管理运筹学-复习整理
一线性规划图解法
1.线性规划的标准形式：
(1)目标函数最大；约束条件等式；决策变量非负（x≥0）；资源限量非负（b≥0）。
(2)图解法两个变量系数C1、C2，斜率k=-(C1/C2)
(3)图解法K≥0时，绝对值越大越靠近Y轴；K≤0时，绝对值越大越靠近Y
轴。
(4)阴影区：无论斜率为正或负，小于的部分阴影区都在线的下方。
二单纯形法
1.大M法
（1）加入人工变量-Mx i…，M无穷大。
（2）最后将人工变量x i替换出去，且σ≤0.
2.两阶段法
（1）第一阶段：目标函数为max z′=−x i…，得到最终表。
（2）第二阶段：目标函数替换为原目标函数，在最终表里继续计算σ，直到都小于等于0。
3.单纯表特殊情况的解判断
（1）最优解中人工变量大于0，线性规划无解。
（2）某次迭代过程，表中有一个σ＞0，且该列系数向量都小于等于0，线性规划无界。（因为比较比值大小时都是负的）。
（3）某个非基变量σ=0，无穷解。
（4）退化问题：相同的比值，选择下标大者离基。σk相同，任选一个入基。
4.初等行变换
✓某一行（列），乘以一个非零倍数。
✓某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。
✓某两行（列），互换。
三单纯形法灵敏度分析
1.对偶问题
原问题：max z=cx对偶问题：min f=b T y
Ax≤b A T y≥c T
X≥0 y≥0
（1）原问题统一为以上标准型，再进行下一步。
（2）原问题第i个约束条件等号，对偶问题i个决策变量无约束。
（3）原问题第i个决策变量无约束，对偶问题第i个约束条件等号。
（4）原问题的对偶价格为对偶问题的最优解。（参考习题册第7、19题）（5）对偶价格：常数项增加1单位，目标函数值改进的数量。
（6）影子价格：常数项增加1单位，目标函数值增加的数量。
2.灵敏度分析
（1）目标函数变量系数C k:将C k直接代入最终表，判断σ是否小于0。
（2）约束方程常数项b：利用如下公式计算新的最终表中b值。判断b是否非负。
b j′=B−1∗b j
（3）约束方程系数p k：利用如下公式计算新的p k带入最终表，判断σ≤0否。
p k′=B−1∗p k
（4）增加一个约束条件：将原最优解带入新约束条件，判断是否满足。不满足则用对偶单纯形法求解。
（5）对偶单纯形法步骤：前提检验数小于等于0，常数项b有负。
✓常数项b找到最小负值，对应为出基变量。
✓列项，找出a kj为负中σj/a kj最小的值为入基变量。
✓按前两步迭代，直到最终单纯表。
3.对偶问题基本性质
（1）对称性。对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性。原问题和对偶问题可行解X,Y，有cX≤b T Y。
✓原问题的任一可行解所对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值的下界。
✓若原问题可行，但其目标函数值无界，则对偶问题无可行解。
✓若对偶问题可行，但其目标函数值无界，则原问题无可行解。
✓若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界。
✓若原问题无可行解，则其对偶问题具有无界解或无可行解。
（3）最优性。若Ｘ*和Ｙ*分别是原问题和对偶问题的可行解，且有cＸ*＝b TＹ*，则Ｘ*，Ｙ*分别是原问题和对偶问题的最优解。
（4）强对偶性。若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且两者的目标函数值相等。
（5）互补松弛性：线性规划问题最优解中，某约束条件对偶变量值非0，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则对应对偶变量一定为0。（参考习题册第15、16题）
（6）检验数行的相反数是对偶问题的一可行解。如[-s1,-s2,-x1,-x2]。
（7）B为最终表基变量按100
010
001
顺序对应的初始表向量。（参考习题册第5
题）。
四运输问题1.作业表流程
（1）最小元素法
✓找表中最小运价，开始划线。
✓如遇产销不平衡表，先找除虚拟地的最小运价。
✓填上某数后，行列同时饱和，只划去一行（列），在保留的列（行）任意格内补一个0。
（2）伏格尔法
✓计算表中行和列的最小与次小运费之差，分别列在表的右侧和下方。
✓找出行列中的最大差额，以最大差额同行或同列的最小运价为准划线。
✓重复以上步骤，直到全部填满。
（3）位势法检查检验数
✓公式c ij−u i−v j=δij
✓右侧第一行为u1=0，填运输量的格检验数为0，以此求出所有检验数。
✓如有检验数小于0的情况，需进行闭回路法调整运量。
（4）闭回路法调整运量
✓找出检验数小于0的那个格（有多个找最小的那个）。
✓以此格为起点，水平或垂直划线，找到数字格旋转90°或越过，继续前进最后回到此点。
✓调整运输量：按照奇加偶减原则调整（偶数格减少其中的最小值，奇数格对应增加该值）。
✓调整完，按照位势法重新计算检验数，并重复以上步骤，直到都大于0。
2.注意事项
（1）产销平衡的基变量个数为m+n-1个，产销不平衡为m+n个。
（2）有最低最高产或销的题，如下所示，最低要求运价为M，剩余要求运价为0。如有上限为不限，则不限所剩量=销或产的和-最低要求和。（参考习题集第12题）
五整数规划
1.分支定界法
（1）先根据线性方程，画出图像，并求出最优解。最优解为上限，去尾整数解为下限。
（2）找出解中小数最远离整数的值，将其划分为两个整数，以此分支。并把新的限制条件加入线性规划方程，求出最优解和去尾解。
（3）对比当前级的所有支，上限为所有支的最大值，下限为去尾整数解的最大值，另一支可剔除。重复上述步骤，直到最后上限=下限值。
（4）表示方式：例L0:Z0=29/6,x1=3/2,x2=10/3.
