解不定方程
不定方程
第一节一次不定方程
设a1, a2, , a n是非零整数，b是整数，称关于未知数x1, x2, , x n的方程
a1x1a2x2a n x n = b (1)是n元一次不定方程。
若存在整数x10, x20, , x n0满足方程(1)，则称(x10, x20, , x n0)是方程(1)的解，或说x1 = x10，x2 = x20，，x n = x n0是方程(1)的解。
定理1方程(1)有解的充要条件是
(a1, a2, , a n)b。 (2)定理2设a，b，c是整数，方程
ax by = c (3)若有解(x0, y0)，则它的一切解具有
，t Z (4)的形式，其中。
a(x x0) = b(y y0)，
。
定理1和定理2说明了解方程(3)的步骤：
(ⅰ) 判断方程是否有解，即(a, b)c是否成立；
(ⅱ) 利用辗转相除法求出x0，y0，使得ax0by0 = (a, b)；
(ⅲ) 写出方程(3)的解
例1求不定方程3x 6y = 15的解。
解 (3, 6) = 315，所以方程有解。
由辗转相除法（或直接观察），可知x = 1，y = 1是
3x 6y = 3
的解，所以x0= 5，y0= 5是原方程的一个解。由定理2，所求方程的解是
，t Z。
例2求不定方程3x 6y 12z = 15的解。
解原方程等价于
x 2y 4z = 5。 (8)依次解方程
t 4z = 5，
x 2y = t，
分别得到
，u Z， (9)
，v Z。 (10)将式(9)与式(10)中的t消去，得到
，u, v Z。
注：本例在解方程时，首先将原方程化为等价方程(8)，这使问题简化。对例1也可以如此处理。
例3设a与b是正整数，(a, b) = 1，则任何大于ab a b的整数n都可以表示成n = ax by的形式，其中x与y是非负整数，但是n = ab a b不能表示成这种形式。
解 (ⅰ) 由定理2，方程
ax by = n (11)的解具有
，t Z(12)的形式，其中x0与y0满足方程(11)。
由假设条件n > ab a b及式(11)与式(12)，有
ax = n by = n b(y0at) > ab a b b(y0at)。 (13)取整数t，使得
0 y = y0at a 1，
则由式(13)得到
ax > ab a b b(a 1) = a，
x > 1，x 0，
即n = ax by，x 0，y 0。
(ⅱ) 设有x 0，y 0，使得
ax by = ab a b， (14)则
a(x 1) b(y 1) = ab。 (15)所以ab(y 1)。但是(a, b) = 1，于是必有
ay 1，y 1 a。
同理可以证明x 1 b，从而
a(x 1) b(y 1) 2ab，
这与式(15)矛盾，所以式(14)是不可能的。
例4设a，b，c是整数，(a, b) = 1，则在直线ax by = c上，任何一个长度大于的线段上至少有一个点的坐标都是整数。
解由定理2，直线ax by = c上的坐标都是整数的点(x t, y t)的坐标是
，t Z，
其中(x0, y0)是直线ax by = c上的坐标都是整数的点，由定理1，这样的点是存在的。
对于任意的t Z，记P t是以(x t, y t)为坐标的点，则P t 1与P t 之间的距离
。
这说明，两个“相邻的”坐标是整数的点的距离是，从而得出所求之结论。
例5将写成三个分数之和，它们的分母分别是2，3和5。
解设
，
则
15x 10y 6z = 19。
依次解方程
5t 6z = 19，
15x 10y = 5t，
得到
，u Z， (16)
，v Z。 (17)从式(16)与式(17)中消去t，得到
，u, v Z。
取u = 0，v = 0，得到x = 1，y = 1，z = 4，因此
。
例6甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤?
