2021届河北省张家口市高三上学期入学摸底联合考试数学(理)试题Word版含解析
2021届河北省张家口市高三上学期入学摸底联合考试
数学（理）试题
一、单选题
1．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B =（）
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．[3,1)-
D ．(3,1)-
【答案】C
【解析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A 和B ，即可求得A B ．
【详解】
解：由290x -≥，解得：33x -≤≤，则函数y =[3,3]-，
由对数函数的定义域可知：10x ->，解得：1x <，则函数ln(1)y x =-的定义域(,1)-∞， 则A
B =[3,1)-，
故选：C ． 【点睛】
本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题． 2．设1i
2i 1i
z -=++，则||z =
A ．0
B ．12
C ．1
D
【答案】C
【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()
1i 1i 1i
2i 2i 1i 1i 1i z ---=
+=++-+ i 2i i =-+=，
则1z =，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．若2
()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）
A ．[1,2)
B ．[]
12，
C ．[1+)∞，
D ．[2+)∞，
【答案】A
【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a 的取值需令真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，且函数u=x 2
﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减． 详解：令u=x 2﹣2ax+1+a ，则f （u ）=lgu ，
配方得u=x 2
﹣2ax+1+a=（x ﹣a ）2
﹣a 2
+a+1，故对称轴为x=a ，如图所示：
由图象可知，当对称轴a ≥1时，u=x 2
﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上单调递减， 又真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，二次函数u=x 2﹣2ax+1+a 在（﹣∞，1]上单调递减， 故只需当x=1时，若x 2﹣2ax+1+a ＞0， 则x ∈（﹣∞，1]时，真数x 2﹣2ax+1+a ＞0， 代入x=1解得a ＜2，所以a 的取值范围是[1，2） 故选：A ．
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[],a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
4．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的
d 的值为33，则输出的i 的值为
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【解析】【详解】
0,0,1,1i S x y ====，开始执行程序框图，
111
1,11,2,;2,1+21+,4,,......
224i S x y i S x y ==+====+==()111115,124816133,32,2481632i S x y ??
==+++++++++<== ???
，，
()1111
116,12481632133,64,248163264i S x y ??==+++++++++++>== ???
，s d > 退出循环，输
出6i =，故选C.
5．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ??
∈- ???
时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3
C ．3
D ．2log 5-
【答案】D
【解析】由题意利用函数奇偶性求得()f x 的周期为3，再利用函数的周期性求得(2020)f 的值．
【详解】 解：
已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，
()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.
3,02x ??
∴∈- ???
时，2()log (27)f x x =+，
22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =?+==-=--+-=-,
故选：D 。 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性和周期性，函数值的求法，属于基础题．
6．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965
据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为（） A ．0.25 B ．0.30
C ．0.35
D ．0.40
【答案】B
【解析】由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中十环的有可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果． 【详解】
解：由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中的有：421、292、274、632、478、663， 共6组随机数，∴所求概率为6
0.320
P ==，故选：B ． 【点睛】
本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．
7．若非零向量a ，b 满足22
3
a b =
，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A.
4
π B.
2π C.
34
π D.π
【答案】 A
【解析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可． 【详解】
∵（a ﹣b ）⊥（3a +2b ）， ∴（a ﹣b ）?（3a +2b ）=0， 即3a 2﹣2b 2﹣a ?b =0，
即a ?b =3a 2﹣2b 2=23
b 2，
∴cos ＜a ，b ＞=a b a b ?=222
b b =2
，
即＜a ，b ＞=4
π， 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．
8．记()()()7
7
017211x a a x a x -=+++??++，则0126a a a a +++??+的值为( ) A ．1 B ．2
C ．129
D ．2188
【答案】C 【解析】【详解】
()
()()7
2
7
017211x a a x a x -=+++
++中，令0x =，得7
0172128a a a =++???+=.
∵()7
7[31)]2(x x =-+-展开式中707
773(1)1a C =-=-
∴0167128129a a a a ++???+=-= 故选C.
