微积分下册期末试卷(1-4缺2答案)及答案
安徽财经大学微积分（下）期末总复习
练习卷（1）及参考答案
二、填空题(每小题3分,共15分)
1、已知22
(,)y
f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.
2、已知π
=?∞
+∞--dx e x 2
,则=?∞+--dx e x x
0 21
___________.
3、函数
22
(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.
5、以x
e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是_________________. 二、选择题(每小题3分,共15分)
6 知dx e x p ?∞
+- 0 )1(与?-e p x
x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >
7 二元函数??
??
?=+≠++=0 ,0 0
,4),(222
222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义
(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值
8、若
22223
11
1x y I x y dxdy +≤=
--??
,
22223
212
1x y I x y dxdy
≤+≤=
--??
,
22223
324
1x y I x y dxdy
≤+≤=
--??
, 则下列关系式成立的是( ).
(A) 123I I I >> (B) 213I I I
>>
(C) 123I I I << (D) 213I I I
<<
9、方程x
e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).
(A) b ax y += (B) x
e b ax y 3)(+=
(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x
e bx ax y 323)(+=
10、设∑∞
=12n n
a
收敛，则∑∞
=-1)
1(n n
n
a ( ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定
三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求由2
3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.
12、求二重极限 11lim 222
20
-+++→→y x y x y x .
13、),(y x z z =由xy e z z
=+确定，求y x z
???2.
14、用拉格朗日乘数法求
22
1z x y =++在条件1=+y x 下的极值.
15、计算?
?1 2
1
2dx
e dy y
y
y
x .
16、计算二重积分22()D
x y dxdy +??，其中D 是由y 轴及圆周
22
1x y +=所围成的在第一象限内的区域.
17、解微分方程x y y +'=''.
18、判别级数)
11(
133∑∞
=--+n n n 的敛散性.
19、将函数x -31
展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间. 20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
2
2
2121211028321415x x x x x x R ---++=，
求最优广告策略.
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设11
33
ln()z x y =+，证明：
13z z x y x y ??+=??. 22、若∑∞
=12n n
u
与∑∞
=1
2n n
v
都收敛,则∑∞
=+1
2
)(n n n
v u
收敛.
练习卷（1）答案
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、2(1)1x y y -+.
2、π.
3、)
32
,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)
6、(C ).
7、 (B).
8、(A ) .
9、(D). 10、(D). 三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求由2
3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：
32
y x =的反函数为23
,0x y y =>。且4=x 时，8=y 。于是
248
8
22
33
8
37
730
(4)16(80)33
128128(80)
775127V y dy y dy
y ππππππππ=-=--??=-?=-?-????=?? )6()
3(分分
12、求二重极限
1
1lim
222
20
-+++→→y x y x y x .
解：原式
11)11)((lim 2222220
0-++++++=→→y x y x y x y x (3分)
2
)11(l i m 220
=+++=→→y x y x (6分)
13、),(y x z z =由xy e z z
=+确定，求y x z
???2.
解：设
(,,)z
F x y z z e xy =+-，则 x F y
=-， y F x
=- ，1z
z F e =+
11x z z z z F y y x F e e ?-=-=-=?++， 11y z z z F z x x
y F e e ?-=-=-=?++ (3分)
222
111(1)1(1)z z z z z z z z e y e z y e xy y
x y y e e e e ?+-??
?????===- ????++++?? (6分)
14、用拉格朗日乘数法求
22
1z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：
222
(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得
12x =
,"40z =>,1
2x =
为极小值点. (3分) 故22
1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32 (6分)
15、计算
?
?1 2
1
2dx
e dy y
y
y
x .
解：
21
1
2
123182x y
y
y I dy e dx e e ==-?? (6分) 16、计算二重积分22()D x y dxdy +??，其中D 是由y 轴及圆周
22
1x y +=所围成的在第一象限内的区域.
解：22()D x y dxdy +??＝13200d r dr πθ??＝8π (6分)
17、解微分方程x y y +'=''.
解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是
)(1
)1()1(C dx e x e p dx
dx +??=---?
