三角函数伸缩变换
7.．函数sin y x =的图像是由函数sin 32y x π?
?=- ??
?)的
图像怎样变化而成（ A ） A ．把图像上所有点向左平行移动
6
π
个单位,再把横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
B ．把图像上所有点向左平行移动2
π
个单位,再把横坐标
伸长到原来的
3
1
倍(纵坐标不变) C ．把图像上所有点向右平行移动
2
π
个单位,再把横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变) D ．把图像上所有点向右平行移动6
π
个单位,再把横坐标缩短到原来的
3
1
倍(纵坐标不变) 15.关于函数f （x ）=4sin （2x ﹣
）（x ∈R ），有下列命题：
（1）y=f （x+）为偶函数；
（2）要得到函数g （x ）=﹣4sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象向右平移
个单位；
（3）y=f （x ）的图象关于直线x=﹣对称． 其中正确命题的序号为： _________ ． 15.
11. 为了得到函数
sin(2)
3y x π
=-的图像，只需把函数sin(2)
6y x π
=+的图像
A ．向左平移4π个长度单位
B ．向右平移4π
个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π
个长度单位
12．已知函数()sin()(0)
6
f x x ωω=+π
＞的最小正周期为4π，则C
（A ）函数()f x 的图象关于点（,03
π
）对称 （B ）函数()f x 的图象关于直线3
x =π
对称 （C ）函数()f x 的图象向右平移3
π
个单位后，图象关于原点对称
（D ）函数()f x 在区间(0,)π内单调递增
3．将函数y=sinx 图象上所有的点向左平移
3
π
个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（ A ）
A ．）（3
2
sin π
+=x y B ．）（6
2
sin π+=x y
C ．）（3
2sin π+=x y D ．）（3
2sin π-=x y
11.有下列四种变换方式: ①向左平移4
π
,再将横坐标变为原来的21（纵坐标不
变）;
②横坐标变为原来的21（纵坐标不变）,再向左平移
8π
;
③横坐标变为原来的21（纵坐标不变）,再向左平移4
π
;
④向左平移8
π
,再将横坐标变为原来的21（纵坐标不变）;
其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为
)4
2sin(π
+
=x y 的图像的是（ ）
A.①和③
B. ①和②
C.②和③
D.②和④ 5．将函数sin 2y x =的图象沿x 轴方向左平移6
π
个单位， 则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π
=+
B ．sin()6
y x π
=- C ．sin(2)3y x π
=+
D ．sin(2)3
y x π
=- 2．把函数)2
5sin(π
-
=x y 的图像向右平移
4
π
个单位，再把所得函数图像上各点的横坐标缩短为原来的2
1，所得函数的解析式为（ ）
A. )2710sin(π-
=x y B.)47
10sin(π-=x y C.)4325sin(π-=x y D.)8
3
25sin(π-=x y
10．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜
）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣
，
0），为了得到g （x ）=cos ωx 的图象，则只要将f （x ）的图象（.D ） A ．向右平移个单位 B ．向右平移
个单位C ．向左
平移
个单位 D ．向左平移
个单位
三角函数的平移、伸缩变换测试题(人教A版)(含答案)
三角函数的平移、伸缩变换（人教A版） 一、单选题(共14道，每道7分) 1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 由题意， 函数经平移，得到， 该函数横坐标再经变换，得到． 故选B 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 2.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( ) A. B. C. D. 答案：D
解题思路： 将变换的过程倒推， 函数横坐标经变换，即横坐标缩短为原来的， 得到； 再将该函数图象向右平移个单位长度，得到 ． 故选D． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 由题意， 函数经平移，得到 ； 再经横坐标变换后，得到， 故选D． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 由题意， 函数横坐标经变换得到， 该函数再经平移，得到， 故选B． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 由题意， 函数横坐标经变换，
函数 图像的平移变换与伸缩变换
函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数 y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。 大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到 10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的 图像向右(左)平移 10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10 y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12 )，可得到1sin 2 y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
三角函数图象的平移和伸缩(后面有高考题练习)
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象()ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >
三角函数的平移与伸缩变换_整理
