小波分析在故障诊断中的实际应用

测 控 系统 课 程 设 计

题目:基于小波分析的故障诊断

院 （系） 机电及自动化学院 专 业 测控技术与仪器1班 学 号 0911211014 姓 名 李志文 级 别 2 0 0 9 指导老师 王启志

2012年6月

Huaqiao university

摘要

基于小波变换的故障诊断是当前比较热门的一项研究之一，如何快速、准确地提取故障信号，如何准确定位故障的发生点及进行故障的预测是故障分析与检测的关键性问题。本文就此问题展开如下研究。

本文详细分析了小波变换的基本理论、小波变换用于故障检测的基本原理。介绍了几种常用的小波及其应用特点。通过实例分析比较不同小波类型的应用特点，通过对他们的优缺点的了解，能够在不同的环境下选取合适的小波类型进行故障检测，同时针对不同的着重点选取恰当的小波。

关键词：小波分析，故障检测，小波基选取，奇异性

ABSTRACT

Fault diagnosis based on wavelet transform is one of the popular a study, how quickly and accurately extract the fault signal, and how to accurately locate the fault occurred and the failure of the forecasts are the key issues of fault analysis and detection. On this issue, the following research.

In this paper a detailed analysis of the basic theory of wavelet transform, the basic principles of wavelet transform for fault detection. Several commonly used wavelet and its application characteristics. By case analysis comparing different wavelet characteristics, by understanding their strengths and weaknesses in different environments to select the appropriate wavelet for fault detection, and select the appropriate wavelet for a different focus.

KEY WORDS:wavelet analysis，defect detection，wavelet basis selection, singularity

目录

一、小波分析概述 (1)

二、小波分析的兴起及其在故障诊断的应用 (1)

三、几种常用小波介绍 (3)

四、小波分析在故障诊断中的应用实例 (7)

4.1 利用小波分析检测传感器故障 (7)

4.2 利用小波分析检测信号突变点 (10)

4.3 小波类型的选择对检测突变信号的影响 (11)

4.4 Daubechies5小波用于检测含有突变点的信号 (18)

五、心得体会 (20)

六、参考文献 (21)

一、小波分析概述

小波分析(Wavelet Analysis)即小波变换是80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。小波变换的基本思想类似于Fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。经典的Fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、傅立叶分析、数值分析的最完美结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。

二、小波分析的兴起及其在故障诊断的应用

小波分析是近年来国际上掀起的一个前沿领域，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展。小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质。可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分

析、傅立叶分析、数值分析的最完美结晶:在应用领域，特别是在信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理、生物医学工程、计算机视觉、故障诊断及众多非线性科学领域都有广泛的应用。小波分析最初由法国理论物理学家Grossman和法国数学家Morlet共同提出的。与傅里叶变换相比，它具有许多优良的特性。

小波变换能够通过多尺度分析提取信号的奇异点。基本原理是当信号在奇异点附近的Lipschitz指数a>0时，其小波变换的模极大值随尺度的增大而增大;当a<0时，则随尺度的增大而减小。噪声对应的Lipschitz指数远小于0，而信号边沿对应的Lipschitz指数大于或等于0因此，利用小波变换可以区分噪声和信号边沿，有效地检测出强噪声背景下的信号边沿(缓变或突变)。离散正交小波变换和连续正交小波变换的时频特性相似，二者都能够描述信号的频谱随时间变化情况或信号在某时刻附近的频率分布。

目前利用小波变换进行故障诊断的方法有三种:

（l）利用观测信号的奇异性进行故障诊断

动态系统的故障通常会导致系统的观测信号发生变化，若能采取一定的措施消除系统状态变化以外的因素的影响，直接利用连续小波变换检测观测信号的奇异点就可以检测出系统故障。

（2）利用观测信号频率结构的变化进行故障诊断

振动系统的故障通常会导致系统观测信号的频率发生变化。若能采用一定的措施消除系统状态变化以外的因素对观测信号的影响，则利用离散正交小波变换分析观测信号的频率结构随时间的变化情况，就可以检测系统的故障。

（3）利用脉冲响应函数的小波变换进行故障诊断

Eykhoff的连续系统脉冲响应辨识方法的基本思想是将系统脉冲响应函数的辨识转化为脉冲响应函数在一组正交函数基上的投影系数的辨识。若将Eykhoff 方法中的正交函数基取为离散正交小波基，所得到的脉冲响应辨识方法除了保持原方法的有效性外，而且较基于传统正交函数基的Eykhoff方法，具有更强的跟踪参数变化的能力，辨识结果具有明确的频域物理意义。系统脉冲响应函数在最大尺度下的小波变换系数描述了它在大尺度下的概貌情况，完全可以代表其整体特性。而且通常这些小波变换系数中只有2-3个元素具有较大的模，其余元素的

