 A.4 B.6 C.8 D.10 答案 32 33 B 34 解析 35 分析：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r；分析可36 得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案． 37 解答：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r； 当r=2时，有T3=C42（数学公式）2=6x； 38 39 故选B． 40 点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简． 4（1+x）7的展开式中x2的系数是 41 42 A.21 B.28 C.35 D.42 43 答案 A 44 45 解析
动量定理与动量守恒定律·典型例题解析
动量定理与动量守恒定律·典型例题解析 【例1】 在光滑的水平面上有一质量为2m 的盒子，盒子中间有一质量为m 的物体，如图55－1所示．物体与盒底间的动摩擦因数为μ现给物体以水平速度v 0向右运动，当它刚好与盒子右壁相碰时，速度减为 v 02 ，物体与盒子右壁相碰后即粘在右壁上，求： (1)物体在盒内滑行的时间； (2)物体与盒子右壁相碰过程中对盒子的冲量． 解析：(1)对物体在盒内滑行的时间内应用动量定理得：－μmgt ＝ m mv t 0·－，＝v v g 0022 (2)物体与盒子右壁相碰前及相碰过程中系统的总动量都守恒，设碰 撞前瞬时盒子的速度为，则：＝＋＝＋．解得＝，＝．所以碰撞过程中物体给盒子的冲量由动量定理得＝－＝，方向向右． v mv m v 22mv (m 2m)v v v I 2mv 2mv mv /61001212210v v 0043 点拨：分清不同的物理过程所遵循的相应物理规律是解题的关键． 【例2】 如图55－2所示，质量均为M 的小车A 、B ，B 车上 挂有质量为的金属球，球相对车静止，若两车以相等的速率M 4 C C B 1.8m/s 在光滑的水平面上相向运动，相碰后连在一起，则碰撞刚结束时小车的速度多大？C 球摆到最高点时C 球的速度多大？ 解析：两车相碰过程由于作用时间很短，C 球没有参与两车在水平方向的相互作用．对两车组成的系统，由动量守恒定律得(以向左为正)：Mv －Mv ＝
2Mv 1两车相碰后速度v 1＝0，这时C 球的速度仍为v ，向左，接着C 球向左上方摆动与两车发生相互作用，到达最高点时和两车 具有共同的速度，对和两车组成的系统，水平方向动量守恒，＝＋＋，解得＝＝，方向向左．v C v (M M )v v v 0.2m /s 222M M 4419 点拨：两车相碰的过程，由于作用时间很短，可认为各物都没有发生位移，因而C 球的悬线不偏离竖直方向，不可能跟B 车发生水平方向的相互作用．在C 球上摆的过程中，作用时间较长，悬线偏离竖直方向，与两车发生相互作用使两车在水平方向的动量改变，这时只有将C 球和两车作为系统，水平方向的总动量才守恒． 【例3】 如图55－3所示，质量为m 的人站在质量为M 的小车的右端，处于静止状态．已知车的长度为L ，则当人走到小车的左端时，小车将沿光滑的水平面向右移动多少距离？ 点拨：将人和车作为系统，动量守恒，设车向右移动的距离为s ，则人向左移动的距离为L －s ，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得M ·s －m(L －s)＝0，从而可解得s ．注意在用位移表示动量守恒时，各位移都是相对地面的，并在选定正方向后位移有正、负之分． 参考答案 例例跟踪反馈．．．；；．×·3 m M +m L 4 M +m M H [] 1 C 2h 300v 49.110N s 04M m M 【例4】 如图55－4所示，气球的质量为M 离地的高度为H ，在气球下方有一质量为m 的人拉住系在气球上不计质量的软绳，人和气球恰悬浮在空中处于静止状态，现人沿软绳下滑到达地面时软绳的下端恰离开地面，求软绳的长度．
二项式定理典型例题
二项式定理典型例题-- 典型例题一 例1 在二项式n x x ??? ? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 17页 系数和为n 3． 典型例题四 例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
二项式定理典型例题
高考数学专题复习二项式定理练习题 1.在二项式（仮的展开式中，前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项. I 2仮丿 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决. 解：二项式的展开式的通项公式为： 前三项的r =01,2. 1 1 1 1 得系数为：1 =1,上 2 =。；一 =— n,t 3 = cn — = —ng-1 ), 2 2 4 8 1 由已知：2t 2 =匕 叫 3 n= 1 + — n(n —1), 8 ??? n =8 通项公式为 _ 16 J3r 1 --- TF=c8-rx 4 r =0,1,2" 8,Tr + 为有理项，故 16 —3r 是 4 的倍数, 2 /. r =0,4,8. 