关于方程组的同解性

线性方程组的矩阵求解算法

线性方程组的矩阵求解算法 摘要 线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的 增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现. 关键词 线性方程组;解向量;解法;约当消元法 1 矩阵求解算法 设有线性方程组m n A X b ?=,其增广矩阵())(1,m n A A b ?+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ?+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤; 第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ?-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,,t r L 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =; 第三步:构造矩阵() 1m n r D H F ?-+?? = ? ??,其中 ()()1100 001 0000 10n r n r F -?-+-?? ?- ? = ? ? -??L L L L L L L L 第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-L 即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解. 2 算法证明 先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为

4微分方程的解及解的稳定性

第四讲 微分方程解的稳定性 上一讲，我们利用最大值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个方程，一个是状态变量的转移方程，另一个是欧拉方程。这两个方程构成了包含状态变量和控制变量的二元一次方程组。 []δα--=-) ()()()()(1 t k t c t k t k t k []δραα--=-1 )() ()(t k t c t c 这个方程组是一个非线性微分方程组，一般情况下，非线性方程组不存在解析解，即方程组的解不能用初等函数来表示。因此，他们的性质需要借助其他方法来了解。 微分方程：变量为导数的方程叫做微分方程。 常微分方程：只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。 偏微分方程：有两个或两个以上自变量的方程叫做偏微分方程。 微分方程的阶：微分方程中变量的导数最高阶叫做方程的阶。 线性方程：方程的形式是线性的。 例如，方程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a 是一个二阶线性常微分方程。 又如，索洛－斯旺模型的基本方程是一个非线性方程： ())()()(t k t k s t k ?-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分方程组的解： []δα--=-) ()()()()(1 t k t c t k t k t k []δραα--=-1 )() ()(t k t c t c 一、 一阶微分方程 一阶微分方程可以用下面的方程表示 ),(y x f dx dy = (1.1) 其中，函数R R R f →?:是连续可微函数。 最简单的微分方程是

)(x f dx dy = (1.2) 它的解可表示为不定积分： ?+=c dx x f y )( (1.3) 其中，?dx x f x F )()(＝表示任意一个被被积函数，c 为任意常数。当然，我们也可以确定任意一个被积函数，例如，令??x dt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定 积分可表示为 ?+x c dt t f y 0)(＝ 这时，不定积分仍然代表无穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上面微分方程的解就是 ?+x y dt t f y 00)(＝ (1.4) 二、 常见的一阶微分方程解法 1． 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的一般形式为 )()(x g y x p dx dy =+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。 为求解线性微分方程，在方程的两边同乘以?x dt t p 0)(ex p , 则方程的左边为 dx dt t p y d y dt t p x p dt t p dx dy x x x ??? ???= ?+???0 00)(exp )(exp )()(exp 所以 ??? ??=??? ?????x x dt t p x g dx dt t p y d 00)(exp )()(exp (2.2) 方程(2.2)的解为 ?? ????+? ?? ????? ??-=???c dt t p x g dt t p y x x x 000)(exp )()(exp (2.3) 2. 可分离变量的微分方程

二元一次方程组的同解错解参数等问题

二元一次方程组的同解、错解、参数等问题 一． 解下列方程组: 二．含参数的二元一次方程组的解法 二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。 1.、同解 两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。 例：已知方程 与 有相同的解， 则a 、b 的值为 。 2、错解 由方程组的错解问题，求参数的值。 例：解方程组???=-=+872y cx by ax 时，本应解出???-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解???=-=2 2y x 试求a+b+c 的值。 方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而求出参数的值。 3、参数问题 根据方程组解的性质，求参数的值。 例：1、m 取什么整数时，方程组的解是正整数？ 方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。 （1） （2） ???=+=+4535y ax y x （3） （4） ???=+=-1552by x y x ① ② ???=-=-0362y x my x

