江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分

解析几何

1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。 解

2226x y +=上点(,

)x y 到4x y +=的距离1

d (,)4

2

x y x y =+-，()2

21d (,)42

x y x y =

+-。 令()()2

2214262

F x y x y λ=

+-++-， ()()''

'22420440260x y F x y x F x y x F x y λ

λλ?=+-+=??=+-+=??=+-=?? 解得2

1

x y =±??

=±?

17d(2,1),d(2,1),22=

--=所以71maxd ,mind 22

==。

2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ?==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：

(,)(,)

(,)(,)

x x y y f f αβ?ζηαζβηαβ?ζη-==

-。 证 问题为求2

2201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ?=下的最

值。

20111222(,)(,)F d f x y x y λλ?=++，

则由111122221211211221222()0

2()02()02()0

x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλ?λ??=-+=?=-+=???=--+=??=--+=??

得

1212112212121122(,)(,)(,)(,)

x x y y f x y x y x x y y f x y x y ??-==

-，若2

0u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最

值，其中(,)0,(,)f αβ?ζη==，则必有

1

2

1

2

(,)(,)

(,)(,)

x x y y f f αβ?ζηαζβηαβ?ζη-==

-，即(,

)(,)(,)(,)

x x y y f f αβ?ζηαζβηαβ?ζη-==

-，证毕。

3.椭球面1S 是椭圆22

143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是由过点(4,0)且与椭圆22

143

x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成。求 （1）1S 及2S 的方程； （2）1S 与2S 之间的立体体积

解 （1）椭圆22

:143

x y Γ+=绕x 轴旋转而成的椭球面1S 的方程为 222

143

x y z ++= 为求2S 的方程，先求Γ上过点(4,0)的切线L 。

Γ上任意点00(,)x y 的切线的斜率是0

'0

(,)0

34x y x y y =-

，相应的切线方程是 00

000

3()4x x y x x y y =

-- 将4,0x y ==代入上式得22

00043

x y x +=。 又因为00(,)x y 在Γ上，故满足Γ的方程22

00143

x y +=， 总和以上条件有003

1,2

x y ==±

。 只需考虑00y >，于是得到切线L 的方程为1

(4)2

y x =--。 于是2S 的方程为2

2

21

(4)4

y z x +=

-。 （2）1S 与2S 之间的区域Ω的体积为V ，它由椎体的一部分1Ω除去椭球体的一部分2Ω组

成，而与x 轴垂直的2Ω的截面区域()D x 为22

2

214x y z ??

+≤- ??

?。于是2Ω的体积为22

2

21

1()

5

3144D x x V dx dydz dx ππ??==?-= ????

???。

按锥体的体积公式，得1Ω的体积2

1139

3324

V ππ??=?= ???。

因此，12V V V π=-=。

4.可微函数(,)f x y 满足0(,)(,),(1,2,2)

f tx ty tf x y P =-是曲面(,)Z f x y =上一点，且'(1,2)4x f -=，求曲面(,)Z f x y =在0P 处的切平面方程。

解 ''12(,)(,)(,)f tx ty x f tx ty y f x y += 令1t =，则

''12(,)(,)(,)f tx ty x f tx ty y f x y += ''12(1,2)(1,2)(2)(1,2)f f f -+--=-，

'2(1,2)1f -=

{4,1,1}n =-

切平面：4(1)(2)(2)0x y z -++--=。

5.在第一卦限内做椭球面222

2221x y z a b c

++=的切平面，使得切平面与坐标平面所围城的四面

体的体积最小，并求切点坐标。 解 用拉格朗日乘数法。切点,,333a b c ??

?

??

。切平面1333x y z a b c ++=。

6.将边长为6的正方形ABCD 用平行于AB 的线段,EF GH 分成三等分，沿,EF GH 将正方形（如图61）折成三棱柱（如图62），使,BA CD 与Oz 轴重合，点,B C 与原点O 重合，

EF 在zOx 坐标面上，HG 在第一卦限，此时正方形的对角线BD 被折成空间折线

BP PQ QA --。

（1）求线段PQ 在直角坐标系中绕Oz 轴旋转所形成的旋转曲面的方程。

（2）过点,P Q 分别作平行于xOy 坐标面的两平面，求此两平面与题（1）的旋转曲面所围城的立体的体积。

解 （1）点,P Q 在直角坐标系中的坐标为(2,0,2)P 、(1,3,4)Q ，过,P Q 两点的空间直线的参量方程为

2,3,22x t y t z t =-==+

线段PQ 绕Oz 轴旋转所得旋转曲面上的点(,,)M x y z 满足

2222

(2)322x y t t z t

?+=-+?