模都非常小。系统故障导致的系统脉冲响应函数的变化也必然反映在这少数几个小波变换系数的变化中。以系统的状态为参照，根据系统待检状态下辨识得到的这几个元素或其平均值随时间的变化情况就可以判断有无故障。由于这些元素或其平均值和系统的状态相对应，还可以利用它们在突变后的取值并结合系统的先验知识进行故障分离。基于小波变换的故障诊断方法无需对象的数学模型，且对于输入信号的要求较低，计算量不大，灵敏度高，克服噪声能力强，是一种很有前途的故障诊断方法。

三、几种常用小波函数介绍

与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数y(x)具有多样性。但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。

根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：

(1) y、Y、f和F的支撑长度。即当时间或频率趋向无穷大时，y、Y、f和F 从一个有限值收敛到0的速度。

(2) 对称性。它在图像处理中对于避免移相是非常有用的。

(3) y和f(如果存在的情况下)的消失矩阶数。它对于压缩是非常有用的。

(4)正则性。它对信号或图像的重构获得较好的平滑效果是非常有用的。

但在众多小波基函数(也称核函数)的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常有用的。我们可以通过waveinfo函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小波函数y和尺度函数f可以通过wavefun函数计算，滤波器可以通过wfilters函数产生。在本节中，我们主要介绍一下MATLAB中常用到的小波函数。

3.1Haar小波

Haar函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数。Haar函数与下面将要介绍的db小波函数是一样的。Haar函数的定义为

1012

11210H

x x ψ

≤≤??=-≤

其他

（3-1）

尺度函数为 ()1

01

0x x φ≤≤?=?

?其他

（3-2） 在MATLAB 中，可以输入命令waveinfo(￠haar￠)获得Haar 函数的一些主要性质，

如图2.1

所示。

图3.1Harr 小波函数

3.2 Daubechies(dbN)小波系

Daubechies 函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies 构造的小波函数，除了db1(即haar 小波)外，其他小波没有明确的表达式，但转换函数h

的平方模是很明确的。db N 函数是紧支撑标准正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。 假设()1

10N N k

k

k

k P y C y

--+

==∑

，其中1N k k C -+，为二项式的系数，则

()

2

220cos sin 22N

m P ωωω?

???= ? ?????

（3-3）

其中， ()2100

N jk k

k m h e

ω

ω--==

∑ （3-4）

小波函数y 和尺度函数f 的有效支撑长度为2N －1，小波函数y 的消失矩阶数为N 。大多数db N 不具有对称性，对于有些小波函数，不对称性是非常明显的。 正则性随着序号N 的增加而增加。 函数具有正交性。

在这里，我们画出db2和db8小波的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图3.2和3.3所示。

1

1

-1

2

()

t ψ0

1

Daubechies 小波函数提供了比Haar 组更有效的分析和综合。Daubechies 系中的小波基记为db N ，N 为序号，且N ＝1，2， (10)

在MATLAB 中，可以获得Daubechies 函数的一些主要性质。

图3.2（D4尺度函数与小波 ）

图3.3（D6尺度函数与小波 ）

3.3 Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系

Biorthogonal 函数系的主要特性体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中，通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。众所周知，如果使用同一个滤波器进行分解和重构，对称性和重构的精确性将成为一对矛盾，而采用两个函数，将有效地解决这个问题。

设函数用于信号分解，而函数y 用于信号重构，则分解和重构的关系式为()(),,j k j k C S x W x dx =?， ,,,j k

j k j k

S C

W =

∑ （3-5）

另外， 与y 之间具有二元性

()()()()

'''','',,0

,0j k j k j k x x dx j j k k x x dx ψψφφ?=?

≠≠?=??j,k （3-7）

这样，利用函数的特性，在信号分解时可以获得一些很好的分解性质(如振动、零力矩)，而利用y 的特性，在信号重构时又可获得一些很好的重构性质(如正则性)。3.4 Coiflet(coifN)小波系

Coiflet 函数也是由Daubechies 构造的一个小波函数，它具有coif N (N ＝1，2，

3，4，5)这一系列。Coiflet 具有比db N 更好的对称性。从支撑长度的角度看，coif N 具有和db3N 和sym3N 相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coif N 具有和db2N 和sym2N 相同的消失矩数目。 3.5 SymletsA(symN)小波系

Symlets 函数系是由Daubechies 提出的近似对称的小波函数，它是对db 函数的一种改进。Symlets 函数系通常表示为sym N (N ＝2，3，…，8)的形式。 3.6 Morlet(morl)小波

Morlet 函数定义为()()2

2

cos 5x

W x Ce x -= （3-8）

它的尺度函数不存在，且不具有正交性。

图3.4 Morlet 小波

3.7 Mexican Hat(mexh)小波 Mexican Hat 函数为

()()21422

1

x W x x e --=- （3-9） 它是Gauss 函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称为墨西哥帽

()0w x d x +∞

-∞

=?