4、根据所给的不定方程组,求比值。 2、求适合方程组 ? ? ? = + + = - + 5 4 3 4 3 2 z y x z y x 的 z y x z y x + - + + 的值。 练习： 2.已知关于x y 、的方程组 210 320 mx y x y += ? ? -= ? 有整数解,即x y 、都是整数,m是正整数,求m的值 3、已知关于x y 、的方程组 26 47 x ay x y -= ? ? += ? 有整数解,即x y 、都是整数,a是正整数, 求a的值. 4. 已知方程组由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 3 1 x y =- ? ? =- ? ; a515 42 x y x by += ? ? -=- ? ① ②

习题选解

第六章 习题选解 6-1 对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过()0,0x 的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。 1） +∞<<-∞>>+=02,0,0,x B A Bx Ax dt dx 2）()()0,310≥--=x x x x dt dx 解 1）方程可化为 )(x B A Bx dt dx +=，则其常数特解为 B A x x -==21,0，即为驻定解。 由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当B A x x - ≠≠,0时，分离变量得 Adt dx B A x x =? ????? ? ?+-11 方程的通解为 At Ce Bx A x =+ 利用初始条件()?? ? ? ?-≠≠=B A x x x x 000,00，得 00Bx A x C += ，故得原方程满足初始条件的解为 (0)(0≥??? ? ??++-= -t e B x A B A t x At ) （1） 由式（1）和方程右端的表达式，得出 当时，00>x 0>dt dx ，递增， )(t x 又 B e B x A B B x A At →??? ? ??+->+-00,时，+∞→)(t x ， 即)1ln(1 0+= →B x A A t t 时，+∞→)(t x 。

当 ???????<-><+>-<>+<0 00,000 00 0 dt dx ,B A x , B x A dt dx ,B A x B x A x 时，有 ()+∞→- →t B A t x )( 所以解（1）的图像如图6-5所示。 图6-5 从解的图像可以看出： 解不稳定；解01=x B A x -=2稳定。 利用变换B A x y + =，可将原方程化为 22)()(By Ay B A y B B A y A dt dy +-=-+-= 所以原方程的驻定解B A x -=2对应于方程 2By Ay dt dy +-= 的零解。 0=y 2）由，求得常数解为 ()()031=--x x x 。 3,1,0321===x x x 因为()()()31,--=x x x x t f 0,0≥≥x 在全平面上连续可微，故对任意初始点，解唯一存在，当t 时有 (00,x t )

二元一次方程组的同解错解参数等问题

二元一次方程组的同解、错解、参数等问题 一． 解下列方程组 : 二．含参数的二元一次方程组的解法 二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。 1.、同解 两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。 例：已知方程 与 有相同的解， 则a 、b 的值为 。 2、错解 由方程组的错解问题，求参数的值。 例：解方程组???=-=+872y cx by ax 时，本应解出???-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解???=-=2 2y x 试求a+b+c 的值。 方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而求出参数的值。 3、参数问题 根据方程组解的性质，求参数的值。 例：1、m 取什么整数时，方程组的解是正整数？ （1） （2） ???=+=+4535y ax y x （3） （4） ???=+=-1552by x y x ① ② ? ??=-=-0362y x my x

方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。 4、根据所给的不定方程组,求比值。 2、求适合方程组?? ?=++=-+05430432z y x z y x 的 z y x z y x +-++ 的值。 练习： 2.已知关于x y 、的方程组210320 mx y x y +=??-=?有整数解,即x y 、都是整数,m 是正整数,求m 的值

3、已知关于x y 、的方程组2647x ay x y -=??+=? 有整数解,即x y 、都是整数,a 是正整数, 求a 的值. 4. 已知方程组 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为31x y =-??=-? ;乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54 x y =??=?,若按正确的a b 、计算,求原方程组的解. 5..关于x y 、的二元一次方程组59x y k x y k +=?? -=?的解也是二元一次方程236x y +=的解,则k 的值？ 6. 若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222 222522310x y z x y z +---的值. 7、先阅读,再做题: 1.一元一次方程ax b =的解由a b 、的值决定: ⑴若0a ≠,则方程ax b =有唯一解b x a =; ⑵若0a b ==,方程变形为00x ?=,则方程ax b =有无数多个解; a 515 42x y x by +=??-=-?① ②