点睛：二项式通项与展开式的应用：
(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等. (2)展开式的应用：
①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.
②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断. ③有关组合式的求值证明，常采用构造法.
9．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，设其前n 项和为n S ，若1a ，29a +，3a 成等差数列，则5S =（） A ．682 B ．683
C ．684
D ．685
【答案】A
【解析】由12a =，且1a ，29a +，3a 成等差数列，求出公比，由此能求出5S ． 【详解】
解：∵各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，
12a =，且1a ，29a +，3a 成等差数列， 29)2222(q q +=∴+，且0q >，
解得4q =，552(14)
68214
S -∴==-，故选：A ．
【点睛】
本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识、考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭
圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）
A ．(0,
2
B ．3(0,]4
C ．,1)2
D ．3[,1)4
【答案】A
【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45
b
d =，
所以
4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤0c a <≤．故选A ． 【考点】椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出
AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从
而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
11．已知0a >，设函数120202019
()20201
x x
f x ++=+([,])x a a ∈-的最大值为M ，最小值为N ，那么M N +=（） A ．2020 B ．2019
C ．4040
D ．4039
【答案】D
【解析】通过分离分子可得()20202021
1
0x
f x =-+，计算可得()()4039f x f x +-=，利用函数()y f x =的单调性计算可得结果。 【详解】
解：120202019()20202020120211
0x x x f x ++==-
++， 2020()2020202020201120201
x
x x
f x -∴-=-=-++ 20202020202040392020120201
1()()x
x x f x f x ∴+--=+=-++
又()y f x =是[,]a a -上的增函数，()()4039M N f a f a ∴+=+-=，故选：D 。 【点睛】
本题考查函数的单调性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题。
12．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，且6
ACB π
∠=，21AC AB SA ===.则该三棱锥
的外接球的体积为( )
A ．
1313π
B ．13π
C ．
13π
D ．
1313π
【答案】D 【解析】【详解】
∵30ACB ∠=?，223AC AB ==ABC △ 是以AC 为斜边的直角三角形， 其外接圆半径32
AC
r =
=， 则三棱锥外接球即为以ABC △为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球， ∴三棱锥外接球的半径R 满足2213(
)22
SA R r =
+= 故三棱锥外接球的体积341313
.36
V R π== 故选D. 【点睛】
本题考查的知识点是球内接多面体，其中根据已知求出球的半径是解答的关键．
二、填空题
13．已知函数()f x 的导函数为()f x '
，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______.
【答案】2-.
【解析】对函数()f x 的解析式求导，得到其导函数，把1x =代入导函数中，列出关于'
(1)f 的方程，进而
得到'
(1)f 的值，确定出函数()f x 的解析式，把1x =代入()f x 解析式，即可求出(1)f 的值
【详解】
解：求导得：''
1()2(1)f x f x =+
，令1x =，得''1(1)2(1)1
f f =+，解得：'
(1)1f =- ∴()2ln f x x x =-+，(1)202f ∴=-+=-，故答案为：-2． 【点睛】
此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数'(1)f 的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．
14．设0x >，0y >，且2
116y x y x ??-= ??
?，则当1x y +取最小值时，2
21x y +=______.
【答案】12
【解析】当1x y +取最小值时，21x y ??+ ???取最小值，变形可得2
1416=x y x y y x ??++
???
，由基本不等式和等号成立的条件可得答案。 【详解】
解析：∵0x >，0y >，∴当1x y +取最小值时，2
1x y ??+ ??
?取得最小值，
∵222112x x x y y y ??+=++ ???，又2
116y
x y x ??-= ??
?，
∴2
21216x y x y y x +=+，∴2
1416x y x y y x ??+=+ ??
?16≥=， ∴1
4x y
+
≥， 当且仅当
416x y y x
=，即2x y =时取等号， ∴当1x y +
取最小值时，2x y =，
2
21216x x y y
++=， ∴2
212216y x y y ?+
+=，∴22
116412x y +=-=. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．
15．某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额（单
位：元），并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，
(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知a ，b ，c 成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______.