2.指派问题-匈牙利法
（1）需要满足三点：
✓目标函数求min；
✓效率矩阵为n阶方阵；
✓效率矩阵中所有元素Cij≥0，且为常数。
（2）变换效率矩阵C，使每行每列至少有一个0，变换后的矩阵记为B ✓行变换：找出每行min值，该行各元素减去它；
✓列变换：找出每列min值，该列各元素减去它；
✓若某行/列已有0元素，则不用减。
（3）如果○的个数少于n，则进行这一步。
✓对没有圈○的行打“√”；
✓在已打“√”的行中，对×所在列打“√”；
✓在已打“√”的列中，对圈○的行打“√”；
✓重复2和3步骤，直到再也找不到可以打“√”的行/列为止；
✓对没有打“√”的行画横线表示去掉这一行，对打“√”的列画线表示去掉这一列，这样就得到能覆盖所有0的最小横线。
（4）变换矩阵B以增加0。
✓在未被直线覆盖的所有元素中找到min；
✓然后在打“√”的所有行中减去这个min；
✓而在打“√”的所有列中加上这个min，以保持原来0不变(为了消除负元素)；
✓得到新的系数矩阵C。
✓返回步骤（2），直到得到n个0元素，即得到最优解
（5）求maxZ的指派问题：找出系数矩阵中的max，然后令系数矩阵变为max-系数矩阵各元素值，得到新系数矩阵，按照正常匈牙利法即可求到。
六目标规划
1.偏离量、优先因子
（1）正偏差变量d+：表示决策值未达到目标值的部分，目标规划里规定d+≥０（2）负偏差变量d-：表示决策值超过目标值的部分，目标规划里规定d-≥０（3）优先因子：也称为优先等级，目标规划中用p k表示。
✓要求恰好达到目标值minz=p(d++d-)
✓要求不超过目标值minz=p(d+)
✓要求超过目标值minz=p(d-)
（4）例题见下
2.图解法
（1）当优先条件1和2无交集时，计算结束，不再考虑p3。
七动态规划
1.几个指标含义
（1）决策变量x k：表示第k阶段的状态为s(k)时的决策变量，它是状态变量的函数；
（2）状态变量s k：每个阶段开始时所处的自然状态或客观条件。
（3）状态转移方程：确定过程由一个状态到另一个状态的演变过程。S k+1和S k 的关系。
（4）阶段指标函数r k(s k,x k)：第k阶段的利润或者费用。
（5）最优指标函数f k(s k)：从第k阶段的状态s k开始到第n阶段的终止状态的过程，采取最优策略所得到的指标函数值。
（6）递推方程举例：
{f k(s k)=max
0≤x k≤s k
{r k(s k,x k)+f k+1(s k+1)} f n(s n)=0(n为初始时第k+1阶段）
2.最短路线问题
（1）状态S k：阶段k的起点,如图中D1、D2。
（2）决策X k：阶段k的终点，如图中E。
（3）状态转移方程：X k=S k+1，如D1指向E。
（4）阶段指标函数：r k(s k,x k)，如D2到E的距离最短。（5）指标递推方程：
{f k(s k)=min
0≤x k≤s k
{r k(s k,x k)+f k+1(s k+1)}
f n(s n)=min
0≤x n≤s n
{r n(s n,x n)}
3.资源分配问题
（1）
（2） 状态变量S k ：分配给第K 厂至M 厂的设备台数。
（3） 决策变量X k ：分配给第K 厂的设备台数。
（4） 状态转移方程：S k+1= S k -X k , S m =X m 。
（5） 递推方程：
{f k (s k )=max 0≤x k ≤s k {r k (s k ,x k )+f k+1(s k+1)}f n (s n )=0(n =M +1)
4. 背包问题
（1） 模型：N 个工作日分配给m 个项目，每个项目处理客户数A 、每个客户
所需工作日W 。如何获利最大。
（2） 状态变量S k ：分配给第K 种项目到第M 种项目的工作日。S 1=10
（3） 决策变量X k ：第K 种项目的处理客户的数量，为A 的倍数。
（4） 状态转移方程：S k+1=S k -Wx k 。
（5） 递推方程：
{f k (s k )=max 0≤x k ≤s k {r k (s k ,x k )+f k+1(s k −wx k )}f n (s n )=0(n =m +1)
5. 生产存储问题
k （3） X k ：第k 阶段生产量
（4） d k ：第k 阶段需求量。
（5） 状态转移方程：S k+1= S k +X k -d k 。
（6） 阶段指标：r k (s k ,x k )=c k (x k )+m(S k +X k -d k )。m 为单位存储费，c 为生产费。
（7） 递推方程：
{f k (s k )=max 0≤x k ≤s k {r k (s k ,x k )+f k+1(s k +x k −d k )}f n (s n )=0(n =l +1)
6. 系统可靠性问题
（1） 模型：参考如下表格。每增加一个科学家，失败概率如表所示。如何分配
盈利 工厂 设备台数
k
（3）X k：分配给第K小组的科学家数。（4）状态转移方程：S k+1= S k-X k
（5）递推方程：
{f k(s k)=min
0≤x k≤s k
{p k(x k)∗f k+1(s k−x k)}
f n(s n)=1(n=4)
7.设备更新问题
（1）模型：参考：1000台机器分高低负荷使用方式，高负荷完好率0.7，低负荷完好率0.9。产量函数高负荷为8u，低负荷5u。如何分配高低负荷设备，使5年总产量最高？
（2）S k：第k阶段初完好的机器数。
（3）X k：第k阶段分配给高负荷的机器数。
（4）状态转移方程：S k+1=0.7X k+0.9(S k-X k)。
（5）阶段指标：r k(s k,x k)=8X k+5(S k-X k)。
（6）递推方程：
{f k(s k)=max
0≤x k≤s k
{r k(s k,x k)+f k+1(s k+1)}
f6(s6)=0
8.非线性规划问题
（1）模型：非线性规划方程如下
max z=∏x j
3
j=1
x1+2x2+3x3≤10
x j≥0,j=1,2,3
（2）S k：第K阶段到第3阶段右端最大值，S3=3X3，S3+2X2= S2, S2+X1=S1=10。（3）X k：第K阶段赋给X k的值。
（4）允许决策集合：0≤X1≤S1，X2≤S2/2，X3≤S3/3。
（5）阶段指标：r k(s k,x k)=X k
（6）递推方程：
{f k(s k)=max
x k∈D k(s k)
{r k(s k,x k)∗f k+1(s k+1)}
f4(s4)=1
（7）每个阶段f k(s k)公式中只存在当前的S k、X k；对X求一阶导求极值，二阶导判断极大值还是极小值，二阶导小于0为极大值；
（8）求导的因式分解法：U’V-UV’.
八图与网络模型
1.Dijkstra法
（1）表示方法：
✓起始点v1标为(0,s)。
✓已标点集合为I={v1…}
✓未标点集合J={v2…}
✓算出从I到J集合的s（距离），求min{s ij}.
✓直到J=Ø，倒推。
2.最小生成树
（1）在给定的连通图任找一个圈
（2）在所找圈中去掉一条权数最大的边（有相同的最大值，任意去一条）（3）所剩图中不含圈，计算结束。
3.最大流问题
（1）对图的容量做改进。
（2）找出从发点到收点的路，顺流方向都大于0。
（3）找出这条路最小的顺流容量p f，减小顺流方向每条弧的容量p f，并且增加逆流容量p f。
（4）找不到顺流大于0的路，结束计算。
4.最小费用最大流
（1）做两个图，一个标为费用b ij，另一个标流量c ij。
（2）先找到最小费用的路径，以此路径找最大流。
（3）划掉上一步最大流中顺流容量为0的路径，继续找下一个最小费用路径。（4）重复以上步骤，直到找不到最终路径。结果为p f*b ij。
5.最大流的线性规划方程
如图所示，可用线性规划方程表示：F为最大流量。
V1V6
max F=f12+f13
f12=f23+f24+f25（总分关系）
f13+f23=f35
f24=f46
f25+f35=f56
f46+f56=f12+f23(收点=发点)
f ij≤c ij，且f ij≥0
6.最大流最小费用的线性规划方程
如图所示，在上述线性规划方程中加一行即可。
V1V6
4
min z=4f12+5f13+5f23+3f24+4f25+4f35+4f46+3f56
f12+f13=F(求出的最大流F)
f12=f23+f24+f25（总分关系）
f13+f23=f35
f24=f46
f25+f35=f56
f46+f56=f12+f23(收点=发点)
f ij≤c ij，且f ij≥0
九排序与统筹方法
1.车间作业排序问题
（1）1台机器n个零件：按加工时间从小到大排列，则可算出最短逗留时间。（2）2台机器n个零件：
✓加工时间表选出最短加工时间t，若为第1工序则排序从前排；若为第2工序则排序从后排。
✓划掉此零件所在行，重复上述步骤。
A
B
2.绘制网络图
（1）技巧：紧前工序画图，开始和结尾各一个标号，并集用虚线。（2）注意事项：
✓不可出现循环回路
✓不可出现编号相同的箭线
✓不可从一条箭线中间引出另一条箭线
✓一般只有一个起始点和一个终点，不可出现缺口。
3.关键路线：
✓[ES,EF]画在箭线的上方，正推，遇多条交点选最大的EF。
✓[LS,LF]画在箭线的下方，后倒推，遇多条交点选最小LS。
✓时差T s=LS-ES=LF-EF。
✓关键工序用双线表示。
如下举例：
4.
