2016年考研数学二真题与解析
2016年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α
，α1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2
10
【详解】α
ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2
11
211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121
α
α
所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）x
x y 1sin
+= （D ）x x y 12
sin +=
【详解】对于x
x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =
应该选（C ）
3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹
的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是
)()(x g x f ≤，应该选（D ）
4．曲线???++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）
5010（Ｂ）100
10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式3
21)'("y y K +=
，曲率半径K
R 1
=
． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222
122t
t t dx y d -=-
=，
对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10
10113
2=
+=)'("y y K ，曲率半径10101
==
K
R ． 应该选（C ）
5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2
2
x
x ξlim
（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
32 （Ｃ）2
1 （Ｄ）31
【详解】注意（1）2
11x
x f +=
)('，（2）)(arctan ,3
3310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=
211ξξ，2
2
)(arctan arctan x x x -=ξ，
31313
33
20
2
2
=+-
-=-=→→→x x o x x x x x x
arx x x x x x )
()(lim
)(arctan tan lim
lim
ξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
02≠???y x u
及0222
2=??+??y
u
x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；
（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；
（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在
内部存在驻点),(00y x ，也就是0=??=??y u
x u ，在这个点处x y u y x u B y
u C x u A ???=???=??=??=222222,,，由条件，显然02
<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．
所以应该选（A ）．
7．行列式
d
c d c b
a b a
00
00000等于 （A ）2
)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2
222c b d a +-
【详解】
200000000
00000000)(bc ad d
c b
a bc d c
b a ad d
c c b
a b d c d
b a a d
c d c b
a b a --=+-=+-=
应该选（B ）．
8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则
（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=???
?
? ??=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等
于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．
而当???
?
?
??=????? ??=????? ??=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但
321ααα,,线性相关；故选择（A ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．
?
∞
-=++12
5
21
dx x x ． 【详解】
?
?∞
-∞-∞-=??? ??--=+=++=++11122832421212
141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=
?
2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即
x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．
11．设),(y x z z =是由方程47
22=
+++z y x e
yz
确定的函数，则=??
? ??2121,|dz ．
【详解】设4722-+++=z y x e
z y x F yz
),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当2
1
=
=y x 时，0=z ，
21-=-=??z x F F x z ，21
-=-=??z y F F y z ，所以=??
? ??2121,|dz dy dx 2121--．
12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点???
?
?=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 【详解】先把曲线方程化为参数方程??
?====θ
θθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π
==y x ,，
πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点??
?
??=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即
.2
2π
π
+
-
=x y
13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122
++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标
=x ．
【详解】质心坐标20
1135
1211
1221021
2
3101
0=
=++-++-==????dx x x dx x x x dx x dx
x x x )()()()(ρρ． 14．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围
是 ． 【详解】由配方法可知
2
3
2
2322313
2312
2213214242x
a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=
由于负惯性指数为1，故必须要求042
≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限)
ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12
+--?+∞
→．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
21
1211111
11222121
1
2
2
1
1
2
=??? ??-++=--=--=+--∞→∞
→+∞→+∞
→??x x o x x x x e x x
dt
t e t x x dt
t e t x x
x x
t
x x t
x )((lim )
)((lim ))((lim
)
ln())((lim
16．（本题满分10分）
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12
2
，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】
解：把方程化为标准形式得到2211x dx
dy
y -=+)
(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：
C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得3
2=C ， 即
3
2
313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3
22
2222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）
设平面区域{
}
00412
2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算??
++D
dxdy y
x y x x )
sin(22π
【详解】由对称性可得
4
3
211212121202
2
2
22222-
==+=+++=++=++??????
????D D
D D
dr r r d dxd y x dxdy
y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππ
sin )sin()
sin()()sin()sin(
18．（本题满分10分）
设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x
=满足x
x e y e z y
z x z 22
2224)cos (+=??+??．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．
【详解】
设y e u x
cos =，则)cos ()(y e f u f z x
==，
y e u f y e u f x
z e u f x
z
x
x y x cos )('cos )(",)('cos +=??=??222
2; y e u f y e u f y
z y e u f y z x
x x cos )('sin )(",sin )('-=??-=??2222； x x x e y e f e u f y
z
x z 22222
2)cos (")("==??+?? 由条件x x e y e z y
z
x z 22
2224)cos (+=??+??， 可知
u u f u f +=)()("4
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为u y 4
1
-
=*． 故非齐次方程通解为u e C e
C u f u u
4
1
2221-+=-)(．
将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16
116121-==
C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4
1
16116122--=-)(． 19．（本题满分10分）
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤?
