二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

引言 (1)

1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1)

2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2)

二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2)

二元函数连续与可微之间的关系 (3)

二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3)

二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4)

二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6)

参考文献 (7)

致谢 (8)

二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.

关键词 二元函数 连续 偏导数 可微

The Relationship among Continuation, Partial Derivatives

and Differentiability in Binary Function

Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..

Key words binary function continuation partial derivatives differentiability

引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.

1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义

定义1 设f 为定义在点集2D R ?上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ?∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合D 在点0P 连续.

定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内

有定义，则当极限00000000(,))(,)

(,lim

lim

x x x f x y f x y f x x y x x

?→?→+-=????存在时，则称这个极限为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0

(,)|x y f

x

??.

定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点

00,)(,)(y P x y x x y ++=??，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为

0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=?=??-?+?+，其中A 、B 是仅与点0P 有关的

常数，()ορρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微.

2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系

二元函数连续与偏导数存在之间的关系

例[1]

122

,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy

x y x y

f x y x y ?≠?+=??=?

在(0,0)偏导数存在但不连续. 证明 因为 0

0(,0)(0,0)00

(0,0)lim

lim 0x x x f x f f x x

→→--===， 同理可知 (0,0)0y f =. 所以 (,)f x y 在(0,0)偏导数存在. 因为22

0,0lim

x y xy

x y →→+ 极限不存在，所以 (,)f x y 在(0,0)不连续.

例2

[2](,)f x y =在(0,0)点连续，但不存在偏导数. 证明 因为

0,0

0,lim (,)lim

0(0,0)x y x y f x y f →→→→===，

所以

(,)f x y =在(0,0)点连续，

因为

00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-== ,该极限不存在，

同理 (0,0)y f 也不存在.

所以

(,)f x y =在点(0,0)连续，但不存在偏导数.

此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导. 二元函数连续与可微之间的关系

定理1[3] 若(,)z f x y =在点(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点(,)x y 一定连续. 证明 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，

0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=?=??-?+?+ (1)

所以 当0,0x y ?→?→时，有0z ?→，即 (,)z f x y =在该点连续.

例3[4]

证明(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==?

在(0,0)点连续，

但在(0,0)点不可微.

证明 令cos ,sin x r y r θθ==，则(,)00x y r →?→.

因为

2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθ

θθ==≤→→,

所以(,)f x y 在(0,0)点连续.

按偏导数定义0

0(,0)(0,0)0

(0,0)lim lim 0x x x f x f f x

x ?→?→?-===??, 同理 (0,0)0y f = .

若(,)f x y 在点(0,0)可微，则

(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ?-=+?+?--?-?=

应是ρ=较高阶的无穷小量. 因为22

0lim

lim

z dz

x y

x y ρρρ

→→?-??=?+? 该极限不存在,所以(,)f x y 在点(0,0)不可微.

此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.

二元函数可微与偏导数存在之间的关系

定理2[5] 若二元函数f 在其定义域内一点00,)(y x 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且(1)式中的0000,),,)((x y A f y B f y x x ==.

证明 因为 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，则

0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=?=??-?+?+.

若令上式中0y ?= ,则0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+??-=?+?, 所以 00000

0(,)(,)(||)

lim lim x x A x

f x x y f x y x A x ο?→?→=?+?-?+=?. 即

A z

x

=??.类似可证B z y =??. 例4[6]

设222

2222,0(,)0,0x y x y x y

f x y x y ?+≠?+=??+=?

,则(,)f x y 在点(0,0)偏导数存在，但在该点

不可微.

解 事实上（1）0

(,0)(0,0)

(0,0)lim

0x x f x f f x →-==，

(0,)(0,0)

(0,0)lim

0y y f y f f y

→-==,

故 (,)f x y 在点(0,0)偏导数存在. （2）因为

20

0,lim

lim

x y f df

ρρ

→?→?→?-=

，

此时若令y k x ?=?

，则

23

0,0,lim lim

x y x y ?→?→?→?→=

此极限显然不存在，所以0

lim

f df

ρρ

→?-不存在，

所以 (,)f x y 在点(0,0)不可微.

此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别. 函数可微与偏导数连续之间的关系

定理3[7] 若二元函数(,)z f x y =的偏导数在点00(,)x y 的某邻域内存在，且x f 与y

f 在点00(,)x y 处连续，则函数f 在点00(,)x y 处可微.

证明 我们把全增量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-?=??

00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-????

在第一个括号里，它是函数0,)(y f x y +?关于x 的偏增量;在第二个括号里，则是函数

0(,)f x y 关于y 的偏增量.

对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，

得 010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++?=????? 12,10θθ<< （2） 由于x f 与y f 在点00(,)x y 处连续，

因此有 01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+??， （3）

00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++?= , （4）

其中 当0,0x y ?→?→时，有0,0αβ→→. 将（3） ，（4）代入（2）式，

则得0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+???+?+?. 所以 函数f 在点00(,)x y 处可微.

例5

[8]

22

()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ?+≠?=??=?

在(0,0)处可微，但(,)x f x y 与(,)y f x y 均在(0,0)处不连续.

解

因为220,0

lim ()sin

0(0,0)x y x y f →→+==,

所以 (,)f x y 在(0,0)处连续.

00(,0)(0,0)

(0,0)lim 0x x x f x f f x

→→-===,

同理 (0,0)0y f =.

当220x y +≠

时，0,0

lim 2sin

x x y f x →→=极限不存在,

故(,)x f x y 在点(0,0)不连续. 同理可证(,)y f x y 在(0,0)处不连续.

lim

0f df

ρρρ

→→?-==,

所以(,)f x y 在(0,0)处可微.

此例说明 二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.

定理4[9] 若(,)f x y 在0()U P 内(,)x f x y 存在，且(,)x f x y 在00(,)o P x y 连续，(,)y f x y 在

0P 存在，证明：f 在0P 可微.

证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ?=+?+?-

00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+?+?-+?++?- 由已知 (,)x f x y 存在，且在0(,)o x y 连续,

有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y x

θ+?+?-+?=+?+??

1

1

(,)(0)x

f x y x x αα

=?+?→,

因为 0000000

(,)(,)

lim

(,)y y f x y y f x y f x y y

?→+?-=?，

所以 00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+?-=?+?→ ， 又因 1212|

|||||0x y

ααααρ

?+?≤+→，所以 f 在点0P 可微. 注 此定理中(,)x f x y 与(,)y f x y 互换，结论仍然成立. 二元函数连续、偏导数、可微的关系如图

二元函数连续

二元函数偏导数存在

二元函数可微

二元函数偏导数连续

参考文献

[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，：97

[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，：116

[3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，：188

[4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，：61-62

[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110

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[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，：142-143

[8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，：151

[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148

致谢

感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模.

通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.

最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.