非齐次线性方程组同解的判定和同解类

非齐次线性方程组同解的判定和同解类 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题. 预备知识 定理1设,A B 是向量组C 两个线性无关的极大组，则存在可逆矩阵P ,使得 B PA =。 定理2设A 、B 为m n ?矩阵，且秩A =秩B ，如果存在矩阵C ,使得 CA B = 则存在m m ?可逆矩阵P ，使得 PA B = 证明 设秩A =秩B =r ，则存在可逆矩阵1P 与Q 使 011A P A A ??=????, 01B QB B ??=???? 其中0A ，0B 分别为秩数等于r 的r n ?矩阵，由于B CA =，则B 的行可由A 的行线性表出，从而B 的行可由0A 的行线性表出，进而0B 的行可由0A 的行线性表出， 于是矩阵00A B ?? ???? 的行向量组的极大线性无关组为0A 的各行，因为0B 的各行线性无 关且秩0B r =，所以0B 的各行亦构成一个线性无关组，则存在可逆矩阵r P 使得 00r B P A = 又设 110A C A =，12020r B C B C P A == 令 221 0r r n r P P C P C I -?? =? ?-?? 则1P 为可逆矩阵，且

线性方程组解的判定

第四节 线性方程组解的判定 从本节开始，讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222 22 11 22n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+ ++= ????+++=? （13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。 方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵11121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ? ?? ? ? ?=?? ?? ? ? 称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ?? ????=??? ??? 方程组（13-2）中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m 行、1 列的矩阵(或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=?????? ,12 m b b b b ?? ????=?????? 由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? 12n x x x ???????????? =12m b b b ???????????? 即 AX=b

线性方程组解的判定与解的结构

***学院数学分析课程论文 线性方程组解的判定与解的结构 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名******* 年级 2009级 学号200906034*** 指导教师 ** 2011年6月

线性方程组解的判定与解的结构 姓名****** （重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班） 摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解 引言 通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式． 1 基本性质 下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组 1111221121122222 1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????++???+=? (1) 引入向量 112111s αααα??????=?????????，122222s αααα??????=?????????，…12n n n sn αααα??????=????????? ，12s b b b β?? ?? ??=??????? ?? 方程（1）可以表示为 1122n n x x x αααβ++???+= 性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合. 定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵

线性方程组的理论和解法

求线性方程组的方法 摘要：线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据处理是很方便简洁的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词：齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。 英文题目 The solution of linear equation Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice.

方程组的同解性

方程组的同解性 方程组的同解性 解方程组的基本思路是消元，消元的方法：代入消元法和加减消元法．通过消元把复杂的方程组转化为新的简单的方程组．这里就产生一个问题，所得的新方程组的解是原方程组的解吗？会不会多呢，又会不会少呢？如果在解方程组的过程中，原方程组的解增多或减少，都不能达到解方程组的目的．为了保证在解方程组的过程中，方程组的解保持不变，我们在这里研究一些方程组的解会不会起变化的知识，也就是同解方程组的概念及其有关知识． (1)同解方程组：如果两个方程组的解完全相同，也就是说第一个方程组的所有解都是第二个方程组的解，而第二个方程组的所有解也都是第一个方程组的解，这样的两个方程组叫做同解方程组． 解方程组时需要逐步用同解方程组来代替原方程组．原方程组如果有解，最后的与之同解的方程组的解，就是原方程组的解． 下面介绍三个同解变形定理，作为解方程组的理论根据． 同解定理一：如果方程组里的任何一个方程用和它同解的方程来代替，那么所得的新方程组与原方程组同解． 同解定理二：如果方程组中的一个方程是一个未知数用另一个未知数的代数式来表示的等式，在这方程组里的另一个方程中把这个未知数用这个代数式代替，则所得的新方程组与原方程组同解． 同解定理三：如果把方程组里的一些方程的两边分别相加(或相减)得出一个新方程，并且把原方程组里的任意一个方程换成这个新方程，则所得的新方程组与原方程组同解． 我们重点学习了二元一次方程组的解法，它的基本思想是通过消元将方程组转化为一元一次方程求解．消元的方法重点介绍了两种方法：代入消元法和加减消元法．通过解方程应体会到方程组的解是由它的系数决定的．

