八年级初二数学二次根式知识点-+典型题附解析

一、选择题

1．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．43﹣33=1 C ．27÷3=3

D ．23×33=6

2．下列各式中，正确的是（ ）

A ．32 >23

B ．a 3 ? a 2=a 6

C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2

D ．5m + 2m = 7m 2

3．若

1

2

x x +-有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1 B ．x≠2

C ．x≥1且x ＝2

D ．.x≥-1且x ≠2

4．设S=222222

22

11111111

111112233499100+

++++++++++

+

，则不大于S 的最大整数[S]等于( ) A ．98

B ．99

C ．100

D ．101 5．若实数a ，b 满足+

=3，

﹣

=3k ，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤k ≤2

B ．﹣3≤k ≤3

C ．﹣1≤k ≤1

D ．k ≥﹣1 6．下列运算中错误的是（ ） A ．235+=

B ．236?=

C ．822÷=

D ．2 (3)3-=

7．在二次根式1x -中，x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1

B ．x >1

C ．x ≤1

D ．x <1

8．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18

B ．

13

C ．24

D ．0.3

9．下列运算正确的是（ ） A ．826-=

B ．222+=

C ．3515?=

D ．2739÷=

10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记

2

a b c

p ++=

，那么三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---如图，在ABC ?中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若5a =，6b =，7c =，则ABC ?的面积为（ ）

A ．66

B ．3

C ．18

D ．

192

二、填空题

11．若m ＝2015

20161

-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．

12．实数a 、b 满足22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2+++=+，则22a b +的最大值为_________． 13．已知a ＝﹣

2

73

+，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 14．已知120654010144152118+++可写成235a b c ++的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______. 15．若实数x ，y ，m 满足等式

()2

3532322x y m x y m x y x y +--++-=+----，则m+4的算术平方根为

________． 16．把1

a a

-

的根号外的因式移到根号内等于？ 17．将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列：

若32的位置记为（2，3），27的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．

18．已知x ，y 为实数，y =22991

3

x x x -+-+-求5x +6y 的值________.

19．已知x ＝

51-，y ＝51

2

+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 20．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()

2

22a b a b -+

-＝_____．

三、解答题

21．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：

2

222221122a b c S a b ??

+-=- ???

同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：

2S =

2

a b c

p ++=

（1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积．

（2）请证明：12S S

【答案】（12） 证明见解析 【分析】

（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出22

12S S =，即可得出1

2S S ．

【详解】

解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：

S =

= （2）2222

222

1

1[()]2

4a b a S c b +-=-

=222222)1(22(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =2222()2(2

1)4c a c a b b +?---? =

()(1

()()16

)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =---

∵2

a b c

p ++=

， ∴2

2()(2)(222

)S a a b c a b c a b c a b c b c +++++++-+=

-- =

2222a b c b c a a c b a b c +++-+-+-??? =1

()()()()16

a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴22

12S S =

∵10S >，20S >， ∴1

2S S ．

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．

22．先观察下列等式，再回答问题：

=1+1=2；

12=2 12

；

=3+

13=31

3

；… （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；

（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．

【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n

++=

，证明见解析． 【分析】

（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，

=414+

=414

；

（2=n 211

n n n

++=

”，再利用222

112n n n n

++=+（）（）开方即可证出结论成立．

【详解】

（1=1+1=2=212+

=212

；

=313+

=31

3；里面的数字分别为1、2、3，

= 144+

= 1

44

．

（2=1+1=2，

=212+=212=313+=313=414+=4

14

=

2

11

n

n

n n

+

+=．

证明：等式左边==n

2

11

n

n n

+

+==右边．

=n

2

11

n

n n

+

+=成立．

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律

=n

2

11

n

n n

+

+=”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律

是关键．

23．

解：设x

222

x=++2334

x=+，x2=10

∴x=10．

0．

【分析】

根据题意给出的解法即可求出答案即可．

【详解】

设x

两边平方得：x2=2+2+

即x2=4+4+6，

x2=14

∴x=．

0，∴x．

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．

24．阅读下面的解答过程，然后作答：

m 和n ，使m 2+n 2=a 且，

则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2

例如：∵=）2+）2=）2

∴

请你仿照上例将下列各式化简

（12

【答案】（1）2-

【分析】

参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】

解：（1）∵22241(1+=+=，

1=

（2）∵2227-=-=，

∴

==

25．计算

②

)

