2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷(有答案解析)

2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）

1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 非充分也非必要条件

2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是

A. B. C. D.

3.设函数的定义域为R，有下列三个命题：

若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值；

若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；

若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的个数是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

4.已知函数，记集合，集合

，若，且都不是空集，则的取值范围是

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5.函数的定义域为______．

6.函数的反函数为______．

7.已知，试用a表示______．

8.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则

______．

9.函数的递增区间为______．

10.方程的解是______．

11.已知关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数

k的取值范围为______．

12.若函数且的值域是，则实数a的取值范围是

______．

13.已知的反函数为，当时，函数的最

大值为M，最小值为m，则______．

14.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则

称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是______．

15.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范

围为______ ．

16.已知函数，，若对任意的，

，均有，则实数k的取值范围是______．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

17.已知函数．

若，解方程：；

若在上存在零点，求实数a的取值范围．

18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．

求a的值；

设集合，，若，求实数m的取值范围．

19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今

的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为

万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产

销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题：

求利润函数的解析式利润销售收入总成本；

工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？

20.若函数满足：对于其定义域D内的任何一个自变量，都有函数值，则称函数

在D上封闭．

若下列函数的定义域为，试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．，．

若函数的定义域为，是否存在实数a，使得在其定义域上封

闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．

已知函数在其定义域D上封闭，且单调递增．若且，求证：．

21.已知函数，其中．

若，解不等式；

设，，若对任意的，函数在区间上的最大值和

最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；

已知函数存在反函数，其反函数记为，若关于x的不等式

在上恒成立，求实数a的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：若命题甲：，命题乙：，

若命题甲：，则，，

则命题甲：，能推出命题乙：，成立；

若命题乙：，则，所以或，即或；命题乙：，不能推出命题甲：成立，

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．

命题甲是命题乙的充分非必要条件；

故选：A．

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.答案：D

解析：解：函数为偶函数，当时，，为减函数，不满足条件．

B.函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件．

C.函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．

D.函数为偶函数且在区间上为增函数，满足条件

故选：D．

根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．

本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．

3.答案：C

解析：解：错．原因：M不一定是函数值，可能“”不能取到．

因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值

所以对

故选：C．

利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．

本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．

4.答案：A

解析：解：设，

，

，

即，

故；

故，

，

当时，成立；

当时，0，不是的根，

故，

解得：；

综上所述，；

故选：A．

由可得，从而求得；从而化简

，从而讨论求得

本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题

5.答案：

解析：解：由，得．

函数的定义域为．

故答案为：．

由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．

本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．

6.答案：

解析：解：由，得，，

x，y互换得：，

函数的反函数为，

故答案为：．

由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．

本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．

7.答案：

解析：解：，

故答案为：．

利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．

本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．

8.答案：3

解析：解：幂函数，在上是减函数，

，且，

，，

又，，1，2，

又幂函数为偶函数，，

，

故答案为：3．

先利用幂函数的定义和单调性求出a的值和m的范围，再结合偶函数确定m的值，即可求出结果．本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．

