_立方根和开平方根__n次方根
立方根、开立方、n 次方根
【典型例题1】（1）以下说法中正确的有（ ）. A ．16的平方根是4 B ．64的立方根是4± C ．27-的立方根是3- D ．81的平方根是9
（2）下列说法正确的是（ ）
A 一个数的立方根有两个，且他们互为相反数
B 任何一在个数必有立方根与平方根
C 一个数的立方根必与这个数同号
D 负数没有立方根
【知识点】
2、立方根的性质：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根等于零。（任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根）
【基本习题训练】下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由。 （1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 （2） 只有零的立方根是它本身。 （3） 只有零的平方根是它本身。 （4） 1的平方根与立方根相同。
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【典型例题2】求下列各数的立方根： (1)1000 (2)27
8
- (3)001.0- (4)0
【知识点】
求一个数a 的立方根的运算叫开立方
【基本习题限时训练】
(1)下列各式中值为正数的是( )
(A)()35
5.2- (B)-()32
4.3- (C)30 (D)37-
(2)下列说法中正确的是（ ） (A)
278的立方根是3
2
± （B ）-125没有立方根 (C)0的立方根是0 （D ）()4832
=--
（3）下列说法正确的是（ ） （A ）一个数的立方根一定比这数小 （B ）一个正数的立方根有两个 （C ）每一个数都有算术平方根
（D ）一个负数的立方根只有一个，且仍为负数
（4）如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （A ）-b=3
a (B)()a
b =-3 (C)3a b = (D)a b =3
【典型例题3】求下列各式的值 （1）364- （2）()3
3
8 （3）
364
324+
--
【知识点】
类似于平方与开平方之间的关系，根据立方的意义，可以得到：
a a =33)(，a a =33
【基本习题限时训练】 （1）算式372964+327
1
-的计算结果是（ ） （A ） 91- （B ）91 （C ） 54 （D ）5
4-
（2）若033=+y x ，则x 与y 的关系（ ）
（A ）x=y=0 (B)x 与y 相等 （C ）x 与y 互为相反数 （D ）y
x 1
=
（3）若a ＜0，化简233a a +的结果是（ ）
（A ）0 （B ）2 （C ）-2a (4)±2a
【典型例题4】
1、下列方根中，哪些有意义？哪些没有意义？如果有意义，请用符号表示这些方根，并求出结果。
（1）1的五次方根 （2）-1的五次方根 （3）16的四次方根 （4）-16的四次方根 （5）64的六次方根 （6）-32的五次方根
2、下列说法中正确的是( ) (1) 只有正数才有偶次方根
(2) -2的六次方是64,所以64的六次方根是-2 (3) 若a x n
=(a ≥0，n 是偶数），则n a x ±= （4）因为-a 是负数，所以它没有偶次方根
【知识点】
1、如果一个数的n 次方等于a （n 是大于1的整数），那么这个数叫做a 的n 次方根。
表示，其中被开方数a 是任意一个实数，根指数n 是大于1的奇数；
当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根，实数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n
偶数（当n =2时，在省略写n ）。 【基本习题限时训练】判断题
（1）49=±7 （ ） （2）144=－12 （ ） （3）－4是－64的立方根 （ ） （4）－4是－64的平方根 （ ） （5）a 2
的正的平方根是 a （ ） （6）－a 3
的立方根是－a （ ） （7）1的任何次方根都是1 （ ） （8）0的任何次方根都是0 （ ） （9）负数没有方根 （ ） （10）正数的方根互为相反数 （ ）
【典型例题4】求适合下列各式的x 的值 （1）9
3
10-=x （2）8
4
10=x
【知识点】
求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数 【基本习题限时训练】
1、下列说法中，正确的是 （ ）
（A ）3是3的正的平方根 （B ）3是2
3的正的平方根 （C ）3是2
3-的正的平方根 （D ）-3是()2
3-的正的平方根
2、如果a 是有理数，那么a 应是（ ）
(A)完全平方数 （B ）不完全平方数 （C ）非负数 （D ）正实数
3、如果-b 是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ） （Ａ）-b 是－a 的立方根 （Ｂ）b 是a 的立方根 （Ｃ）b 是－a 的立方根 （Ｄ）以上都不对
４、若ｘ－１的９次幂等于３，则ｘ可记作（ ）
（Ａ）139+ （Ｂ）139+ （Ｃ）193
+ （Ｄ）193+
【拓展题５】
１、已知ｎ是自然书，a 是实数且()n
n
n
n
a a =
成立。试讨论ｎ及a 的取值范围。
【解】当ｎ为奇数时，a 取一切实数，()n
n
n
n a a =
；
当ｎ为偶数时，a ≥０时，()n
n
n
n a a =
２、先填写下表，再回答问题：
问：（１）数ｘ与立方根3x 的小数点的位置移动有无规律？如有，请写出规律。
（２）已知61.1220053=，01261.03=a ，不用计算器，请根据规律求得a ＝＿＿＿＿ 【解】（１）数ｘ的小数点每向右或左移动３位，相应的立方根的小数点向右或左移动１位 （２）ａ＝０．０００００２００５
