(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线

利用导数求曲线的切线和公切线

一. 求切线万程

【例11 .已知曲线f(x)=x 3-2x 2+1.

(1) 求在点P (1,0 )处的切线l 1的方程；

⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.

提醒：注意是在某个点处还是过某个点！

二. 有关切线的条数

【例21.( 2014?北京)已知函数f (x ) =2x 3 - 3x .

(I)求f (x )在区间［-2, 1］上的最大值；

(n)若过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切，求t 的取值范围;

(川)问过点 A (- 1, 2), B (2, 10), C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x )相切？(只需写出结论)

【解答1 解：(I)由 f (x ) =2x 3 - 3x 得 f '( x ) =6x 2- 3, 令 f '(x ) =0 得，x= -^_或 x=」,

?- f (-2) =- 10, f (-=) =：-：, f (斗)=-::,f (1) =- 1,

.f (x )在区间［-2, 1］上的最大值为：.：.

(n)设过点P (1, t )的直线与曲线y=f (x )相切于点(X 。，y °),

则y °=2诃-3X 0，且切线斜率为k=6爲-3,

.切线方程为 y -y o = (6-,- - 3)(x - x o ),

+t+3=0，设 g (x ) =4x 3 - 6x 2+t+3 , 则“过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切”，等价于“ g (x )有3 个不同的零点”.T g '(x ) =12x 2- 12x=12x (x - 1),

.g (0) =t+3是g (x )的极大值，g (1) =t+1是g (x )的极小值.

.g (0)> 0 且 g (1)v 0,即-3v t v- 1,

.当过点过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切时，t 的取值范围是

(-3,- 1).

(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x )相切；

过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x )相切；

过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x )相切.

(6 t - y o = -3)( 1-X 。)，即卩 4嗚 2 O

【解答】解：(I )当a=3时，原不等式可化为：1+e ln3x ±L >0；

工

?对x > 1恒成立，所以 可得h (x )在区间［1，+x)上单调递减,

故a 的取值范围为：［1 , +x

Xn _l

???切线方程：y+仁

x o 即1口為 -一 1=0,①

设 g (x ) =1 口叶色一打-1,则# Cx)- ??? x >0,二g (x )在区间(0, 1) ,( 2, +x)上是增函数，在区间(1, 2)

上是减函数，

故 g (x )极大=g (1) =1>0,故 g (x )极，小=g ( 2) =ln2+丄 >0,.

又 g (寺)=1 诗+12- 6- 1 = -ln4 - 3V 0,

由g (x )在其定义域上的单调性知：g (x ) =0仅在(—,1)内有且仅有一根, 4

方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条.

【作业 1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x ) =2x 3 - 3x+1, g (x ) =kx+1 - Inx .

v

等价于 l+3x+—>0 3K >0

，解得X ?丄，故解集为

令'i ■■

| ■: ". ” ： O(Q1)，

故h (x )在x=1处取到最大值，故

lna > h (1) =0,可得 a=1， (川)假设存在这样的切线，设切点

T (xo, L n/ 工厂1 CT v _ ),

(弹-1)，将点T 坐标代入得: +1=

K o

(1)设函数htx)=J z?、.，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；

(菖(X)5 図R1

(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.

三. 切线与切线之间的关系

【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+J；L〔J；c 的取值范围是.

粹t = tf+ftcosjt —rsin x = a+\b2 +c2 cos(x ++ cos(x+

令x+^-6^則码十护二即巧十卩= &：? f\x) = a十g宫0

由題总，存在兀也亡R梗得厂也)厂(兀戸-1，即(□+005^)(^4-005^) = -],

即关于席的二択方FW +炖+⑷迢⑷+1 = 0广)柑实根

所W A = (cos^l+ cosft)*-4cos^costf1-4i0^(costf l-cosft)2王4

所闵co昭一00昭|工2,又|cos^ -<：05^|<2?所叫co昭-co昭| = 2

所llcos^^cos^ =-1此时方程广)变为i? =0=>a=0

则 a 2b , 3c 一2b , 3c，v b2+c2=1，???设 b sin ,a cos ，

???? 2b3c 5 sin( )，

故a+血+V3c € [-韻眄，

求证：a=0 或^一- -- T .

e c

【解答】(I)解：t 任)二兰,迁亦心)，亡&)二

'，；仝 1 I

令 t' (x )> 0 得 x > 1,令 t' (x )v 0 得 X V 1 ,

所以，函数t (X )在(0, 1)上是减函数，在(1, +X )上是增函数，

???当 1 时，t (x )在［m , m+1］ (m >0)上是增函数，二七

当0v m V 1时，函数t (x )在［m ，1］上是减函数，在［1，m+1］上是增函数， ? t (x ) min =t (1) =e .