【答案】600
【解析】先根据频率分布直方图求出,,a b c 的值，然后利用等差数列的性质求出b ，进而得到消费金额超过150元的频率，用其估计总体即可。 【详解】
,,,2+a b c b a c ∴∴=，
又由频率分布直方图可得1
[1(0.0020.006)50]0.01250
a b c ++=
-+?=， =0.004b ∴，故消费金额超过150元的频率为(0.002)500.3b +?=，故该商店这一个月来消费金额超过
150元的顾客数量约为20000.3600?=，故答案为：600. 【点睛】
本题主要考查频率分布直方图中的基本运算及等差数列的基本性质，是一道基础题。 16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()1
*
23
n n a n N -=?∈，若1
1
n n
n n a b
S S ++=
，则
12n b b b ++
+=__________． 【答案】
111231
n +-- 【解析】【详解】
因为11
23323n
n n n a a +-?==?，所以数列{}n a 为等比数列 所以(
)()112133
1113
n
n
n
n a q S q
--=
==---，
又11111
11
n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-=
==-，
则1212231111111n n n b b b S S S S S S +??
????++
+=-+-+
+- ? ? ???????
1
111111231n n S S ++=-=--，故答案为111
231
n +--. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +?
?
?
???
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，
c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1
(2)
n n +.
三、解答题
17．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c
，且满足
cos 2cos 22sin sin 33C A C C ππ????
-=+?- ? ?????
.
（1）求角A 的值；
（2
）若a =
b a ≥，求1
2
b c -
的取值范围.
【答案】（1）3A π
=或23π
（2）
? 【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可解得：sin A =，结合A 为ABC ?的内角，可得A 的值。（2
）由b a ≥，由（1）可得3
A π
=，又a =
由正弦定理可得：
2sin sin b c
B C
==，从而利用三角函数恒等变换的应用可得： 12b c -6B π?
?=- ??
?，结合662B πππ≤-<，可得
12b c -的取值范围。
【详解】
解：（1）由已知得2
2
22312sin 2sin 2cos sin 44A C C C ??
-=-
???，化简得sin A =，
因为A 为ABC ?的内角，所以3
sin A =，故3A π=或23π.
（2）因为b a ≥，所以3
A π
=.由正弦定理得
2sin sin sin b c a B C A
===，得2sin b B =，2sin c C =， 故12sin sin 2b c B C -
=-＝22sin sin 3B B π??-- ???33sin cos 3sin 26B B B π??=-=- ??
?. 因为b a ≥，所以23
3B π
π≤<
，则662B πππ≤-<，所以133sin ,3262b c B π???
?-=-∈?? ?????． 【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，属于中档题．
18．如图①，正方形ABCD 的边长为4，1
2
AB AE BF EF ===，AB EF ，把四边形ABCD 沿AB 折
起，使得AD ⊥平面AEFB ，G 是EF 的中点，如图②
（1）求证：AG ⊥平面BCE ； （2）求二面角C AE F --的余弦值. 【答案】（1）详见解析（2）
21
7
【解析】首先结合已知BC ⊥底面AEFB ，所以有BC AG ⊥，再结合菱形的性质即可得到AG BE ⊥，那么（1）便不难求证了。对于（2）首先建立如图所示的空间直角坐标系，分析可知，AD 为平面AEF 的一个法向量，再求出平面ACE 的法向量，然后根据||
cos ||||
n AD n AD θ?=?进行求解即可。
【详解】
解：（1）证明：连接BG ，因为BC AD ∥，AD ⊥底面AEFB ， 所以BC ⊥底面AEFB ，又AG ?底面AEFB ，所以BC AG ⊥， 因为AB AE =，所以四边形ABGE 为菱形，所以AG BE ⊥， 又BC
BE B =，BE ?平面BCE ，BC ?平面BCE ，所以AG ⊥平面BCE .