0；
（2）
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
【详解】
（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx x
a
x a
x
a
,)(∈≤≤???
10．
即[]b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤
?
0．
（2）令?
?
?-=
+
x
a dt
t g a a
x
a
du u f du u g u f x F )()()()()(，
则可知0=)(a F ，且??
? ??+-=?x
a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，
因为,)(a x dt t g x
a
-≤≤
?
0且)(x f 单调增加，
所以)()()(x f a x a f dt t g a f x
a
=-+≤??
? ?
?+
?
．从而
0=-≥??
? ??+-=?)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x
a ， []
b a x ,∈
也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到
??
≤?+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=
x x
x
x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞
→lim ．
【详解】
x x
x
x x x
x f x f x f x x x f 21111111121+=
++
+=+=+=)()()(,)(，Λ,)(x x x f 313+=，
2016考研数学数学二真题(word版)
一、 选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合要求的. （1） 设1(cos 1)a x x =-，32ln(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以 上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是 （A ）123,,a a a . （B ）231,,a a a . （C ）213,,a a a . （D ）321,,a a a . （2）已知函数2(1),1,()ln , 1,x x f x x x -
2016-2017年考研数学二真题及答案
2016考研数学二真题及答案 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值 范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，αα α2 1 1 2 1 1x x ~ )cos (-是 α 2 阶无穷小，由题意可知??? ??>>121α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐 近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
2016年考研数学三真题及解析
2016年考研数学（三）真题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其 样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <
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2016年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
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完整word版,历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)
历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-????????-????B P 求5 ,.A A 八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ????=?? ???? A 与20000001y ?? ??=????-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P
考研数学二模拟题及答案
* 4.微分方程 y 2 y x e 2x 的特解 y 形式为（） . * 2x * 2 x (A) y (ax b)e (B) y ax e (C) y * ax 2 e 2x (D) y * ( ax 2 bx)e 2 x 2016 年考研数学模拟试题（数学二） 参考答案 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内） 1.设 x 是多项式 0 P( x) x 4 ax 3 bx 2 cx d 的最小实根，则（） . （A ） P ( x 0 ) 0 （ B ） P ( x 0 ) 0 （C ） P ( x 0 ) 0 （ D ） P (x 0 ) 0 解 选择 A. 由于 lim P( x) x x 0 ，又 x 0 是多项式 P(x) 的最小实根，故 P (x 0 ) 0 . 2. 设 lim x a f ( x) 3 x f (a) a 1 则函数 f ( x) 在点 x a （） . （A ）取极大值（ B ）取极小值（ C ）可导（ D ）不可导 o o 解 选择 D. 由极限的保号性知，存在 U (a) ，当 x U (a) 时， f ( x) 3 x f (a) a 0 ，当 x a 时， f ( x) f (a) ，当 x a 时， f ( x) f (a) ，故 f ( x) 在点 x a 不取极值 . lim f ( x) f (a) a lim f ( x) f (a) a 1 x a x x a 3 x 3 ( x a) 2 ，所以 f ( x) 在点 x a 不可导 . 3.设 f ( x, y) 连续，且满足 f ( x, y) f ( x, y) ，则 f (x, y) dxdy （） . x 2 y 2 1 （A ） 2 1 1 x 2 1 1 y 2 0 dx f ( x, y)dy （ B ） 2 0 dy 1 y 2 f ( x, y)dx 1 1 x 2 1 1 y 2 （C ） 2 dx 1 x 2 f ( x, y)dy （ D ） 2 dy f ( x, y)dx 解 选择 B. 由题设知 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy 2 1 0 dy 1 y 2 1 y 2 f ( x, y)dx . x 2 y 2 1 x 2 y 2 1, y 0
2016年考研数学三试题解析超详细版
2016年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v ?= ??. (3) 设?? ???≥ -<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=?. (4) 二次型2 132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(2 2σμN ,1,,21n X X X 和 2 ,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则 12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==?? -+-????=??+-?????? ∑∑. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2 ) 2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞ →)(lim ， ?????=≠=0 ,00 ,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性和a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则 (A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题： (1) 若 ∑∞=-+1 212)(n n n u u 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛.