函数)sin(A ?ω+=x y 的图像 令狐采学 （1）物理意义：sin()y A x ω?=+（A ＞0，ω＞0），x ∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A 称为振幅，T = ω π 2，1 f T = 称为频率，x ω? +称为相位，?称为初相。 （2）函数sin()y A x k ω?=++的图像与sin y x =图像间的关系： ① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图像； ② 函数()sin y x ?=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数()sin y x ω?=+的图像； ③ 函数()sin y x ω?=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图像； ④ 函数sin()y A x ω?=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图像。 要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图像，则向左或向右平移应平移||?ω 个单位。 ?对)sin(?+=x y 图像的影响 一般地，函数)sin(?+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当?>0时)或向______(当?<0时)平移?个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“______________” ω对x y ωsin =图像的影响
函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω 1 倍（纵坐标不变）。 A 对x y sin A =的影响 函数x y sin A =， )1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的 由x y sin =到)sin(A ?ω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩： 先伸缩后平移： 【典型例题】 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ?? =++ ?? ? 的图象． 练习：将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ?? =- ?? ? 的图象． 例2、把)3 42cos(3π + =x y 作如下变换： （1）向右平移2 π 个单位长度； （2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31； （3）横坐标不变，纵坐标变为原来的4 3 ； （4）向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为________. 练习：将2)5 42sin(2++ =π x y 做下列变换： （1）向右平移2 π个单位长度； （2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变； （3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；
三角函数的平移、伸缩变换(一)(人教A版)(含答案)
三角函数的平移、伸缩变换（一）（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有 的点( ) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 2.为了得到函数的图象，只需把的图象上所有 的点( ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 3.把函数图象所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则新的函数为( )
A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 4.把函数图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则新的函数为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 5.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )
A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 6.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 7.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 8.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )
2018年必修一-函数图象地平移和翻折
2018年必修一-函数图象的平移和翻折 一、图象的平移变换 ①)(a x f y -=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到；)(a x f y +=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到 ②h x f y ±=)()0(>h 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到 注意： （1）可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减 （2）谁向谁变换是)()(a x f y x f y -=→=还是)()(x f y a x f y =→-= 二、图象的对称变换 ①)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称 ②)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称 ③)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面的部分，及与x 轴的交点，将的)(x f y =图象中位于下半平面的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。 ⑤)(x f y =图象是保留中位于右半面的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。 ⑥奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形 课堂练习