解设买甲物x斤，乙物y斤，丙物z斤，则
5x 3y z = 100，
x y z = 100。
消去z，得到
7x 4y = 100。 (18)显然x = 0，y = 25是方程(18)的解，因此，方程(18)的一般解是
，t Z
因为x 0，y 0，所以
0 t 3。
即t可以取值t1 = 0，t2 = 1，t3 = 2，t4 = 3。相应的x，y，z的值是(x, y, z) = (0, 25, 75)，(4, 18, 78)，(8, 11, 81)，(12, 4, 84)。
例7求不定方程x 2y 3z = 7的所有正整数解。
解依次解方程
t 3z = 7，
x 2y = t，
得到
，u Z，
，v Z。
从上式中消去t，得到
，u, v Z。 (19)要使x 1，y 1，z 1，则应有
3u 2v 0，v 1，1 u 0。 (20)所以
3u 2v 2，u 1 u 1，
即u = 1。由此及式(20)，有
3 2v 0，v 1 v 1，
所以v = 1。将u = 1，v = 1代入式(19)，得到原方程的唯一一组正整数x = 2，y = 1，z = 1。
习题
1.将写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。
2.求方程x1 2x2 3x3 = 41的所有正整数解。
3.求解不定方程组：
。
4.甲班有学生7人，乙班有学生11人，现有100支铅笔分给这两个班，要使甲班的学生分到相同数量的铅笔，乙班学生也分到相同数量的铅笔，问应怎样分法？
二元一次不定方程及其解
２０１３年第·１期 太原城市职业技术学院学报 Journal of TaiYuan Urban Vocational college 期 总第１３８期 Ｊａｎ２０１３ ［摘要］不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中的一个十分重要的研究课题，我国古代对不 定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。论文重点探讨了二元一次不定方程及其解。[关键词]通解； 特解；观察法；辗转相除法；整数分离法；同余法［中图分类号］O15［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－００４６（２０１３）１－０１６１－０２浅析二元一次不定方程及其解 韩孝明 （吕梁学院汾阳师范分校，山西吕梁０３２２００） 不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中一个十分重要的研究课题，我国古代对不定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。如《张丘建算经》中的“百钱买百鸡”问题、《九章算术》中的“五家共井”问题等等，中外驰名，影响甚远。在公元３世纪初，古希腊数学家丢番图曾系统研究了某些不定方程问题，因此不定方程也叫做丢番图方程。 一、不定方程定义所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数且其解受到某种条件的限制的方程或方程组。 不定方程领域中的基本问题是：不定方程有无整数解，有多少整数解，如何求出整数解。围绕这些问题，至今存在着大量的未解决问题，因此不定方程仍是一个很 活跃的数学领域。 中小学的数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题。 二、二元一次不定方程及其解形如ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈ｚ，ａｂ≠０）的方程称为二元一 次不定方程。 求其整数解的问题叫做解二元一次不定方程。 由于方程的解ｘ、ｙ可以是正整数，也可以是负整数，或者零，所以我们可以只讨论ａ、ｂ都是正整数的情 况。例如， ３ｘ－２ｙ＝１与３ｘ＋２ｙ＝１的解相比较，ｙ的值只差一个负号。 当ｃ＝０时，如果（ａ，ｂ）＝ｄ（ａ、ｂ的最大公约数为ｄ），那么在方程的两边同时除以ｄ，使ｘ、ｙ的系数互质。因此不妨假设（ａ，ｂ）＝１，解方程得ｘ＝－，由于（ａ，ｂ）＝１，因此当ｙ能被ａ整除时，方程ａｘ＋ｂｙ＝０才有整数解。所以可令ｙ＝ａｔ（ｔ为任意整数），这时ｘ＝－ｂｔ，即方程ａｘ＋ｂｙ＝０的一切整数解为 （其中ｔ为任意整数） 当ｃ≠０时，实际上也只需要讨论ｃ＞０的情况。因 为当ｃ＜０时，我们可以在方程两边同时乘以－１，这样方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的右边就成为正整数了。因此对于二元一次不定方程，可以只讨论ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０的情况。 现在我们研究二元一次不定方程在什么条件下才有整数解。先考察下面几个方程有没有整数解：２ｘ＋ｙ＝１０，４ｘ＋２ｙ＝２０，４ｘ＋２ｙ＝２５。对于方程２ｘ＋ｙ＝１０，通过 观察可以知道，ｘ＝１，ｙ＝８是这方程的整数解，因此这个方 程有整数解。 对于方程４ｘ＋２ｙ＝２０，方程两边同时除以２，得２ｘ＋ｙ＝１０，因此这个方程也有整数解。 对于方程４ｘ＋２ｙ＝２５，由于４ｘ＋２ｙ＝２（２ｘ＋ｙ）为偶数，而２５是奇数，因此这个方程没有整数解。 对于方程２ｘ＋ｙ＝１０来说，ｘ、ｙ的系数互质，上面已经指出这个方程是有解的；对方程４ｘ＋２ｙ＝２０来说，虽然ｘ、ｙ的系数不互质，但它们的最大公约数２能整除２０，这是方程也有解；对方程４ｘ＋２ｙ＝２５来说，ｘ、ｙ的系数不互质，且它们的最大公约数２不能整除常数项２０，这时方程无解。