第专题讲座---边际与弹性分析精华模拟题(DOC)

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第专题讲座---边际与弹性分析精华模拟题（DOC ）

第 21 专题讲座---边际与弹性分析精华模拟题 2009 1. 某种产品每台售价 100 元， 成本 60 元。

商家为扩大销售量， 决定凡购买量超过 100 台以上部分，按每台降价 1%出售（例如：

若销售量为 101 台， 销售量比 100 台多出一台， 于是多售出的一台售价为 99 元； 若销售量为 102 台， 多售出二台， 多售出的二台， 每台售价为 98 元， 以此类推）。 但每台最低售价为 75 元。

商家最大供应量为 150 台， 并且都能售完。 问销售量为多少时， 商家所获利润最大？ 解： 设销售量为 x ， 每台售价为 P(x)。

总成本为 C(x)=60x （x 取正整数） 由于价格不低于 75 元， 即 当 P(x)=75 元时， x=125

（

台

）

总

收

益

函

数 0

利润

函数 2’400100( )L

令’( )L x =0得驻点 x=120（台）

于是 x=120 时， L(x)取得极大值 L（120）=4400（元）又 L（150）（元）当销售量为150 台时所获利润最大。

2. 设某种商品的社会需求量（ p 为商品的价格），其弹性，当 p =10时， Q=156。

一个工厂生产这种商品，其日总成本函数 C（Q） =4Q+2019，求该厂日产量 Q 为多少时，总利润最大。

解：

由得

于是又由时

故利润22( )L p( )R

令

得（负数舍去）

故 p=10.7 时，利润最大，此时2256142.2()单位设某企业生产一种产品，其成本平均收益

，当边际收益 MR=44，需求价格弹性时，取得最大利润。

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求取得最大利润时， 产品的产量及常数 a 与 b 的值。 解： 收益函数

当取得最大利润时，

边际收益等于边际成本。

即于是：

得

又

当 Q=14 时，2222d

， 企业利润取得极大值 由于

’1( )(1)MRR

解得

又由于( )R

Q14于是当时

解方程组得

当 Q=2 时得 b=38

不满足

0b24 条件， 因而舍去 利润函数 23223’219212019100100073932201000.731867(

)L

令

‘5( )L

Q0,14,()7得驻点舍去

又

故产量 Q=14 时企业取得最大利

润。

3. 自动生产线上加工的零件的内径 X （mm ） 服从正态分布

， 内径小于 10 或大于 12mm 的为不合格品， 其余为合

格品。

每件产品的成本为 10 元，内径小于 10mm 的可再加工成合格品，尚需加工费 5 元。

全部合格品在市场上销售，每件合格品售价 20 元。

问零件的平均内径取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？解：

每件产品的销售利润 L 与自动生产线加工的零件的内径 X（mm）有如下关系：

若若若

平均利润为 10 {10P12}5 {P

其中是标准正态分布函数，标准正态密度。

因此，有 2222(12)(10)22(12)(10)2222( )2

即当时，平均利润最大。

4. 某企业生产一种产品，其利润通过职工的工资福利及培训费用来实现利润的大小，费用分别为 x（万元）及 y（万元）。

产品的产量，其利润是产量 Q 的15

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再扣除工资福利费及培训费。

1.求在企业资金充足时， x ， y 分别为多少时， 利润最大；

2.在工资福利费与培训费总和不超过 55 万元时， 应如何分配这两种费用， 使企业利润最大。 解：

（1） 利润函数

221 3125(54500( , )L

x

得 （万元)万元

在点

（46， 21） 处

20,0又于是当 x=46（万元）， y=21（万元） 时，

利润 L （x ， y ）

取得极大值。 又

故

当 x=46（万元）， y=21（万元） 时， 利润最大。

（2） 作拉格朗日函数 ‘2’21 3125(54500( , )F x y)(55)9625100(55)49625 4( , )F x y10(1)(4)100 9( , )F x

由（1）式

代入（2）式得22100 9625 40(9)(4)30503(4)5(9)94353338.5(),16.5)55得得万元（万元

点（38.5， 16.5）是唯一驻点，由实际问题得知，当工资福利费用为 38.5 万元，培训费为 16.5万元时，使企业利润最大。

5. 已知某垄断厂商生产某产品的成本为 0，其产品的需求价格弹性，其中 Q 是该产品的产量， P 为其价格，已知当 Q=0 时 P=10。

（I）试求价格函数：

将 P 表示成 Q 的函数； 2.求厂商利润最大化时的产量和利润。

解：

（I）设 Q=Q（P），由价格弹性的定义可知，且由初始条件 P（0） =10，用分离变量法求解方程并代入已知条件可得厂商利润可以表示为 22( , )P Q100QP

一阶条件得到22’得 Q=1（Q=-1 不合题义，舍去）此时其利润为评注厂商取得最大利润时价格弹性为-1，这可以用来验证题目所得结果是否

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正确， 其实此题可以令， 直接解得 Q=1。

6. 某商品交易市场上的税收收入与交易的成交额之间的关系经统计资料分析为：

税收的收入随成交额增加的增长率等于税收收入的立方与成交额立方的 2 倍的差、 再除以成交额与税收收入平方之积的 3 倍。 若成交额为 x=1（万元） 时， 税收收入 y=2（百元）， 试求该商品市场的税收收入与成交额之间的函数关系。 解：