1、把函数y ＝ 1 1 +x 的图像沿x 轴向右移动1个单位后所得图像记为C ，则图像C 的表 达式为( ) A. y= x -21 B. y=-x 1 C. y=x 1 D. y=2 1 -x 2、函数y=|x|-1的图像是( ) A. B. C. D. 3、函数y=| 2 1(x-1)2 -3|的单调递增区间是 4、某人骑自行车沿直线旅行,先前进了a km,休息了一阵,又沿原路返 回b km(b 三角函数的平移与伸缩变换 1、为了得到函数)3 2sin(π-=x y 的图象，只需把函数)6 2sin(π +=x y 的图 象向____平移_____个单位长度. 2、设,0>ω函数2)3 sin(++=π ωx y 的图象向右平移 3 4π 个单位后与原图象重合则ω的最小值是__________. 3、将函数x y sin =的图象上所有的点向右平行移动 10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式是_____________. 4、将函数x x x f cos sin 3)(-=的图象向左平移m 个单位（m>0），若得到图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是_____________. 5、把函数)2 ||,0)(sin(π ?ω?ω<>+=x y 的图象向左平移3 π 个单位长度， 所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ） A. 6 ,1π?ω== B. 6 ,1π ?ω-== C. 6 ,2π?ω== D. 6 ,2π ?ω-== 6、已知函数)0,0(2cos )(2>>+=?ωA x A x f 的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，求.________)20()6()4()2(=+???+++f f f f 7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=?ω在区间 )6 5,6(ππ- 上的图象，只要将 （1）x y sin =的图象经过怎样的变换？ （2）x y 2cos =的图象经过怎样的变换？ 8、把x y sin =作何变换可得.1)6 3sin(8-+=π x y 17π12 π3 x y o 1-1 5π6 -π6y x o 7.．函数sin y x =的图像是由函数sin 32y x π? ?=- ?? ?)的 图像怎样变化而成（ A ） A ．把图像上所有点向左平行移动 6 π 个单位,再把横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) B ．把图像上所有点向左平行移动2 π 个单位,再把横坐标 伸长到原来的 3 1 倍(纵坐标不变) C ．把图像上所有点向右平行移动 2 π 个单位,再把横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变) D ．把图像上所有点向右平行移动6 π 个单位,再把横坐标缩短到原来的 3 1 倍(纵坐标不变) 15.关于函数f （x ）=4sin （2x ﹣ ）（x ∈R ），有下列命题： （1）y=f （x+）为偶函数； （2）要得到函数g （x ）=﹣4sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象向右平移 个单位； （3）y=f （x ）的图象关于直线x=﹣对称． 其中正确命题的序号为： _________ ． 15. 11. 为了得到函数 sin(2) 3y x π =-的图像，只需把函数sin(2) 6y x π =+的图像 A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π 个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π 个长度单位 12．已知函数()sin()(0) 6 f x x ωω=+π ＞的最小正周期为4π，则C （A ）函数()f x 的图象关于点（,03 π ）对称 （B ）函数()f x 的图象关于直线3 x =π 对称 （C ）函数()f x 的图象向右平移3 π 个单位后，图象关于原点对称 （D ）函数()f x 在区间(0,)π内单调递增 3．将函数y=sinx 图象上所有的点向左平移 3 π 个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（ A ） A ．）（3 2 sin π +=x y B ．）（6 2 sin π+=x y C ．）（3 2sin π+=x y D ．）（3 2sin π-=x y 11.有下列四种变换方式: ①向左平移4 π ,再将横坐标变为原来的21（纵坐标不 变）; ②横坐标变为原来的21（纵坐标不变）,再向左平移 8π ; ③横坐标变为原来的21（纵坐标不变）,再向左平移4 π ; ④向左平移8 π ,再将横坐标变为原来的21（纵坐标不变）; 其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为 )4 2sin(π + =x y 的图像的是（ ） A.①和③ B. ①和② C.②和③ D.②和④ 5．将函数sin 2y x =的图象沿x 轴方向左平移6 π 个单位， 则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π =+ B ．sin()6 y x π =- C ．sin(2)3y x π =+ D ．sin(2)3 y x π =- 2．把函数)2 5sin(π - =x y 的图像向右平移 4 π 个单位，再把所得函数图像上各点的横坐标缩短为原来的2 1，所得函数的解析式为（ ） A. )2710sin(π- =x y B.)47 10sin(π-=x y C.)4325sin(π-=x y D.)8 3 25sin(π-=x y 10．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜ ）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣ ， 0），为了得到g （x ）=cos ωx 的图象，则只要将f （x ）的图象（.D ） A ．向右平移个单位 B ．向右平移 个单位C ．向左 平移 个单位 D ．向左平移 个单位 三角函数图像题 异名三角函数平移变换 1．要得到函数x y cos 2= 的图象，只需将函数)4 2sin(2π + =x y 的图象上所有的点的 （ ）(A)横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8 π 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4 π个单位长度 (C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 4 π 个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动 8 π 个单位长度 2. 