9.答案：

解析：解：函数的定义域为，

令，则，

为增函数，

在上为减函数；

在为增函数，

函数的单调递增区间为，

故答案为：．

先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数的单调递增区间．

本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于零．

10.答案：

解析：解：，

，

令，则，

解得或．

由式子有意义可知，解得，即，

．

．

故答案为：．

利用对数运算性质解方程．

本题考查了对数的运算性质，换元法解题思想，属于基础题．

11.答案：

解析：解：令，由题意可

得，

即：，整理：，

解得：，

所以实数k的取值范围为；

故答案为：．

设函数，由题意可得

，解得k的取值范围．

考查方程的根的分布，属于基础题．

12.答案：

解析：解：由于函数且的值域是，

故当时，满足．

若，在它的定义域上单调递增，

当时，由，，，．若，在它的定义域上单调递减，

，不满足的值域是．

综上可得，，

故答案为：．

当时，检验满足当时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．

本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．

13.答案：2

解析：解：由题意可得，即函数在R上为奇函数，

当，令，则为奇函数且单调递增

所以反函数也是单调递增的奇函数，

所以是向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心，

由互为反函数的性质可得，

故答案为：2

由题意可得换元可得为奇函数在上，所以也是奇函数，且值域为，为对称中心为的函数且值域为，

考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题．

14.答案：

解析：解：由题意可得对于，b，都恒成立，

由于，

当，，此时，，，都为1，构成一个等边三角形的三边长，

满足条件．

当，在R上是减函数，，

同理，，

由，可得，解得．

当，在R上是增函数，，

同理，，

由，可得，解得．

综上可得，，

故实数t的取值范围是，

故答案为：

因对任意实数a、b、c，都存在以、、为三边长的三角形，则恒成立，将解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．

本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．

15.答案：

解析：解：当时，，

方程，

，即；

．

当时，，

方程，

，

即；

；

当时，方程无解；

当时，方程有且只有一个解；

当时，方程在上有两个解；

当时，方程的解为1，；

综上所述，实数m的取值范围为

故答案为：

分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．

本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．

16.答案：

解析：解：对函数，当时，；当时，，在上的最大值；

对函数，函数若有最小值，则，即，

当时，，易知函数；

又对任意的，，均有，

，即，

，

，即实数k的取值范围为．

故答案为：．

可求得，，根据题意，由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．

本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．17.答案：解：当时，．

，，

或舍，

当时，令，则，

由，得，．

在上单调递减，在上单调递增，

当时，；当或时，，

，．

解析：将代入中，然后根据，求出的值，再解出x即可；

令，则由可得，再根据t的范围求出a的范围．

本题考查了指数方程的解法和根据函数的零点求参数的范围，考查了整体思想和转化思想，属中档题．

18.答案：解：函数的图象关于原点对称，其中a为常数．

，

，

解得．

当时，，与条件矛盾，舍去．

；

集合解不等式得．

由知，；

，且，解得；

由于，所以，解得，．

故m的取值范围是．

解析：根据的图象关于原点对称，得是奇函数，由恒成立，解得a的值即可．

先解分式不等式，求得集合A；由于，所以B有解，解得集合B；再根据集合的关系求得m的取值范围即可．

本题考查了奇函数的定义，分式不等式的解法，根据交集运算求参数取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题．

19.答案：解：由题意得，

则

，

即；

当时，函数递减，

即有，

当时，函数，

当时，有最大值，

综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．

解析：本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，属于中档题．先求得，再由可得所求；

分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．

20.答案：解：在中，对于定义域D内的任意一个自变量，

都有函数值，

故函数在上不封闭；

在中，，在上封闭．

的定义域为，对称中心为，

当时，函数在上为增函数，

只需，解得

当时，函数在上为减函数，

只需，解得

综上，所求a的值等于2．

证明：函数在其定义域D上封闭，且单调递增．

且，

根据单调函数性质，则有唯一的，

．

解析：根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；

分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．

函数在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质，则有唯一的，由此能证明．

本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．

21.答案：解：当，，

当时，，解得或，所以或；

当时，，解得，所以；

综上所述，不等式的解为．

，，，，，

由复合函数的单调判断原则，可知在上单调递减，

，

化简得，在上恒成立，

令，则，

当时，，

当时，，

由对勾函数性质可知，在上单调递减，，即，

故实数a的取值范围为；

函数存在反函数，单调，又在上单调递增，在R上必须单调递增，

即，

，

令，，

则，

，

在上恒成立，

当即时，恒成立，，

当即时，，解得，

综上所述，实数a的取值范围为．

解析：把代入函数，分段解不等式即可；

，，，，，再由复合函数的单调判断出在上单调递减，从而得到在上恒成立，然后用换元法，令，构造新函数，再求出该函数的最大值即可；

由函数存在反函数，可得且；再令

，，得其最小值为，然后分类讨论解不等式即可．

本题考查函数的综合应用，涉及绝对值函数、指对函数的单调性、函数的恒成立问题，在解题过程中用到换元法、构造法、分类讨论法，考查了学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于难题．