这些特点虽然是从一些具体的不定方程归纳出来的，但是它对一般不定方程也是适用的。我们有下面定理： 定理１：二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｎ＊）有整数解的充要条件是ｄ│ｃ（其中ｄ＝（ａ，ｂ）。 证明：一是必要性。如果方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝ｘ０， ｙ＝ｙ０，则ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ，因为ｄ│ａ，ｄ│ｂ，所以ｄ│（ａｘ０＋ｂｙ０），即ｄ│ｃ。 二是充分性。因为ｄ│ｃ，所以ｃ＝ｄｑ，由裴蜀恒等式可以知道，存在两个整数x ０，y ０， 使ａx ０＋ｂy ０＝ｄ。在上式两边同时乘以ｑ，得ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｄｑ即ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｃ。 因此方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝x ０ｑ，ｙ＝y ０ｑ。由上述定理可知，如果ｃ不能被ａ、ｂ的最大公约数整除，那么方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ无解，且可在ａｘ＋ｂｙ＝ｃ两端都约去ｄ，使得（ａ，ｂ）＝１。所以通常二元一次不定方程的解是在ａ、ｂ互质的情况下讨论的。 判断出一个二元一次方程有解以后，如何求出它的一切整数解呢？我们有下面的结论： 定理２：如果二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ［（ａ，ｂ） ＝１］有整数解ｘ＝ｘ０， ｙ＝ｙ０，则此方程一切解可以表示为 （ｔ是整数） 证明：先证明 是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解。 因为ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解，所以ａｘ０ ＋ｂｙ０＝ｃ，又因为ａ（ｘ０－ｂｔ）＋ｂ（ｙ０＋ａｔ）＝ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ。 161··
不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程 ———研究其解法 方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许 多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。 一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法 根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。 如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？ 解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。 当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。 …… 当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。 ∵ 98﹢97﹢96﹢ (1) 2 99 98?= 4851 ∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。 2、表格记数法 如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。 解： ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有 x = 5 x = 12 y = 5 y = 1 3、分离系数法 如： 求7x ﹢2 y =38的整数解 解： y = 2 738X -=19-3x-21 x
令 t= 2 1 x x =2 t 则 y= 2 2738t ?-=19-7t 2t ＞0 19-7t ＞0 （t 为整）→ 2 7 5 ＞t ＞0 t=2，1 当 t=2时， x =2×2=4 x =4 y=19-7×2=5 y =5 当 t=1时， x =2×1=2 x =2 y=19-7×1=12 y=12 第四十周 不定方程 专题简析： 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x －3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x －3y ＝9的解有： x ＝2.4 x ＝2.7 x ＝3.06 x ＝3.6 ……… y ＝1 y ＝1.5 y ＝2.1 y ＝3 如果限定x 、y 的解是小于5的整数，那么解就只有x ＝3，Y ＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。 例1． 求3x+4y ＝23的自然数解。 先将原方程变形，y ＝23－3x 4 。可列表试验求解： X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一 1、 求3x+2y ＝25的自然数解。 2、 求4x+5y ＝37的自然数解。 3、 求5x －3y ＝16的最小自然数解。