线性方程组解的情况及其判别准则

摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。 关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩 Abstract:In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra.This article has researched the development of system of linear equations theory,discussed the general theory of linear equations, vector space with the development and matrix theory to analyze the linear equations and the criterion of the situation. Introduces the theory of linear equations in solving the problem of analytic geometry, illustrates the role of linear equations of structure theory in judgment space relation between the geometry of the convenience of position. space geometric figure between time the position relations with theory of the system of linear equation with examples. Key words: linear equations, The solution space, Basic solution, Matrix rank

课题：二元一次方程组的同解、错解、参数等问题

课题：二元一次方程组的同解、错解、参数等问题 一． 解下列方程组 : 二．含参数的二元一次方程组的解法 二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。 1.、同解 两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。 例：已知方程 与 有相同的解， 则a 、b 的值为 。 2、错解 由方程组的错解问题，求参数的值。 例：解方程组???=-=+872y cx by ax 时，本应解出???-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解???=-=2 2y x 试求a+b+c 的值。 方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而求出参数的值。 3、参数问题 根据方程组解的性质，求参数的值。 例：1、m 取什么整数时，方程组的解是正整数？ （1） （2） ???=+=+4535y ax y x （3） （4） ???=+=-1552by x y x ① ② ? ??=-=-0362y x my x

方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。 4、根据所给的不定方程组,求比值。 2、求适合方程组?? ?=++=-+05430432z y x z y x 的 z y x z y x +-++ 的值。 练习： 2.已知关于x y 、的方程组210320 mx y x y +=??-=?有整数解,即x y 、都是整数,m 是正整数,求m 的值

3、已知关于x y 、的方程组2647x ay x y -=??+=? 有整数解,即x y 、都是整数,a 是正整数, 求a 的值. 4. 已知方程组 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为31x y =-??=-? ;乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54 x y =??=?,若按正确的a b 、计算,求原方程组的解. 5..关于x y 、的二元一次方程组59x y k x y k +=?? -=?的解也是二元一次方程236x y +=的解,则k 的值？ 6. 若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222 222522310x y z x y z +---的值. 7、先阅读,再做题: 1.一元一次方程ax b =的解由a b 、的值决定: ⑴若0a ≠,则方程ax b =有唯一解b x a =; ⑵若0a b ==,方程变形为00x ?=,则方程ax b =有无数多个解; a 515 42x y x by +=??-=-?① ②

线性方程组解法综述

线性方程组解法综述 Prepared on 22 November 2020

线性方程组解法的研究综述 摘要：这篇论文在说明了线性方程组的应用目的的基础上，提出了线性方程组求解的研究现状，并列举了常用的求解方法，同时说明了它们的应用条件，剖析了各种方法的不足之处。 关键词高斯消元迭代病态方程组 一、问题提出 在自然科学和工程实际应用中，有许多问题的求解最终都转化为线性方程组的求解问题。例如,电学中的网络问题，曲线拟合中常用的最小二乘法、样条函数插值、解非线性方程组、求解偏微分方程的差分法、有限元法和边界元法以及目前工程实践中普遍存在的反演问题等。特别是在图像恢复、模型参数估计、解卷积、带限信号外推、地震勘探等众多领域，都需要求解线性方程组。 由于线性方程组问题在理论上的重要性和在工程实际应用中的大量存在，多年来人们在这方面做了广泛深入的研究和探讨，并取得了许多有价值的成果.由于模型误差、测量误差、计算误差等各种误差的存在，常常使得线性方程组中的系数矩阵和非齐次项信息具有某种程度的近似性(即扰动性)，这种近似性显然会使得线性方程组的求解不容易得到真实的理论解。此时，不同的求解方法由于运算机理不一样，求解过程中误差积累程度就不一样，因此必然会使得不同的求解方法得到的解具有不同的逼近真解的误差程度，尤其对具有病态性的方程组而言，由于病态线性方程组的条件数很大，数据误差以及计算过程中引入的舍入误差往往会使线性方程组的解不稳定，即不管原始数据的误差多么小，都可能造成解的很大变化，使线性方程组的解严重失真。因此，许多现有的方