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图 形沿x 轴正向平移3π ，得到的新曲线与函数3sin y x =的图象重合，则()f x =（ ） A. 3sin(2)3x π+ B. 3sin()23x π+ C. 23sin(2)3x π- D. 23sin()23 x π + 3.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移 5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3?? 的图象（ ） A ．向右平移π 6个单位 B ．向右平移 π 3个单位 C ．向左平移π 3 个单位 D ．向左平移π 6 个单位 5.为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） (A)向右平移 6π个单位长度 (B)向右平移3π 个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3 π 个单位长度 三角函数的平移与伸缩变换-整理 练习：将2)5 42sin(2++=π x y 做下列变换： （1）向右平移 2 π 个单位长度； （2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变； （3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变； （4）沿y 轴正方向平移1个单位，最后得到的函数._________)(==x f y 例3、把)(x f y =作如下变换： （1）横坐标伸长为原来的1.5倍，纵坐标不变； （2）向左平移3 π个单位长度； （3）纵坐标变为原来的5 3 ，横坐标不变； （4）沿y 轴负方向平移2个单位，最后得到函数),4 23sin(43π +=x y 求).(x f y = 练习1：将)4 8sin(4π π+=x y 作何变换可以得到.sin x y = 练习2：对于)53 6sin(3x y +=π作何变换可以得到.sin x y = 例4、把函数)2 ||,0)(sin(π ?ω?ω<>+=x y 的图象向左平移 3 π 个单位长度，所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ） A. 6 ,1π ?ω== B. 6 ,1π ?ω- == C. 3 ,2π ?ω= = D. 3 ,2π ?ω- == 练习：7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=?ω在区间 )6 5,6(π π- 上的图象，只要将 （1）x y sin =的图象经过怎样的变换？ （2）x y 2cos =的图象经过怎样的变换？ 【课堂练习】 1、为了得到函数)6 3sin(π +=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象 1-1 5π6 -π6y x o （ ） A 、向左平移 6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18 π 2、为得到函数πcos 23y x ? ?=+ ?? ?的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A 、向左平移5π 12个长度单位 B 、向右平移 5π 12个长度单位 C 、向左平移5π 6 个长度单位 D 、向右平移5π 6 个长度单位 3、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π? ?=- ?3? ?的图象（ ） A 、向右平移π6个单位 B 、向右平移π3个单位 C 、向左平移π 3 个单位 D 、向 左平移 π 6 个单位 4、为了得到函数)6 2sin(π -=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 、向右平移6π个单位长度 B 、向右平移3π 个单位长度 C 、向左平移6π个单位长度 D 、向左平移3 π 个单位长度 5、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把 所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表 示的函数是（ ） A 、sin(2)3y x π=-，x R ∈ B 、sin()26x y π =+，x R ∈ C 、sin(2)3y x π=+，x R ∈ D 、sin(2)3 2y x π =+，x R ∈ 6、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像（ ） A 、向左平移4π个长度单位 B 、向右平移4π 个长度单位 C 、向左平移2π个长度单位 D 、向右平移2π 个长度单位 7、已知函数()sin()(,0)4 f x x x R π ??=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数 ()c o s g x x ?=的图象，只要将()y f x =的图象 （ ） 三角函数的平移伸缩变换 题型一：已知开始和结果，求平移量 ?ω 【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3 y x π =+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上 所有的点( ) （A ）向左平行移动 3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π 个单位长度 （C ） 向上平行移动3π个单位长度 （D ） 向下平行移动3 π 个单位长度 【】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 【】要得到函数cos y x =的图象，只需将函数cos y x π? ?=- ?3? ?的图象（ ） （A ）．向右平移 π6个单位 （B ）．向右平移π 3个单位 （C ）．向左平移π3个单位 （D ）．向左平移π 6 个单位 【】要得到函数(21)y cos x ＝＋的图象，只要将函数2y cos x ＝的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移1 2个单位 【】要得到sin(2)3 y x π =-的图象，只需将sin 2y x =的图象 （ ） （A ）向左平移 3π个单位 （B ）向右平移3π 个单位 （C ）向左平移6π个单位 （D ）向右平移6 π 个单位 【】.