)
(1
C dx e x e x x +=-?
])1([1C e x e x
x
++-=-x
e C x 1)1(++-= (3分)
?2121)1(21
])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==?? (6分)
18、判别级数)
11(
133∑∞
=--+n n n 的敛散性.
解：
33332
1111n n n n +--=
++- (3分)
因为333311lim lim 1
111
n n n n n n
n n n n →∞→∞+--==++- (6分) 19、将函数x -31
展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.
解：由于
311
3131x x -?=-,已知 ∑∞
==-011n n
x x ,11<<-x , (3分)
那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n n
n n n x
x x ,33<<-x . (6分)
20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有
如下的经验公式:
2
22121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略. 解：公司利润为2
2212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=
令?????=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即???=+=+,31208,13842121x x x x
得驻点)
25.1,75.0()45
,43(),(21==x x ,而 (3分)
0411<-=''=x x
L A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C ,
064802>-=-=B AC D , 所以最优广告策略为：
电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元). (6分) 四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设11
33
ln()z x y =+，证明：
13z z x y x y ??+=??. 证：
2
2
3
3
113311113
3
3
3
,
x y z z x
y
x y
x y -
-
??==??++ (3分) 223311331133
11113333
11331133x y z z x y x y x y
x y x y x x x y --??+=?+???++??+ ?== ? ?+?
?
(6分)
22、若∑∞
=12n n
u
与∑∞
=12n n
v
都收敛,则∑∞
=+12
)(n n n
v u
收敛.
证：由于
)(22)(02
2222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, (3分) 并由题设知∑∞
=12n n
u
与∑∞
=1
2n n
v
都收敛,则)
(221
2n n n v u
∑∞
=+收敛,
从而∑∞
=+1
2
)(n n n
v u
收敛。 (6分)
安徽财经大学微积分（下）期末总复习
练习卷（2）及参考答案
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设22
(,)y
f x y x y x -=-，则
=),(y x f _____________. 2、已1()2πΓ=知，则5()2Γ＝___________.
3、设函数
22
(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数________a =. 4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________. 5、以x
x e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是__________________.
二、选择题(每小题3分,共15分)
6、已知dx e p x
?∞
+- 0 与?e p x
x dx 1 ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ). (A) 0>p (B) 0
7、对于函数22
(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).
(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点
(C) 是极大值点 (D) 是极小值
8、已知21()D I x y d σ=+??,32()D I x y d σ=+??,其中D 为
22
(2)(1)1x y -+-≤, 则( ).
(A) 12I I = (B) 12I I > (C) 12
I I < (D) 2212I I =
9、方程x
xe y y y 265=+'-''具有特解( ).
(A) b ax y += (B) x e b ax y 2)(+=
(C) x e bx ax y 22)(+= (D)
x
e bx ax y 223)(+=
10、级数∑∞
=-1
2)1(n n
n
n
a
收敛，则级数∑∞
=1
n n
a
( ). (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定
三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求3
x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.
12、求二重极限)1sin 1sin
(lim 0
0x
y y x y x +→→.
13、设
xy y x z -+=1arctan
,求22x z ??.
14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.
15、计算?
?10
1
d e d y
x x xy .
16、计算二重积分22D
x y dxdy
+??
,其中D 是由y 轴及圆周
22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.
17、解微分方程0='+''y y x .
18、判别级数
∑∞
=??? ??12!n n
n n 的敛散性.
19、将函数x x f 1
)(=
展开成)3(-x 的幂级数.
20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单
位乙产品的总费用为
22
20300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.
四、证明题(每小题5分,共10分) 21、设
2
22ln z y x u ++=,证明
222222z u
y u x u ??+
??+??=2221x y z ++.
22、若
∑∞
=1
2n n
a
与
∑∞
=1
2n n
b
都收敛,则
∑∞
=1
n n
n b
a 收敛.
安徽财经大学微积分（下）期末总复习
练习卷（3）及参考答案
一、填空题(每小题3分,共15分) 1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z
=，则=z .
