含绝对值函数的图象 0
含绝对值函数的图象
【基础内容与方法】
1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；
2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；
3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数
1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题：
（1）求函数+2y k x b =+的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函数1
+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，
直接写出1
+2+12
k x b x +＞的解集．
类型二：含绝对值的二次函数
（一）绝对值在自变量上
2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函
数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根；
②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．
3．写出函数1
x
x
f在什么范围内，y随x的增大而增大，y随x的
=x
2
)
(2+
-
增大而减小？
（二）绝对值在解析式上 4．探究函数
22y x x
=-的图象与性质.
(1)下表是y 与x 的几组对应值.
x
其中m 的值为_______________；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________；
(4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________.
幂函数题型归纳
幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递 增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两
点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 （1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1． （1）、函数3 x y =的图像是（ ） （2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）
含绝对值的函数的图像
在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。 、三点作图法 三点作图袪是画函数ιy = ? f +? ?^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形?Ufft G V fl i故称召型图人 步曝是E①先画出站型图顶点,石； —) ②在顶点两侧各找出一点；卩 ③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k? ax+? I???≠ 0)的图彖* 例1作出下列各函数的圏象. (1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ? 解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示. 圏b <2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示. I 2 j
图2 注 I 当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下?函数图象关于直线Λ= --对称口 翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法. 注I ? k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称" 制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法. 二爾转作IS 二詡转作l?
步麋是 * ?5t 作出 P = /(x) 的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就??^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数 I y=I I/(Λ)∣的图家? 例t作出下列各函数的图讓. U) 7=U?-?i y=∣√-2^-3∣j ￠3) y=∣?(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象n C2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±? ⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得 到图3.图&就是婪画的1S数图象? 三、分段破作图法 分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法. 例1作出下列函数的图家U (I)J = Z a-2μ∣+b ￠2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h 图4
赏析幂函数的图象特征及应用
一、幂函数图像的分布规律 幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现， 分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征 线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区 域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区 域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。 二、幂函数图像的应用 1.识别图像 例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数 例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.
解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。
含绝对值函数的最值问题
专题三: 含绝对值函数的最值问题 1. 已知函数2()2||f x x x a =-- (0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围、 不等式()()12f x f x -≥化为()2 212124x x a x x a ----≥-- 即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论: ①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥?∈对恒成立 ②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥?∈+对恒成立 由①知102 a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥-或 11626222 a -<∴-≤≤Q 2、已知函数f (x )＝|x －a |,g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )＋g (x )的最值. 【解析】(1)由题意f (0)＝g (0),∴|a |＝1、又∵a >0,∴a ＝1、 (2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1、 当x ≥1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1,＋∞)上单调递增, 当x <1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在????? ???－121上单调递增,在(－∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )＋g (x )在(－∞,12-]上单调递减,在????? ???－12＋∞上单调递增. 2min ()4120[0,]()(0)120 1 02 g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤Q 在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需