（1）根据公式求出每个工序的平均时间、方差，a为乐观时间，b为悲观时间，m为可能时间：
T=a+4m+b
6
σ2=(b−a 6
)2
（2）根据平均时间计算ES,EF,LS,LF，找出关键路线。
（3）求出关键路线所用时间，求和，可得工时所需时间E(T)。
（4）计算关键路线均方差σ=√σij2,根据下述公式计算µ，T为要求工时：
μ=T−E(T)
σ
（5）查询正态分布表求出概率Φ(µ),如Φ(0.39)=0.6517。此为要求工时T前完成的概率。Φ(-x)=1-Φ(x)
十存储论
1.经济订购批量存储模型
（1）模型：不允许缺货，生产时间很短。平均存储量Q/2。
Q
1/2Q
T1T2
0t
（2）一年的总费用=存储费+订货费：c1为单位存储费，c3为每次订购费，Q为每次订货量，D为年需求量。
TC=1
2
Q∗c1+
D
Q
∗c3
Q∗=√2D
c1
∗c3
T0=
365 D/Q∗
2.经济生产批量模型
（1）模型：不允许缺货、生产需要一定时间。
t不生产t
（2）一年的总费用=存储费+生产准备费：d为需求量，c1为单位存储费，c3为每次生产准备费，Q为每次生产量，p为生产率，D为年需求量。
TC=1
2
(1−
d
p
)∗Q∗c1+
D
Q
∗c3 Q∗=√
2D∗c3
(1−
d
p)∗c1
T0=
365
D/Q∗
3.允许缺货的经济订货批量模型
（1）模型：存储降为0后，还可以等一段时间再订货，承受一定缺货损失。
t
Q-S
S t1t2
（2）一年的总费用=存储费+订货费+缺货费：Q为每次订货量，S为最大缺货量，c1为单位存储费，c3为每次订购费，c2为单位缺货费，D为需求量，d为需求率。
TC=(Q−S)2
2Q
∗c1+
D
Q
∗c3+
S2
2Q
∗c2 Q∗=√
2D∗c3∗(c1+c2)
c1∗c2
S∗=
Q∗∗c1
c1+c2
4.允许缺货的经济生产批量模型（1）模型：缺货后的补充靠生产。
t
V S
t1t2
t3
（2） 一年的总费用=存储费+订货费+缺货费。d 为需求率，c 1为单位存储费，
c 3为每次生产准备费，Q 每次生产量，p 生产率，D 年需求量，S 最大缺货量，V 库存量。
TC =[Q ∗(1−d p )−S]22Q ∗(1−d p )
∗c 1+D Q ∗c 3+12S 2
V +S ∗c 2
TC ∗=√2D ∗C 1∗C 2∗C 3∗(1−d p )(C 1+C 2)
Q ∗=√
2D ∗c 3∗(c 1+c 2)
c 1∗c 2∗(1−d
p )
S ∗
=Q ∗∗c 1c 1+c 2∗(1−d p
)
5. 经济订货批量折扣模型
（1） 模型：商品价格随订货数量变化而变化。模型1的衍生。 （2） c 1为单位存储费，c 3为每次订购费，D 年需求量，c 为商品单位折扣费（变
化）。
TC =12Q ∗c 1+D
Q
∗c 3+D ∗c
Q ∗
=√2D c 1
∗c 3
（3） 最后按折扣价格购买时的数量要尽量接近Q *。 6. 需求为随机的单一周期存储模型
（1） 模型：报童售出一份报纸赚k 元，未能售出赔h 元。问每天准备多少份报
纸。
（2） 离散型随机变量：∑p(d)Q ∗
−1d=0≤k
k+ℎ
≤∑p(d)Q
∗
d=0 （3） 连续型随机变量：p(d k+ℎ≤p(d ≤Q ∗) （4） 销量为正态分布的模型： p(d≤Q∗)= k k+ℎ =ϕ( Q∗−μ σ ) （5）销量为均匀分布的模型,b为上限值，a为下限值： p(d≤Q∗)= k k+ℎ = Q∗−a b−a 7.需求为随机的变量的订货批量、再订货点模型 （1）模型：库存为r时进行订货，安全库存=r-dm。 （2）缺货率为α，需求服从正态分布的模型，如下可求出r： p(m天需求量≤r)=1−α=ϕ(r−μσ ) 8.需求为随机变量的定期检查存储模型 （1）模型：H为库存量，存储补充水平为M。每次进货量为Q=M-H。（2）缺货率为α，需求服从正态分布的模型，如下可求出M： p(d≤M)=1−α=ϕ(M−μσ ) 十一排队论 1.M/M/1/∞/∞模型 （1）M泊松到达λ（平均到达率）、M负指数服务时间μ（平均服务率）、1一个服务台、∞排队长度无限、∞来源无限制，先到先服务。 （2）系统中没有顾客的概率： P0=1−λμ （3）平均排队顾客数： L q= λ2 μ(μ−λ) （4）系统里的平均顾客数： L s=L q+λμ （5）一位顾客花在排队上的平均时间： W q=L q λ （6）一位顾客在系统里的平均逗留时间： W s=W q+1μ （7）顾客到达系统时，得不到及时服务，必须排队等待服务的概率： P w=λμ （8）系统里正好有n个顾客的概率： P n=(λ μ )n∗P0 （9）单位时间的总费用：c w为1个顾客在排队系统内逗留1个单位时间的费 用+c s 为1个服务台单位时间费用 TC =c w ∗L s +c s 2. M/M/c/∞/∞模型 （1） M 泊松到达λ、M 负指数服务时间μ、c 多服务台、∞排队长度无限、∞来 源无限制，先到先服务。 （2） 系统中没有顾客的概率： P 0=1 ∑(λμ)n n!+(λμ)n c!∗(c ∗μc ∗μ−λ)c−1n=0 （3） 平均排队顾客数： L q =(λ μ )c ∗λ∗μ(c −1)!∗(c ∗μ−λ)2∗P 0 （4） 系统里平均顾客数：同1 （5） 1位顾客花在排队上平均时间：同1 （6） 1位顾客在系统里的平均逗留时间：同1 （7） 顾客到达系统时，得不到及时服务，必须排队等待服务的概率： P w =1c!∗(λμ)c ∗(c ∗μc ∗μ−λ )∗P 0 （8） 系统里正好有n 个顾客的概率： P n =(λμ)n n!∗P 0,n ≤c 时 P n =(λμ)n c!∗c (n−c)∗P 0 ,n ＞c 时 （9） 单位时间的总费用： TC =c w ∗L s +c s ∗c 3. M/G/1/∞/∞模型 （1） M 泊松到达λ、G 服务时间为任意概率分布μ、c 多服务台、∞排队长度无 限、∞来源无限制，先到先服务。 （2） 系统中没有顾客的概率：同1 （3） 平均排队顾客数： L q = λ2∗σ2+(λ μ)22∗(1−λ μ) （4） 系统里平均顾客数：同1 （5） 1位顾客花在排队上平均时间：同1 （6） 1位顾客在系统里平均逗留时间：同1 （7） 顾客到达系统时，得不到及时服务，必须排队等待服务的概率：同1 4. M/D/1/∞/∞模型 （1） M 泊松到达λ、D 定长服务时间μ、1单服务台、∞排队长度无限、∞来源 无限制，先到先服务。 （2）系统中没有顾客的概率：同1（3）平均排队顾客数： L q= ( λ μ) 2 2∗(1− λ μ) （4）系统里平均顾客数：同1 （5）1位顾客花在排队上平均时间：同1 （6）1位顾客在系统里平均逗留时间：同1 （7）顾客到达系统时，得不到及时服务，必须排队等待服务的概率：同1 5.M/G/c/c/∞模型 （1）M泊松到达λ、G服务时间为任意概率分布μ、c多服务台、c最多容纳顾客数、∞来源无限制，先到先服务。 （2）系统里正好有n个顾客的概率： P n= ( λ μ) n n! ∑ ( λ μ) i i! c i=0 (n≤c) （3）排队系统里的平均顾客数： L s=λ μ (1−P c) 6.M/M/1/∞/m模型 （1）M泊松到达λ、M负指数服务时间μ、1一个服务台、∞排队长度无限、m 来源有限制（顾客总体人数）。 （2）系统中没有顾客的概率： P0= 1 ∑m! (m−n)!∗( λ μ)n m n=0 （3）平均排队顾客数： L q=m−λ+μ λ (1−P0) （4）系统里的平均顾客数： L s=L q+(1−P0)（5）一位顾客花在排队上的平均时间： W q= L q (m−L s)∗λ （6）一位顾客在系统里的平均逗留时间：同1（7）系统里正好有n个顾客的概率： P n= m! (m−n)! ∗( λ μ ) n ∗P0 7.M/M/1/K/∞模型 （1）M泊松到达λ、M负指数服务时间μ、1一个服务台、K系统最大容量、∞来源无限制。令ρ=λ/μ。 （2）系统中没有顾客的概率： P0= {1−ρ 1−ρK+1 ，ρ≠1 1 K+1 ，ρ=1（3）系统里的平均顾客数： L s= {ρ 1−ρ− (K+1)ρK+1 1−ρK+1 ，ρ≠1 K 2 ，ρ=1 （4）平均排队顾客数： L q= {ρ 1−ρ− ρ(1+KρK) 1−ρK+1 ，ρ≠1 K(K−1) 2(K+1) ，ρ=1 （5）有效到达率（单位时间内进入系统的顾客平均数）： λe=λ(1−P K)+0∗P K=λ(1−P K)（6）一位顾客花在排队上的平均时间： W q= L q λ(1−P K) = L q λe （7）一位顾客在系统里的平均逗留时间： W s= L s λ(1−P K) = L s λe （8）系统里正好有n个顾客的概率：同1 8.M/M/c/K/∞模型 （1）M泊松到达λ、M负指数服务时间μ、c多服务台、K系统最大容量、∞来源无限制。令ρ=λ/(cμ)。 （2）系统中没有顾客的概率: P0= { [∑ (cp)n n! c−1 n=0 + c c c! ∗ ρc 1−ρ ]−1,ρ≠1 [∑ (cp)n n! c−1 n=0 + (cp)c c! ∗(K−c+1)]−1，ρ=1 （3）系统里正好有n个顾客的概率: P n={(cp)n n! ∗P0,n=1,2,…c−1 c c c! ∗ρn P0，n=c,c+1,…,K （4）平均排队顾客数： l q ={ P 0(cp )c ρc!(1−ρ)2[1−ρK−c+1−(1−ρ)(K −c +1)ρK−c ],ρ≠1P 0 (cp )c 2c! ∗(K −c)(K −c +1)，ρ=1 （5） 系统里平均顾客数： L s =L q +cp(1−P K ) （6） 有效到达率（单位时间内进入系统的顾客平均数）：同7 （7） 一位顾客花在排队上的平均时间：同7 （8） 一位顾客在系统里的平均逗留时间：同7 9. 总结 十二 对策论 1. 基本概念 （1） 对策模型的三要素： ✓ 局中人：参与对抗的各方 ✓ 策略集：某局中人的所有可能策略。 ✓ 益损值：局中人的对策结果（量化值）。 《管理运筹学》复习提纲 第一章绪论（P1-P9) 1.决策过程（解决问题的过程） （1）认清问题。 （2）找出一些可供选择的方案。 （3）确定目标或评估方案的标准。 （4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等。 （5）选出一个最优的方案：决策。 （6）执行此方案：回到实践中。 （7）进行后评估：考察问题是否得到圆满解决。 其中： （1）（2）（3）形成问题。 （4）（5）分析问题：定性分析与定量分析，构成决策 2.运筹学的分支：线性规划、整数线性规划、动态规划、图与网络模型、存储论、排队论、排序与统筹方法、决策分析、对策论、预测、目标规划，此外，还有多目标规划、随机规划、模糊规划等。 3.运筹学在工商管理中的应用 1）生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、 物料管理等，追求利润最大化和成本最小化。 2）库存管理：多种物资库存量的管理，某些设备的库存方式、库存量等 的确定。 3）运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度 以及建厂地址的选择等。 4）人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分 配，建立人才评价体系等。 5）市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等。 6）财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等。 此外，还有设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等。 3.学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重学以致用的原则。 第二章线性规划的图解法(P10-P26) 1.一些典型的线性规划在管理上的应用 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少； 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润； 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大； 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大； 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要； 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。 2.线性规划的组成 目标函数：max f 或min f ； 运筹学（Operational Research）复习资料 第一章绪论 一、名词解释 1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 二、选择题 1.运筹学的主要分支包括（ABDE ） A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划 2. 最早运用运筹学理论的是（ A ） A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署 B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上 C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划 D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上 第二章线性规划的图解法 一、选择题/填空题 1.线性规划标准式的特点： （1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位： （1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。 （2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。 （3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。 3.LP模型（线性规划模型）三要素： （1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数 4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。 5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。 6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A 运筹学复习要点 运筹学复习要点 第二章线性规划与单纯形法 一、标准型：规定具有下述条件的线性规划问题为标准型式的线性规划问题： 1、目标函数为求最大； 2、约束条件为等式约束； 3、决策变量为非负。 二、线性规划问题具有的特征：1、每一问题都用一组决策变量（x1, x2, . . . , xn）表示某一方案；2这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量值是非负的；3、存在一定的约束条件，它们可用线性等式或不等式表示； 4、都有一个要求达到的目标，它们可用决策变量的线性函数表示，称目标 函数。根据问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 三、图解法的结论：1、可行域一定是凸集，即该区域内任意两点间连线上的 点仍在该区域内；2、线性规划最优解不可能在凸集内的点上实现； 3、线 性规划问题有可能存在无穷多最优解；4、如果可行域无界，则最优解可能是无界解；5、如果不存在可行域，则没有可行解，也一定不存在最优解； 6图解法只适用于两个决策变量的情况。 四、单纯形法：其基本思路是首先确定一个初始基可行解，然后判断该基可 行解是否为最优解。如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解， 则在此基础上变换找出另一个基可行解，该基可行解的目标函数 值应该优 于原基可行解。再判断新的基可行解是否为最优解，如果是最优解，则求 解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换再找出另一个新基可行 解，如此进行下去，直到找到最优解为止。 五、最优性检验与解的形式：最优解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, ……… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，则X(0)为最优解，称σj为检验数。无穷最多解判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, …… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，又存在某个非基变量的检验数σm+k= 0，则线性规划问题有无穷多最优解。无界解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′ , ……… , b′m, 0, …… , 0)T为一个基可行解，有一个σm+k > 0,且对i = 1, 2 2, …… , m，有a i m+k≤0，那么该线性规划问题具有无界解（或称为无最 优解）。 