2、计算广义积分
?
∞
+ 1
3x dx
= .
3、设xy
e z =，则=)1,1(dz .
4、微分方程x
xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.
5、设14
n n u ∞
==∑，则1112
2n n n u ∞
=??-= ???∑_________
二、选择题(每小题3分,共15分)
6、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为( ).
(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D)不存在
7、),(00y x f x 和)
,(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的( ). (A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件 8、由曲面z x y =--422
和z =0及柱面x y 22
1+=所围的体积是( ).
(A) d d θπr r r
42
2
02-??
(B)
122
4d 4d r r
π
θ-??
(C)
212
d 4d r r
π
θ-?
?
(D) 4420
1
2d d θπ
r r r
-??
9、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1，x
e y =2，
x
e y 23=，则其通解为( ).
(A) x
x e C e C x 221++ (B) x x e C e C x C 2321++
(C) )()(221x x x e x C e e C x -+-+ (D) )()(2221x e C e e C x
x x -+-
10、无穷级数∑∞
=--11)1(n p
n n (p 为任意实数) ( ).
(A) 收敛 (B) 绝对收敛
(C) 发散 (D) 无法判断
三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求极限00lim 11
x y xy
xy →→+-.
12、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.
13、求由xyz e z
=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ????.
14、求函数322
(,)42f x y x x xy y =-+-的极值.
15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式: 2
2
2121211028321415x x x x x x R ---++=.
若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.
16、计算积分??
D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域.
17、已知连续函数)(x f 满足?+=x
x x xf dt t f 0
)(2)(，且0)1(=f ，求)(x f .
18、求解微分方程2
12y y y '-+''=0.
19、求级数3
1
(2)n n x n ∞
=-∑的收敛区间.
20、判定级数∑∞
=?1!)2sin(n n n x 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是
条件收敛.
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设正项级数1n
n u
∞
=∑收敛,证明级数1
1n n n u u ∞
+=∑
也收敛.
22、设
)(2
2y x f y
z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明 2
11y z
y z y x z x =??+??.
练习卷（3）参考答案
（可能会有错误大家一定要自己核对）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。（2222x xy y y -++）
2、计算广义积分?+∞13
x dx = 。（12）
3、设xy
e z =，则
=
)1,1(dz 。（)(dy dx e +）
4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.（x
e bx ax 22)(+）
5、设1
4
n n u ∞
==∑，则
11122n n n u ∞
=??
-=
???∑_________。（1）
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、222200
3sin()lim x y x y x y →→++的值为 （ A ）
A.3
B.0
C.2
D.不存在
2、)
,(00y x f x 和)
,(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点)
,(00y x 可微的 （ A ）。 A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件；
D.即非充分又非必要的条件。 3、由曲面z x y =--422
和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是 （D ）。
A.
d d θπr r r
42
2
02-??
； B.
1220
4d 4d r r
π
θ-??
；
C 、
212
d 4d r r
πθ-??
； D.
4420
1
2d d θπ
r r r
-??
4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1，x e y =2，
x
e y 23=，则其通解为 （C ）。
A.x
x e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；
C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；
D.)()(2221x e C e e C x
x x -+-
5、无穷级数∑∞
=--11)1(n p
n n (p 为任意实数) （D ）
A 、收敛
B 、绝对收敛
C 、发散
D 、无法判断
三、计算题(每小题6分,共60分)
1、求下列极限：
00
lim
11
x y xy xy →→+-。
解：
00
lim
11x y xy
xy →→+-00
(11)lim (1)1x y xy xy xy →→++=+- …（3分）
00
lim(11)112
x y xy →→=++=+= …（6分）
2、求由x y =
与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。
解：
4
21
()d x V x x
π=? …（4分）
7.5π= …（6分）
3、求由xyz e z
=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ????。 解：方程两边对x 求导得:
x z xy yz x z e z ??+=??,有)1(-=-=??z x z xy e yz x z z
…（3分） 方程两边对y 求导得: y z xy xz y z e z
??+=??,有)1(-=-=??z y z xy e xz y z z …（6分）
4、求函数322
(,)42f x y x x xy y =-+-的极值。
解：322
(,)42f x y x x xy y =-+-，则
2(,)382x f x y x x y
=-+，
(,)22y f x y x y
=-，
(,)68
xx f x y x =-，
(,)2xy f x y =，
(,)2yy f x y =-，
求驻点，解方程组2
3820220x x y x y ?-+=?