依次得到有理项为「= X 4 ,丁5 = C ； —4 X =— X ,T 9 = c 8 A x° =—— x 2 ? 2 8 2 256 说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类 似地，（J 2 +3 /3）100 的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 系数和为3n . 2. （1）求（1 —x ）3 （1+x ）10 展开式中X 5 的系数；（2）求（x + 1 +2）6 展开式中的常数 项. X 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， 视为两个二项展开式相乘； （2）可以经过代数式变形转化为二项式. 解：（1 ） （1-x ）3 （1 +x ）10 展开式中的X 5 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项: 用（1 —X ）3 展开式中的常数项乘以 （1 +x ）10 展开式中的 X 5 项，可以得到 C lo X 5 ;用 “c"严k 丿 2n J3r =c n 2^ x 4 r 的取值，得到共有 （1）可以
高中物理动量定理试题经典及解析
高中物理动量定理试题经典及解析 一、高考物理精讲专题动量定理 1．如图所示，静置于水平地面上的二辆手推车沿一直线排列，质量均为m ，人在极短的时间内给第一辆车一水平冲量使其运动，当车运动了距离L 时与第二辆车相碰，两车以共同速度继续运动了距离L 时停。车运动时受到的摩擦阻力恒为车所受重力的k 倍，重力加速度为g ，若车与车之间仅在碰撞时发生相互作用，碰撞吋间很短，忽咯空气阻力，求： (1)整个过程中摩擦阻力所做的总功； (2)人给第一辆车水平冲量的大小。 【答案】(1)-3kmgL ；(2)10m kgL 【解析】 【分析】 【详解】 (1)设运动过程中摩擦阻力做的总功为W ，则 W =-kmgL -2kmgL =-3kmgL 即整个过程中摩擦阻力所做的总功为-3kmgL 。 (2)设第一辆车的初速度为v 0，第一次碰前速度为v 1，碰后共同速度为v 2，则由动量守恒得 mv 1=2mv 2 22101122 kmgL mv mv -= - 2 21(2)0(2)2 k m gL m v -=- 由以上各式得 010v kgL = 所以人给第一辆车水平冲量的大小 010I mv m kgL == 2．观赏“烟火”表演是某地每年“春节”庆祝活动的压轴大餐。某型“礼花”底座仅0.2s 的发射时间，就能将质量为m =5kg 的礼花弹竖直抛上180m 的高空。（忽略发射底座高度，不计空气阻力，g 取10m/s 2） (1)“礼花”发射时燃烧的火药对礼花弹的平均作用力是多少？（已知该平均作用力远大于礼花弹自身重力） (2)某次试射，当礼花弹到达最高点时爆炸成沿水平方向运动的两块（爆炸时炸药质量忽略
2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数 （包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=， 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
二项式定理(基础+复习+习题+练习)
课题：二项式定理 考纲要求： 1.能用计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习 1.二项式定理及其特例： ()101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， ()21(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ + 2.二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， = 3.常数项、有理项和系数最大的项： 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4.二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式 系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 5.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量 的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） 6.()1对称性． 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴. ()2增减性与最大值： 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值 ()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +， 令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++ ++ +
知识讲解 动量 动量定理(基础)