法都是无效的，病态线性方程组的求解变得相当困难。求解线性方程组的最常用的方法主要有直接法和迭代法两大类，其中直接法中最常用的方法是高斯消元法。但是，该方法求解病态线性方程组时不能得到合理的解，误差很大。 二、研究现状 目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类。一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有需要计算机的存储单元较少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛性及收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速一直是应用和体系设计者关心的问题。 三、常用方法比较 1.直接方法 直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法。事实上，由于舍入误差的存在，用直接法一般也只能求得方程组的近似解。直接方法中主要有三种方法：克拉默法则、高斯消元法、LU 分解法。 （1）克拉默法则 设有线性方程组（ n 个未知数 n 个方程）

二元一次方程组的同解

1．若方程组，与方程组有相同的解，则a、b的值分别为（） A．1，2B．1，0C．D． 2．若方程组的解中x+y＝2019，则k等于（）A．2018B．2019C．2020D．2021 3．如果关于x、y的二元一次方程组的解x、y满足x+y＝2，那么k的值是（）A．﹣2B．﹣3C．3D．2 4．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（）A．B．﹣C．D．﹣ 5．关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值是（）A．﹣B．C．D．﹣ 6．若关于x，y的方程组的解中x的值比y的值的相反数大2，则k为（） A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1 7．若的方程组的解，则关于x、y的方程组的解为（）A．B．C．D． 8．已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（）A．B．C．D． 9．若方程组的解是，则方程组的解是（）A．B．C．D． 10．已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为（） A．B．C．D． 11．已知关于x、y的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；④x，y的值都为自然数的解有4对，其中正确的有（）A．①③B．②③C．③④D．②③④

12．已知关于x、y的方程组，则下列结论中正确的是（） ①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2的解；②当x＝y时，a＝﹣； ③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变；④若z＝﹣xy，则z的最小值为﹣1 A．①②④B．①②③C．②③D．②③④ 13．（1）甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m跑完第一圈．求甲、乙两人的速度及环形场地的周长． （2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只．则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只．则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 14．岳阳到长沙的公路全长140千米，甲、乙两车同时从岳阳、长沙两地相向开出，0.5h后到达同一地点，甲车比乙车多行了20千米，为了求出甲、乙两车的速度，请你列出相应的方程组． 15．一条船顺流航行，每小时行24km，逆流航行，每小时行18km．为了求轮船在静水中的速度x与水的速度y，你能列出方程组来吗？ 16．黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度度过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？ 17．某校组织八年级师生共420人参观纪念馆，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A种车3辆，B种车5辆，则空余15个座位：如果租用A种车5辆，B种车3辆，则有15个人没座位 （1）求该公司A，B两种车型各有多少个座位？ （2）若A种车型的日租金为260元辆，B种车型的日租金为350元辆，怎样租车能使得座位恰好坐满且租金最少？最少租金是多少？（请直接写出答案） 18．甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经小时相遇．如果甲比乙先出发小时，那么在乙出发后经小时两人相遇．求甲、乙两人的速度． 19．游泳池中有一群小朋友，男孩子戴蓝色帽，女孩子戴红色帽，若每位男孩子看到的蓝色帽比红色帽多5个，则每位女孩子看到的蓝色帽是红色帽的2倍多1个，问男孩子与女孩子各多少人？ 20．江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价5万元/件，乙种产品售价3万元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A 种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨． （1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？ （2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，要求甲种产品比乙种产品多生产15件，如何安排甲、乙两种产品，使总产值是131.7万元．