高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4
含绝对值函数的综合问题一
含绝对值函数综合问题 一、含绝对值函数的最值 1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性 （1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值 “(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x = （2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k -为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值： “()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k =- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值： “()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =- 0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值： “()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =- 2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性 （1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的 “平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数 在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2 m n x +=。 （2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在 (,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2 m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对 称中心为( ,0)2 m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。 当0a b +>时，两端向上无限延伸，故最小值，最小值为min{(),()}f m f n ； 当0a b +<时，两端向下无限延伸，故最大值，最大值为{(),()}Max f m f n ； 当0a b +=时，两端无限延伸且平行x 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 {(),()}Max f m f n ；最小值为min{(),()}f m f n 。 3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性 函数1212()||||||(,,,)n i n f x x a x a x a a R i n N a a a *=-+-++-∈∈<<< 设 （1）若21()n k k N *=-∈，则()f x 的图像是以(,())k k a f a 为顶点的“V ”字形图像 （a ）当且仅当k x a =时，min 1211221[()]|()()|k k k k f x a a a a a a -++-=+++-+++ (b ) 函数()f x 在(,],[,)k k a a -∞↓+∞↑，若{}i a 为等差数列，则图像关于k x a =对称 （2）若2()n k k N *=∈，则()f x 的图像是以点11(,()),(,())k k k k A a f a B a f a ++为折点的“平 底形”图像 （a ）当且仅当1[,]k k x a a +∈，min 12122[()]|()()|k k k k f x a a a a a a ++=+++-+++ (b ) 函数()f x 在1(,],[,)k k a a +-∞↓+∞↑，在1[,]k k x a a +∈无单调性。若{}i a 为等差数列， 则图像关于1 2 k k a a x ++= 对称 这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当1x a < 及 n x a >时，图像是分别向左、右两边向上无限伸展的两条射线，中间各段在区间1[,](1,2,1)i i a a i n +=- 上均为线段．它们首尾相连形成折线形，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值． 证明：当21()n k k N * =-∈时，1221()||||||k f x x a x a x a -=-+-++- ， 1221k a a a -<<< 设由绝对值不等式性质得： 121121211|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当121[,]k x a a -∈时取“=” 222222222|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-， 当且仅当222[,]k x a a -∈时取“=”
绝对值函数图像的画法
For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 首先要从简单的绝对值函数画起。 2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。 或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去 然后再着手于复杂的图像的画法。 22 1121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。 最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。 122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerzie llen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 以下无正文
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质
（三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
3、幂函数的性质 y=x y=x 2 y=x 3 12 y x = y=x -1 定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减 增 增 x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减 定点 （1，1） 例3．比较大小： （1）112 2 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112 5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 4.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质： (1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增； 当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断． 例4．已知幂函数2 23 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于 原点对称，求m 的值．
含绝对值函数的图象 0
含绝对值函数的图象 【基础内容与方法】 1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像； 2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像； 3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数 1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1 +12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象， 直接写出1 +2+12 k x b x +＞的解集．