（2）由（1）知四边形ABGE 为菱形，AG BE ⊥，4AE EG BG AB ====， 设AG
BE O =，所以23OE OB ==2OA OG ==，
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,0,0)O ，(2,0,0)A -，()0,23,0E -，()4,23,0F ，()
0,23,4C ，(2,0,4)D -， 所以(
)2,2
3,4AC =，()2,23,0AE =-，
设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =，
则0,0,AC n AE n ??=??=?所以2340,
230,
x z x y ?++=??-=??令1y =，则3x 3z =-
即平面ACE 的一个法向量为(
3,1,3n =
-，
易知平面AEF 的一个法向量为(0,0,4)AD =， 设二面角C AE F --的大小为θ，由图易知0,
2πθ?
?
∈ ??
?
， 所以||4321
cos ||||74
n AD n AD θ?===??.
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定．熟记判定定理即可证得结论，另外空间向量法求面面角，要关注是否有一个面的法向量可以直接观察出来，就不用专门取求了，还要提高计算的准确性，此题属于中档题． 19．中国农业银行开始为全国农行ATM 机安装刷脸取款系统.某农行营业点为调查居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖调查问卷,发放给2018年度该行的所有客户,并从参与调查且年龄(单位:岁)在[25,55]内的客户中随机抽取100名给予物质奖励,再从中选出一名客户参加幸运大抽奖.调查结果按年龄分成6组,制作成如下的频数分布表和女客户的年龄茎叶图,其中a ∶b ∶c =2∶4∶5. 年龄
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50)
[50,55]
/
岁
频
数
/
人
5a b c1525
女客户的年龄茎叶图
幸运大抽奖方案如下:客户最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为
4
5
,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:抛出的硬币,若反面朝上,则客户获得5000元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,客户需进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,
如果中奖,则获得奖金10000元,如果未中奖,则所获得的奖金为0元.
(1)求a,b,c的值,若分别从男、女客户中随机选取1人,求这2人的年龄均在[40,45)内的概率;
(2)若参加幸运大抽奖的客户所获奖金(单位:元)用X表示,求X的分布列与数学期望E(X).
【答案】（1）10,20,25
a b c
===，概率为
1
16
；（2）见解析
【解析】（1）根据
10045
::2:4:5
a b c
a b c
++=-
?
?
=
?
解方程组，求得,,
a b c的值.先根据茎叶图求得每组内女客户的人数，进而求得每组男客户的人数，然后根据相互独立事件概率计算公式，求得所求的概率.（2）先求得X所有可能取值为0,5000,10000.然后根据分类和分步计算原理求得对应的概率，由此求得分布列和数学期望. 【详解】
(1)由频数分布表知,a+b+c=100-45=55.
因为a∶b∶c=2∶4∶5,
所以a=
2
11
×55=10,b=
4
11
×55=20,c=
5
11
×55=25,由茎叶图可知年龄在[25,30)内的女客户有2人,年龄在
[30,35)内的女客户有4人,年龄在[35,40)内的女客户有8人,年龄在[40,45)内的女客户有10人,年龄在[45,50)内的女客户有6人,年龄在[50,55]内的女客户有10人,
故年龄在[40,45)内的男客户有15人,在100名客户中,男客户有60人,女客户有40人,所以从男客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 1=
151604
=, 从女客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 2=
101404
=, 则分别从男、女客户中随机选取1人,这2人的年龄均在[40,45)内的概率P =P 1×P 2=1114416
?=. (2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,5000,10000,则
P (X =0)=141175
52525+??=, P (X =5000)=412
525
?=,
P (X =10000)=4148
52525
??=.
X 的分布列为
E (X )=0×
725+5000×25+10000×825
=5200(元). 【点睛】
本小题主要考查茎叶图的识别，考查数据分析与处理能力，考查相互独立事件概率计算方法，考查分布列和数学期望的求法，属于中档题.
