(完整版)考研三角函数公式
三角公式表
倒数关系:
商的关系：
平方关系：tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
sin2α＋cos2α＝1
1＋tan2α＝sec2α
1＋cot2α＝csc2α
诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）
sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
(其中k∈Z)
两角和与差的三角函数公式万能公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
2tan(α/2)
s inα＝——————
1＋tan2(α/2)
1－tan2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan2(α/2)
半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosαsin3α＝3sinα－4sin3α
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
2tanα
tan2α＝—————
1－tan2α
cos3α＝4cos3α－3cosα
3tanα－tan3α
tan3α＝——————
1－3tan2α
三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式
α＋βα－β
sinα＋sinβ＝2sin———·cos———
2 2
α＋βα－β
sinα－sinβ＝2cos———·sin———
2 2
α＋βα－β
cosα＋cosβ＝2cos———·cos———
2 2
α＋βα－β
cosα－c osβ＝－2sin———·sin———
2 2
1
sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
2
1
cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]
2
1
cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
2
1
sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]
2
反三角函数
一、正切函数与余切函数图象
二、正、余切函数的性质
y=tanx y=cotx
定义域
值域R R
单调性在)
2
,
2
(
π
π
π
π+
-k
k上单增(k∈Z)在)
,
(π
π
π+
k
k上单减(k∈Z)
周期性T=πT=π
对称性
10
对称中心
)0,
(πk，奇函数(k∈Z)
20对称轴；无
10对称中心)0,
2
(
π
，奇函数(k∈Z)
20对称轴；无
注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）.
2、每个单元区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.
三、反三角函数的概念和图象
四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:
1．y=sinx, x∈]
2
,
2
[
π
π
-的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数.
y=cosx, x∈]
,0[π的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.
y=tanx，x∈]
2
,
2
[
π
π
-的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数.
y=cotx，x∈]
,0[π的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数.
2．反三角函数的图象
由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.
注:（1）y=arcsinx, x ∈[-1,1]图象的两个端点是)1,2
()2
,
1(--
π
π
和
（2）y=arccosx, x ∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）.
（3）y=arctanx, x ∈R 图象的两条渐近线是2
π
=
y 和2
π
-
=y .
（4）y=arccotx, x ∈R 图象的两条渐近线是y=0和y=π.
四、反三角函数的性质由图象
y=arcsinx y=arccosx y=arctanx
y=arccotx
定义域 [-1,1]
[-1,1] R
R 值域 ]2
,2[π
π-
[0, π]
]2
,2[π
π-
(0, π) 单调性
在[-1，1]上单增 在[-1，1]上单减
在R 上单增
在R 上单减
对称性
10
对称中心 （0，0）奇函数 20
对称轴；无
10
对称中心 )
2
,
0(π
非奇非偶 20
对称轴；无
10
对称中心
（0，0）奇函数
20
对称轴；无 10
对称中心 )2
,0(π
非奇非偶 20
对称轴；无
周期性 无 无 无 无
另外:
1．三角的反三角运算
arcsin(sinx)=x(x ∈ ]2
,2[ππ-) arccos(cosx)=x (x ∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x ∈ ]2
,2[π
π-
) arccot(cotx)=x(x ∈(0, π)) 2．反三角的三角运算
sin(arcsinx)=x (x ∈[-1,1]) cos(arccosx)=x (x ∈[-1,1]) tan(arctanx)=x (x ∈R) cot(arccotx)=x (x ∈R)
3．x 与-x 的反三角函数值关系 arcsin(-x)=-arcsinx(x ∈[-1,1]) arccos(-x)=π-arccosx (x ∈[-1,1]) arctan(-x)=-arctanx (x ∈R)
arccot(-x)=π-arccotx(x ∈R) 4.])1,1[(2
arccos arcsin -∈=+x x x π
，)(2
cot arctan R x x arc x ∈=
+π
五、已知三角函数值求角
1. 若sinx=a (|a|≤1)，则x=k π+(-1)k
arcsina(k ∈Z) 2. 若cosx=a (|a|≤1)，则x=2k π+arccosa(k ∈Z) 3. 若tanx=a (a ∈R), 则x=k π+arctana (k ∈Z)
4. 若cotx=a (a ∈R), 则x=k π+arccota(k ∈Z)