2016考研数学数学一试题(竞赛部分)
2016年考研题 第1页一、选择题： （1）若反常积分01(1)a b dx x x +∞ +?收敛，则（A）1a <且1b >.（B）1a >且1b >. （C）1a <且1a b +>. （D）1a >且1a b +>.（2）已知函数2(1),1,()ln , 1,x x f x x x -
2016年考研数学三真题解析
2016年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a = 1 ，b = 4 -. 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，且0)(cos sin lim 0 =-?→b x x x ，所以 0)(lim 0 =-→a e x x ，得a = 1. 极限化为 51)(cos lim )(cos sin lim 00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = -4. 因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知) () (lim x g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0； (2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0， 则 ) ()(22v g v g v u f '- =???. 【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) = )() (v g v g u +， 所以，)(1v g u f =??， ) () (22v g v g v u f '-=???. (3) 设?? ???≥-<≤-=21 ,12121,)(2 x x xe x f x ，则2 1 )1(22 1- = -?dx x f . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可. 【详解】令x - 1 = t ，? ? ? - -==-1 2 11 2 12 2 1)()()1(dt x f dt t f dx x f
考研数学二答案
考研数学二答案 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]
2016年考研数学二答案 【篇一：2016考研数学数学二试题(完整版)】 ss=txt>一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. （1） 设a1x 1)，a2 ，a31.当x0时， 以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是 （a）a1,a2,a3.（b）a2,a3,a1. （c）a2,a1,a3.（d）a3,a2,a1. 2(x1),x1,（2）已知函数f(x)则f(x)的一个原函数是 lnx,x1, (x1)2,x1.(x1)2,x1.（a）f(x)（b）f(x) x(lnx1),x1.x(lnx1)1,x1. (x1)2,(x1)2,x1.x1.（c）f(x)（d）f(x) x(lnx1)1,x1.x(lnx1)1,x1. 1+111 exdx的敛散性为（3）反常积分①2exdx，②2x0x0 （a）①收敛，②收敛.（b）①收敛，②发散. （c）①收敛，②收敛.（d）①收敛，②发散. （4）设函数f(x)在(,)内连续，求导函数的图形如图所示，则 （a）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有2个拐点. （b）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有3个拐点. （c）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有1个拐点. （d）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有2个拐点. （5）设函数fi(x)(i1,2)具有二阶连续导数，且fi(x0)0(i1,2) 线，若两条曲 yfi(x)(i1,2)在点(x0,y0)处具有公切线yg(x)，且在该点处曲线yf1(x)的曲率大于曲线yf2(x)的曲率，则在x0的某个领域内，有 （a）f1(x)f2(x)g(x) （b）f2(x)f1(x)g(x) （c）f1(x)g(x)f2(x) （d）f2(x)g(x)f1(x) ex （6）已知函数f(x,y)，则 xy （a）fxfy0 （b）fxfy0 （c）fxfyf （d）fxfyf （7）设a，b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是
考研数学二答案
2016年考研数学二答案 【篇一：2016考研数学数学二试题(完整版)】 ss=txt>一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. （1） 设a1x 1)，a2 ，a31.当x0时， 以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是 （a）a1,a2,a3.（b）a2,a3,a1. （c）a2,a1,a3.（d）a3,a2,a1. 2(x1),x1,（2）已知函数f(x)则f(x)的一个原函数是 lnx,x1, (x1)2,x1.(x1)2,x1.（a）f(x)（b）f(x) x(lnx1),x1.x(lnx1)1,x1. (x1)2,(x1)2,x1.x1.（c）f(x)（d）f(x) x(lnx1)1,x1.x(lnx1)1,x1. 1+111 exdx的敛散性为（3）反常积分①2exdx，②2x0x0 （a）①收敛，②收敛.（b）①收敛，②发散. （c）①收敛，②收敛.（d）①收敛，②发散. （4）设函数f(x)在(,)内连续，求导函数的图形如图所示，则 （a）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有2个拐点.