一元二次方程的解法(直接开平方法)
用直接开平法解一元二次方程 学习目标： 1、使学生理解直接开平方法的定义和基本思想； 2、学会用直接开平方法解一元二次方程； 3、知道：形如（含有未知数）2＝非负数，的方程都可以用直接开平方法解。 重点：用用直接开平方法解一元二次方程； 难点：如何识别一个一元二次方程可以用用直接开平方法解； 教学过程： 一、 检查预习 1、解方程：0362=-x 二、复习练习 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及系数。 （1）245x x -= （2）235x = （3）()()()2212 2-+=+-y y y y 2、要求学生复述平方根的意义。 （1）文字语言表示：如果一个数的平方等于a ，这个数叫a 的平方根。 （2）用式子表示：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根。 （3）4 的平方根是 ，81的平方根是 ， 100的算术平方根是 。 三、 新课讲解 例1：解下列方程（1）x 2＝4； （2）x 2－1＝0; 处理：1、让学生尝试解，然后总结方法。 2、形如)0(2≥=a a x ，a x ±= 练习：解下列方程 （1）092=-x （2）022=-x 例2、解方程（1）025162=-x 练习：解下列方程： （1）12y 2－25＝0； （2）01642=-x 例3、解方程（x ＋1）2＝144 练习：解方程025)2(42=-+x 四、巩固练习
1、请大家帮帮忙，挑一挑，拣一拣，下列一元二次方程中，哪些更适宜用直接开平方法来解呢？ ⑴ x 2=3 ⑵ 3t 2-t=0 ⑶ 3y 2=27 ⑷ (y-1)2-4=0 ⑸ (2x+3)2=6 ⑹ x 2+x-9=0 ⑺ x 2=36x ⑻ x 2+2x+1=0 2、解下列方程 （1）0822=-x （2）3592=-x （3）09)6(=-+x （4）06)1(32=--x ] 五、小结。 直接开平方法解一元二次方程的关键是要化成什么形式？（学生畅所欲言） 六、小测 解下列方程 （1）1692=x （2）01222=-x （3）036)2(2=-+x （4）3)13(2=-x 七、作业 1、预习配方法：尝试解方程 0242=+-y y 2、完成学习辅导P17——P18。
2221直接开平方法解一元一次方程
22.2.1 直接开平方法解一元一次方程 学习目标 1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程． 活动1、阅读教材第35页至第37页的部分，完成以下问题 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？ 我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 计算：用直接开平方法解下列方程： （1）x2=8 （2）(2x－1)2=5 （3）x2+6x+9=2 （4）4m2－9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x－1)2－9=108 解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．?我们把这种思想称为“降次转化思想”．
归纳：如果方程能化成的形式，那么可得 活动2 知识运用课堂训练 例1用直接开平方法解下列方程： （1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2－24n+16=11 练习： （1）2x2－8=0 （2）9x2－5=3 （3）(x+6)2－9=0 （4）3(x－1)2－6=0 （5）x2－4x+4=5 （6）9x2+6x+1=4 （7）36x2－1=0 （8）4x2=81 （9）(x+5)2=25 （10）x2+2x+1=4 活动3 归纳内化 应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的．
因式分解法、直接开平方法(2)
第一章因式分解 1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2） 主备人备课时间 集体修订时间课型新授课 授课人许大精授课时间 教学札记教学目标： 1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方 程。 2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 3、引导学生体会“降次”化归的思路。 知识与能力： 通过两种方法解简单的一元二次方程，初步培养学生解方程的能力，培养学生 观察、类比、转化的思维能力． 情感态度价值观： 通过平方根的理论，因式分解的理论求一元二次方程的解，使学生建立旧知 与新知的联系，由已有的知识形成新的数学方法，激发学生的学习兴趣，让学生 形成勤奋学习的积极情感，为以后学习打下良好的基础．通过解方程的教学，了 解“未知”可以转化为“已知”的思想． 教学重点: 掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 教学难点： 通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。 教学课时：1课时 教学方法：自主、合作、探究 教学媒体：多媒体 教学过程： （一）复习引入 1、判断下列说法是否正确 (1) 若p=1，q=1，则pq=l( )，若pq=l，则p=1，q=1( )； (2) 若p=0，g=0，则pq=0( )，若pq=0，则p=0或q=0( )； (3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )， 若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )； (4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，