物理总复习：动量 动量定理 编稿：刘学 【考纲要求】 1、理解动量的概念； 2、理解冲量的概念并会计算； 2、理解动量变化量的概念，会解决一维的问题； 3、理解动量定理，熟练应用动量定理解决问题。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、动量和冲量 1、动量 （1）定义：运动物体的质量与速度的乘积。 （2）表达式：p mv =。 单位：/kg m s ? （3）矢量性：动量是矢量，方向与速度方向相同，运算遵守平行四边形定则。 （4）动量的变化量：21p p p ?=-，p ?是矢量，方向与v ?一致。 （5）动量与动能的关系：22 21()222k mv p E mv m m === p =要点诠释：对“动量是矢量，方向与速度方向相同”的理解，如：做匀速圆周运动的物体速度的大小相等，动能相等（动能是标量），但动量不等，因为方向不同。对“p ?是矢量，方向与v ?一致”的理解，如：一个质量为m 的小钢球以速度v 竖直砸在钢板上，假设反弹速度也为v ，取向上为正方向，则速度的变化量为()2v v v v ?=--=，方向向上，动量的变化量为：2p mv ?=方向向上。 2、冲量
（1）定义：力与力的作用时间的乘积。 （2）表达式：I Ft = 单位： N s ? （3）冲量是矢量：它由力的方向决定 考点二、动量定理 （1）内容：物体所受的合外力的冲量等于它的动量的变化量。 （2）表达式：21Ft p p =- 或 Ft p =? （3）动量的变化率：根据牛顿第二定律 2121v v p p F ma m t t --===?? 即 p F t ?=?，这是动量的变化率，物体所受合外力等于动量的变化率。如平抛运动物体动量的变化率等于重力mg 。 要点诠释： （1）动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统。对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力。系统内力的作用不改变整个系统的总动量。 （2）用牛顿第二定律和运动学公式能求解恒力作用下的匀变速直线运动的间题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理也能求解，且较为简便。 但是，动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力。对于变力，动量定理中的F 应当理解为变力在作用时间内的平均值。 （3）用动量定理解释的现象一般可分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。另一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。分析问题时，要把哪个量一定哪个量变化搞清楚。 （4）应用I p =?求变力的冲量：如果物体受到变力作用，则不直接用I Ft =求变力的冲量，这时可以求出该力作用下的物体动量的变化p ?，等效代换变力的冲量I 。 （5）应用p Ft ?=求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化：曲线运动中物体速度方向时刻在改变，求动量变化21p p p ?=-需要应用矢量运算方法，比较复杂，如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化。 【典型例题】 类型一、动量、动量变化量的计算 【高清课堂：动量 动量定理例1】 例1、质量为0.4kg 的小球沿光滑水平面以5m/s 的速度冲向墙壁，被墙以4m/s 的速度弹回，如图所示，求：这一过程中动量改变了多少？方向怎样？ 举一反三 【变式】（2014 北京大兴模拟）篮球运动员通常伸出双手迎接传来的篮球．接球时，两手随球迅速收缩至胸前．这样做可以( ) A ．减小球对手的冲量 B ．减小球对手的冲击力 C ．减小球的动量变化量 D ．减小球的动能变化量 举一反三
(完整版)二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
高考物理动量定理试题经典含解析
高考物理动量定理试题经典含解析 一、高考物理精讲专题动量定理 1．2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．某滑道示意图如下，长直助滑道AB 与弯曲滑道BC 平滑衔接，滑道BC 高h =10 m ，C 是半径R =20 m 圆弧的最低点，质量m =60 kg 的运动员从A 处由静止开始匀加速下滑，加速度a =4.5 m/s 2，到达B 点时速度v B =30 m/s ．取重力加速度g =10 m/s 2． （1）求长直助滑道AB 的长度L ； （2）求运动员在AB 段所受合外力的冲量的I 大小； （3）若不计BC 段的阻力，画出运动员经过C 点时的受力图，并求其所受支持力F N 的大小． 【答案】（1）100m （2）1800N s ?（3）3 900 N 【解析】 （1）已知AB 段的初末速度，则利用运动学公式可以求解斜面的长度，即 22 02v v aL -= 可解得:22 1002v v L m a -== （2）根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的该变量所以 01800B I mv N s =-=? （3）小球在最低点的受力如图所示 由牛顿第二定律可得：2C v N mg m R -= 从B 运动到C 由动能定理可知： 221122 C B mgh mv mv = -
