《直线的倾斜角与斜率》专题练习

《直线的倾斜角与斜率》导学案

一、知识梳理

知识点一：直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义

①当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．

②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；当直线l 与x 轴垂直时，规定它的倾斜角为90°；

(2)直线的倾斜角α的取值范围为)180,0[

(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 知识点二：直线的斜率

(1)斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即αtan =k )90(

≠a .

知识点三：直线的倾斜角与斜率的对应关系

直线过两点),(111y x P ,),(222y x P ，则其斜率k ＝

1

21

2x x y y --)(21x x ≠

二、题型讲解

类型一：直线的倾斜角

1、下列图中α能表示直线l 的倾斜角的是 ①

2、已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为60°或120°

3、给出下列命题：

①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴； ④所有的直线都有斜率； ⑤若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)； ⑥若α是直线l 的倾斜角，且sin α＝2

2

，则α＝45°. 其中正确的命题是 ① 4、有下列命题：

①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； ②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； ③坐标平面上所有的直线都有倾斜角； ④坐标平面上所有的直线都有斜率.

其中错误的是②④

5、已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为150° 类型二：直线的斜率（含两点确定的斜率公式） 1、没有斜率的直线一定是 ( B )

A.过原点的直线

B.垂直于x 轴的直线

C.垂直于y 轴的直线

D.垂直于坐标轴的直线 2、已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=－

54，则直线l 的斜率为4

3- 3、直线x =

的倾斜角3

3

为 90

4、过原点且斜率为

3

3

的直线l 绕原点逆时针方向旋转30°到达l ′位置，则直线l ′5、若直线经过点(1,2)、(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是30°

6、若直线的倾斜角为60°

7、若过两点A (4，y )、B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于－1

8、经过点P (2，m )和Q (2m,5)的直线的斜率等于1

2，则m 的值是3

9、直线l 的倾斜角是斜率为

3

3

的直线的倾斜角的2倍，则l 10、若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于2

11、已知点A (a,2)，B (3，b ＋1)，且直线AB 的倾斜角为90°，则a ，b 的值为( D ) A ．a ＝3，b ＝1 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝3 D ．a ＝3，b ∈R 且b ≠1 12、已知点A 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为__(1,0)或

(0，－2)_

13、设P 为x 轴上的一点，A (－3,8)、B (2,14)，若P A 的斜率是PB 的斜率的两倍，则点P

的坐标为__(－5,0)__

14、(1)当且仅当m 为何值时，经过两点A (－m,6)、B (1,3m )的直线的斜率为12 ？

(2)当且仅当m 为何值时，经过两点A (m,2)、B (－m,2m －1)的直线的倾斜角是45° ？ 答案： (1) m ＝－2. （2）m ＝34.

类型三：直线的倾斜角与斜率的范围关系问题

1、如下图，已知直线l 1、l

2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( D )

A ．k 1

B ．k 3

C ．k 3

D ．k 1

2、如图所示，直线l 1、l 2、l

3、l 4的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，从小到大的关系是k 1

3、根据以下斜率范围求倾斜角范围

（1）1≥k 答案：)2,4[

π

π； （2）3-≤k 答案：]32,2π

π（ （3）1-≥k 答案：）2,0[),43[πππ? ； （4）3

（3

,0[),2π

ππ? （5）13<≤-k 答案：）

4,0[),32[π

ππ? （6）1≥k 或3-≤k 答案： ]3

2,2)2,4[π

πππ（?

4、根据以下倾斜角范围求斜率范围 （1）

30<θ 答案：)3

3

,

0[ ； （2） 135>θ 答案：)0,1(- （3） 60>θ 答案： ),3()0,(+∞?-∞； （4） 120<θ 答案： ),0[)3,(+∞?--∞

（5）

12045≤≤θ 答案： ),1[]3,(+∞?--∞

5、经过两点A (2,1)、B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是－1＜m ＜1

6、若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__(－2,1)__. 类型四：三点共线

1、 若三点A (2,3)，B (3,2)，C (1

2，m )共线，则实数m 的值为 2

9

2、如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，则m 的值为－6

3、若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 的值为1

2

4、三点(2，－3)、(4,3)及(5，k

2)在同一条直线上，则k 的值等于__12__

5、斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a ＋b 等于1 类型五：数形结合求倾斜角或斜率取值范围

1、已知点A (1,3)、B (－2，－1)．若过点P (2,1)的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是－2≤k ≤1

2

2、已知点A (2，－3)、B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪[3

4

，＋∞)

3、已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为[

3

，3] 4、直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．

答案： k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)；45°≤α≤120°.

5、已知点A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．

答案：直线AD 的斜率的变化范围是????

17，53.

升级训练

1、设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为 ( D )

A ．α＋45°

B ．α－135°

C ．135°－α

D ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°

2、已知直线l 的倾斜角为α，并且0°≤α≤120°，直线l 的斜率k 的取值范围是

3、已知直线的倾斜角α满足

παπ

4

3

3<≤，则直线的斜率k 的取值范围是 4、当直线的倾斜角α满足

1200<≤α，且

90≠α时，它的斜率k 满足 5、直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是],4

3[

]4

,

0[ππ

π

? 6、下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( C ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12) B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5) C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)

D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)

7、已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点. (1)求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．

答案： (1) k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1；(2)α的取值范围是45°≤α≤135°. 8、已知实数x 、y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y

x

的最大值和最小值.

答案：所求的y x 的最大值为2，最小值为2

3

.

9（难）．已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是[－2，1

2]