5、浅谈方程组的同解原理在初中数学中的应用

浅谈方程组的同解原理在初中数学中的应用 张剑 （甘肃省宕昌县南阳中学，甘肃宕昌 748507）摘要：本文通过初中数学中常见的解方程组的问题，结合<<代数教材教法>>中方程组的同解原理举例论述，从而阐述了初中数学方程组的解法和技巧。使学生在解方程组时有章可循，有据可依，全面调动学生的积极性。 关键词：方程组的同解原理；方程组的解法；举例应用 解方程组的基本思想是“消元”和“降次”.教师在教学过程中，往往是按上面的方法去教和练，但数学是一门逻辑性严密的学科，当学生提出为什么这样做时，似乎没有合理的解释，笔者从事多年的数学教学，认为对“简单的二元二次方程组”一节应提出方程组的同解原理并加以解释，使学生在解题时有章可循，有据可依十分重要.消元的方法主要是代入法和加减法，降次的方法一般是换元法和因式分解法. 为了表达简练，规定记号A(x?y)，B(x?y)表示含有未知数x、y 的二元二次整式（例如A=22 -++-）；规定记号M(x、y)，N(x、 x4y x3y1 y)表示含有未知数x、y的二元一次整式（如M(x?y)=2x-y-1）. 一、方程组的同解原理1、2及其应用 定理1：如果方程M（x?y）=0与N（x?y）=0是同解方程，那么方程组

（1） A ()0M ()0{ ??， ； x y =x y = （2）A ()0N ()0. { ??，x y =x y = 是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第267页定理13）. 这个定理告诉我们，方程组中某一个方程变形后与未变方程组成的方程组是同解方程组. 定理2：已知y=ax+b （a ≠0），把y 代入A （x ?y ）中的y 处，消去y ，得到一个只含x 的式子，记为P （x ），那么方程组 （1） A ()0y ax b(a 0){ ?+≠， ； x y == 与 （2）P ()0y ax b (a 0). { +≠，x == 是同解方程组（摘自《初等代数教材教法》第269页定理15）. 这个定理告诉我们，把一个方程代入另一个方程所得的方程与被代入方程组成的方程组是同解方程组，它是代入消元法的依据. 例1解方程组 22x 02x y 10{ --=， ； -4y +x+3y-1= 解：由②得 y=2x-1 ③ 由于②与③同解，由定理1，得 22x 02x y 10{ --=， ； -4y +x+3y-1= 由定理2，得 22 x 0y 2x 1{ =-， ； -4(2x-1)+x+3(2x-1)-1=

线性方程组解法综述

线性方程组解法的研究综述 摘要：这篇论文在说明了线性方程组的应用目的的基础上，提出了线性方程组求解的研究现状，并列举了常用的求解方法，同时说明了它们的应用条件，剖析了各种方法的不足之处。 关键词高斯消元迭代病态方程组