-=?，
，得
)0,0(和(2,2). …（2分）
对
)0,0(有
(0,0)80xx f =-<，
(0,0)2xy f =，
(0,0)2
yy f =-，
于是2120B AC -=-<，所以
)0,0(是函数的极大值点，且(0,0)0f = …（4分） 对(2,2)有
(2,2)4
xx f =，
(2,2)2
xy f =，
(2,2)2
yy f =-， 于是2120B AC -=>， (2,2)不是函数的极值点。 …（6分）
5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
2
2
2121211028321415x x x x x x R ---++=.若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策
略.
解：显然本题要求:在条件05.1),(2121=-+=x x x x ?下,求R 的最大值.
令
)5.1(1028311315212
2212121-++---++=x x x x x x x x F λ, …（3分） 解方程组
???
??=-+='
=+--='=+--='0,
5.1,020831,0481321211221x x F x x F x x F x x λλλ …（5分）
得:01=x ,5.12=x
所以,若提供的广告费用为5.1万元,应将
5.1万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略. …（6分）
6、计算积分??
D d x y
σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；
解：221x x D y y d dx dy x x σ=????. …（4分）
2139
24xdx =
=? …（6分）
7、已知连续函数)(x f 满足?+=x
x x xf dt t f 0
)(2)(，且0)1(=f ，求)(x f 。 解：关系式两端关于x 求导得：
1)(2)(2)(+'+=x f x x f x f 即
x x f x x f 21)(21)(-=+
' …（2分）
这是关于
f )(x 的一阶线性微分方程，其通解为：
)
)21(()(22?+?
-?=-
c e x e x f x
d x
x
d x
=1
)(1-=+-x c c x x …（5分）
又0)1(=f ，即01=-c ，故1=c ，所以1
1
)(-=x x f …（6分）
8、求解微分方程2
12y y y '-+''=0 。
解：令y p '=，则
dp y p
dy ''=，于是原方程可化为：22
1dp p p dy y +=- …（3分）
即201dp p dy y +=-，其通解为2
2111(1)dy y
p c e c y --?==- …（5分）
21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12
)1(=-
故原方程通解为：
211
1c x c y +-
= …（6分）
9、求级数
3
1(2)n n x n ∞
=-∑的收敛区间。
解：令2t x =-,幂级数变形为31
n n t n ∞
=∑
,3
311lim lim 1
n t n n n a n R a n →∞→∞++===. …（3分）
当1-=t 时,级数为3
01
(1)n
n n ∞
=-∑收敛；
当1=t 时,级数为3
1
1n n ∞
=∑
发散.
故3
1
n n t n ∞
=∑
的收敛区间是)1,1[-=t I , …（5分）
那么
3
1(2)n n x n ∞
=-∑的收敛区间为[1,3)x I =. …（6分） 10、 判定级数∑∞
=?1!)2sin(n n n x 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。
解：因为
sin(2)1
!!
n x n n ?≤ …（2分）
由比值判别法知1
1
!
n n ∞
=∑收敛(
1
(1)!lim 01
!n n n →∞+=)， …（4分）
从而由比较判别法知1
sin(2)
!
n n x n ∞
=?∑
收敛，所以级数1sin(2)
!n n x n ∞
=?∑绝对收敛. …（6分）
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、设正项级数1
n
n u
∞
=∑收敛,证明级数1
1
n n n u u ∞
+=∑
也收敛。
证：)
(21
11+++≤n n n n u u u u ， …（3分） 而由已知∑++)(21
1n n u u 收敛，故由比较原则，∑+1n n u u 也收敛。 …（5分） 2、设)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明2
11y z
y z y x z x =??+??.
