(完整word版)九年级二次函数教材分析
二次函数教材分析
一、教学要求
大纲要求：1. 理解二次函数和抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图像，会用公式
（不要求掌握公式的推导过程和记忆公式）确定抛物线的顶点和对称轴。
2．会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴。
3．会用待定系数法由已知图像上三个点的坐标求二次函数的解析式。
考试说明要求：1. 二次函数的概念 C
2．二次函数的图像 C
3．根据问题中的条件确定函数解析式 D
4．用待定系数法求函数解析式 D
5．列函数解析式解决某些实际问题 C
能力培养：培养学生逻辑思维能力、空间想象能力和分析解决实际问题地能力及数学应用地意识。 数学思想：转化、数形结合、方程思想、分类讨论、函数思想等。
二、重点内容
1． 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中系数a 、b 、c 的作用
2． 与一元二次方程的关系
3． 对称轴以及顶点坐标
4． 解析式的求法
5． 抛物线的平移
6． 抛物线的对称性
7． 与平面几何知识的联系
三、典型例题
（一） 以点的坐标为核心的题目
1．一次函数y=x-2的图象与二次函数图象交于点A （2，m ）、B （n ，3），且二次函数图象对称轴为x=3，求二次函数解析式。
2．已知抛物线3)1(22++++-=m x m x y 与x 轴有两个交点A 、B ，且A 在x 轴正半轴，B 在x 轴负半轴，设OA 长为a ，OB 长为b 。
（1） 求m 的取值范围。
（2） 若a 、b 满足a ∶b=3∶1，求m 的值。
（3） 由（2）所得的抛物线与y 轴交于C ，问在抛物线上是否 存在一点P ，使△PAC ≌△OAC ？若
存在，求出P 点坐标，如果不存在请说明理由。
3．在直角坐标系中，以点M )0,2
3(为圆心，2
3为半径画圆交x 轴于O 、E 两点，⊙M 的切线AC 交x 轴正半轴于A ，交y 轴负半轴于C ，切点为D ，且tan ∠OAC=43 。 （1） 求过A 、C 两点的一次函数的解析式。
（2） 求过E 、D 、O 三点的二次函数的解析式。
直线AC 是否过（2）中抛物线的顶点，若过顶点，请证明；若不过顶点，请说明理由。
（二）“运动型”确定函数解析式
“运动型”综合题是近几年考试卷中的热点题目，这类题目通常是将给定的已知条件和相应的结论，作某种运动变化，需要解题者去探索得到相应的结论，并给出证明或说明理由，常见的有动点型（点在
直线上、圆弧上、抛物线上运动等）；动线型（直线或线段或三角形等沿某方向移动，或按某条件运动等）；动面型（简单几何图形做平行移动）。解决这类题目时，应抓住运动变化中的“不变量”、“不变图形”寻找确定关系式；抓住运动变化中图形的特殊位置，寻找确定的关系式；注意结论与题设的关键字眼寻找相应结论；探索动点（线、面）运动特点与规律，注意变化中图形的性质及特征，确定满足要求的结论，再进行相应的证明或说明理由。难点是边界点的处理（自变量取值范围的确定）
4．将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q.
探究：设A 、P 两点间的距离为x.
（1） 当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结
论.
（2） 当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出
x 的取值范围.
（3） 当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使
△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，说明理由.
（三）函数在实际问题中的应用
此类题目属于探索型、研究型，涉及范围广，有深度。解决此类问题一般方法是：
审题：认真阅读，理解题意，把握关键词，将显信息与隐信息进行量化（如画图、列表等）。 探索：关键在于与平时知识联系，进行建模，确定解题思路。
研究：对结果要分类讨论，它的存在性是否更满足题意。
5．某旅社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则客房出租数会减少6间.不考虑其它因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？
M B A
2018年沪教版九年级数学 21.4.1二次函数中常见图形的的面积问题
二次函数中常见图形的的面积问题 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？ 2、抛物线 322 +--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积. （2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程） 图五 图四 图六 图二 图一 图三
3、已知抛物线4 2 12 --= x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积. 4、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D 的坐标； （3）求四边形ADBC 的面积. 5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE 的面积.
6、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P. （1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法； （2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=, 若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。 变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在， 请说明理由. 变式二：在双曲线3 y x = 上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.
初中数学_第五章 二次函数 复习课教学设计学情分析教材分析课后反思
二次函数复习（1） 初中数学九年级下册 学习目标 1、通过例题学习准确理解二次函数相关概念。 2、结合二次函数图象梳理二次函数的性质，并能灵活解决与图象性质有关问题。 3、以小组合作方式归纳a、b、c及常规符号的确定方法，通过例题和练习提高解题能力，发现解题技巧。 4、通过例题解答掌握平移规律，灵活解决平移问题。 一、知识回顾 考点1 二次函数的定义 二次函数的三种解析式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为顶点坐标. (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中(x1,0),(x2, 0)为抛物线与x轴的交点. 例2： 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________
对称轴是_________，图像与x轴的交点坐标是 考点2 二次函数的图象及性质 考点3 a，b，c及相关符号的确定 对应练习 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，图像经过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴. 1）给出五个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0; ⑤a-b+c>1.其中正确的结论的序号是（） （2）给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1; ④a> 1 .其中正确的结论的序号是（）
考点4 抛物线的平移法则 2 -1-x y .2 1-x y .2 3x y .2 -3x A.y 42x 1-x 2x y .2017422222）（）（）（）（） 表达式是（个单位得到的函数移个单位长度，再向上平向右平移轴的图象沿淄博）将二次函数、（例=+=++=+=+=D C B 规律：左加右减，上加下减（顶点式） 学情分析 初三学生在新课的学习中对二次函数的定义、图像与性质等基本知识有了初步了解，他们的分析、理解能力较新课学习时已有明显提高，也具有有一定的自主探究和合作学习的能力。但学习能力差异较大，两极分化明显。 通过本节课的复习，学生对基础知识的掌握和运用有了较大提高，取得了较好的效果，为后面二次函数的综合运用打好了基础 教材分析 二次函数的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
人教版九年级数学上册二次函数教案
教材分析 本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程： 一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？ 二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形 的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。 问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注： （1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。 （2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。
沪科版九年级数学上册《二次函数》教案
《二次函数》教案 教学目标 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系. 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式. 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 4、会用待定系数法求二次函数的解析式. 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 利用条件构造二次函数． 教学设计 一、创设情境，导入新课. 问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题) 二、合作学习，探索新知. 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)面积y(cm2)与圆的半径x(cm). (2)王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为12cm，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(cm)种植面积为y(cm2). x
教师组织合作学习活动： 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式. 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨. (1)y =πx 2 (2)y =2000(1+x )2=20000x 2+40000x +20000 (3)y =(60-x -4)(x -2)=-x 2+58x -112 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法. 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的形式. 板书：我们把形如y =ax 2+bx +c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数． 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项. 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项． 做一做 1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y =(2)21x y -=(3)122--=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2 -+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)12+=x y (2)12732-+=x x y (3))1(2x x y -= 3、若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为______________. 三、例题示范，了解规律. 例、已知二次函数q px x y ++=2 当x =1时，函数值是4；当x =2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式. 此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法. 练习：已知二次函数c bx ax y ++=2，当x =2时，函数值是3；当x =-2时，函数值是2.求这个二次函数的解析式. 例、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE =BF =CG =DH =x (cm )，四边形EFGH 的面积为y (cm 2)，求： (1)y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围. (2)当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示.