不定方程解应用题
不定方程解应用题 六年级 2009年10月31日 基础篇 例1．不定方程的自然数解。 （1）2x+5y=12 解：x=6,y=0或x=1,y=2 （2）12x+17y=75 解：x=2,y=3 例2．用不定方程（组）解应用题。 1.采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋(盒子不能打 开)，采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？ 解：设买了x大盒，y小盒。 23x+16y=500 解得：x=12,y=14;x+y=26. 答：略。 2.新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老师和学生共 14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。 问：搬书的老师，男生，女生各有多少人？ 解：设老师x人，男生y人，女生z人。 x+y+z=14 12x+8y+5z=100 解得：x=3,y=3,z=8 答：略。 3.一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装 完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少 解：设大盒x个，小盒y个。 12x+5y=99且x+y>10 解得：x=2,y=15. 答：略。 4.有些三位数：①它的各位数字不同且没有数字0；②这个数等于所有由它的各位数字 所组成的没有重复数字的两位数的和。那么满足以上条件的所有三位数的和是多少？ 解：设这个三位数为abc（a、b、c各不相同） =+++++ 则abc ab ba ac ca bc cb 100a+10b+c = 22(a+b+c) 解得a=1,b=3,c=2或a=2,b=6,c=4或a=3,b=9,c=6 和为：132+264+396=792
个例独解：“不定方程”解题思路
个例独解：“不定方程”解题思路 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的一个(或几个)方程组成的方程(组)。 不定方程的解一般有无数个，而在这无数个解中要找出一个适合题意的解，则是行测出题 的思路。根据不定方程的这一特点可知，由题干条件推出结论的推理方式比较费时费力， 采用代入法则是不定方程的一般解法。代入法也分为选项代入法、特殊值代入法两种。 某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均分给各个老师带领刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都 是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )(2012年国家 考试行测第68题) A. 36 B.37 C.39 D.41 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，而也没有其他较简单的做法，则考虑 列方程组，设每名钢琴教师带领x名学员，每名拉丁舞教师带领y名学员; 该方程组有三个未知数，只有两个方程，属于不定方程，用代入法较好。采用特殊值代入 法较好。用第一个方程：5x+6y=76，用奇偶性分析可得x应该为偶数，根据“每位老师所 带的学生数量都是质数”可得x只能为2，又可求的Y=11.再把X=2，Y=11代入方程二可 得4x+3y=41。 该题先列出方程组，再根据题干给出的特殊信息--奇偶性和质数特性，采用特殊值代入的 方式解题。 三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。 如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的 作品列为C等，则下列说法正确的是( )(2012年 考试 第72题) A、A等和B等共6幅 B、B等和C等共7幅 C、A等最多有5幅 D、A等比C等少5幅 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，即画的张数是10，投票数总共为50. 则考虑列方程组，设A等、B等、C等作品的幅数分别为x、y、z张。可得方程组为： 化简得：2x+y=5，可得x=2，y=1，z=7，答案选D。或者得答案x=1，y=3，z=6，无答案，答案选D。
不定方程的解法与应用
摘要 不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明． 关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题
Abstract The integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples. Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation; Mathematics contest; civil service examination.