证明：因为22f f xy x z '
-=??, …（2分）
2
22f f y f y z '+=?? …（4分）
所以2
22212211y z
yf yf f y f f f y y z y x z x =='++'-=??+??. …（5分）
安徽财经大学微积分（下）期末总复习
练习卷（4）及参考答案
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设()z x y f y x =++-，且当0x =时，2
z y =，则=z .
2、计算广义积分=?∞+ 1 2x dx
.
3、设)1ln(22y x z ++=，则(1,2)dz = .
4、微分方程x
e x y y y 3)1(596+=+'-''具有 形式的特解.
5、级数∑∞
=+1913n n
n 的和为 .
二、选择题(每小题3分,共15分) 6、222200
3sin()lim x y x y x y →→++的值为( ).
(A) 0 (B) 3 (C) 2 (D)不存在
7、),(y x f x 和)
,(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的( ).
(A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件 8、由曲面z x y =--422
和z =0及柱面
224x y +=所围的体积是( ). (A)
24
2
0d 4d r r r
πθ-?
? (B)
2
220
04d 4d r r r
π
θ-?? (C)
22
2
d 4d r r
πθ-?
?
(D) 2
220
4d 4d r r
πθ-??
9、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =，x e y =2，
x
e y 23=，则其通解为( ). (A) 22212()()x x x C e e C e x -+- (B) 22123x x
C x C e C e ++
(C) 2212x x x C e C e ++ (D)
)()(22212x
x x e x C e e C x -+-+ 10、无穷级数121(1)n p
n n -∞
=-∑(p 为任意实数) ( ).
(A) 无法判断 (B) 绝对收敛
(C) 收敛 (D) 发散
微积分期末测试题及复习资料
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
微积分2期末复习提纲答案
2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010<
同济大学高等数学1期末试题(含答案)
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解
2014-2015(1)微积分(上)期末试卷A答案(1)
（3）若00()0()0f x f x '''=<，，则下列结论正确的是（ A ） A 0x 是()f x 的极大值点 ， B 00(,())x f x 是()f x 的拐点 ， C 0x 是()f x 的间断点 ， D 0x 是()f x 的极小值点 。 （4）若在区间I 上，()0()0f x f x '''><， ，则曲线y=f(x)在I 上是（ D ） A 单调减的凹弧 ， B 单调增的凹弧 ， C 单调减的凸弧 ， D 单调增的凸弧 。 （5）设(),()(0,1)ln x x a f x a g x a a a ==>≠则（ C ） A ()()g x f x 是的不定积分 ， B ()()g x f x 是的导函数 ， C ()()g x f x 是的一个原函数 ， D ()()f x x 是g 的一个原函数 。 三、计算题：（共9小题，每题5分，共45分）（要求写出计算过程） （1）已知arccos ,y x x =求：0 ' x y ='； （2）已知)0(arcsin 2222 2>+-=a a x a x a x y ，求：dy
（3） 设(sin )(cos )x y x x = ，求： dy dx （4）求极限：30(cos sin )(1) lim sin x x x x x e x x →-- （5 ）计算：2 （6）计算：12 x e dx x ? （7）计算：求2 1 4dx x -?． 解：
（8）计算：cos x e xdx -? 解：cos cos cos (sin )x x x x e xdx xde e x e x dx ----=-=-+-??? cos sin cos sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx -----=-+=-+-??---2’ 12cos (sin cos )x x x x x x C --∴=-+?e d e -------------------2’ （9）计算：dx x ? 所以，当3x >时， 当3x <-时，同理可得： 四、应用题：（10分）（要求写出计算过程） 设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为 23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元), 现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量. 解： 利润函数为 ()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q -----2’， 求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ------------2’， 令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q --------2’， 因此使利润最大的销量为2000条。------------------2’
微积分2习题答案
一、填空题 1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3) (lim 0=→x x P x ，则=)(x P 2．=-++∞ →))(arcsin(lim 2 x x x x 6 π x x x 3262 3++↑ 3．=?? ? ??-∞ →3 21lim x x x 32 -e 4．设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 31，则有=a ，=A 4，－2 5．设x x x x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 2 6．=?+→2 32031 sin sin lim x x x x x 31 7．函数) 2)(1(1+-+=x x x y 的间断点是 1=x 8．为使函数()x x x f tan 1 ?=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 1 9．设函数?????=≠-=00)1(3 x K x x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数???>+≤+=0 10 )(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2 二、单项选择题 1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞ →lim ② ①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→1 11 lim x e x ③ ①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→- →x x x x x x 1 sin lim ) 1(lim 10 ④ ①e ； ②1e -； ③1e +； ④1 1e -+ 4．()() 213 ++-= x x x y 的连续区间是__________________ ② ①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3 ③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11, 5．函数1 2 111 11+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上 6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，② ①x cos 1- ②2 x x + ③x ④x 2sin