（3-10）

由于它的尺度函数不存在，因此分析不具有正交性。 3.8 Meyer 函数

Meyer 小波的小波函数y 和尺度函数f 都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。

()()()121223242sin 1,22333482cos 1,2233280,,33i i e v e v ωωπππ

πωωπ

πππψωπωωπππω--???

??-≤≤? ? ??????

???

???=-≤≤?

? ??????

???????

??

??

（3-11）

其中，v (a )为构造Meyer 小波的辅助函数，且有

v (a )＝a 4(35－84a ＋70a2－20a3) a ∈［0，1］ （3-12）

()()()12122233242cos 12233

403v ππωπππ

φωπωωππ

ω--?

≤??

??

???=-≤≤? ? ?

?????

?>?

?

（3-13） 在MATLAB 中，可输入waveinfo(￠meyr￠)获得该函数的主要性质，如图3.5所示。

图3.5 Meyer 小波函数

图3.6小波分析诊断流程图

四、小波分析在故障诊断中的应用实例

4.1 利用小波分析检测传感器故障

例如电力系统在线监控信号含有大量的现场背景噪声，给传统方式的数据采集与故障诊断带来很大的困难，将以处理瞬态信号、含宽带噪声信号等见长的小波分析应用于电力系统在线监测是大有前途的。

应用Matlab模拟生成一个电力负载信号波形如图4-1所示，从图4-1中可以看出在t为2400~3600之间信号出现异常，这是传感器故障造成的，为了更清楚地揭示这种故障，利用Daubechies3小波对其进行3层分解，得到1~3层的细节信号。可以看出，细节信号图4-2、图4-3和图4-4都显示了在t=2400和t=3600之间的信号由于传感器故障儿引入了传感器误差噪声。第1层分解的d1高频系

数重构的图像比d2和d3高频系数重构的图像更清楚地确定了故障信号所在位置。

Matlab程序：

load leleccum; %模拟生成一个电力负载信号波形

index=2200:3600;

s=leleccum(index);

figure(1);

plot(index,s); %以时间为横轴，电压为纵轴构造图像

title('(a)电力负载信号波形 ');

[c,l]=wavedec(s,5,'db3'); %利用Daubechies3小波对其进行3层分解

d5=wrcoef('d',c,l,'db3',5);

d4=wrcoef('d',c,l,'db3',4);

d3=wrcoef('d',c,l,'db3',3);

d2=wrcoef('d',c,l,'db3',2);

d1=wrcoef('d',c,l,'db3',1);

figure(2); %第三层分解重构图形

plot(index,d3,'LineWidth',2);

title('(b)细节信号波形d3');

figure(3); %第二层分解重构图形

plot(index,d2,'LineWidth',2);

title('(c) 细节信号波形d2');

figure(4); %第一层分解重构图形

plot(index,d1,'LineWidth',2);

title('(d) 细节信号波形d1');

图4-1

图4-2

图4-3

图4-4

4.2 利用小波分析检测信号突变点

例如某一个正常运作的系统中，其正常输出点的采样信号应为一蠕变信号，当系统出现故障时，输出信号将会出现一突变信号（主要表现在幅度和频率的突变），从正常到出现故障的一采样序列，可利用小波分析分析故障出现的时间点。

源代码：

t=0:pi/125:4*pi;

s1=sin(t);

s2=sin(10*t);

s3=sin(t);

s=[s1,s2,s3];

subplot(421);plot(s);

title('原始信号');

ylabel('s');

[c,l]=wavedec(s,6,'db3');

apcmp=wrcoef('a',c,l,'db3',6);

subplot(422);plot(apcmp);

ylabel('ca6');

for i=1:6

decmp=wrcoef('d',c,l,'db3',7-i);

subplot(4,2,i+2);

plot(decmp);

ylabel(['d',num2str(7-i)]);

end

图4-5

从图4-5中的小波分解的层系数可以明显看出，t=500时，系统工作出现了异常

情况，在t=1000时，系统又恢复了正常。

4.3 小波类型的选择对检测突变信号的影响

不同的小波类型对突变信号的检测有不同的效果，对图3-6所示的突变信号分别采用Haar和Daubechies5小波对信号进行处理，可以得到其效果的不同。其中图4-7、图4-8和图4-9是用Haar小波处理后得到的高频信号；图4-11~图4-13是用Daubechies5小波处理后得到的高频信号，图4-10是用Daubechies5小波处理后得到的近似信号。