20．已知过点(2,0)的直线1l 交抛物线2
:2C y px =于,A B 两点，直线2:2l x =-交x 轴于点Q ．
（1）设直线,QA QB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值；
（2）点P 为抛物线C 上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 交直线2l 于,M N 两点，2OM ON ?=，求抛物线C 的方程．
【答案】（1）0；（2）2y x =．
【解析】（1）首先设出直线1l 的方程为2x my =+，且1122(,),(,)A x y B x y ，然后联立直线与抛物线的方程
并整理得到一元二次方程2
240y pmy p --=，再由韦达定理可得：12122,4y y pm y y p +=?=-，最后
代入12k k +中，并化简整理即可得出所求的结果；（2）首先设出点00(,)P x y ，即可求出直线PA 的方程，进而可求出M y ，N y ，再由已知条件即可得出等式，进而得出参数p 的值，即可得出所求的抛物线的方程． 【详解】
（1）设直线1l 的方程为：2x my =+，点1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组22{
2x my y px
=+=，得
2240y pmy p --=，所以12122,4y y pm y y p +=?=-
所以1212
1212122244
y y y y k k x x my my +=
+=+++++ 1212121224()880(4)(4)(4)(4)
my y y y mp mp
my my my my ++-+=
==++++.
（2）设点00(,)P x y ，直线10
1110:(),y y PA y y x x x x --=
--当2x =-时，1010
4M p y y y y y -+=+，
同理20
20
4N p y y y y y -+=
+，
因为2OM ON ?=，42M N y y ∴+=，
即10201020442p y y p y y y y y y -+-+?=-++，222
00
2
00
1684242p p my py p pmy y --=--++， 所以1
2
p =
，所以抛物线C 的方程为2y x =． 【考点】1、抛物线的标准方程；2、抛物线的简单几何性质；3、直线与抛物线的相交的综合问题． 21．已知函数()2x
f x e ax =+.
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为0，求a 的值. 【答案】（1）(2)y e x =+（2）2
e
a =-
【解析】（1）由求导公式求出()f x '
，由导数的几何意义求出切线的斜率'
=(1)k f ，利用点斜式方程求出切
线的方程；
（2）对a 进行分类讨论，当0a ≥时，()20x
f x e ax =+>，不符合题意，当0a <时，求出()f x '
以及函
数的单调区间，再对临界点与1的关系进行分类讨论，分别求出()f x 的最小值，结合条件求出a 的值； 【详解】
解：（1）当1a =时，()2x
f x e x =+，()2x
f x e '=+， 所求切线的斜率(1)2f e '=+，又(1)2f e =+. 所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(2)y e x =+ （2）当0a ≥时，函数()20x f x e ax =+>，不符合题意．
当0a <时，()2x
f x e a '=+，令20x e a +=，得ln(2)x a =-，
所以当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减 当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．
①当ln(2)1a -≤，即02e
a -≤<时，()f x 的最小值为(1)2f a e =+． 解20a e +=，得2e
a =-，符合题意．
②当ln(2)1a ->，即2
e
a <-时，()f x 的最小值为[ln(2)]22ln(2)f a a a a -=-+-．
解22ln(2)0a a a -+-=，得2
e
a =-，不符合题意．
综上，2
e
a =-．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，恒成立问题的转化，以及分类讨论和转化思想，属于中档题．
22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ?=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为2,
3π??
???
，点B 在曲线2C 上，求ABO ?面积的最大值．
【答案】（1）()2
2
x 2y 40x -+=≠（）；（2）2
【解析】【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()2
2240x y x -+=≠；
（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数
的性质可得OAB 面积的最大值为2.
试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知 |OP|=ρ，OM =14
cos θ
ρ=
. 由OM ?|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞）
因此2C 的直角坐标方程为
()2
2
x 2y 40x -+=≠（）. （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积
1
S AOB 4cos α|sin α|2|sin 2α|2233B OA sin ππρ∠=
?=?-=-≤
当α12
π
=-
时， S 取得最大值2+.
所以△OAB 面积的最大值为2.