2018年国考数量-巧解不定方程问题
巧解不定方程问题 哈尔滨华图房曼 不定方程，顾名思义，一个方程中有多个未知数，无法通过正常的解方程来得出答案，也是省考国考考察的热点、重点。2017年的国家公务员考试副省级的64题，2017年山东省考的51题，都考察了不定方程的应用。 对于不定方程，我们有很多种方法来解决，包括用数字特性法、代入排除法等方法，其中代入排除法可以解决绝大多数不定方程问题，但是四个选项挨个代入比较耗费时间，相当于战争中的核武器，可以解决问题，但是代价比较大；对于一些不定方程题目，我们也可以首先考虑用数字特性来排除几个不靠谱的选项，再用代入法来做，可以大大缩短做题时间，相当于战争中的冲锋枪，可以轻快的解决问题，使用方便。下面列举两道真题来应用一下。 2017年的国家公务员考试副省级64题： 例1、某超市购入每瓶200毫升和500毫升两种规格的沐浴露各若干箱，200毫升沐浴露每箱20瓶，500毫升沐浴露每箱12瓶。定价分别为14元/瓶和25元/瓶。货品卖完后，发现两种规格沐浴露的销售收入相同，那么这批沐浴露中，200毫升的最少有几箱？ A．3B．8C．10D．15 解析：设200毫升的最少有a箱，400毫升的有b箱，可以得到一个等式：20*14a=12*25b，为不定方程，求得是a，可以将四个选项从最小的选项挨个代入，求出b，根据题意，b为正整数，符合这个条件的选项即为答案，这是用代入排除法直接做，比较耗费时间。如果先把等式化简一下的话可以得到：14a=15b。可知a需要为15的倍数，直接选出D选项。 2017年山东省考51题： 例2、小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24.所得的两个乘积加起来刚好等于900，问孩子出生在哪一个季度？ A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度 解析：设出生的月份为a，出生的日期为b，得到等式：29a+24b=900，为不定方程。观察等式，900为3的倍数，24b同样为3的倍数，所以要求29a为3的倍数，即要求a为3的倍数，可以为3,6,9,12，分别代入，可以解出b，b需要为小于32的正整数，只有当a为12时，解出b=23，符合条件，12月属于第四季度，故选D选项。 对于不定方程，是公务员考试中的一座小高地近来来考察越来越多我们攻克它有数字特性法和代入排除法等武器在平时的练习和考试中要熟练运用各种方法，才能迅速的解得答案。
不定方程的求解方法汇总
不定方程的求解方法汇总 行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。 一、不定方程的概念 在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。 在这里解释一下独立方程。看个例子大家便可以明白了: 4x+3y=26①,8x+6y=52② 因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。 二、求解不定方程的方法 1、奇偶性 奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数 偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数 奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数 性质：奇偶奇 7x为奇数，x也为奇数。x可能的取值有1、3、5。当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。
2、尾数法 当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。 性质：奇偶奇 5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。 3、整除法 当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。 4、特值法 当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。
不定方程常用解题方法
整除法 【例题1】：某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部 分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收，超过6000 美元的部分按Y%税率征收（X,Y为整数）。假设该国居民月收入为6500美元，支付了120 美元所得税，则Y为多少？ A.6 B.3 C.5 D.4 【参考答案】：A. 【解析】：整除法。列方程可得，3000×1%+3000×X%+500×Y%=120,化简可得 6X+Y=18,观察发现，18以及X的系数6都是6的倍数，根据整除可以确定Y一定是6的倍数，所以结合选项答案选择A选项。 【小结】：当列出的方程中未知数的系数以及结果是同一个数的倍数的时候，可以考 虑用整除法结合选项选择答案。 奇偶法 【例题2】：装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？ A.3,7 B.4,6 C.5,4 D.6,3 【参考答案】：A. 【解析】：奇偶法。设需要大、小盒子分别为x、y个，则有11x+8y=89,由此式89为 奇数，8y一定为偶数，所以11x一定为奇数，所以x一定为奇数，结合选项，排除B和D,剩余两个代入排除，可以选择A选项。 【小结】：列出的方程未知数系数和结果奇偶性可确定时，可以考虑用奇偶性结合选 项破解题目。 尾数法 【例题3】：有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小 客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：
A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆 【参考答案】：B. 【解析】：尾数法。大客车需要x辆，小客车需要y辆，可列37x+20y=271,20y的尾数一定是0,则37x的尾数等于271的尾数1,结合选项x只能是3,所以选择B选项。 【小结】：列出方程的未知数的系数出现5或10的倍数时，尾数可以确定，可以考虑用尾数法结合选项来选择答案。
不定方程及不定方程组