将函数sin 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6 y x π =-的图象，则这个平移 变换可以是 （ ） A. 向左平移 6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12 π 个单位长度 【】为了得到函数4sin(3)()4y x x R π=+∈的图象，只需把函数4sin()()4 y x x R π =+∈的 图象上所有点（ ） 2018年必修一-函数图象的平移和翻折 一、图象的平移变换 ①)(a x f y -=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到；)(a x f y +=( 0>a )的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到 ②h x f y ±=)()0(>h 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到 注意： （1）可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减 （2）谁向谁变换是)()(a x f y x f y -=→=还是)()(x f y a x f y =→-= 二、图象的对称变换 ①)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称 ②)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称 ③)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将的)(x f y =图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。 ⑤)(x f y =图象是保留中位于右半面内的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面内的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。 ⑥奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形 课堂练习 1、把函数y ＝ 1 1 +x 的图像沿x 轴向右移动1个单位后所得图像记为C ，则图像C 的表 达式为( ) A. y= x -21 B. y=-x 1 C. y=x 1 D. y=21-x 2、函数y=|x|-1的图像是( ) A. B. C. D. 3、函数y=| 2 1(x-1)2 -3|的单调递增区间是 4、某人骑自行车沿直线旅行,先前进了a km,休息了一阵,又沿原路返 回b km(b 三角函数的伸缩变换 三角函数图象的作法： 1．y=Asin(ωx+φ)的图象： ①用五点法作图:五点取法由ωx +?=0、2π、π、2 π 3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图. ②图象变换：先平移、再伸缩两个程序 ③A---振幅 ? π2=T ----周期 πω21==T f ----频率 相位--+?ωx 初相--? 2、函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由 k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象()ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω > 平面内曲线平移伸缩变换的技巧 江苏省靖江高级中学 蔡正伟 在高中教材中，平移变换是在向量中提出来的，而伸缩变化是在三角函数介绍的，因为有了初中的“左加右减，上加下减”的结论，在教学过程中，很多同学往往会简单的套用这个结论，导致得到和正确答案完全相反的结论，笔者在近几年教学中，总结了一套简单且容易操作的处理方法，供同学们学习时参考。 曲线平移和放缩都可以依据以下结论处理：所有的平移和放缩都是x ，y 在变，且变化的规律与习惯相反。 一、平移 规律中的“习惯”就是在坐标平面内特征，即左右平移是x 在变化，且向左变小，向右变大；上下平移是y 在变，且向下变小，向上变大。下面举例说明。 例1 将函数)(x f y =的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位。求平移后的函数解析式。 解：向左平移2个单位，“习惯”是越左越小，而变化的结果将原来解析式中的x 变成2+x ；向上平移1个单位，“习惯”是越上越大，而变化的结果是将原来解析式中的y 变成1-y 。 所以平移后的函数解析式是)2(1+=-x f y 。 例2 求)43sin(21π+= x y 向右平移3π个单位，向下平移2个单位后的得到的函数解析式。 解：依据以上规律，就是将原来的解析式中的x 变成3π- x ，y 变成1+y ， 所以平移后的函数解析式是?? ????+-=+4)3(3sin 211ππx y ， 化简后得1)4 33sin(21--=πx y 。 例1也可以用“左加右减，上加下减”来处理，但如果不能从本质上弄清问题，就会出现错误，如例2还是套用“左加右减，上加下减”来处理，得到的结论就可能是14)3(3sin 211-?? ????+-=+ππx y 。 二、放缩 课本在三角函数这一章中给出了放缩的规律，笔者发现这个规律可以和平移规律整合在一起。 函数图象的平移、伸缩变换（人教A版） 一、单选题(共11道，每道9分) 1.已知，且对于不同的值，函数的图象恒过定点M，则定点M 的坐标是( ) A. B. C. D. 2.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点( ) A.先向左平移1个单位长度，再把横坐标伸长为原来的5倍 B.先把横坐标伸长为原来的5倍，再向左平移1个单位长度 C.先向右左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的 D.先把横坐标伸长为原来的5倍，再向左平移个单位长度 3.为了得到函数的图象，只需将函数图象上的所有的点 ( ) A.先向左平移1个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍 B.先把纵坐标伸长到原来的2倍，再向左平移1个单位长度 C.先向右平移1个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍 D.先把纵坐标缩短为原来的，再向右平移1个单位长度 4.为了将函数的图象变换成函数的图象，下列说法错误的是( ) A.先向右平移1个单位长度，再把横坐标伸长到原来的4倍 B.先把横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移1个单位长度 C.