类型二：含绝对值的二次函数 （一）绝对值在自变量上 2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 其中，m＝． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函
数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现： ①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根； ②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是． 3．写出函数1 x x f在什么范围内，y随x的增大而增大，y随x的 =x 2 ) (2+ - 增大而减小？
（二）绝对值在解析式上 4．探究函数 22y x x =-的图象与性质. (1)下表是y 与x 的几组对应值. x 其中m 的值为_______________； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分； (3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________； (4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________.
含参数含绝对值的函数综合题
含参数含绝对值的函数综合题探究 一．解题策略： 1.去绝对值的思考，2012年~2014年的高考流行的是“遇见绝对值就考虑分类讨论去绝对值变为分段函数”；这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”。 2.分类讨论要“慢”； 3.能换元就“换”； 4.有函数就“画”。 二．精题例析 例1 （2017年4月浙江省学考第25题）已知函数) f=3|x?a|+|ax?1|，其中a∈R (x ①当a=1时，写出函数) (x f为偶函数，求实数a的值; (x f的单调区间;②若函数) ③若对任意的实数x∈[0，3]，不等式) (x f≥3x|x?a|恒成立，求实数a的取值范围. 点评：2012年~2014年的高考流行的模式延续到2015年~2017的浙江省学考中。
练习1 （2016年10月浙江省学考第25题）设函数2)|1(|1)(a x x f --=的定义域为D ，其中1 例2 (2017年6月浙江省高考第 17题即填空题的最后一题） 已知R ∈a .函数()a a x x x f +-+ =4在区间[]4,1上的最大值是5，则a 的取值 范围是_____. 点评：这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”，往往作为填空题考查学生，切忌小题大做，考查学生的转化与化归的思想意识、整体处理思想及数形结合。 练习1.（2018年4月浙江学考第22题即填空题的压轴题） 若不等式2x 2?(x ?a )|x ?a |?2≥0对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值是________________. 练习 2. 设函数m m x x x f 2294)(2+-+-=在区间[]4,0上的最大值是9，则实数m 的取值范围是______________. 幂函数图象有规律 幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。 2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。 3．各个象限内图象分布之规律：设p n q = ，,p q 互质，,p Z q N 挝。 1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。 2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。 3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。 5. 当n<0时，图像与x 轴，y 轴没有交点。 知识点：幂函数的图象特征: （1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象． 先根据函数特征画出第一象限图象； ① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 并且图象都过点（1，1）； ②0>α时，幂函数的图象通过原点， 并且在区间),0[+∞上是增函数． ③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减 函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． （2）如果幂函数是奇函数，在第 象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第 象限内有其轴（y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内． §2.3幂函数（教案） 教学目标： 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简 单的应用。 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数 的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。 教学重点： 重点 从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。 难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。 教学关键：揭示出幂函数y x α =的图象的规律。 教学准备：多媒体课件，几何画板。 教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。 学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。 教学程序与环节设计： 教学过程与操作设计： 材料二：幂函数的图象变化规律归纳 ∞）都有定义，并且图象都经 板书设计： 幂函数 1、幂函数的定义例2 例4 2、幂函数的图象与性质 教案说明： （1）本节课的教学内容，课本中虽然只有3页，但内容丰富。课本通过几个特殊幂函数的图象类比 归纳，得到图象都通过点(1,1)。 （2）本节是新课标新增加的内容，教材不仅仅学习有关幂函数图象与性质的问题，还包含着教会学 生通过观察和思考，得到有关幂函数的一些知识的问题。 （3）有意识地将新知识的学习和研究方法渗透到教学过程之中，通过教学过程的设计，将这部分内 容适当展开，重新组合，使知识的传授和能力的培养有机地结合到一起。 （4）利用几何画板方便地研究出幂函数的图象，充分展示由幂指数的变化引起幂函数图象的变化的 内部规律。这样学生就容易从所举函数的个性中归纳出共性来，从而在整体上对幂函数的图象 与性质有较深刻的了解。 幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是：m n a =0a >，m 、n N ∈，且1n >） 负分数指数幂的意义是：m n a -= （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 1、幂函数的图像与性质 幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a = 时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点． 0n < 幂函数基本性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． O x y O x y O x y 2.3幂函数 令狐文艳 学习目标 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质； 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习重点 幂函数的图像与性质 学习难点 幂函数性质的应用 学习过程 问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为a 的正方形面积2 S a =，S 是a 的函数； （2）面积为S 的正方形边长12 a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3 V a =，V 是a 的函数； （4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 1.幂函数的概念：一般地，形如 y x α =()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 判断下列函数哪些是幂函数. ① 1 y x = ；②22y x =；③3 y x x =-；④1y =. 