若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。 答案：(1) √，×。(2) √，√。(3)√，√。(4)√，×。 2、填空：若x2=a；则x叫a的，x= ；若x2=4，则x= ； 若x2=2，则x= 。 答案：平方根，±，±2，±。 （二）创设情境 前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? （三）探究新知 让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。 （四）讲解例题 展示课本P．7例1，例2。 按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。 引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。 因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。 直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。 注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)
? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；
2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；
21.2解一元二次方程——直接开平方法的教学设计
教学设计案例 21.2 解一元二次方程 第1课时直接开平方法 一、内容和内容解析 （1）内容：会用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程 （2）内容解析： 一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，而一元二次方程的解法更是本章的重点内容。 本节课中，首先通过知识回顾环节的3个小题为本节课的学习做一铺垫。然后再通过“探究新知”环节中“问题串”建立一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p的形式,通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基，并自然地引出“降次”的策略，归纳出形如(x+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程的解的情况，不仅为后面用配方法解比较复杂的一元二次方程的学习做好铺垫，而且也为我们后续学习二次函数等知识打下坚实的基础。同时，这节课的内容还突出体现了化归、类比、分类讨论等数学思想方法。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：运用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，领会降次——转化的数学思想。 二、目标和目标解析 1.目标： (1)理解一元二次方程降次的转化思想 (2)会利用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程． 2.目标解析 达成目标的标志是：如果方程能够转化符合为形如x2=p或（x+n）2=p（p≥0）的一元二次方程时，那么就能通过直接开平方法将一元二次方程转化为一次方程求解。 三、教学问题诊断分析 在以前的学习中，学生不仅了解了平方根的意义、掌握了完全平方式的结构特征，而且还具备了一些方程的转化能力。本节课首先复习平方根的相关知识，再从具体的实际问题中列出一元二次方程，并根据平方根的意义直接开平方求解方程，对于方程的解是否符合实际问题，进行探讨。
初中数学解一元二次方程直接开平方法一
初中数学解一元二次方程直接开平方法讲义一 1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程． 3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣． 一、情境导入
一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？ 二、合作探究 探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程 运用开平方法解下列方程： (1)4x2＝9；
(2)(x ＋3)2－2＝0. 解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解． 解：(1)由4x 2＝9，得 x 2＝ 94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32 ，x 2＝－32 . (2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝ 2或x ＋3＝－ 2. ∴原方程的解是x 1＝ 2－3，x 2＝－ 2－3. 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝ a ，x 2＝－a . 初中 【类型二】直接开平方法的应用 (2014·山东济宁中考)若一元二次方程 ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是 m ＋1与2m －4，则b a ＝________.
