最新利用导数求曲线的切线和公切线
利用导数求曲线的切线和公切线
一.求切线方程
【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1.
(1)求在点P（1,0）处的切线l
1
的方程；
(2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l
2
的方程.
提醒：注意是在某个点处还是过某个点！
二.有关切线的条数
【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．
（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，
令f′（x）=0得，x=﹣或x=，
∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，
∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．
（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x
0，y
），
则y
0=2﹣3x
，且切线斜率为k=6﹣3，
∴切线方程为y﹣y
0=（6﹣3）（x﹣x
），
∴t﹣y
0=（6﹣3）（1﹣x
），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，
则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），
∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．
∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1，
∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．
（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；
过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；
过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
【例3】．已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），．
（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式：1+e f（x）+g（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=1时，记h（x）=f（x）﹣g（x），过点（1，﹣1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．
【解答】解：（I）当a=3时，原不等式可化为：1+e ln3x+＞0；
等价于，解得x，故解集为
（Ⅱ）∵对x≥1恒成立，所以，令，
可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，
故a的取值范围为：[1，+∞）
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x
，），
∴切线方程：y+1=，将点T坐标代入得：
即，①
设g（x）=，则
∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）
极大=g（1）=1＞0，故g（x）
极，小
=g（2）=ln2+＞0，．
又g（）=+12﹣6﹣1=﹣ln4﹣3＜0，
由g（x）在其定义域上的单调性知：g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根，方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．
【作业1】．（2017?莆田一模）已知函数f（x）=2x3﹣3x+1，g（x）=kx+1﹣lnx．
（1）设函数，当k＜0时，讨论h（x）零点的个数；
三.切线与切线之间的关系
【例4】．（2018?绵阳模拟）已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+c 的取值范围是 .
23
a b c
++=
则23
b c
+，∵b2+c2=1，∴sin,cos
b a
ββ
==
设，
∴235sin()
b cβ?
+=+，
故a+c∈[﹣，]，
【例5】.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）设，求函数t（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（Ⅱ）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l
1
，l
2
，已知两切线的斜率互为倒数，
求证：a=0或．
【解答】（Ⅰ）解：，
令t'（x）＞0得x＞1，令t'（x）＜0得x＜1，
所以，函数t（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴当m≥1时，t（x）在[m，m+1]（m＞0）上是增函数，∴
当0＜m＜1时，函数t（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，∴t（x）
min
=t（1）=e．
（Ⅱ）设l
2的方程为y=k
2
x，切点为（x
2
，y
2
），则，
∴x
2=1，y
2
=e∴k
2
=e．由题意知，切线l
1
的斜率，∴切线l
1
的方程为
，设l
1
与曲线y=f（x）的切点为（x
1
，y
1
），∴，
∴，，
又y
1=lnx
1
﹣a（x
1
﹣1），消去y
1
，a后整理得，
令，则，
∴m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
若x
1
∈（0，1），∵，，∴，而，在单调递减，∴．
若x
1
∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，
∴x
1
=e，∴
综上，a=0或．
【作业2】．（2017?黄山二模）已知函数f（x ）=（ax2+x﹣1）e x+f'（0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若g（x）=e﹣x f（x）+lnx，h（x ）=e x，过O（0，0）分别作曲线y=g（x）
与y=h （x）的切线l
1，l
2
，且l
1
与l
2
关于x轴对称，求证：﹣＜a＜﹣．
四．求公切线的方程
【例6】．（2018?安阳一模）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
令f′（x）=0，得．
当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上
单调递增；
（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x
＞0，
则，即，其中（2）式即．
记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x）在上单调递减，在上单调递增，
又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，
故方程h（x
0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x
=e，经验证也满足（1）式．
于是，f（x
0）=g（x
）=3e，f′（x
）=g'（x
）=3，
曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），
即y=3x．
【作业3】．已知函数f （x）=lnx，g（x）=2﹣（x＞0）
（1）试判断当f（x）与g（x）的大小关系；
（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；
（3）试比较（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）与 e4021的大小，并写出判断过程．
五.与公切线有关的参数取值范围问题
【例7】．已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；
（Ⅱ）当b=1时，若曲线f（x）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；
（Ⅲ）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公切线，求正实数a的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，g'（x）=2ax﹣1．
∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，
∴，解得a=b=1．
（Ⅱ）设P（x
0，y
），则由题设有lnx
=ax
2﹣x
…①，
又在点P有共同的切线，∴f′（x
0）=g′（x
），∴，
∴a=，代入①得lnx
0=x
，
设h（x）=lnx﹣+x，则h′（x）=+（x＞0），则h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）=0最多只有1个实根，
从而，结合（1）可知，满足题设的点P只能是P（1，0）．
（Ⅲ）当a＞0，b=1时，f（x）=lnx，f′（x）=，
f （x）在点（t，lnt）处的切线方程为y ﹣lnt=（x﹣t），即y=x+lnx﹣1．与y=ax2﹣x，联立得ax2﹣（1+）x﹣lnt+1=0．
∵曲线f（x）与g（x ）总存在公切线，
∴关于t（t＞0）的方程△=+4a （lnt﹣1）=0，
即=4a（1﹣lnt）（*）总有解．
若t＞e，则1﹣lnt＜0，而＞0，显然（*）不成立，所以 0＜t＜e，从而，方程（*）可化为4a=．
令H（t）=（0＜t＜e），则H′（t）=．
∴当0＜t＜1时，h'（t）＜0；当1＜t＜e时，h'（t）＞0，
即 h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增．
∴h（t）在（0，e）上的最小值为h（1）=4，
∴要使方程（*）有解，只须4a≥4，即a≥1．
∴正实数a的最小值为1．
【例8】．（2017?韶关模拟）.已知函数f（x）=ae x（a≠0），g（x）=x2
（Ⅰ）若曲线c
1：y=f（x）与曲线c
2
：y=g（x）存在公切线，求a最大值．
（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设公切线l与c
1切于点（x
1
，a）与c
2
切于点（x
2
，），
∵f′（x）=ae x，g′（x）=2x，