一、问题提出 在自然科学和工程实际应用中，有许多问题的求解最终都转化为线性方程组的求解问题。例如,电学中的网络问题，曲线拟合中常用的最小二乘法、样条函数插值、解非线性方程组、求解偏微分方程的差分法、有限元法和边界元法以及目前工程实践中普遍存在的反演问题等。特别是在图像恢复、模型参数估计、解卷积、带限信号外推、地震勘探等众多领域，都需要求解线性方程组。 由于线性方程组问题在理论上的重要性和在工程实际应用中的大量存在，多年来人们在这方面做了广泛深入的研究和探讨，并取得了许多有价值的成果.由于模型误差、测量误差、计算误差等各种误差的存在，常常使得线性方程组中的系数矩阵和非齐次项信息具有某种程度的近似性(即扰动性)，这种近似性显然会使得线性方程组的求解不容易得到真实的理论解。此时，不同的求解方法由于运算机理不一样，求解过程中误差积累程度就不一样，因此必然会使得不同的求解方法得到的解具有不同的逼近真解的误差程度，尤其对具有病态性的方程组而言，由于病态线性方程组的条件数很大，数据误差以及计算过程中引入的舍入误差往往会使线性方程组的解不稳定，即不管原始数据的误差多么小，都可能造成解的很大变化，使线性方程组的解严重失真。因此，许多现有的方法都是无效的，病态线性方程组的求解变得相当困难。求解线性方程组的最常用的方法主要有直接法和迭代法两大类，其中直接法中最常用的方法是高斯消元法。但是，该方法求解病态线性方程组时不能得到合理的解，误差很大。 二、研究现状 目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类。一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有需要计算机的存储单元较少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛性及收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体

实际问题中解线性方程组的经典解法

第二章 在实际问题中解线性方程组的经典解法 直接法与三角形方程组的求解分析 线性方程组求解问题在许多科学计算问题中都会遇到，如应力分析、电学网络、自由振动问题等。在计算机数值方法的课程中，2线性方程组求解在样条插值、数据拟合的最小二乘法以及常微分方程边值问题中都要用到.产生的线性方程组的类型有很多，如按系数矩阵含零元素多少分类，有稠密和稀疏（零元素占80%以上）线性方程组之别；如按阶数的高低分类，有高阶（阶数在1000阶以上）和低阶之别；如按系数矩阵的形状和性质分类，又有对称正定、三对角线对角占优等之别，因为在电子计算机上求解，必须要考虑算法的计算复杂性以及算法的数值稳定性问题。所以针对不同类型的线性方程组有不同的解法，但是，基本的方法可归结为两大类，即为直接法和迭代法。 本章介绍的经典解法，都把原方程组化为一个或者两个三角形方程组来求解，主要包括Gauss4消去法和它的变形----直接三角分解法 设有线性方程组 b Ax = （1，1） 其中 ??????? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 21 22221 112 11 ?????? ? ??=n x x x x 21 ?? ?? ? ?? ??=n b b b b 21 根据线性代数知识，当0det ≠A 时，方程组（1.1）的解存在且唯一，对增广矩阵)(),()1()1(b A b A =施行行初等变换，化)1(A 为上三角形矩阵)(n A ，同时)1(b 化为)(n b ，这时与增广矩阵),()()(n n b A 相应的线性方程组为上三角形方程组 )()(n n b x A = （1.2） 其中 ???? ?? ? ? ?=)() ()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12) 1(11)()(0 00 ),(n n n nn n n n n b a b a a b a a a b A ?????? ? ? ?=) () 2(2)2(22) (!1)(!12) (!11)(000 )(n nn n n n a a a a a a A ???? ?? ? ??=)()2(2)(!1)()(n n n b b b b

线性方程组数值解法

计算方法实验 题目 班级: 学号: 姓名:

目录 计算方法实验................................................................ 仁1实验目的 ................................................................. 3.. 2实验步骤 ................................................................. 3.. 2.1环境配置：.......................................................... 3. 2.2添加头文件.......................................................... 3. 2.3主要模块............................................................ 3. 3代码..................................................................... 4.. 3.1主程序部分.......................................................... 4. 3.2多项式方程部分...................................................... 4. 3.3核心算法部分........................................................ 8. 3.4数据结构部分....................................................... 1.2 4运行结果 .. (14) 4.1列主元高斯消去法运行结果 (14) 4.2LU三角分解法运行结果 (15) 4.3雅克比迭代法运行结果 (16) 边界情况调试 .......................................................... 1.7 5总结..................................................................... 1.8输入输出 .. (18) 列主元高斯消元法 ...................................................... 1.8雅克比迭代法 . (18) 6参考资料 (18)