第三章对偶理论与灵敏度分析 一、写出对偶形式：P37 二、互补松弛性定理：若X0,Y0分别是原问题和对偶问题的可行解，则当且仅 当X0,Y0为最优解时存在Y0X s＝0，Y s X0＝0. 三、对偶变量：根据导数来的。Y=CB^-1 四、灵敏度分析：三个参数只变一个，但会出两个相关的。 第四章整数规划 一、整数规划：在一般的线性规划模型中，变量为非负，而在整数规划模型 一、规划论 1、线性规划 用图解法求解 12121212max 265..40,0 z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨ ≤⎪⎪≥≥⎩ 121212112max 2x 2 x 6 3x +2x 12..x 3x ,x 0 Z x x s t =++≤⎧⎪≤⎪⎨ ≤⎪⎪≥⎩ 变量取值为： 目标函数值为： 2、目标规划 p1: 每周总利润不得低于10000元； p2: 因合同要求，A 型机每周至少生产10台，B 型机每周至少生产15台； p3: 希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。 试建立这个问题的目标规划模型。 目标函数为： 约束条件为： 3、整数规划 四个工厂完成四种产品的制造。由于每个工厂的技术专长不同，它们完成四种产品所获得的收益如下表所示，且规定每个工厂只能生产一个产品，一个产品只能由一个工厂来制造。 试建立这个问题的线性规划模型。 二、最短路 使用DIJKSTRA 双标号法求V s 到V t 的最短路及最短路长。（直接在图上求解，用粗线描出最短路） 最短路为： 最短路长为： 最短路为： 最短路长为： 三、网络图和关键路 某工程由6项工作组成，它们之间的逻辑关系为： 要求画出该工程的网络图。 某工程的网络图如下图，箭线下的数字表示完成该项工作所需天数。试求关键线路和工期。（直接在图上求解，用粗线描出关键路线） 关键线路是： 工期为： 关键线路是： 工期为： 四、库存论 某批发站每月需某种产品100件，每次订购费为5元。若每次货物到达后存入仓库，每件每月要付出0.4元存储费。若假设消耗是均匀连续发生的，且不许缺货。求最佳订货次数及最佳订购批量。 最佳订货次数为： 最佳订购批量为： 某批发站每月需某种产品1000件，每次订购费为60元。若每次货物到达后存入仓库，每件每月要付出3元存储费。若假设消耗是均匀连续发生的，且不许缺货。求最佳订购批量及最佳订货次数。最佳订货次数为： 最佳订购批量为： 五、决策论 某企业拟生产一种新产品，需扩建车间，现有两种扩建方案：一种是建大车间，需投资300万元；另一种是建小车间，需投资120万元。两种方案的使用年限均为10年。每年的损益及自然状态概率如下表所示： 方案损益表 单位：万元/年 试画出决策树，用决策树法作出决策。 某公司为了扩大市场，要举行一个展销会，会址打算选择甲、乙、丙三地。获利情况除了与会址有关外，还与天气有关。天气可区分为晴、普通、多雨三种。通过天气预报，估计三种天气情况可能发生的概率为0.25，0.50，0.25。其收益情况如表 试画出决策树，用决策树法作出决策。 《运筹学》复习题及参考答案 第一章运筹学概念 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。 5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。 8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。 17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 1．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格 2．我们可以通过（C）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 3．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 4.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ） A数量B变量 C 约束条件 D 目标函数 5.模型中要求变量取值（D ） A可正B可负C非正D非负 6.运筹学研究和解决问题的效果具有（ A ） A 连续性 B 整体性 C 阶段性 D 再生性 7.运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。可以说这个过程是一个（C） A解决问题过程B分析问题过程C科学决策过程D前期预策过程 8.从趋势上看，运筹学的进一步发展依赖于一些外部条件及手段，其中最主要的是（ C ） A数理统计B概率论C计算机D管理科学 9.用运筹学解决问题时，要对问题进行（B ） A 分析与考察 B 分析和定义 C 分析和判断 D 分析和实验 三、多选 1模型中目标可能为（ABCDE ） A输入最少B输出最大 C 成本最小D收益最大E时间最短 2运筹学的主要分支包括（ABDE ） A图论B线性规划 C 非线性规划 D 整数规划E目标规划 四、简答 1．运筹学的计划法包括的步骤。答：观察、建立可选择的解、用实验选择最优解、确定实际问题2．运筹学分析与解决问题一般要经过哪些步骤? 答：一、观察待决策问题所处的环境二、分析和定义待决策的问题三、拟订模型四、选择输入数据五、求解并验证解的合理性六、实施最优解3．运筹学的数学模型有哪些优缺点? 答：优点：（1）．通过模型可以为所要考虑的问题提供一个参考轮廓，指出不能直接看出的结果。（2）．花节省时间和费用。（3）．模型使人们可以根据过去和现在的信息进行预测，可用于教育训练，训练人们看到他们决策的结果，而不必作出实际的决策。（ 4）．数学模型有能力揭示一个问题的抽象概念，从而能更简明地揭示出问题的本质。（5）．数学模型便于利用计算机处理一个模型的主要变量和因素，并易于了解一个变量对其他变量的影响。模型的缺点（1）．数学模型的缺点之一是模型可能过分简化，因而不能正确反映实际情况。（2）．模型受设计人员的水平的限制，模型无 . 管理运筹学复习题 一、简答题 1、试述线性规划数学模型的结构与各要素的特征。 2、求解线性规划问题时可能出现哪几种结果，哪些结果反映建模时有错误。 3、举例说明生产和生活中应用线性规划的方面，并对如何应用进行必要描述。 4、什么是资源的影子价格，同相应的市场价格之间有何区别，以与研究影子价格的意义。 5、试述目标规划的数学模型同一般线性规划数学模型的相同和异同之点。 二、判断题 1、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的X围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的X围一般将扩大；( ) 2、如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点；( ) 3、若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；( ) 4、线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优。( ) 5、求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型。( ) 三、计算题 1、用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。 2、线性规划问题： 试用图解法分析，问题最优解随c1(-∞，+∞) 取值不同时的变化情况。 3、某饲养场需饲养动物，设每头动物每天至少需700g蛋白质、30g矿物质、100mg维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg营养成分含量与单价如表1-8所示。 要求确定既满足动物生长的营养需要,又使费用最省的选用饲料的方案。 4、写出下列线性规划问题的对偶问题。 5、某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如表2-12所示，试分别回答下列问题： (a) 建立线性规划模型，求使该厂获利最大的生产计划； (b)若产品乙、丙的单件利润不变，则产品甲的利润在什么X围内变化时，上述最优解不变。 (c)若原材料A市场紧缺,除拥有量外一时无法购进,而原材料B如数量不足可去市场购买,单价为0. 5,问该厂应否购买,以购进多少为宜； 6、某厂生产I、II、III三种产品，分别经过A、B、C三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时、设备的现有加工能力与每件产品的预期利润见表2-13。 (a) 求获利最大的产品生产计划； (b) 产品I的利润在多大X围内变化时，原最优计划保持不变； 7、从M1、M2、M3三种矿石中提炼A、B两种金属。已知每吨矿石中金属A、B的含量和各种矿石的每吨价格如表2-15所示。 如需金属A48kg，金属B56kg，问： 管理运筹学复习 （1）某工厂在计划期内要安排Ⅰ,Ⅱ两种产品的生产.生产单位产品所需的设备台时及 分别生产多少单位产品Ⅰ和产品Ⅱ才能使获利最多？ 解：max z=50X1+100X2 ； 满足约束条件：X1+X2≤300， 2X1+X2≤400， X2≤250， X1≥0,X2≥0。 （2）：某锅炉制造厂，要制造一种新型锅炉10台，需要原材料为∮63.5×4mm的锅炉钢管，每台锅炉需要不同长度的锅炉钢管数量如下表所示： 多少根原材料？ 设按14 种方案下料的原材料的根数分别为X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11,X12,X13,X14, 可列出下面的数学模型： min f＝X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14 满足约束条件：2X1＋X2＋X3＋X4≥ 80 X2＋3X5＋2X6＋2X7＋X8＋X9＋X10≥420 X3＋X6＋2X8＋X9＋3X11＋X12＋X13≥ 350 X4＋X7＋X9＋2X10＋X12＋2X13＋3X14≥ 10 X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，X10，X11，X12，X13，X14≥ 0 （3）某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、 应如何调运，使得总运输费最小？ 解：此运输问题的线性规划的模型如下 min f =6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23 约束条件：X11+X12+X13=200 X21+X22+X23=300 X11+X21=150 X12+X22=150 X13+X23=200 X ij≥0(i=1,2;j=1,2,3) (4) 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、 （5）某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 一、名词解释 1.模型 2.线性规划 3.树 4.网络 5.风险型决策二、简答题 1.简述运筹学的工作步骤。 2.运筹学中模型有哪些基本形式 3.简述线性规划问题隐含的假设。 4.线性规划模型的特征。 5.如何用最优单纯形表判断线性规划解的唯一性或求出它的另一些最优解 6.简述对偶理论的基本内容。7.简述对偶问题的基本性质。8.什么是影子价格?同相应的市场价格之间有何区别,以及研究影子价格的意义。 9.简述运输问题的求解方法。10.树图的性质。11.简述最小支撑树的求法。12.绘制网络图应遵循什么规则。三、书《收据模型与决策》2.13 14. 有如下的直线方程:2x 1 +x 2 =4 a. 当x 2 =0 时确定x 1 的值。当x 1 =0 时确定x 2 的值。 b. 以x 1 为横轴x 2 为纵轴建立一个两维图。使用a 的结果画出这条直线。 c. 确定直线的斜率。d. 找出斜截式直线方程。然后使用这个形式确定直线的斜率和直线在纵轴上的截距。答案: 14. a. 如果x 2 =0,则x 1 =2。如果x 1 =0,则x 2 =4。c. 斜率= -2 d. x 2 =-2 x 1 +4 2.40 你的老板要求你使用管理科学知识确定两种活动(和)的水平,使得满足在约束的前提下总成本最小。模型的代数形式如下所示。Maximize 成本=15 x 1 +20 x 2 约束条件约束1:x 1 + 2x 2 10 约束2:2x 1 3x 2 6 约束3:x 1 +x 2 6和x 1 0,x 2 0 a. 用图解法求解这个模型。b. 为这个问题建立一个电子表格模型。 c. 使用Excel Solver 求解这个模型。答案: a. 最优解:(x 1 , x 2 )=(2, 4),C=110 b c.活动获利 1 2总计水平A B C 1 2 2 3 1 1 10 10 8 6 6 6 单位成本方案15 20 2 4 $110.00 3.2 考虑具有如下所示参数表的资源分配问题: 资源每一活动的单位资源使用量可获得的资源数量 1 2 1 2 3 2 3 2 1 3 4 10 20 20 单位贡献$20 $30 单位贡献=单位活动的利润b. 将该问题在电子表格上建模。c. 用电子表格检验下面的解(x 1 , x 2 )=(2, 2), (3, 3), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), 哪些是可行解,可行解中哪一个能使得目标函数的值最优 d. 用Solver 来求解最优解。e. 写出该模型的代数形式。f. 用作图法求解该问题。答案: a c. 每单位数量的活动使用的资源量资源活动1 活动2总计可用资源 1 2 1 10 10 2 3 3 3 2 4 20 20 20 20 单位利润方案 20 20 3.333 3.333 $166.67 3.5 Omega 公司停止了生产一些已经不再获利的产品,这样就产生了相当地剩余生产力。管理层考虑将这些剩余的生产力用于一种或几表所示。机器???类型每周可获得的机器小时铣床车床磨床500 350 150 各种产品每生产一个单位需要的机器小时如下表所示: 生产系数(每单位的机器小时) 机器类型产品1 产品2 产品3 铣床车床磨床9 5 3 3 4 0 5 0 2 销售部门表示产品1 与产品2 的预计销售将超过最大的生产量,而产品3 的每周平均销售20 单位。三种产品的单位利润分别为$50, $20, 和$25。目标是要确定每种产品的产量使得公司的利润最大化。a. 判别问题的各种活动以及分配给这些活动的有限的资源,从而说明该问题为什么是资源分配问题。 b. 为该资源分配问题建立参数表。 c. 描述该问题要作出的决策,决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 d. 将上面对于决策与绩效测度的描述以数据和决???量的定量的方式来表达。 e. 为该问题建立电子表格模型,确定数据单元格,可变单元格,目标单元格以及其他的输出单元格,并且将输出单元格中使用SUMPRODUCT 函数的等式表示出。 f. 用Solver 来求解问题。g. 将该模型以代数形式总结。答案: c. 所需要进行的决策是每一种产品应当生产多少。决策的约束条件是碾磨机、车床和磨工的可用时数以及产品 3 的潜在销量。总的绩效测度是利润,利润必须最大化。 d. 碾磨机:9(#1 的单位数)+3(#2 的单位数)+5(#3 的单位数) 500 机床: 5(#1 的单位数)+4(#2 的单位数) 350 磨工: 3(#1 的单位数)+2(#3 的单位数) 150 销售量:(#3 的单位数) 20 非负条件:(#1 的单位数) 0,(#2 的单位数) 0,(#3 的单位数) 0 利润=$50(#1 的单位数)+$20(#2 的单位数)+$25(#3 的单??数) e f. A B C D E F G 1资源每单位数量的活动使用的资源量总计可用资源 2 产品1 产品2 产品3 3 第一部分第二部分资金工作时数 9 3 5 5 4 0 3 0 2 0 0 1 500 500 0 350 0 150 0 20 4 5 6 7 单位利润方案50 20 25 0 166.667 0 $3,333.33 8 4.6 K&L 公司为其冰激凌经营店供应三种口味的冰激凌:巧克力、香草和香蕉。因为天气炎热, 对冰激凌???需求大增,而公司库存的原料已经不够了。这些原料分别为:牛奶、糖和奶油。公司无法完成接收的订单,但是,为了在资源有限的条件下,使利润最大化,公司需要确定各种口味产品的最优组合。巧克力、香草和香蕉三种口味的冰激凌的销售利润分别为每加仑$1.00、$0.90 和$0.95。公司现在有200 加仑牛奶、150 磅糖和60 加仑奶油的存货。这一问题代数形式的线性规划表示如下: 假设C=巧克力冰激凌的产量(加仑) V=香草冰激凌的产量(加仑) B=香蕉冰激凌的产量(加仑) 最大化利润=1.00C+0.90V+0.95B 结束条件牛奶:0.45C+0.50V+0.40B 200(加仑) 糖: 0.50C+0.40V+0.40B 150(加仑) 奶 四、把下列线性规划问题化成原则形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题规定。