(U)设12的方程为y=k 2X ，切点为(X 2, y 2),贝U y 丹二呂(工g)二启"二

? X 2=1, y 2=e ： k 2=e .由题意知，切线l 1的斜率'.；_ - _!，?切线l 1的方程为 1 k 2 e

丁 一工，设l 1与曲线y=f (x )的切点为(X 1, y",

-4 1 1

y 1 — — 1 ~s ,OF --------- 1 e 1 X L e

又y 1=lnx 1- a (X 1- 1)，消去y 1, a 后整理得

，贝U I 「 I 一 丄

"

T __厶 ? m(x )在(0, 1)上单调递减，在(1, +x)上单调递增，

&右 1)， 1 1 a- ---------

朮1 e

而 ,在 rr:— 一 I :丄"|,亡丄一 —1, ? 若 X 1€( 0, 1),v

若 X €( 1： +x )

m (x ) 1 1

--X 1=e ,?? —- 一二

X 1 e

综上，a=0或皂土 2 1 -

【作业2】.(2017?黄山二模)已知函数f (x) = (ax2+x- 1) e x+f (0)

(1)讨论函数f (x)的单调性；

0) 上单调递减，在(山辛一)上单调递减，在上

Vi V4

单调递增；

(U)假设曲线y=f (x)与y=g (x)存在公共点且在公共点处有公切线，且切

点横坐标为x°> 0，

f'( x)v 0；当(x)> 0.

f (x)在(— x,

其中(2 )式即

Q

2 2 & 2

起3_

【解答】解：⑴由"二罕+ ,得'心二七

(2)若g (x) =e—f (x) +lnx，h (x) =e，过O (0，0)分别作曲线y=g (x)

当且x工0

时,

时，f'

则即

?I T -■- I.

记h (x) =4x3—3e2x - e3, x €( 0, +x),贝y h' (x) =3 (2x+e)( 2x - e).

得h (x )在0 号)上单调递减，在(￥，十*)上单调递增，又h (0) = -e3, h(2二-2』，h (e) =0,

故方程h (x o) =0在(0, +x)上有唯一实数根x o=e,经验证也满足(1)式. 于是，f (X。)=g (x°) =3e, f'(x°) =g' (x°) =3,

曲线y=g (x)与y=g (x)的公切线I的方程为y- 3e=3 (x- e), 即y=3x.

【作业3】.已知函数f (x) =lnx , g (x) =2-色(x >0)

I

(1)试判断当f (x)与g (x)的大小关系；

(2)试判断曲线y=f (x)和y=g (x)是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；

(3)试比较 (1+1X 2)(1+2X 3)???( 1+2012X 2013)与 e 4021的大小，并写出判断过程.

【解答】解：(I) f'(x)丄,g' (x) =2ax- 1.

???曲线f (x)与g (x)在公共点A (1, 0)处有相同的切线，

IffCD^blnl-O

?「吕二己-1 二0，解得a=b=1.

|[b=2a-l

_ , 2

(U)设P (X0, y°),则由题设有lnx 0=ax0 -x°…①，又在点P有共同的切线，???「(x°) =g'(x°),.?.* —■，：|-',

K fl

?曲线f (x )与g (x )总存在公切线,

???当 O v t v 1 时，h' (t )v 0；当 1 v t v e 时，h' (t )> 0, 即h (t )在(0, 1) 上单调递减，在(1, e ) 上单调递增.

? h (t )在(0, e ) 上的最小值为h (1) =4, ?要使方程(*)有解，只须4a 》4,即a > 1.

?正实数a 的最小值为1.

【例8】.(2017?韶关模拟).已知函数f (x ) =ae x (a ^0), g (x ) =x 2 (I)若曲线C 1： y=f (x )与曲线C 2： y=g (x )存在公切线，求a 最大值.

(U)当 a=1 时，F (x ) =f (x )— bg (x )— cx — 1,且 F (2) =0,若 F (x ) 在(0, 2)内有零点，求实数 b 的取值范围.

【解答】解：(I)设公切线l 与C 1切于点(* , a/】)与C 2切于点(X 2，衍2), ??? f '(x ) =ae x , g '(x ) =2x ,

a=； ,代入①得lnx 0

设 h (x ) =lnx — ??? h (x )在(0, L^x ,贝U h '(x) —(x >0),贝U h '

+x)上单调递增，所以h (x ) =0最多只有1个实根,

(x )> 0, 从而，结合(1) 可知，满足题设的点P 只能是P (1, 0).

(川)当a >0,

f (x )在点(t , b=1 时，f (x ) =lnx , f '( x)—, 1 lnt )处的切线方程为y - lnt= (x — t )，即卩 y 丄x+lnx — 1. 与 y=ax — x ，联立得 ax —(1

x — Int+1=0 .

???关于t (t > 0)的方程△=

门-二 =4a (1 — l nt ) (* )总有解.

若 t >e ,贝U 1 — lnt v 0, 从而，方程(*)可化为 I —1 >0,显然(*)不成立，所以0 v t v e ,

t 2 (1 -lnt.) (O v t v e ),贝U H'( t ) t 3 (1-1 nt ) 2

2 +4a (lnt — 1) =0,