2

1-

【答案】① 【分析】

①根据二次根式的加减法则计算； ②利用平方差、完全平方公式进行计算． 【详解】

解：①原式＝

②原式＝(5-2-＝ 【点睛】

本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．

26．在一个边长为（cm 的正方形的内部挖去一个长为（）cm ，

cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．

【答案】 【解析】

试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．

试题解析：剩余部分的面积为：（2﹣（）

=（）﹣（﹣）

=（cm 2）． 考点：二次根式的应用

27．已知长方形的长a =

b =. (1)求长方形的周长；

(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系．

【答案】（1）2）长方形的周长大. 【解析】

试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；

（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析：

(1)()11222223a b ?+=?=???=?= ?

∴长方形的周长为 .

(2)11

4.23

=??=

正方形的面积也为4. 2.= 周长为：428.?=

8.>

∴长方形的周长大于正方形的周长．

28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.

a ，

b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==

0)a b ==±>.

这里7m =，12n =， 由于437+=，4312?=，

所以22+==，

2===.

. 【答案】见解析 【分析】

应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法． 【详解】

根据题意，可知13m =，42n =， 由于7613+=，7642?=，

所以2213+=，=

===

【点睛】

此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据二次根式的化简进行选择即可． 【详解】

A

B 、

C ，故本选项正确；

D 、=18，故本选项错误； 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．

2．A

解析：A 【分析】

比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误． 【详解】

A 、=，= ∵1812>，

∴>，故该选项正确； B 、3a ?25a a =，故该选项错误；

C 、()()2

2

224b a a b a b +-=-，故该选项错误；

D 、527m m m +=，故该选项错误； 故选：A ． 【点睛】

本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

3．D

解析：D 【分析】

直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案． 【详解】

有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2． 故选：D ． 【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．

4．B

解析：B 【分析】

1111

n n =+-+，代入数值，求出

=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99． 【详解】

∵()2

2111+

1n n ++ =

()()

()

2

2

2211n n n n ++++

(

)

()

2

21n n ++=

()

211n n n n ++=+ =111+

1

n n -+， ∴S=2211112+++2211123+++2211134+++ …+22

11

199100

++ =1111

11

1+111223

99100

-

++-+++

- =1

99+1100

-

=100-

1

100

， ∴不大于S 的最大整数为99． 故选B. 【点睛】

本题主要考查了二次根式的化简求值，知道()2211111+11

1n n n n +=+-++是解答本题的基础．

5．C

解析：C 【解析】

依据二次根式有意义的条件即可求得k 的范围． 解：若实数a ，b 满足+

=3，又有≥0，

≥0，

故有0≤≤3 ①，0≤

≤3，则

﹣3≤-≤0 ②

+②可得﹣3≤﹣

≤3，又有

﹣

=3k ，

即﹣3≤3k ≤3，化简可得﹣1≤k ≤1．

故选C ．

点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即

≥0（a ≥0），利用其非负性即可得到0≤

≤3，0≤

≤3，并对0≤

≤3变形

得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k 的不等式组，求出k 的取值范围.

6．A

解析：A 【分析】

根据合并同类二次根式的法则对A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断． 【详解】

23 23236=?=

828242÷

÷===，故此项正确，不符合要求；

D. 2 (3)3-=，故此项正确，不符合要求； 故选A ． 【点睛】

本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

7．A

解析：A 【分析】

根据二次根式有意义的条件：被开方数x -1≥0，解不等式即可． 【详解】 解：根据题意，得 x -1≥0， 解得x ≥1． 故选A ． 【点睛】

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

8．B

解析：B 【详解】

A 18323不是同类二次根式，故此选项错误；

B 1333

C 24=63不是同类二次根式，故此选项错误；

D 0.3310303不是同类二次根式，故此选项错误； 故选B ．

9．C

解析：C

【分析】

根据二次根式的减法法则对A进行判断；根据二次根式的加法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

【详解】

解：A=，所以A选项错误；

B=B选项错误；

C=C选项正确；

D3

=，所以D选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．

10．A

解析：A

【分析】

利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算ABC

?的面积；

【详解】

7

a=，5

b=，6

c=．

∴

567

9

2

p

++

==，

∴ABC

?的面积S==

故选A．

【点睛】

考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．

二、填空题

11．4030

【分析】

利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可. 【详解】

m== m==+1，

∴m3-m2-2017m+2015

=m2（m﹣1）﹣2017m+2015

解析：4030

【分析】

利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可. 【详解】

m

m ，

∴m 3-m 2-2017m +2015 =m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015

= ）22017）+2015

=（2017+2015

﹣2 =4030. 故答案为4030. 【点睛】

本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.