不定方程及不定方程组集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第二十七讲 不定方程、方程组 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定． 对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有： 设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题： (1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； (2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数） t at y y bt x x (00???-=+=是方程的全部整数解(称通解)． 解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等． 举例 【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ． (新加坡数学竞赛题) 思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值． 注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。通常有以下几个步骤： （1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解． 分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论． 【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )． A ．32千米 B ．37千米 C ．55千米 D ．90千米 (河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解． 【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解． (2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解． (莫斯科数学奥林匹克试题) (3)求方程 6 5 111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)
10秒钟解不定方程的方法
10秒钟解不定方程的方法 一、不定方程常用解法汇总 1、利用奇偶性求解 自然数分为奇数和偶数，而加和、做差和乘积也存在一定规律： 奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;奇数+偶数=奇数; 奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;奇数×偶数=偶数。 例题1：x，y为自然数，2x+3y=22，求y=? A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B。解析：22是偶数，2x是偶数，偶数加偶数才能得到偶数，所以3y一定是偶数，又因为3是奇数，所以只能是y为偶数，答案选B。 2、利用尾数法求解 适用环境：一个未知数系数尾数是5或0。 例题2：现有139个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是? A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C解析：设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=139，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7，选C。 3、利用整除特性求解 适用环境：等式右边的常数和某个未知数系数能被同一个数整除(1除外)，即有除了1以外的公约数。 例3：x，y为自然数，3x+4y=129，求y=? A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】B。解析：发现129和x的系数3都能被3整除，所以4y也必定被3整除，而4不能被3整除，所以只能y被3整除，答案选B。 二、真题演练 1、超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个? A.3 B.4 C.7 D.13 【答案】D解析：此题条件比较单一，没有直接可以利用的数量关系。因此，要优先考虑方程法，利用方程来理清数量间的特殊关系。 设大包装盒有x个，小包装盒有y个，则12x+5y=99，其中x、y之和为十
不定方程的解法
基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2发展历史编辑本段 不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，
公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3常见类型编辑本段 ⑴求不定方程的解； ⑵判定不定方程是否有解； ⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 4方程相关编辑本段 4.1一次不定方程 二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解，则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数}。 S（?2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。 埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： 一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 探究二元一次不定方程 （Inquires into the dual indefinite equation） 冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。 The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解 （Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution） 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式； ②具有两个未知数；③未知项的次数是1。 如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。 定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 [1] 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。 