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示： 根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问怎样安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相似型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运送企业在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员持续工作八小时，且在时段开始时上班，问怎样安排，使得既满足以上规定，又使上班人数至少? 五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相称于图解法可行 域中的哪一种顶点。 六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。 八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目的函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目的函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解与否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3 六、已知线性规划问题 应用对偶理论证明该问题最优解的目的函数值不不小于25 七、已知线性规划问题 maxZ=2x1+x2+5x3+6x4 第一章 运筹学概念 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。 5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。 8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。 17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 1． 建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（A ） A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格 2．我们可以通过（C ）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 3．建立运筹学模型的过程不包括（A ）阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 4.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ） A数量 B变量 C 约束条件 D 目标函数 5.模型中要求变量取值（D ） A可正 B可负 C非正 D非负 6.运筹学研究和解决问题的效果具有（ A ） 《管理运筹学》复习题及参考答案 第一章运筹学概念 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。 5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。 8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定议待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。 17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 1．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格 2．我们可以通过（C）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 3．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 4.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（ B ） A数量B变量 C 约束条件 D 目标函数 5.模型中要求变量取值（D ） A可正B可负C非正D非负 6.运筹学研究和解决问题的效果具有（ A ） A 连续性 B 整体性 C 阶段性 D 再生性 7.运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。可以说这个过程是一个（C） A解决问题过程B分析问题过程C科学决策过程D前期预策过程 8.从趋势上看，运筹学的进一步发展依赖于一些外部条件及手段，其中最主要的是（ C ） A数理统计B概率论C计算机D管理科学 9.用运筹学解决问题时，要对问题进行（B ） A 分析与考察 B 分析和定义 C 分析和判断 D 分析和实验 三、多选 1模型中目标可能为（ABCDE ） A输入最少B输出最大 C 成本最小D收益最大E时间最短 2运筹学的主要分支包括（ABDE ） A图论B线性规划 C 非线性规划 D 整数规划E目标规划 四、简答 1．运筹学的计划法包括的步骤。答：观察、建立可选择的解、用实验选择最优解、确定实际问题2．运筹学分析与解决问题一般要经过哪些步骤? 答：一、观察待决策问题所处的环境二、分析和定义待决策的问题三、拟订模型四、选择输入数据五、求解并验证解的合理性六、实施最优解3．运筹学的数学模型有哪些优缺点? 答：优点：（1）．通过模型可以为所要考虑的问题提供一个参考轮廓，指出不能直接看出的结果。（2）．花节省时间和费用。（3）．模型使人们可以根据过去和现在的信息进行预测，可用于教育训练，训练人们看到他们决策的结果，而不必作出实际的决策。（ 4）．数学模型有能力揭示一个问题的抽象概念，从而能更简明地揭示出问题的本质。（5）．数学模型便于利用计算机处理一个模型的主要变量和因素，并易于了解一个变量对其他变量的影响。模型的缺点（1）．数学模型的缺点之一是模型可能过分简化，因而不能正确反映实际情况。（2）．模型受设计人员的水平的限制，模型无 管理运筹学复习 《管理运筹学》复习题 一、分析判断题 1、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 2、性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 3、线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的唯一一个点。 4、单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更优的另一个可 行解。 5、对偶问题的对偶问题一定是原问题。 6、线性规划原问题与对偶问题最优解的目标函数值必相等。 7、影子价格的大小客观地反映资源在系统内的稀缺程度，是一种虚拟的价格而不是真实的价格。 8、求解整数规划ILP时，先求放松问题LP的解，然后四舍五入即可。 9、在目标规划中，一对正负偏差变量至少有一个大于零。 10、后悔值准则是不确定情况下的决策方法。 二、建模题 1．某商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证员工充分休息，售货员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？根据相关数据及要求，建立该问题的运筹学模型（不必求解）。 2．昼夜运营的公交线路每天各时间区段内所需要的司机和乘务员人数如下表： 设司机和乘务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。建立该问题的线性规划数学模型（不必求解）。 3．某投资公司现有资金8000万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息5%，此项投资金额不限。 项目B：从第一年到第三年每年年初可以投资，投资周期（即回收期）为三年，每次投资后的第三年年末收回本利110%，但要求第一年投资最低金额为400万元，第二、三年不限；项目C：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利130％，要求最低投资金额为700万元。应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的 一、管理运筹学的定义 运筹学（Operational Research，简称OR) ，英文直译为“运作研究”。 