点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
23．已知函数2
()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．
【答案】（1）1{|1}2
x x -+-<≤
；
（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（
2）()()f x g x ≥
的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．
试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2
1140x x x x -+++--≤.①
当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；
当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；
当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤
.
所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.
所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.
又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]1,1-.
点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设
a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并
集．
(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．
2021届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题
绝密★启用前 数学试卷 学校：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一. 填空题 1. 已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，A B A =，则非零实数m = 2. 不等式2log (21)1x -<的解集为 3. 已知sin( )2 m π α+=，则cos(2)πα-= 4. 若满足约束条件10 040 x x y x y -≥?? -≤??+-≤? ，则y x 的最大值为 5. 已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=，则实数a = 6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知23a =，2c =，sin sin 0 020cos 01 C B b c A -=， 则△ABC 的面积为 7. 已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a += 8. 在平面直角坐标系O 中，O 为原点，(1,0)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，动点D 满足，则|| OA OB OD ++的最大值为 9. 我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I 专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是 （结果用最简分数表示） 10. 设(,)n n n P x y 是直线2()1n x y n n += ∈+*N 与圆222x y +=在第四象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞+=- 11. 设1x 、2x 分别是函数()x f x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则122020x x +的取值范围是 12. 已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2 ()2f x x x =+的图像上()n ∈*N ，112 n n n b a a = ++，则数列{}n b 的前n 项和n S = 二. 选择题 13. 设复数z 满足3 (2i)12i z +?=-，则复数z 对应的点位于复平面内（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
高三数学第一次月考试题
2012年第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知M ={x |x 2＞4}，21,1N x x ? ? =≥??-?? 则C R M∩N = （ ） A ．{x |1＜x ≤2} B ．{x |－2≤x ≤1} C ．{x |－2≤x ＜1} D ．{x |x ＜2} 2. （2010··重庆四月模拟试卷） 函数1 lg(2) y x = -的定义域是 （ ） A. ()12， B. []14， C. [)12， D. (]12， 3. (理)（2010·全国卷I ）记cos(80)k ? -=,那么tan100?= （ ） A.k B. k - D. (文)（2010··全国卷I ）cos300? = （ ） A 12- C 12 D 4（理）（2010·宣武一模）若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π 3 S =，则6tan a 的值为（ ） A B ．C ． D ． 4.(文)（2010·茂名二模）在等差数列{}n a 中，已知1241,10,39,n a a a a =+==则n = （ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 5. （2010·太原五中5月月考）在等比数列}{n a 中，前n 项和为n S ，若63,763==S S 则公比q 等于（ ） A ．-2 B ．2 C ．-3 D ．3 6. （2010·曲靖一中冲刺卷数学）函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f(x)= x +1，则函数f(x)在（1，2）上的解析式为 （ ） A ．f(x)= 3－x B ．f(x)= x －３ C ．f(x)= １－x D ．f(x)= x +1
高三数学12月摸底考试试题理