通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。 定理2.方程有解的充要是；[2] 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成： （t为任意整数） 2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题知识框架 数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。 公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。 核心点拨 1、题型简介 未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。 在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。 2、核心知识 形如，，的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的，我们通常研究： a.不定方程是否有解？ b.不定方程有多少个解？ c.求不定方程的整数解或正整数解。 （1）二元一次不定方程 对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1： 二元一次不定方程， A.若其中，则原方程无整数解； B.若，则原方程有整数解； C.若，则可以在方程两边同时除以，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。 如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。 定理2： 若不定方程有整数解，则方程有整数解，此解称为特解。 方程的所有解（即通解）为（k为整数）。 （2）多元一次不定方程（组） 多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。 例： ②－①消去x得y+2z=11 ③ ③的通解为，k为整数。 所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。 （3）其他不定方程 3、核心知识使用详解 解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 （6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。 夯实基础 构建不定方程模型解决计数问题 许多组合问题看似与方程无关，若能去伪存真，转换思维角度，转化为不定方程整数解的模型，则往往能化繁为简、柳暗花明.1不定方程整数解的有关结论 定理1不定方程x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+）的非负整数解的个数为Cnn+k-1. 证法1将不定方程x1+x2+…+xk=n的任意一组非负整数解（x1，x2，…，xk）对应于一个由n个圆圈“○”和k-1 个“+”组成的如图○...○x1个+○...○x2个+...+○ (x) 个所示的排列，每段圆圈“○”的个数即为原方程的一组非负整数解，易证对应关系是一对一的. 所以不定方程x1+x2+…+xk=n的非负整数解的个数就是n个圆圈“○”和k-1个“+”组成的直线排列数，即在n+k-1个位置中选k-1放置“+”（或选n个位置放置圆圈“○”），因此共有不同的排法种数为Ck-1n+k-1=Cnn+k-1. 证法2对不定方程x1+x2+…+xk=n的任意一组非负整数解（x1，x2，…，xk），令y1=x1+1，y2=x1+x2+2，…，yk=x1+x2+…+xk+k，则1≤y1 y2，…，yk）对应关系是一对一的，因此不定方程x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+）的非负整数解的个数便是从n+k-1个数中取出的k-1个数的组合数，即Ck-1n+k-1=Cnn+k-1. 定理2不定方程x1+x2+…+xk=n（k≥2，n≥2，k≤n）的正整数解的个数为Ck-1n-1. 证法1设想将n个1排成一排，这n个1之间有n-1个空档，从n-1个空档中选k-1个放入k-1个“+”，共有Ck-1n-1种放法，这k-1个“+”把n个1分成k段，各段1的个数即为原方程的一组正整数解，这样“+”的每一种放法就对应着原不定方程的一组正整数解，所以原不定方程共有Ck-1n-1组解. 证法2令yi=xi-1，其中xi≥1，不定方程x1+x2+…+xk=n 的正整数解与不定方程y1+y2+…+yk=n-k非负整数解之间建立了一一对应关系，所以不定方程x1+x2+…+xk=n的正整数解组（x1，x2，…，xk）的组数与不定方程y1+y2+…+yk=n-k 非负整数解组（y1，y2，…，yk）的组数相等，由定理1知，方程y1+y2+…+yk=n-k有Cn-k（n-k）+k-1=Cn-kn-1=Ck-1n-1个非负整数解，所以方程x1+x2+…+xk=n有Ck-1n-1个正整数解.2利用不定方程整数解的结论解有限制条件的不定方程或不定方程组的整数解的个数问题 例1求方程2x1+x2+x3+…+x10=3的非负整数解的个数. 解析由题意，x1=0，1，故分情况讨论如下： 不定方程与不定方程组 知识框架 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。 二、不定方程基本定义 （1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 （2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 （1）奇偶性 （2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性） （3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 重难点 （1）b利用整除及奇偶性解不定方程 （2）不定方程的试值技巧 （3）学会解不定方程的经典例题 例题精讲 一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解 【考点】不定方程 【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋3 2 y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对 应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解 可表为： 3 4 2 x k y k ? =+ ? ? ?