解析：∵ax2＝b，∴x＝±b a，∴方程的两个根互为相反数，∴ m＋1＋2m－4＝0，解 得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a＝2，∴ b a＝4， 故答案为4. 【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用 若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________． 解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2. 【类型四】直接开平方法的实际应用
直接开平方法 练习题
直接开平方法 要点：左边平方右边数的形式. 一、(例题讲解)请你用直接开平方法解下列方程: 023252)1(==x x ）（ 05022)4(042)3(=-=-x x 二、用直接开平方法解下列一元二次方程: （1）2435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3）22(2)(12)x -=+ （4） 2269(52)x x x -+=- 三、选择与填空 1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ） A. 230x -= B. 2(1)40x --= C. 220x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于( ) A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或－2 3. 方程22)1(=-x 的根是（ ） A.－1、3 B.1、－3 C.1－2、1＋2 D.2－1、2＋1 4. 用直接开平方法解方程k h x =+2)(，满足的条件是（ ） A. k≥0 B ．h≥0 C ．hk ＞0 D ．k ＜0 5.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是( )
A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2243b x a =± 6. 方程220(0)x m m +=<的根( ) A.2 m - B.2m - C.22m -± D.2m -± 7．下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. 22-=x ，解方程，得x ＝±2 B. 42)2(=-x ，解方程，得x －2＝2，x ＝4 C ．92)1(4=-x ，得4(x －1)＝±3， x 1＝47，x 2＝41 D. 252)32(=+x ，得2x ＋3＝±5， x 1＝1，x 2＝－4 8．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q)2，则有（ ）． A ．p ＝4，q ＝2 B ．p ＝4，q ＝－2 C ．p ＝－4，q ＝2 D ．p ＝－4，q ＝－2 9. 若222(3)25a b +-=，则22 a b +＝_______. 以下两题，写出解答过程： 10. 一元二次方程22(21)(3)x x -=-的 解是___________ 11. 方程()412=-x 的解是_________.
21.2.1直接开平方法解一元二次方程练习题1
21.2.1 直接开平方法解一元二次方程 要点感知1 对于方程x 2=p.(1)当p>0时，方程有_______的实数根，_______；(2)当p=0时，方程有_______的实数根，_______0；(3)当p<0，方程_______. 预习练习1-1 下列方程可用直接开平方法求解的是( ) A.9x 2=25 B.4x 2-4x-3=0 C.x 2-3x=0 D.x 2-2x-1=9 1-2若x 2-9=0，则x=_______. 要点感知2 解形如(mx+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程，先根据_______的意义，把一元二次方程“_______”转化为两个_______元_______次方程，再求解. 预习练习2-1 方程(x-2)2=9的解是( ) A.x 1=5，x 2=-1 B.x 1=-5，x 2=1 C.x 1=11，x 2=-7 D.x 1=-11，x 2=7 知识点 用直接开平方法解一元二次方程 1.下列方程能用直接开平方法求解的是( ) A.5x 2+2=0 B.4x 2-2x+1=0 C.(x-2)2=4 D.3x 2+4=2 2.方程100x 2-1=0的解为( ) A.x 1=101，x 2=101- B.x 1=10，x 2=-10 C.x 1=x 2=101 D.x 1=x 2=10 1- 3.(丽水中考)一元二次方程(x+6)2=16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是( ) A.x-6=4 B.x-6=-4 C.x+6=4 D.x+6=-4 4.(鞍山中考)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x-1)2=b 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 5.关于x 的一元二次方程2x 2-3x-a 2+1=0的一个根为2，则a 的值为( ) A.1 B.3 C.-3 D.±3 6.一元二次方程ax 2-b=0(a ≠0)有解，则必须满足( ) A.a 、b 同号 B.b 是a 的整数倍 C.b=0 D.a 、b 同号或b=0 7.对形如(x+m)2=n 的方程，下列说法正确的是( ) A.用直接开平方得x=-m ±n B.用直接开平方得x=-n ±m C.当n ≥0时，直接开平方得x=-m ±n D.当n ≥0时，直接开平方得x=-n ±m 8.若代数式(2x-1)2的值是25，则x 的值为_______ 9.完成下面的解题过程： (1)解方程：2x 2-8=0； (2)解方程：3(x-1)2-6=0. 解：原方程化成_______， 解：原方程化成_______， 开平方，得_______， 开平方，得_______， 则x 1=_______，x 2=_______ .则x 1=_______，x 2=_______. 10.用直接开平方法解下列方程： (1)x 2-25=0； (2)4x 2=1； (3)3(x+1)2=31 ； (4)(3x+2)2=25. 11.方程2x 2+8=0的根为( )
直接开平方法解方程