山东省桓台第二中学2017届高三数学12月摸底考试试题 理 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1．已知R 是实数集，2 {| 1},{|1}M x N y y x x ===-＜，则R N C M ?=( ) A.（1，2） B. [0，2] C.? D. [1，2] 2．设i 为虚数单位，复数3i z i -=，则z 的共轭复数z =( ) A.13i -- B. 13i - C. 13i -+ D. 13i + 3．已知平面向量,a b ，1,2,25a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为( ) A. 6 π B. 3π C. 4 π D. 2 π 4．下列命题中，真命题是( ) A. 2 ,2x x R x ?∈> B. ,0x x R e ?∈< C. 若,a b c d >>，则 a c b d ->- D. 22ac bc <是a b <的充分不必要条件 5．已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤?? -≥??-≥? ，则22(1)z x y =-+的最大值是( ) A ．1 B ．9 C ．2 D ．11 6．将函数sin 26y x π?? =- ?? ? 图象向左平移 4 π 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) A. 12 x π =- B. 12 x π = C. 6 x π = D. 3 x π = 7．函数()01x y a a a a = ->≠且的定义域和值域都是[]0,1，则548 log log 65 a a += ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8．已知函数()()2,14x f x ax e f '=--=-，则函数()y f x =的零点所在的区间是( ) A. ()3,2-- B. ()1,0- C. ()0,1 D. ()4,5
湖南省师大附中2019届高三数学摸底考试试题理
2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试 数学(理科) 时量：120分钟满分：150分 得 分：第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1 ?已知复数z满足( 2 + i)z = 2-i (i为虚数单位)，贝U z等于 A. 3 + 4i B. 3—4i 3 4 C5+5i 2. 已知P= ｛x|x 2—5x + 4v0｝, Q= ｛x|y = 4 —2x｝，贝U P QQ 等于 A. (1 , 4) B. [2 , 4) C. (1 , 2] D. (—3 2] 3. 已知两组样本数据｛x 1, X2,…,x n｝、｛y 1, y2,…,y m｝的平均数分别为h和k,则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为 h+ k nh + mk A B. 2 m+ n mh+ nk h+ k C - D.-— m+ n m+ n 4. 已知｛a n｝为等比数列，a1>0, a4 + a7= 2, a5a6=—8,贝U a1 + a4 + a7 + ae等于 A. —7 B.—5 C. 5 D. 7 5. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD为正方形，E, F分别为PA PD的 中点，在此几何体中，给出下面4个结论： ①直线BE与直线CF异面； ②直线BE与直线AF异面； ③直线EF//平面PBC； ④平面BCEL平面PAD. 其中正确的有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2 2 2 2 x y y x 6. 已知双曲线孑―孑=1(a>0 , b>0)以及双曲线?—孑=1(a>0 , b>0)的渐近线将第一象
2021学年高三数学下学期入学考试试题一
2021学年高三下学期入学考试数学（一） 一、填空题 1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则U A =____. 【答案】{}2,3 【解析】结合所给的集合和补集的定义，可得U A 的值. 【详解】 解：由全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-， 可得： {}2,3U A = ， 故答案为：{}2,3. 【点睛】 本题主要考查集合和补集的定义，相对简单. 2．复数 3i i +（i 是虚数单位）的虚部为____. 【答案】3- 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，可得原复数的虚部. 【详解】 解：(3)313131 i i i i i i i i +?+-+= ==-?-， 故原复数的虚部为3-， 故答案为：3-. 【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题. 3．某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____. 【答案】9 【解析】先求出抽样比，由此可求出高三年级应抽取的学生人数. 【详解】 解：由题意可得：抽样比301 11001000900100 f = =++， 故高三年级应抽取的学生人数为：1 9009100 ?=，
故答案为：9. 【点睛】 本题主要考查分层抽样的相关知识，求出抽样比是解题的关键. 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______． 【答案】 1011 【解析】由题设提供的算法流程图可知:1111101122310111111 S =++???+=-=???，应填答案 10 11 ． 5．函数( )2 2log 43y x x =+-的定义域为____. 【答案】()14-, 【解析】由对数函数真数大于0，列出不等式可得函数的定义域. 【详解】 解：由题意得：2043x x +-＞，解得：4x -1＜＜， 可得函数的定义域为：()14-,， 故答案为：()14-,. 【点睛】 本题主要考查函数的定义域及解一元二次不等式，属于基础题型. 6．劳动最光荣.某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为____. 【答案】 310 【解析】分别计算出从5名学生中选出 2名学生的选法，与从3名男生选出 2名男生的选法，可得恰好选中2名男生的概率. 【详解】 解：由题意得：从5名学生中选出 2名学生，共有2 510C =种选法；
高三数学第一次月考试卷