微积分下册期末试卷附答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷 及参考答案 06年A 卷 评分 阅卷人 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 0 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则= ')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 评分 阅卷人 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1 ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >
7 数???? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 2 2223 11 1x y I x y dxdy +≤= --?? ,22223212 1x y I x y dxdy ≤+≤=--??, 2 2223 324 1x y I x y dxdy ≤+≤=--?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分) 评分 评分 评阅人 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.
大一上学期微积分期末试卷及答案
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 微积分(上)期末考试试题（B） 对外经济贸易大学 2003-2004学年第一学期 《微积分》（上）期末考试试卷(B) 课程课序号CMP101??（1~14） 学号：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 成绩：___________ 题号 一 二 三 四 五 六 总分 成 绩 一、 选择题 (选出每小题的正确答案，每小题２分，共计８分) 1． 下列极限正确的是 _________。 （A ）1 0lim 20x x + →= （B ） 10lim 20 x x - →= （C ）1lim(1) x x e x →∞ -=- （D ） 01lim (1)1x x x +→+= 2．若()(),f x x a x x φφφ=-≠其中（）为连续函数，且（a ）0，() f x 在 x a =点_________。 （A ） 不连续 （B ） 连续 （C ）可导 （D ） 不可导 ３． 设f （x ）有二阶连续导数，且 2 () (0)0,lim 1,_______x f x f x →'''==则。 () 0()A x f x =是的极大值点 ()0(0)B f （，）是f(x)的拐点 ()0()C x f x =是的极小值点 ())0D f x x =（在处是否取极值不确定 ４．下列函数中满足罗尔定理条件的是 。 ()ln(2) [0,1] A f x x x =-（） 2 01()0 1 x x B f x x ?≤<=? =?（） ()sin sin [0,] C f x x x x π=+（） 2 1 ()1[1,1] D f x x =- -（） 5．若()(),f x x φ''=则下列各式 成立。 () ()()0A f x x φ-= () ()()B f x x C φ-= () ()()C d f x d x φ=?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、 填空题（每小题3分，共18分） 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →-===-在处可导，且，那么曲线() y f x =在原点处的切线方程是__________。 ２．设函数f （x ）可导，则2 (4)(2)lim 2 x f x f x →--=-_________。 3．设ln ,()x xf x dx x '=?为f(x)的一个原函数那么 。 4 ． 设 2121,2ln 3x x y a x bx x a b ===++均是的极值点，则、的值为 。 5． 设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 江西财经大学 06－07第一学期期末考试试卷 试卷代码：12003A 授课课时：52 课程名称：微积分I （双语） 适用对象：06级国际学院本科生 1. (10pts) Evaluate 3221sin 2lim 1x x x x π→--. 2. (10pts) pute ?-+-x x x x x d ) 1(arcsin 1. 3. (12pts) Calculate )0(y ''and x d provided that two variables x and y satisfy the equation 0,cos 2>+=y xy y x y . 4. (12pts) Find A and B given that the derivative of ? ??>-≤++=2,2,2)(22x A Bx x Bx Ax x f is continuous for all real x . 5. (12pts)Find the area of the region bounded by cures 4,==y x y and the equation of the tangent to the graph x y =at the point )1,1(. What is the volume of the solid generated by revolving the region about the x -axis? 6. (12pts)A manufacturing plant has a capacity of 30 articles per week. Experience has shown that n articles per week can be sold at a price of p dollars each where n p 15.010-=and the cost of producing n articles is n 330+dollars. How many articles should be made each week to give the largest profit? 7. (16pts)Sketch the graph of the function 1 22 -=x x y . 8. (8pts)Let )(x f be continuous on ],0[a , differentiable on ),0(a . If 0)(=a f , then for every real R there is at least one number c in ),0(a for which 0)()(='+c f c c Rf . 9. (8pts)Is it true or false that )(2x f is differentiable implies )(x f exists antiderivative ？Justify your answer. 