桃江玉潭实验学校初中部 教学设计（）节学习主题：第2课时直接开平方法（一） 教学目标1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 3、引导学生体会“降次”化归的思路。 重点：掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。 难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。 学习环节学习活动学习方式 创设情境探究新知学前准备：复习引入 1、判断下列说法是否正确 (1) 若p=1，q=1，则pq=l( )，若pq=l， 则p=1，q=1( )； (2) 若p=0，g=0，则pq=0( )，若pq=0， 则p=0或q=0( )； (3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )， 若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )； (4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )， 若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。 前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方 程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什 么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由 解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二 次方程的基本思路吗？ 引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基 本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。 问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? 合作探究让学生对上述问题展开讨论，教师再利用 观察思考 合作交流
直接开平方法解方程(附当堂检测及答案)
直接开平方法解方程（附当堂检测及答案） 学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 2.运用开平方法解形如x 2=p 或(x +n )2=p (p ≥0)的方程. 重点：运用开平方法解形如x 2=p 或(x +n )2=p (p ≥0)的方程. 难点：理解一元二次方程“降次”的转化思想，并能把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 一、知识链接 1.如果 x 2=a ，则x 叫做a 的 . 2.如果 x 2=a (a ≥0)，则x = . 3.如果 x 2=64，则x = . 4.任何数都可以作为被开方数吗？ 二、要点探究 探究点1：直接开平方法解形如x 2=p (p ≥0)的方程 问题1 一桶油漆可刷的面积为1500dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x 2=4 (2) x 2=0 (3) x 2+1=0 要点归纳：一般的，对于可化为方程x 2 = p ，(I) (1)当p >0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根1x p ，2x p ； (2)当p =0 时，方程(I)有两个相等的实数根120x x ； (3)当p <0 时，因为任何实数x ，都有x 2≥0 ，所以方程(I)无实数根. . 典例精析 (1) x 2=6； (2) x 2－900=0. 方法总结：通过移项把方程化为x 2 = p 的形式，然后直接开平方即可求解
探究点2：直接开平方法解形如(x+n)2=p (p≥0)的方程 想一想对照上面的方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5？ 方法总结：解形如(x+n)2=p (p≥0)的方程，先降次转化为两个一元一次方程，再求解即可. 例2 解下列方程： （1）(x＋1)2= 2 ；（2）(x－1)2－4 = 0；（3）12(3－2x)2－3 = 0. 方法总结：通过移项化简将方程转化为(x+n)2=p(p≥0)的形式，再进行降次转化为两个一元一次方程.例3 解下列方程： 2 1445; x x2 2961 4. x x 方法总结：通过因式分解将方程转化为(x+n)2=p(p≥0)的形式. 1.下列解方程的过程中，正确的是（） A.x2=-2，解方程，得x= B.(x-2)2=4，解方程，得x-2=2，x=4 C.4(x-1)2=9，解方程，得4(x-1)=±3，x1= 11 4 x=，x2= 27 4 x= D.(2x+3)2=25，解方程，得2x+3=±5，x1= 1，x2=-4 2.填空：
(完整版)直接开平方法解一元二次方程导学案
降次----（直接开平方法）解一元一次方程 姓名____________学号___________ 学习目标：1.根据平方根的意义解形如)0(2≥=p p x 的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n ）2=p （p ≥0）型的一元二次方程。2、理解一元二次方程“降次”的转化思想。 活动一，温故知新 1. 如果有a x =2，则x 叫a 的_____，也可以表示为x ＝ ．如果162=x ，则x ＝___． 2. 将下列各数的平方根写在旁边的括号里 9（ ）； 5（ ）； 4925（ ）； 8（ ）； 24（ ）； 32 ( ) ； 活动二，探究新知 问题：一桶某种油漆可刷的面积为960dm 2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？请你列出方程。 我们知道x 2=16，根据平方根的意义，直接开平方得x=±4，如果x 换元为2t+1， 即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？试试看。 解:（2t+1）2=8 由平方根的定义得： t=___________________。 即：________________;_______________。 ∴方程的解为： ________1=x ；_______2=x 于是我知道了：解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为_________________．?我们把这种思想称为“降次转化思想”． 【归纳】1、形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做_______________。 2、如果方程能化成2x p =或2 ()mx n p +=(0)p ≥的形式，那么由平方根的定义可得x p =±，或mx n p +=±，再把它写成两个___________________,最后求出解。 解方程2962 =++x x （类比左边的格式）