高三数学第一次月考试卷（集合、函数） 班级： 学号： 姓名： . 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I=｛0｝ C. R ∩I=φ D. ＣcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = （ ） A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P ：x ∈A B ，则 P 是（ ） A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()1122 m m --± 均为奇数”，其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 （ ） A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<，则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<，则a ，b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3 x f x =，那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =，4log 3b =，2 0.3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
江西省赣州市2020年高三摸底考试理科数学 参考答案
赣州市2020年高三年级摸底考试理科数学参考答案 一、选择题 1～5.BAACB ；6～10.ADBDC ；11～12.AB . 提示：9.令1ln y x =，2y ax =，(0,)x ∈+∞显然在 (0,1)x ∈函数没有三各公共点，故1ln ln y x x ==， 111y a x x a '= =?=，所以21y =，故切点为1(,1)a ，代入1ln y x =得1e a =，1ln 42ln 2y ==，函数过点(4,2ln 2)，2ln 2ln 242a ==，故范围为ln 21(,)2e .10.解法一：不妨设(2,0)a = ，(,)b x y = ，则由()3b b a ?-= 得22(1)4x y -+=，22(2)a b x y -=-+ 表示圆22(1)4x y -+=上的点到(2,0)的距离，故max 3a b -= .解法二：由()3b b a ?-= 得23a b b ?=- ，2a = ， 222222242(3)10a b a b a b b b b -=+-?=+--=- ，要a b - 最大，必须2b 最小，而2cos 30b a b θ-?-= ，即22cos 30b b θ--= ，解得2cos cos 3b θθ=++ ， min 121(cos 1)b θ=-+==- ，所以max 3a b -= .11三角形1F MN 为直角三角形，故它的内切圆半径 1112MF MN NF MF MN NF r +-+-==1212MF MN MN MF MF MF a b +---====，故离心力2e =12.①(2)sin()sin ()2x f x x f x π-=-=-，所以成立；④(2)sin sin ()2 x f x x f x π+=-=，故该函数为周期函数；②由④得，所以2π是()f x 的一个周期，不妨设02x π≤≤，则 2()2sin cos 22x x f x =221cos cos 22x x ??=- ?? ?，令2cos [1,1]t x =∈-，令()g t ()32t t =-，
2020届高三数学摸底考试试题 文
2019届高三摸底考试 数 学(文科) 得分：______________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－4≤x －1≤4}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A ．2个 B ．3个 C ．1个 D ．无穷多个 2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设i 为虚数单位，m ∈R ，“复数z ＝(m 2 －1)＋(m －1)i 是纯虚数”是“m ＝±1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为 A ．22y ±x ＝0 B ．22x ±y ＝0 C ．8x ±y ＝0 D ．x ±8y ＝0 5．下列函数的最小正周期为π的是 A ．y ＝cos 2 x B ．y ＝|sin x 2| C ．y ＝sin x D ．y ＝tan x 2 6．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为
A.33 B.32 C. 23 3 D. 3 7．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2 (a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝ A ．2 B.154 C.174 D ．a 2 8．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝ A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 9．已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是1 3，则在空 白的赋值框处应填入的关系式可以是 A ．y ＝x 3 B ．y ＝13x C ．y ＝3x D ．y ＝3－x 10．设x ，y 满足约束条件???? ?3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值 为12，则2a ＋3 b 的最小值为 A ．4 B.83 C.113 D.25 6 11．过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2 ＋()y －t ＋22 ＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A 、 B ，则PA →·PB → 的最小值为 A. 103 B.403 C.21 4 D ．22－3 12．已知函数f ()x ＝ ln x ＋() x －b 2 x (b ∈R )．若存在x ∈???? ??12，2，使得f (x )＞－ x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是
高三数学上学期入学考试试题 文1
重庆八中高2017届高三上入学考试 数学试题（文科） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．sin(150)-的值为 A ．12 - B ． 12 C ．32 - D ． 32 2．已知命题:,20x p x R ?∈>，命题:,sin cos 2q x R x x ?∈+>，则 A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C ．命题()p q ∧?是真命题 D ．命题()p q ∨?是假命题 3．已知函数221,1 (),1 x x f x x ax x ?+>∈，则“()f x 在1x =处取得最大值”是“(1)f x +为偶函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件