依题设， 税收收入 y （百元） 与成交额 x （万元） 的函数关系满足的微分方程：

3322(1)23

且此方程即

为

设，

则

原

方

程

变

为

即

将代入得

所求函数关系为

设某商

品的价格与需求量之间具有线性关系。

当价格从 2 元上升到 4 元时， 产品的需求量从 1000件下降到 800 件。

1.求需求函数；

2.求当价格为 10 元时的需求弹性并说明其经济意义。

解：

（I）设需求量为 Q、价格为 P，则需求函数为 Q=a+bP 时，Q=1000，P=4 时，Q=800 代入得

解得a=1200、b=-100 -100P. (II) 需求弹性为

当 P=10 时，这说明当价格为 10 元时，

价格增加 1%，则需求量减少 5%；价格减少 1%，则需求量增加 5%。

8. 某地区研究消费需求量时，发现在稳定条件下，需求量 y

只与消费者个人收入 x 有关。

经测算，消费需求增长率对消费者个人收入增长率之比的平均弹

性为 0. 5，且当消费者收入 x=1 时，消费需求量 y=e。

1. 求需求量 y 与个人收入 x 之间的函数关系；

2. 求消费者

个人收入为 3 时的消费需求量。

解：

（I）设消费者的需求量为 y，消费者的收入为 x。

则消费需求量增长率对消费者个人收入增长率之比即为 y 对 x

的弹性。

其平均弹性为 ( )1( )E xdyE

于是得将题设条件代入

得解此方程得，代入

初始条件得所求函数关系为

（II）当 x=3 时的消费需求量为设

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某种产品的产量是劳动力 x 和原料 y 的函数3/41/4( , )f x

。

假定每单位劳动力费用 100元， 每单位原料费用 200 元， 现有资金 30000 元用于生产。

为得到最多的产品， 应如何安排劳动力和原料？ 解 ： 本 问 题 为 求 函 数在 条 件

100x+200y=30000下 的

极

值 。 设则’1/41/4’

解得 x=225

y=37.5 由于 x=225、 y=37.5 为函数的唯一驻点， 且实际问题有最大值， 故它是最大值点。

即安排劳动力 225 个单位、 原料为 37.5 个单位时， 能得到最多的产量。

10. 某商场的销售成本 y 和存贮费用 s 均是时间 t 的函数。 随着 t 的增长， 销售成本的变化率等于存贮费用的倒数与常数 5 之和。

而存贮费用的变化率为存贮费用的13倍的相反数。

若当 t=0 时，销售成本 y=0， 存贮费用 s=10， 试求销售成本与时间的函数关系及存贮费用与时间的函数关系。 解：

由题设，有

解微分方程②得：

由初始条件得

将上式代入①中得：

31510t解得由初始条件得

11. 某种商品的需求函数是，企业的平均成本，（I）若向企业每单位商品征收税款 t，试求其最大利润和税收最大时的 t 值；（II）求当征收 25%的销售税时，企业的最大利润。

解：

（I）由题设条件得收入函数成本函数为征税后的利润函数为：

令得‘‘18( )808txL

是函数 L（x）唯一驻点，同时在驻点处 L（x）取极大值，故它也是函数的最大值点。

此时相应的税收函数为

，令解得t=9 ‘‘

是函数 T（t）的唯一驻点且在驻点处 T（t）取极大值，故它也是 T（t）的最大值点。

当 t=9 时，利润和税收同时达最大。

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(II)当征收 25%的销售税后，

利润函数为

令

得

是唯一极值点且函数在驻点处取极大值， 故此极大值也是函数的最大值。 所以当时， 利润最大。

最大利润为

某工厂要在一年内以相同的

批量分批生产 2400 件产品， 产品的单位成本为 6 元。

但每生产一批产品需要调整机器费用 160 元， 在生产过程中， 在制品占用资金的银行年利率为 10%。

若全年所需费用等于全年所需机器调整费用与在制品占用资金利息的总和， 问批量为多大时， 才能使全年所需费用最少？ 解： 设批量为 x 件， 则全年所需的机器调整费为，

在

制品占用资金利息为

， 总费用 160

令得

当 x=800 时， 函数取极小值。

由于函数只有一个驻点， 此极小值即为函数的最小值。 故当批量为 800 时， 总费用最省。

13. 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告。

根据统计资料，销售收入 R（万元）与电台广告费用 x（万元）及报纸广告费用 y（万元）之间的关系有如下的经验公式

（I）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（II）若广告费用为 1.5 万元，求相应的最优广告策略。

解：

（I）由题设利润函数为 22( , )L x y()15

则13 84031

解得 x=0.75，y=1.25 22222240,8201900且

在 x=0.75， y=1.25 处， L 取极大值，亦即最大值。

故最优广告策略是电台广告费投入 0.75（万元），报纸广告费投入 1.25（万元）。

（II）当广告费用限定为 x+y=1.5（万元）时，问题即为求利润函数 L 在约束条件 x+y=1.5 下的极值。

由拉格朗日乘数法有22( , )L x y15

由13 84031

得 x=0， y=1.5 由于问题本身有最大值，且函数只有一个驻点，故驻点处的函数值即为最大值。

所以把全部广告费 1.5 万元都投入报纸广告是最优策略。

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