先向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的4倍 D.先把横坐标伸长到原来的4倍，再向下平移个单位长度 5.为了得到函数的图象，只需将函数的图象( ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 6.将函数的图象向左平移（）个单位长度后，得到函数 的图象，则等于( ) A. B. C. D. 7.若要将函数的图象变换成的图象，下列说法错误的 是( ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 8.若要将函数的图象变换成的图象，下列说法正确的是( ) 函数图像中的平移变换与伸缩变换 一、 函数图像的变换是高考中的热点，掌握变换规律的技巧能帮助我们准确、快速的解题。本节课我们学习变换中的平移变换与伸缩变换。 ?? ? ? ? +=??→?=6sin sin πx y x y x y x y 2sin sin =??→?= 现象：?? ? ? ? + =??→?=32sin 2sin πx y x y ()?? ? ? ? + =??→?=6-sin -sin πx y x y 规律： 考查实质： 平移与伸缩变换的总结：（1）每一次变换仅对字母x 、y 而言。 （2）变换具有“逆反性”（正向移则减，负向移则加） 注意：x y x y sin 2sin =→=实质上可看作为_________________ 二、例：将x y 2cos =向左平移 3 π 个单位得到 _________________,再将它的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，得到的解析式为___________________，再将它的横坐标不变，纵坐标缩为原来的1/2,得到的解析式为________________。 练习：1、将y=sinx 的图像纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，然后再向左平移 6 π 个单位得到的解析式为：_______________ 2、为得到函数y=sinx-cosx 的图像，只要将y=sinx+cosx 的图像按向量a 平移,则a 等 于__________ 注：右移2个单位→2),0,2(-→=x x a 下移3个单位→3),3,0(+→-=y y b ()()23-=+→=x f y x f y ，此时()3,2-=+=b a m ()x f y =的图像按向量()k h a ,= 平移后的解析式为()h x f k y -=- 3、如何由x y cos =的图像得到262cos 2+?? ? ? ?+ =πx y 的图像。 三角函数图像平移变换 由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种 变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0) 或向右(?＜0＝平移 ω ?| |个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移 5π12个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3? ? 的图象（ D ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移 π3 个单位 D ．向左平移 π6 个单位 3.为了得到函数)6 2sin(π -=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ） (A)向右平移6 π 个单位长度 (B)向右平移3 π 个单位长度 (C)向左平移 6 π 个单位长度 (D)向左平移 3 π 个单位长度 4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象 上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C A sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B sin( )26 x y π =+ ，x R ∈ C sin(2)3 y x π =+ ，x R ∈ D sin(2)3 2y x π=+ ，x R ∈ 高中数学常见三角函数题型及解法 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光. 三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. 例1（10全I 卷理2）记cos(80)k -?=,那么tan100?= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k - 解：Θ222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-o o o , ∴tan100tan80?=-o 2sin 801.cos80k k -=-=-o o 。故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2（10全1卷文1）cos300?=(A)32-(B)-12(C)12 (D)32 解：()1cos300cos 36060cos602 ?=?-?=?= 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值 这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值. 例3（10重文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则 23 23 1 1 cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________ 解： 又Θ1232αααπ++=，∴123 1cos 32 ααα++=- 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技 巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的. 例4（10全1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α =-,则tan(2)4πα+=. 解：Θα为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ2 32+k三角函数的平移与伸缩变换
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