解得;3900N N = 故本题答案是：（1）100L m = （2）1800I N s =? （3）3900N N = 点睛：本题考查了动能定理和圆周运动，会利用动能定理求解最低点的速度，并利用牛顿第二定律求解最低点受到的支持力大小． 2．半径均为52m R =的四分之一圆弧轨道1和2如图所示固定，两圆弧轨道的最低端切线水平，两圆心在同一竖直线上且相距R ，让质量为1kg 的小球从圆弧轨道1的圆弧面上某处由静止释放，小球在圆弧轨道1上滚动过程中，合力对小球的冲量大小为5N s ?，重力加速度g 取210m /s ，求： （1）小球运动到圆弧轨道1最低端时，对轨道的压力大小; （2）小球落到圆弧轨道2上时的动能大小。 【答案】（1）2 5(22 +（2）62.5J 【解析】 【详解】 （1）设小球在圆弧轨道1最低点时速度大小为0v ，根据动量定理有 0I mv = 解得05m /s v = 在轨道最低端，根据牛顿第二定律， 20 v F mg m R -= 解得252N 2F ??=+ ? ?? ? 根据牛顿第三定律知，小球对轨道的压力大小为252N F ' ?=+ ?? （2）设小球从轨道1抛出到达轨道2曲面经历的时间为t ， 水平位移： 0x v t = 竖直位移： 2 12 y gt =
动量和动量定理知识点与例题
动量和动量定理的应用 知识点一——冲量（I） 要点诠释： 1.定义：力F和作用时间的乘积，叫做力的冲量。 2.公式： 3.单位： 4.方向：冲量是矢量，方向是由力F的方向决定。 5.注意： ①冲量是过程量，求冲量时一定要明确是哪一个力在哪一段时间内的冲量。 ②用公式求冲量，该力只能是恒力 1.推导： 设一个质量为的物体，初速度为，在合力F的作用下，经过一段时间，速度变为 则物体的加速度 由牛顿第二定律 2.动量定理：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化。 3.公式：或 4.注意事项： ②式中F是指包含重力在内的合外力，可以是恒力也可以是变力。当合外力是变力时，F应该是合外力在这段时间内的平均值； ③研究对象是单个物体或者系统； 规律方法指导 1.动量定理和牛顿第二定律的比较 （1）动量定理反映的是力在时间上的积累效应的规律，而牛顿第二定律反映的是力的瞬时效应的规律 （2）由动量定理得到的，可以理解为牛顿第二定律的另一种表达形 式，即：物体所受的合外力等于物体动量的变化率。 （3）在解决碰撞、打击类问题时，由于力的变化规律较复杂，用动量定理处理这类问题更有其优越性。
4.应用动量定理解题的步骤 ①选取研究对象； ②确定所研究的物理过程及其始末状态； ③分析研究对象在所研究的物理过程中的受力情况； ④规定正方向，根据动量定理列式； ⑤解方程，统一单位，求得结果。 经典例题透析 类型一——对基本概念的理解 1.关于冲量，下列说法中正确的是（） A.冲量是物体动量变化的原因 B.作用在静止的物体上力的冲量一定为零 C.动量越大的物体受到的冲量越大 D.冲量的方向就是物体受力的方向 思路点拨：此题考察的主要是对概念的理解 解析：力作用一段时间便有了冲量，而力作用一段时间后物体的运动状态发生了变化，物体的动量也发生了变化，因此说冲量使物体的动量发生了变化，A对；只要有力作用在物体上，经历一段时间，这个力便有了冲量，与物体处于什么状态无关，B错误；物体所受冲量大小与动量大小无关，C错误；冲量是一个过程量，只有在某一过程中力的方向不变时，冲量的方向才与力的方向相同，故D错误。 答案：A 【变式】关于冲量和动量，下列说法中错误的是（） A.冲量是反映力和作用时间积累效果的物理量 B.冲量是描述运动状态的物理量 C.冲量是物体动量变化的原因 D.冲量的方向与动量的方向一致 答案：BD 点拨：冲量是过程量；冲量的方向与动量变化的方向一致。故BD错误。 类型二——用动量定理解释两类现象 2.玻璃杯从同一高度自由落下，落到硬水泥地板上易碎，而落到松软的地毯上不 易碎。这是为什么？ 解释：玻璃杯易碎与否取决于落地时与地面间相互作用力的大小。由动量定理可知，此作用力的大小又与地面作用时的动量变化和作用时间有关。 因为杯子是从同一高度落下，故动量变化相同。但杯子与地毯的作用时间远比杯子与水泥地面的作用时间长，所以地毯对杯子的作用力远比水泥地面对杯子的作用力小。所以玻璃杯从同一高度自由落下，落到硬水泥地板上易碎，而落到松软的地毯上不易碎。 ３. 如图，把重物压在纸带上，用一水平力缓缓拉动纸带，重物跟着一起运动，
高考二项式定理典型例题
二项式定理 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=， 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
二项式定理十大典型问题与例题
学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 教学内容 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系 数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L