（b）函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有3个拐点. （c）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有1个拐点. （d）函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有2个拐点. （5）设函数fi(x)(i1,2)具有二阶连续导数，且fi(x0)0(i1,2) 线，若两条曲 yfi(x)(i1,2)在点(x0,y0)处具有公切线yg(x)，且在该点处曲线yf1(x)的曲率大于曲线yf2(x)的曲率，则在x0的某个领域内，有 （a）f1(x)f2(x)g(x) （b）f2(x)f1(x)g(x) （c）f1(x)g(x)f2(x) （d）f2(x)g(x)f1(x) ex （6）已知函数f(x,y)，则 xy （a）fxfy0 （b）fxfy0 （c）fxfyf （d）fxfyf （7）设a，b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是 （a）at与bt相似 （b）a1与b1相似 （c）aat与bbt相似 （d）aa1与bb1相似
2016年考研数学一真题与解析答案
2016考研数学（一）真题及答案解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -
考研数二历年真题(2016-2002)
2016年考研数学二真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+ →0x 时，若)(ln x 21+α，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围 是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 4．曲线???++=+=1 472 2t t y t x , 上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ） 5010（Ｂ）100 10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2 2 x x ξlim （ ） （Ａ）1 （Ｂ） 32 （Ｃ）2 1 （Ｄ）31 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足0 2≠???y x u 及0222 2=??+??y u x u ，则（ ）．
（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； （D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上． 7．行列式 d c d c b a b a 00000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2 )(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2 222c b d a +- 8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量 321ααα,,线性无关的 （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9． ? ∞ -=++12 5 21 dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则 =)(7f ． 11．设),(y x z z =是由方程47 22= +++z y x e yz 确定的函数，则=?? ? ??2121,|dz ． 12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点?? ? ??=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122 ++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．
2016年考研数学一真题及详细解析
2016年考研数学一真题及详细解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 【答案】（C ） 【解析】 1 (1) a b dx x x +∞ +? 1 111(1)(1)a b a b dx dx x x x x +∞=+++? ? 1 1p dx x ? 在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)b x +不影响 同理， 1 11 1(1)11b a b a b dx dx x x x x +∞ +∞+=+?? + ? ?? ? ? 1 1p dx x +∞ ? （1p >时收敛），而此时11b x ??+ ??? 不影响 （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -
2016考研数学一真题及答案解析(完整版)
2016考研数学（一）真题完整版 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分 () 11b a dx x x +∞ +? 收敛，则（ ） ()()()()11111111 A a b B a b C a a b D a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -
2016考研数学一真题和答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知， 212x e 、1 3 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以
2,1为特征方程
的根，从而 ，，从而原方程变为 故选（A） (3) ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（ B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 【解析】 的收敛半径为1 .故选（B）。 (4)
2016考研数学二真题和答案及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ； ； ； ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“ ”型极限，直接有 , 在 处无定义， 且 所以 是的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数， ().若在处连续，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】易求出 ，
再有 不存在， ， 于是，存在，此时. 当 时， ， = 不存在， ， 因此，在 连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续，其 二阶导函数的图形如右图所示， 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续，除点 外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧 异号，对应的点就是的拐点。 虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而() 是 的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足，则与依次是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，函数 在D上连续， 则
2016考研数学二真题答案
2016考研数学二真题答案 【篇一：2003-2016年考研数学二真题及解析】 t>一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 １．当x?0时，若ln(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围是 ? ? （） （a）(2,??)（b）(1,2)（c）(,1)（d）(0,) 2．下列曲线有渐近线的 是 （a）y?x?sinx（b）y?x2?sinx（c）y?x?sin（d）y?x?1212 1x 2 1 x 【详解】对于y?x?sin，可知x?? 1 xy1 ?1且lim(y?x)?lim?0，所以有斜渐近线y?x x??x??xx 应该选（c） 3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（）（a）当f(x)?0时，f(x)?g(x)（b）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （c）当f??(x)?0时，f(x)?g(x)（d）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) ?x?t2?7, 4．曲线?上对应于t?1的点处的曲率半径是（） 2 ?y?t?4t?1 （Ａ） （Ｂ） (Ｃ）（Ｄ）5 50100 5．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf(?)，则x?0 ?2 x2 ?（） （Ａ）1（Ｂ） 121
（Ｃ）（Ｄ） 332 ?2u 6．设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0及 ?x?y?2u?2u ． ?2?0，则（）2 ?x?y （a）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；（b）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部； （c）u(x,y)的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；（d）u(x,y)的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的 边界上． 7．行列式 0a a0b00b 0cd0c00d 等于 22 （a）(ad?bc)（b）?(ad?bc) （c）a2d2?b2c2（d）?a2d2?b2c2 8．设?1,?2,?3是三维向量，则对任意的常数k,l，向 量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量 ?1,?2,?3线性无关的 （a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条 件（d）非充分非必要条件 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在 题中横线上） 9． ? 1?? 1 dx?． x2?2x?5 10．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f(x)?2(x?1),x?0,2，则 f(7)?． 11．设z?z(x,y)是由方程e 2yz ??