管理运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 ——《中国企业管理百科全书》 绪论 二、管理运筹学Ⅰ的主要分支 线性规划(Linear Programming，简称LP) 整数规划(Integral Programming，简称IP) 目标规划(Objective Programming，简称OP) 动态规划(Dynamic Programming，简称DP) 图与网络(Graph and Network) 三、管理运筹学的工作步骤 提出问题、分析问题 建立模型 求解 解的检验、控制、实施 四、运筹学方法的特点 1. 最优化方法 2. 定量的方法 线性规划(LP) 一、问题的提出 1.生产计划安排问题： 合理利用人力、物力、财力等，在资源有限的约束条件下,寻求使得获利最大的最优生产计划方案。 2.人力资源分配的问题： 在满足工作的需要的条件下，寻求使用最少的劳动力的最优分配方案。 3.套裁下料问题： 在保证正常生产，完成生产任务的条件下，寻求使用原料最省的最优下料方案。 4.投资问题：在投资额限制的条件下，从多个投资项目中选取使得投资回报最大的最优投资方案。 5.运输问题：寻求使得总运费最小的最优调运方案。 二、建模 1.一般步骤: 分析问题，设出决策变量 根据所提问题列出目标函数 根据已知条件列出所有约束条件 数学模型的一般形式 ★矩阵形式：假设有n个决策变量，m个约束条件。 目标函数：Max （Min）z = CX 约束条件： AX ≤（=, ≥）b . X≥0 其中，C=(c1 , c2 , …, cn )(价值向量) X= (x1 , x2 , …, xn )T(决策变量向量) b=(b1 , b2 , …, bm )T (限定向量) a11 a12 (1) a21 a22 …a2n (约束条件系数矩阵) Am×n = …… am1 am2 …amn 数学模型的特点 （1）由目标函数和约束条件构成； （2）目标函数只有两种情况：求极小或求极大。 （3）双线性 ①目标函数是关于决策变量的线性函数; ②所有约束条件是关于决策变量的线性函数。 三、求解 1.方法一：图解法 （1）适用条件 有且仅有两个决策变量X1，X2。 （2）基本概念 可行解；可行域；最优解 （3）基本思路：先求出可行解（即找出可行域），再在可行解的基础上（即在可行域内）求出最优解。 （4）基本步骤作图找出可行域作出目标函数等值线，判断其平移的方向 平移目标函数等值线，在可行域内找出最优点，计算最优解。 （5）图解法解的情况 ①唯一最优解②无穷多最优解 ③无可行解④无界解 注意：能够区分无可行解和无界解的情况。 《运筹学》期末复习及答案(总 14页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 运筹学概念部分 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束（subject to 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求 D．竞争价格20．我们可以通过（ C）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 22.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ） A数量 B变量 C约束条件 D 目标函数 23.模型中要求变量取值（ D ） A可正 B可负 C非正 D非负 24.运筹学研究和解决问题的效果具有（A ） A 连续性 B整体性 C 阶段性 D再生性 《运筹学》总复习 第1章线性规划及其对偶问题 • 基本概念 基本要素：决策变量、目标函数、约束条件 线性规划定义：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件为决策变量的线性函数。 标准形式：目标函数取“max ”、约束条件取“="、约束右端项非负、决策变量非负 解的概念：凡满足约束条件的决策变量的取值称为线性规划的可行解,所有可行解的集合称 为线性规划的可行域，使目标函数达到最优值的可行解称为线性规划的最优解。 •数学建模与求解 建模步骤：科学选择决策变量、找出所有约束条件、明确目标要求、非负变量的选择 单纯形法与对偶单纯形法： 单纯形法 对偶单纯形法 原规划基本解是可行解 原规划基本解的检验数小于等于零 无 可行解 解无界 计算： n r b । …b 9 = min{-a\a > 0] = -i- a k a 以 a 为中心元素进行迭代 以 a 为中心元素进行迭代 计算：o = max(o . o , > 0) 计算：b = min(b\b < 0) 计算: 两阶段法： 第一阶段：添加人工变量，构造人工变量之和为最小的目标函数辅助线性规划，由松驰 变量和人工变量构成初始单纯形表，进行迭代。在最终单纯形表中如果存在人工变量， 由无可行解，否则转第二阶段。 第二阶段：在第一阶段求解的最终单纯形表中去掉人工变量，目标系数恢复为标准模型 的目标系数，按单纯形法继续迭代。 •练习题： 1.某厂利用原料A、B生产甲、乙、丙3种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利 2.某旅馆在不同时段所需服务员数如表所示： 每班服务员从开始上班到下班连续工作8小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅 3. min w = x + 2 x + 3 x 1 2 3 x + 2 x + 3 x = 15 s.t < 2x + x + 5x = 20 x > 0 11~3 4.用对偶单纯形法求解线性规划问题： min w = 5 x + 2 x + 4 x 1 2 3 3 x + x + 2 x > 4 s .t < 6 x + 3 x + 5 x > 12 x1 > 02 3 1 1~3 第2章整数规划与分配问题 •0-1变量的用法及建模 理解0-1变量的9种用途，其中(1)(2)(4)(8)重点掌握 管理运筹学期末复习 01 绪论 •运筹学：为决策机构在对其控制下业务活动进行决策时，提供以数量化为基础的科学方法。 运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。•运筹学的工作步骤： 提出和形成问题；目标、约束、可控变量，有关资料；建立模型；形象模型； 模拟模型；符号与数学模型；求解；解的检验；解的控制与调整；解的实施•运筹学研究的主要特点：科学性、实践性、系统性、综合性 •运筹学一般结构：优化模型或者说，最优化模型 02 线性规划 §1 线性规划模型的建立 一、线性规划的概念 线性规划模型就是目标函数为线性函数，约束条件也是线性函数的最优化模型。 二、线性规划模型的建立 线性规划模型包括三个部分：决策变量、目标函数、约束条件 线性规划的性质： ①线性规划模型是目标函数为线性函数，约束条件也是线性函数的最优化模型。 ②没有约束条件的目标函数值是不存在的，趋向于无穷大或无穷小，所以现实的模型必须包括对自变量取值的限制。 可行解：满足所有约束条件的解 可行域：线性规划问题可行解的集合 最优解：使得目标函数值最大（或最小）的可行解 最优值：此目标函数称为最优目标函数值 ➢最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。 ➢如果线性规划问题有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解； （一定可以在其顶点达到，但不一定只在其顶点达到，有时在两顶点的连线上得到，包括顶点） 唯一最优解：只在其一个顶点达到 无穷多个最优解：在其两个顶点及其连线上达到 无界解：可行域无界。缺少必要的约束 无可行解（无解）：可行域为空集。约束条件自相矛盾导致的建模错误 ➢ 线性规划问题的可行域非空时，其可行域是凸集。 ➢ 若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最优解，线性 规划问题存在无穷多解。 ➢ 线性规划可行域若非空、有界，则它一定有最优解。 三、线性规划模型的一般形式 ⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪ ⎨⎧==≥=≥≤++=≥≤++=≥≤+++++),,1,,,1(0),(),(),( ..c (min) max 11221211 11112211m j n i x b x a x a b x a x a b x a x a t s x c x c x ij m n mn m n n n n n n §2 线性规划的求解 一、线性规划的图解法 图解法只适合于二维线性规划问题《管理运筹学》复习提纲
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