12．【分析】

首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】

解析：【分析】

10-b 4-b-2=+，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出

22a b +的最大值．

【详解】

10-b 4-b-2=+，

1042b b =-+--，

∴261042a a b b -+-=-+--， ∴264210a a b b -+-+++-=， ∵264a a -+-≥，426b b ++-≥， ∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-， ∴2≤a≤6，-4≤b≤2，

∴22a b +的最大值为()2

26452+-=， 故答案为52． 【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方

数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

13．-4

【分析】

先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】

解：当a＝－＝－＝－3时，

原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3

＝a(a+3)2－(

解析：-4

【分析】

先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.

【详解】

解：当a

－3时，

原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3

＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3

＝7a－7－7a+3

＝－4．

故答案为：－4．

【点睛】

本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.

14．【解析】

【分析】

根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a，b，c的三元方程组，解方程组即可.

【详解】

∵=

∴，

即．

解得

．

【点睛】

本题考查了

解析：【解析】 【分析】

a ，

b ，

c 的三元方程组，解方程组即可. 【详解】

∴(2

2118=，

即2222118235a b c =+++++．

2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ?++=?

=?∴?=??=? 解得15,4,18.a b c =??

=??=?

154181080abc ∴=??=． 【点睛】

本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左

、

.

15．3 【解析】 【分析】

先根据二次根式有意义的条件得出x+y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论． 【详解】

依题意得：，解得：x=1，y=1，m ＝5，∴3

解析：3 【解析】 【分析】

先根据二次根式有意义的条件得出x +y 的值，再根据非负数的性质列出关于x ，y ，m 的方程组，求出m 的值，进而可得出结论． 【详解】

依题意得：

3530

230

2

x y m

x y m

x y

+--=

?

?

+-=

?

?+=

?

，解得：x=1，y=1，m＝5

，∴==3．

故答案为3．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．

16．﹣

【解析】

解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣．

故答案为：．

点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．

解析：

【解析】

解：通过a≤0

，

，所以

故答案为：

点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．17．（17,6）

【解析】

观察、分析这组数据可发现：第一个数是的积；第二个数是的积；第三个数是的积，的积.

∵这组数据中最大的数：，

∴是这组数据中的第102个数.

∵每一行排列了6个数，而

∴是第1

解析：（17,6）

【解析】

的积，.

∵这组数据中最大的数

：

∴102个数.

∵每一行排列了6个数，而1026=17÷ ∴

17行第6个数，

∴这组数据中最大的一个数应记为（17，6）.

点睛：（1）这组数据组中的第n 2）该组数据是按从左到右，从小到

大，每行6个数进行排列的；（3）6n ÷6n ÷的余数是

所在的列数.

18．-16 【解析】

试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-）=-15-1=-16

解析：-16 【解析】

试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x 2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-16，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-1

6

）=-15-1=-16. 故答案为：-16.

点睛：此题主要考查了分式的有意义和二次根式有意义，解题关键是利用二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为0，可列式求解.

19．4 【详解】

根据完全平方公式可得： 原式=－xy==5－1=4．

解析：4 【详解】

根据完全平方公式可得：

原式=2

()x y +－xy=2

51515151

)222

=5－1=4． 20．﹣2a 【分析】

首先根据实数a 、b 在数轴上的位置确定a 、b 的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解． 【详解】 依题意得：

a ＜0＜

b ，|a|＜|b|， ∴=-a-b+b-a=-

解析：﹣2a

【分析】

首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．

【详解】

依题意得：

a＜0＜b，|a|＜|b|，

．

故答案为-2a．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．

三、解答题

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无