= ? ，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多 组解． 方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。 【答案】无穷多个解 【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解 【考点】不定方程 【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解． 说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。 【答案】无整数解 【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解 【考点】不定方程 【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16…… x＝1时，17－2x＝15，y＝3， x＝6时，17－2x＝5，y＝1， x＝11时，17－2x＝17 －22，无解 不定方程 第一节一次不定方程 设a1, a2, , a n是非零整数，b是整数，称关于未知数x1, x2, , x n的方程 a1x1a2x2a n x n = b (1)是n元一次不定方程。 若存在整数x10, x20, , x n0满足方程(1)，则称(x10, x20, , x n0)是方程(1)的解，或说x1 = x10，x2 = x20，，x n = x n0是方程(1)的解。 定理1方程(1)有解的充要条件是 (a1, a2, , a n)b。 (2)定理2设a，b，c是整数，方程 ax by = c (3)若有解(x0, y0)，则它的一切解具有 ，t Z (4)的形式，其中。 a(x x0) = b(y y0)， 。 定理1和定理2说明了解方程(3)的步骤： (ⅰ) 判断方程是否有解，即(a, b)c是否成立； (ⅱ) 利用辗转相除法求出x0，y0，使得ax0by0 = (a, b)； (ⅲ) 写出方程(3)的解 例1求不定方程3x 6y = 15的解。 解 (3, 6) = 315，所以方程有解。 由辗转相除法（或直接观察），可知x = 1，y = 1是 3x 6y = 3 的解，所以x0= 5，y0= 5是原方程的一个解。由定理2，所求方程的解是 ，t Z。 例2求不定方程3x 6y 12z = 15的解。 解原方程等价于 x 2y 4z = 5。 (8)依次解方程 t 4z = 5， x 2y = t， 分别得到 ，u Z， (9) ，v Z。 (10)将式(9)与式(10)中的t消去，得到 ，u, v Z。 注：本例在解方程时，首先将原方程化为等价方程(8)，这使问题简化。对例1也可以如此处理。 例3设a与b是正整数，(a, b) = 1，则任何大于ab a b的整数n都可以表示成n = ax by的形式，其中x与y是非负整数，但是n = ab a b不能表示成这种形式。 解 (ⅰ) 由定理2，方程 ax by = n (11)的解具有 ，t Z(12)的形式，其中x0与y0满足方程(11)。 由假设条件n > ab a b及式(11)与式(12)，有 ax = n by = n b(y0at) > ab a b b(y0at)。 (13)取整数t，使得 0 y = y0at a 1， 则由式(13)得到 ax > ab a b b(a 1) = a， x > 1，x 0， 即n = ax by，x 0，y 0。 (ⅱ) 设有x 0，y 0，使得 ax by = ab a b， (14)则 a(x 1) b(y 1) = ab。 (15)所以ab(y 1)。但是(a, b) = 1，于是必有 ay 1，y 1 a。 同理可以证明x 1 b，从而 a(x 1) b(y 1) 2ab， 这与式(15)矛盾，所以式(14)是不可能的。 一招教你搞定不定方程 一相关概念 1.什么是不定方程 未知数个数多于方程个数的方程，叫做不定方程，比如：3x+4y=42就是一个二元一次方程。在各类公务员考试中通常只讨论它的整数解或正整数解。在解不定方程问题时，我们可以利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。但是方法越是繁多，我们在备考过程中学习的压力就越大，为了让大家更好的地理解和掌握不定方程的求解问题，这里我们介绍一种“万能”的方法——利用同余性质求解不定方程。 2.什么是余数 被除数减去商和除数的积，结果叫做余数。比如：19除以3，如果商6，余数就是1；如果商是5，余数就是4；如果商是7，余数就是-2.（注意，这里余数的概念指的是广义上的概念，即余数不再是比除数小的正整数）。 3.关于同余特性 ①余数的和决定和的余数 例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1；23，24除以5的余数分别是3和4，所以23+24除以5的余数等于余数和7，正余数是2. ②余数的差决定差的余数； 例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23-16=7除以5的余数等于2，即两个余数的差3-1；16-23除以5的负余数为-2，正余数为3. ③余数的积决定积的余数； 例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。二利用同余性质解不定方程 例1：解不定方程x+3y=100，x，y皆为整数。 A 41 B 42 C 43 D 44 解析：因为3y能够被3整除，100除以3余1，根据余数的和决定和的余数，x除以3必定是余1的，所以答案为C。 例2:：今有桃95个，分给甲，乙两个工作组的工人吃，甲组分到的桃有2/9是坏的，其他是好的，乙组分到的桃有3/16是坏的，其他是好的。甲，乙两组分到的好桃共有多少个？ A.63 B.75 C.79 D.86 解析：由题意，甲组分到的桃的个数是9的倍数，乙组分到的桃的个数是16的倍数。设甲组分到的桃有9x个，乙组分到16y个，则9x+16y=95。因为9x 可以被9整除，所以95除以9的余数就等于16y除以9的余数，95除以9余5（或者余14），16y除以9的余数由16除以9的余数（7）和y除以9的余数之积决定，所以可以推出：y除以9的余数是2，那么y的值只能取2，进而求出x=7，,则甲、乙两组分到的好桃共有7x+13y=7×7+13×2=75个，答案选B。二元一次不定方程的解法总结与例题
2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题
构建不定方程模型解决计数问题
小学数学不定方程与不定方程组的解法
解不定方程
一招教你搞定不定方程