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)
解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）21440y -=． 2. 解下列方程： （1）2(1)9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644x +=； （3）26(2)1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)； 2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ．
6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2310y y ++=．
用直接开平方法解一元二次方程
《用直接开平方法解一元二次方程》设计与反思 教学目标：会用直接开平方法解形如或的方程x2=p或（mx+n）2=p(p>≥0)的 方程 过程与方法目标：经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻 画现实世界的数学模型。 情感态度目标：能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，体验类比、转 化、降次的数学思想方法。 重点：解形如x2=p或（mx+n）2=p(p>≥0)的方程 难点：解形如（mx+n）2=p(p>≥0)的方程 学情分析：学生已经学习了一元一次方程及其解法，理解一元二次方程的定义， 掌握开平方及二次根式。 教学过程 一、温故知新； 1、平方根的意义 2、根据平方根意义写出下各数的平方根 9、81、0、24、32 3、求x的值 （1）X2=9 （2）2X2=4 设计意图：为学习本节课作准备 二、出示教学目标： 1、会用直接开平方法解形如或的方程x2=p或（mx+n）2=p(p>≥0)的方程 2、如何将一元二次方法利用平方根概念转化两个一元一次方程 设计意图：让学生明确本节课的学习任务，抓住重点，培养学生学习数学的方法 三、创设情境提出问题 出示问题：桶某种油漆可刷的面积为1500DM2李林用这桶油漆恰好刷完了10同样的正方体开状的盒子的全部外表面，能算出盒子的棱长吗？ 设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系培养学生自学的能力。 四、探索分析，解决问题 （1）审题
（2）设未知数设正方体的棱长为X （3）找等量关系：10×正方体的表面积=1500 （4）列方程解这个方程：10×6X2=1500 由此得X2=25 设问：怎样解这个方程？如何将方程转化为X2=a的形式？ 设问：5和－5是方程的两个根，它们都符合问题的实际意义吗？（棱长不能为负数，所以正方体的棱长为5cm） 设计意图：指明解题思路，强化本节的中心问题分步到位，渗透建模的思想，初步渗透化归思想。学会根据具体问题的实际意义检验结果的合理性的 习惯。 五、拓广探索，比较分析 对照上面解方程的（1）的特点过程，你认为应怎样解以下方程？ （2x－1）2=5 ②x2+6x+9=2 ③ 利用类比的方法解方程② 利用转化的思想解方程③ 设计意图：逐步递进地对方程②、③进行分析，巩固了开平方法，为学习配方法作好铺垫，又使学生体验到类比、转化、降次的数学思想方法。 六、归纳概括，形成能力 以上方程①②③可归纳为怎能样的步骤？ 以上方程①②③都可以用开平方法，将一元二次方程降次转化两个一元一次方程：即用框架图表示为： 设计意图：使学生养成提练解题思路、归纳解题步骤的能力，体验类比、转化、降次的数学思想方法。 七、课堂练习，反馈调控： 教科书P31第（1）（3）（5）题 设计意图：及时巩固，评价 八、课堂小结，知识梳理 提问：1、本节课是怎样解一元二次方程？有哪些步骤？？ 2、今天的讨论问题中涉及到哪些数学思想方法？ 设计意图：以问题的形式出现，引导学生思考交流，梳理所学的知识，建立符合自身认识特点的的知识结构。 九、布置作业： 1、必做题：
21.2.1(1)直接开平方法解一元二次方程同步练习题
21.2.1（1）直接开平方法解一元二次方程同步练习题 一、填空题 1、方程0162=-x 的根是____________________；方程()16922 =-t 的根是_____________________. 2、当x =________时，分式293x x -+无意义；当x =________时，分式293 x x -+的值为零. 3、若222(3)25a b +-=，则22 a b += . 4、一元二次方程22(21)(3)x x -=-的解是 . 5、若()02=+-b a x 有解，则b 的取值范围是_______________. 6、如果b a 、为实数，满足03612432=+-++b b a ，那么ab 的值是_______． 二、选择题 1、下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ） A. 230x -= B. 2(1)40x --= C. 220x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2、下列方程中，适合用直接开平方法解的个数有（ ） ① 1312=x ； ② ()522=-x ； ③ ()334 12=+x ； ④ 32+=x x ； ⑤ 13322+=-x x ； ⑥ 0322=--y y . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列说法中正确的是（ ） A. 方程24x =两边开平方，得原方程的解为2x = B. 3x =是方程29x =的根，所以得根是3x = C. 方程2250x -=的根是5x =± D. 方程232640x x -+=有两个相等的根 4、若2 (1)10x +-=，则x 的值等于（ ） A. 1± B. 2± C. 0或2 D. 0或-2 5、 下面是小明同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A .若42=x ，则2=x B .若022=++k x x 有一根为2，则8-=k C .方程()1212-=-x x x 的解为1=x D .()14412 =-x ，则其解为12±=x 6、已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是（ ） A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a =± D.2 243b x a =± 7、方程2 20(0)x m m +=<的根为（ ） A.2m - B.2- C.2± D.2 ±
解一元二次方程直接开平方法
解一元二次方程直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s?的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，
BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ B C A Q https://www.360docs.net/doc/4713375362.html, P 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ 2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得： 12x ·2x=8 x 2=8 根据平方根的意义，得x=± 即x 1 ，x 2 可以验证， 和 都是方程12 x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2． 二、探索新知 上面我们已经讲了x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=± x 换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=± 即 ， 方程的两根为t 1 -12，t 2 -12
21.2.1直接开平方法解二元一次方程
21.2.1直接开平方法解一元一次方程 学习目标： 1.根据平方根的意义解形如)0(2≥=p p x 的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n ）2=p （p ≥0）型的一元二次方程。 2、理解一元二次方程“降次”的转化思想。 一、活动一，复习提问 1、一元二次方程的定义及它的一般形式 2、什么叫做一元二次方程的解？ 3、练习 （1）．关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________． （2）．方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______. （3）关于x 的一元二次方程(m+3) x 2+4x+ m 2- 9=0有一个解为0 , 则m=______. （4）在下列各式中①x 2+3=y; ②2 x 2- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2- 4x – 5 ; ④x 2=- x 1+2 是一元二次方程的共有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 4. 如果有a x =2，则x 叫a 的_____，也可以表示为x ＝．如果162=x ，则x ＝___． 活动二，探究新知 问题：一桶某种油漆可刷的面积为960dm 2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？请你列出方程。
我们知道x 2=16，根据平方根的意义， 直接开平方得x=±4， 1、一般地，利用平方根的定义我们可以求出形如p x =2的一元二次方程的解 （1）当p>0时，方程有两个不相等的实数根：p x -=1；p x =2 （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根：021==x x （3）当p<0时，方程没有实数根。 如果x 换元为2t+1， 即（2t+1）2=16，能否也用直接开平方的方法求解呢？试试看。 解:（2t+1）2=16 由平方根的定义得： t=___________________。 即：________________;_______________。 ∴ 方程的解为： ________1=x ；_______2=x 于是我知道了：解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为_________________． 【归纳】1、形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做_______________。 2、如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式， 那么由平方根的定义可得x =mx n +=把它写成两个___________________,最后求出解。 活动三，运用新知 用直接开平方法解下列方程： （1）x 2=8 （2）4m 2-9=0 （3）(2x-1)2=5 （4）x 2+4x+4=1 （5）3(x ?1)2-9=0
《直接开平方法解方程》教案
21.2 解一元二次方程（第1课时） --------直接开平方法 教学目标 知识与技能： 1、理解一元二次方程降次的转化思想。 2、.会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程进行求解。 过程与方法：提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程。 情感态度价值观：体会由未知向已知转化的思想方法． 教学重点/难点 重点：通过直接开平方法解形如（x+m)2=p(p≥0)的方程，领会降次----转化的数学思想。．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=p的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程。 教学设计 一、复习引入 1.求出下列各式中x的值，并说说你的理由． （1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a>0）． 说明：复习平方根的意义，解形如x2=p的方程，为继续学习引入作好铺垫． 2.什么是完全平方式？
3. 填上适当的数，使下列各式成立. （1）x2+ 6x+ =(x+3)2 (2) x2+8x+ =(x+ )2 （3）a2+2ab+ =(a+ )2 (4)a2-2ab+ =(a- )2 二、探索新知 【问题】一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？ 分析：学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可以刷的面积，列出方程：10×6x2=1500 整理，得x2=25 x=±5 X1=5,x2=-5 棱长不能为负数，所以盒子的棱长为5 dm 说明：在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程． 归纳：一般地，对于方程 （1）当P＞0时，方程有两个不等的实数根x1=p x2=－p （2）当P=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0 － （3）当P＜0时，方程没有实数根 【探究】你认为怎样解方程？ 学生独立分析问题，发现和【问题】中的方程形式类似，可以利用平方根的定义，直接