大一微积分期末试卷及 答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 微积分期末试卷 选择题（6×２） 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解：原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解： 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求 四、 证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。 证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 五、 应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，） 且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1 微积分习题集带参考答案 一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4) 2ln(1 )(的定义域是]4,1()1,2(-?--． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k 2 ． ⒊曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋ =+?e 1 2 d )1ln(d d x x x 0 ． ⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =． 6函数24)2(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 62 -x ． 7.当→x 0时，x x x f 1 sin )(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9. =+-? -x x x d )135(1 1 32． 10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为x y e =. 11.函数x x x f 2)1(2 +=+，则=)(x f 12 -x ． 1⒉=∞ →x x x 1 sin lim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2 121+= x y ． 1⒋若 ?+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -． 1⒌微分方程x y xy y cos 4)(7) 5(3 =+''的阶数为 5 ． 16.函数74)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 32 +x ． 17.若函数???=≠+=0, ,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ． 18.函数2 )1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19. = ? ∞ -dx e x 0 22 1 ． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5) 4(3 =+''的阶数为 4 ． 21.设函数54)2(2 ++=+x x x f ，则=)(x f 12 +x ． 22.设函数????? =-≠+=0, 10 ,2sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则k =1-． 一． 选择题：（每小题3分，共15分） 1. 若当0x →时，arctan x x -与n ax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B. 13 C. 3- D. 1 3 - 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3 ()f x x = C. ()e e x x f x -=+ D. 1,10 ()0,01 x f x x -≤≤?=?<≤? 3. 如果()e ,x f x -=则(ln ) d f x x x '=? ( )B A. 1C x - + B. 1 C x + C. ln x C -+ D. ln x C + 4. 曲线y x = 渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为 偶函数，则 [()()]d a a f x g x x -''''+=?( ) D A. ()()f a g a ''+ B. ()()f a g a ''- C. 2()f a ' D. 2()g a ' 二． 填空题：（每小题3分，共15分） 1. 要使函数22 32()4 x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = . 14 2. 曲线2 e x y -=在区间 上是凸的. (,22 - 序号 3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+ 4. 曲线2 3 1x t y t ?=+?=?在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5. 定积分1 1 (cos x x x -+=? . π2 三．解下列各题：（每小题10分，共40分） 1．求下列极限 （1）22011lim .ln(1)x x x →?? -??+? ?. 解：原式=2240ln(1) lim x x x x →-+ …………..2分 2302211lim .42 x x x x x →-+== ………….3分 （2）()2 2 2 20 e d lim e d x t x x t t t t -→?? . 解：原式= () 2 2 2 20 2 e d e lim e x t x x x t x --→?? ………….3分 2 2 00 0e d e =2lim 2lim 2.1 x t x x x t x --→→==? …………..2分 2. 求曲线0π tan d (0)4 x y t t x =≤≤?的弧长. 解： s x x == …………..5分 π π440 sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+? ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++?求()d .f x x ? 1、已知22 (,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数 ?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( b ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若2 211 x y I +≤= ?? ,2 2 212x y I ≤+≤= ?? , 2 2 324x y I ≤+≤= ?? ,则下列关 系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( d ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、2(1)1x y y -+. 2 3、) 32 ,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解： 32 y x =的函数为 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋大一微积分期末试卷及答案
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