2.幂函数的图象与性质 作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12 y x =；（3） 2y x =； （4）1 y x -=；（5）3 y x =． 从图象分析出幂函数所具有的性质. x y = 2x y = 3x y = 2 1x y = 1-=x y 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 1.幂函数的性质： 2.幂函数图象变化规律：． 练习：下列关于幂函数的命题中不正确的是( ) A 幂函数的图象都经过点(1,1) B 幂函数的图象不可能在第四象限内 C 当n x y =的图象经过原点时,一定有n>0 D 若n x y =是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数 例1讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性. 解析：证明函数的单调性一般用定义法。 证明：任取),0[,21+∞∈x x ，且21x x <，则 2 1212 121212121) )(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-= ++-= -=-， 因为21x x <，021>+x x ，所以 02 121<+-x x x x ， 所以)()(21x f x f <，即()f x x =在[0,)+∞为增函数。 点评：证明函数的单调性要严格按照步骤和格式写。 例2利用单调性比较大小： （1）215与3 15 ； （2）223 (2) a -+与23 2- ； （3）1.19.0与8 .02.1. 关于指数式值的比较，主要有：①同底异指，用指数函数单调性比较； ②异底同指，用幂函数单调性 比较； ③异底异指，构造中间量（同 底或同指）进行比较。 含绝对值的函数问题处理 1.（2005年江苏卷）已知a ∈R ，函数f(x)=x 2|x-a|. (I)当a=2时，求使f(x)=x 成立的x 的集合； (II)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解析：(I)若a=2,则有：22 2(2),2()2(2),2x x x f x x x x x x ì?- ?=-=í ?--0时, 函数f(x)在区间() 2a 2a ,0(,),(0, )3 3 -ト+ 递增在区间递减. ②当x 0时, 函数f(x)在区间() 2a 2a ,0(,),(0, )3 3 -ト+ 递减在区间递增. 由于所求区间为[1,2],故a 按所求区间进行讨论: ①若a ≤1,则 22,33 a ￡取f 1(x)图象在x>a 部分,因函数f1(x)在区间[1,2]部分单调递增,故当x=1 时取最小值,即m=f 1(1)=1-a; ②若1 幂函数图象有规律 江苏 王佩其 幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、 （1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时， 变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲 线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。 2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图 象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。 3．各个象限内图象分布之规律：设p n q =，,p q 互质，,p Z q N 挝。 1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。 2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。 3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴 对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称 （如图3）。 利用规律，解题有方。请看以下例题： 例1 分别画出（1）25 27y x -=， （2）82 9y x =， （3）5 y x = ，（4）1 8y x =的大致图象。 解析：（1）2527 n =-＝奇数/奇数＜0，故双曲线型在第一、三象限，关于原点对称，如图3中的①。 （2）829 n =＝偶数/奇数＞1，故抛物线型，在第一、二象限，关于y 轴对称，如图2中的④。 （3）551n == ＝奇数/偶数＞1，故抛物线型，在第一、三象限，关于原点对称，如图3中的④。 （4）18 n =＝奇数/偶数，0＜n ＜1，故抛物线型，仅在第一象限，如图2中在第一象限中的③。 例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； 学案17 含绝对值的函数 一、课前准备： 【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0 含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0 2.3 幂函数 教学分析 一、教学目标： 1、掌握幂函数的概念；熟悉α=1,2,3，?， -1时的1幂函数的图象和性质；能利用幂函数的性质 解决实际问题。 2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论， 培养学生的发现问题，解决问题的力。 二、教学重难点： 重点：幂函数的定义，图象与性质。 难点：幂函数的图象与性质。 三、教学准备： 教师：将幂函数 1 231 2 ,,,, y x y x y x y x y x- =====图象提前画 在小黑板上。 四、教学导图: 教学设计 一、教学过程： （一）教学内容：幂函数概念的引入。 设计意图：从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。这样，既可以让学生体会到幂函数来自于生活，又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念，培养学生发现问题、解决问题的能力。 师生活动： 教师：前面我们学习了指数函数与对数函数，这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道，不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天，我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型，也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题，如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W 千克，老师总共需要花的钱P是多少？ 教师：非常好，老师总共需要花的钱P=W。第二个问题，如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S等于多少？ 教师：回答的非常正确。面积S=2 a. 下面的问题都很简单，请同学们跟上老师的思路。第三个问题，如果正方体的边长为a，那么他的体积V等于多少了？ 教师：对。正方体的体积V= 3 a。第四个问题， - 1 - 含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，；②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图1 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x - =对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 （2）先作出322--=x x y 的图象，如图5。把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到图6。图6就是要画的函数图象。 图5 图6 图7 图8 （3）先作出)3lg(+=x y 的图象，如图7。把图7中x 轴下方的图象翻上去，得到图8。图8就是要画的函数图象。 三、分段函数作图法 分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方幂函数图象规律
【新课标】函数.幂函数课堂教案
幂函数的图像性质和应用
幂函数的图像与性质之令狐文艳创作
含绝对值的函数问题处理
幂函数图象规律
高中一轮复习__含绝对值的函数
高中--含绝对值的函数
幂函数教案
含绝对值的函数图象的画法及其应用