=+? 消去参量t ，得2

2

2

(3)3x y z +--=（单叶双曲面）。

（2）4

4

2322

1203(3)3(3)33V z dz z z πππ????=+-=+-=???????。

7.在曲面22

4z x y =+上求点，使曲面在点的切平面经过点(5,2,1)且与直线

123

214

x y z ---==平行。 解 曲面2

2

4z x y =+上点(,,)x y z 的切平面法向量{2,8,1}n x y =---，由题意 {2,8,1}{2,1,4}0x y --?= （1） 向量{5,2,1}x y z ---在切平面内，故

{5,2,1}{2,8,1}0x y z x y ---?--= （2） 又 2

2

4z x y =+ （3）

联立（1），（2），（3）解得(1,1,5)--或(3,1,13)--是所求的点。

8.过椭圆2221ax by cz ++=外一定点(,,)αβγ做其切平面。再过椭圆中心作切平面的垂线，求垂足的轨迹方程。

解 设切平面为 l x m y n z p ++= （1）

自中心作切平面的垂线为

x y z

l m n

== （2） 因切平面过(,,)αβγ，故l m n p αβγ++= （3）

又

0000000001

ax by cz ax by cz l m n lx my nz p

++====++ （3*）

又2

2

2

0001l m n ax by cz a b c ap bp cp ??????

++=++= ? ? ???????

，得 222

2l m n p a b c

++= （4） 由式（1），（2），（3*），（4）联立消去,,,l m n p ，得

2

222

()()()0()x x y y z z x y z x y z a

b c αβγαβγ-+-+-=???++=++?? 即为所求的轨迹方程。

9.过椭圆2

2

3231x xy y ++=上任意点作椭圆的切线，试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值。

解 设(,)M ξη为椭圆上任一点，则过此点的切线方程为

3()3Y X ξη

ηξξη

+-=-

-+，

它与坐标轴的交点为11,0,0,33A B ξηξη?

???

? ?++????

，于是切线与坐标轴所围成三角形面积

11

2(3)(3)

S ξηξη=

++，

利用条件极值，设

22(,,)(3)(3)(3231)F x y x y x y x xy y λλ=+++++-，

令

610(62)0F

x y x y x

λ?=+++=? 106(26)0F

x y x y y

λ?=+++=? 解得22

,,44

x y x y =±=±

=±

， min 1

4

S =

。

10.求椭球面2221x y z xy ++-=在坐标面Oyx 上的投影（即通过椭球面上每一点向平面

Oyx 做垂线所得到的垂足的全体）的边界曲线的方程。

解 2221y z +=。

11.有一张边长为4π的正方形纸（如图45），,C D 分别为','AA BB 的中点，E 为'DB 的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与'A 重合，B 与'B 重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，

且B 与原点O 重合，D 落在y 轴正向上，此时，求： （1）通过,C E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （2）此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直与于轴的平面所围成的立体体积。

解 圆柱面为2

2

:{(,,z)|(2)4,04}S x y x y z π+-=≤≤，

D 点坐标为(0,4,0)，

E 点坐标可取为(2,2,0)，

（1）C 点坐标为(0,4,4)π，过,C E 两点的直线方程为22224x y z

π

--==- ，故旋转曲面方程为2

2

22

182x y z π+=+

。

（2）旋转曲面在垂直于z 轴方向的截面是一个半径为22

182z π+

的圆，

所以所求体积V 为4222013283223V z dz πππππ??

=+=+ ???

?。

12.求λ的值，使两曲面：xyz λ=与222

2221x y z a b c

++=在第一卦限内相切，并求出在切点处

两曲面的公共切平面方程。

解 曲面xyz λ=在点(,,)x y z 处切平面的法向量为{}1,,n yz zx xy =。

曲面2222221x y z a b c ++=在点(,,)x y z 处切平面的法向量为2222,,x y z n a b c ??

=????