Matlab程序：

clear;

load nearbrk; %载入频率突变近似信号

whos;

figure;

plot(nearbrk);

title('(a)频率突变信号');

[c,l]=wavedec(nearbrk,3,'haar'); %采用Haar小波对信号进行处理

a3=wrcoef('a',c,l,'haar',3);

d3=wrcoef('d',c,l,'haar',3);

d2=wrcoef('d',c,l,'haar',2);

d1=wrcoef('d',c,l,'haar',1);

[c,l]=wavedec(nearbrk,3,'db5'); %采用Daubechies5小波对信号进行处理

aa3=wrcoef('a',c,l,'db5',3);

dd3=wrcoef('d',c,l,'db5',3);

dd2=wrcoef('d',c,l,'db5',2);

dd1=wrcoef('d',c,l,'db5',1);

%figure;

%plot(a3);

%title('(a) 近似信号 a3');

figure;

plot(d3);

title('(b) 细节信号 d3'); %Haar第三层分解的d3高频系数重构的图像

figure;

plot(d2);

title('(b) 细节信号 d2'); %Haar第二层分解的d2高频系数重构的图像

figure;

plot(d1);

title('(b) 细节信号 d1'); %Haar第一层分解的d1高频系数重构的图像

figure;

plot(aa3);

title('(e) 近似信号 a3');

figure;

plot(dd3);

title('(f) 细节信号 d3'); %Daubechies5第三层分解的d3高频系数重构的图像

figure;

plot(dd2);

title('(g) 细节信号 d2'); %Daubechies5第二层分解的d2高频系数重构的图像

figure;

plot(dd1);

title('(h) 细节信号 d1'); %Daubechies5第一层分解的d1高频系数重构的图像

图4-6

图4-7

图4-8

图4-9

图4-10

图4-11

图4-12

图4-13

由上图可见，Daubechies5小波分解后的3层高频系数重构图形可清楚地确定突变点的位置t=500,er Haar小波却没有这种能力。观察图4-7、图4-8和图4-9可以发现，由于在t=500点的系数值为零，所在不能判断间断点的位置，黑色的阴影

说明小波系数在这段区间剧烈的振荡。这些振荡的结果是原信号与近似系数的差值，因为Haar小波是分段的常数，所以与连续信号相减的时候就会产生振荡。由上图同样可以看出，Daubechies5第一层分解的d1高频系数重构的图像比d2、d3高频系数重构的图像更清楚地确定了信号的突变的位置。

利用db3和db1小波进行分析

Matlab程序：

load noispol;

s=noispol;ls=length(s);

[c,l]=wavedec(s,4,'db3');

figure(1);

subplot(5,1,1);plot(s);

title('原始信号及用db3小波分解其各层高频信号重构图');

ylabel('s');

for i=1:4

decmp=wrcoef('d',c,l,'db3',5-i);

subplot(5,1,i+1);

plot(decmp)

ylabel(['d',num2str(5-i)]);

end

[c,l]=wavedec(s,4,'db1');

figure(2);

subplot(5,1,1);plot(s);

title('原始信号及用db1小波分解其各层高频信号重构图');

ylabel('s');

for i=1:4

decmp=wrcoef('d',c,l,'db1',5-i);

subplot(5,1,i+1);

plot(decmp)

ylabel(['d',num2str(5-i)]);

end

图4-14

图4-15

从db3小波和db1小波的对照分析可以看出，由于db3小波有3个过零点，而db1小波没有过零点，其分解的高频系数表现出明显不同的特性。

4.4 Daudechies5小波用于检测含有突变点的信号

如图3-16所示的原始信号是一个含有突变点的信号，图4-17是利用傅里叶变换对原信号进行处理得到的图像。从图4-16上看信号是一条光滑的直线，但是信号在时间为500附近存在突变点，为了确定阶跃信号的突变点，采用Daudechies5小波对信号进行处理，以便确定突变点的位置。利用傅里叶变换对原始信号进行处理，可以得到如图4-17所示的图像，从图4-17中可以看到：信号经过傅里叶变换后能够清楚地确定出原始信号包含的频率值的大小，但是对于确定频率突变点的位置，傅里叶变换却没有这种能力。

Matlab程序：

clear;

load nearbrk; %载入频率突变的近似信号

whos;