。

欲使两曲面在点(,,)x y z 处相切，必须12//n n ，即

222x y z

t a yz b zx c xy

===。 由0,0,0x y z >>>，得222

2223x y z t a b c λλλ++=，即31t λ=。

于是有2222221

3x y z a b c ===，解得,,,33333

a b c abc x y z λ====。

公共切平面方程为

0333333bc a ac b ab c x y z ??????

-+-+-= ? ? ??????

?，化简得3x y z

a b c

++=。

13.在曲面22

4z x y =+上求点，使曲面在此点的切平面经过点(5,2,1)，且与直线

123

214

x y z ---==平行。 解 设所求切点为000(,,)x y z ，则曲面在此点的切平面方程为

00028x x y y z z +-=

又点(5,2,1)在切平面上，故

（1）

由切平面与已知平面平行，有向量{}{}002,8,12,1,4x y -⊥，即

004840x y +-= （2） 及切点满足曲面方程，得

2

2

00040x y z +-= （3） 联立（1），（2），（3）解得所求点为(1,1,5)--和(3,1,13)--。

00010161x y z +-=

14.设曲面S 的方程2244z x y =

++，平面π的方程是222x y z ++=，试在曲面S 上

求一个点的坐标，使该点与平面π的距离最近，并求此最近距离。

解 S 上任取一点22

(,,44)P x y x y ++，与平面π的距离为

221

224423d x y x y ??=++++-?

?，

从而22

1210344d x

x x y ???=+

= ? ??++?

? 22

2410344d y y x y ???=+= ? ??++?

?

解得唯一驻点2

2,,222

x y z =-=-

=。其最近距离为 min 2

(21)3

d =

-。

15.求抛物面22

1z x y =++上任一点000(,)P x y 处的切平面与抛物面2

2

z x y =+所围成的立体的体积。

解 抛物面22

1z x y =++在点000(,)P x y 处的切平面为220000221z x x y y x y =+--+， 2222

0000221

z x y

z x x y y x y ?=+??=+--+?? ，求得投影区域2200:()()1D x x y y -+-≤。所围成的立体的体积

()22220000221D

V x x y y x y x y dxdy =+--+--??

22

001()()2

D

x x y y dxdy π

??=----=????。

16.求常数c b a ,,的值，使函数2

3

2

),,(z cx byz axy z y x f ++=在点)1,2,1(-M 处沿z 轴正方向的方向导数有最大值64.

解 (1,2,1){43,4,2g r a d f a c a b b c

-=+--。 由题意有(1,2,1)//{0,0,1}gradf -且(1,2,1)64gradf -=，故有

43040220a c b a b c +=??

-=??->?

，且()

2

2264b c -=，解得6,24,8a b c ===-。

17.求通过点(1,1)的曲线方程()

y f x =()()0f x >使曲线在[1,]x 上所形成的曲边梯形面

积的值等于曲线终点的横坐标x 与纵坐标y 之比的2倍减去2，其中1x ≥。

解 由题意得11

22|1x

x x ydx y y =?=-???=?? ，对方程两边求导得

2

2(')

y xy y y

-=

整理得

2(2)20y y dx xdy -+=

分离变量得

2

0(2)2dy dx

y y x

+=- 2

111

0222y dy dx y y x

??-+= ?-?? 两边积分得

21

ln 2ln ln ln 2

y y x C --+= 由1|1x y ==，得1C =，故所求曲线方程为222

2y x y =-。考虑到函数在1x =处有定义，

且()0f x >，曲线方程为2

21x y x

=+。

18.证明曲线2x y +

=上任一点的切线的横截距与纵截距之和等于2。

证 设0(,)o x y 为曲线上的任意一点，则002x y +=。曲线方程两边对x 求导，得 11'022y x

y

+

=，

解出','y y y x

=-

。

曲线在点0(,)o x y 处的切线斜率00

y k x =-

，切线方程为

0000

()y y y x x x -=-

-

令0y =，得切线的横截距为000x x y +；令0x =，得切线的纵截距为000y x y +。所以，切线的横截距与纵截距之和为

()()(

)

2

0000000

2x x y y x y x y +

++=

+=

19.从已知ABC ?的内部的点P 向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点P 的位置。

解 设三边的长分别为,,a b c ，从P 所作的垂线长分别为,,,x y z ABC ?的面积为S ，于是令

(,,),2f x y z xyz ax by cz S =++=

设()(,,)2F x y z xyz ax by cz S λ=+++-，令

'0'0'02x y

z F yz a F xz b F xy c ax by cz S λλλ=+=??=+=??

=+=??++=?

解得222,,333S S S x y z a b c

===。由问题的实际意义，f 确有最大值，故当P 到长为,,a b c 的边的距离分别为222,,333S S S x y z a b c

===时，三垂线长的乘积达到最大。

20.在第一象限从曲线2

214

x y +=上找一点，使通过该点的切线与该曲线以及x 轴和y 轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积。 解 设(,)u v 为所求之点，则由2214,'224x y x y x

=-=--，得到在(,)u v 处的切线方

程：

2

()24u y v x u u

-=-

--

令0x =得切线的纵截距 22

24u b v u

=

+-

令0y =得切线的横截距 22

24v u u a u

-+=

于是，所围的面积为 1()22

A u ab π=

- 即 (

)

2

2

22

221

24112

()42224u u u A u u u

u π??

?-+????=?+-- ??

?-????

?

?

2

42

4u u

π

=

-

-

令'()0A u =，解得2u =±。由几何直观知2u =时，面积()A u 为最小，且

(2)22

A π

=-

因此，所找的点为22,2??

? ???

，所求的最小面积为22π-。

21.已知锐角三角形ABC ?，若取点(,)P x y ，令(,)f x y AP BP CP =++（

表示线段

的长度）。证明：在(,)f x y 取极值的点0P 处，向量000,,P A P B PC 所夹的角相等。 证 设,,A B C 三点的坐标为(,)(1,2,3)i i x y i =，极值点0P 的坐标为00(,)x y ，则

{}01010,P A x x y y =--； {}02020,P B x x y y =--； {}0

3030,PC x x y y =--， 又 ()()

()

1

3

222

1

(,)i

i

i f x y x x x y ==

-+-∑，

()

()

()()

()

()

3

112

22

3112

22

i

i i

i i

i i

i x x f

x x x y y y y f y x x y y ==-??=???-+-??-??=??-+-??

∑∑

极值点000(,)P x y =应满足

0P P f

f x

y

??=

=??，即

()

()

()()

()

()()

()

()

()

()

()

3

01

01122

22

22

2

1

010

03

01

0112

2

22

22

2

1

010

0i

i i

i i

i i

i x x x x x x y y x x y y y y y y x x y y x x y y ==--?-=??-+--+-??--?-=?-+--+-??

∑

∑

以上两式两边平方再相加，得

()

00cos ,P B P C

()()()()()()()()

020*********

02020303x x x x y y y y x x y y x x y y --+--=

-+--+-

12

=-

同理()()

00001cos ,cos ,2

P A P B P A P C ==-。

22.证明：曲面2223y z x y z x f x ??

+

++= ???

任意点处的切平面在Oz 轴上的截距与切点到坐

标原点的距离之比为常数，并求出此常数。

解 为方便，记2

222r x y z =

++（即原点到点(,,)x y z 的距离），y u z

=

， 3(,,)()F x y z z r x f u =+-

则

2'3()'()x x

F x f u xyf u r

=

-+ 2''()y y

F x f u r =-

'1z z F r

=+

曲面在任任意点P(,,)x y z 处切平面的法线向量为

{',','}x y z F F F

所以，若设切平面的动点坐标为(,,)X Y Z ，则切平面方程为

'()'()'()0x y z F X x F Y y F Z z -+-+-=

化简得

'''2()x y z F X F Y F Z r z ++=-+

它在Oz 上的截距为

2()2()

2'1z r z r z c r z F r

-++=

=-=-+

故/2c r =-，即截距与r 之比为常数-2。

23.求曲面222(1)(1)z x z y +=--+与平面0z =所围成立体的体积。

解 2222

(1)2(1)(1)z x x z z y

+=-++++，即 22

12x y z x

++=

故令 cos sin x r y r θ

θ

=??=?

则 12cos r

z θ

=

-

故2cos 2220

42

1cos 2cos 3r d rdr d π

π

θ

θθθθ????-=- ? ?????

?

?

? 2

1(1cos 2)(2)3d π

θθ??=-+ ???? 3

π

=-

因此，由上述曲面与平面0z =所围的体积为

3

3

V π

π

=-

=

。