多面体与正多面体

高三第一轮复习数学---多面体

一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有

关问题；

二、教学重点：１、欧拉公式（如何运用） 2、割补法求体积

三、教学过程：

（一）主要知识：

1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．

２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。一切凸多面体都是简单多面体。 4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．

5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式．

思维方式: 空间想象及转化思想

特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体．（二）例题分析：例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（）个

Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４

(2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿解：(1) B

（２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30）

思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２

例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．

解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=

1(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．

说明：2

kV E k nF E n =

条棱则过一个顶点有边形则每个面为

例3：连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿

解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为

2，体积为6

1)2

122

．所

以体积之比为１:６．

思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时．

挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（3

1arccos -π）

（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（2）

例４：三个12×12的正方形，如图，都被连接相邻两边中点的直线分成Ａ、Ｂ两片（如图），把６片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体（如图），求此多面体的体积．

解：（一）补成一个正方体，如图，V=

21?=864

（二）补成一个直三棱锥，如图，V=V 大三棱锥-3V 小三棱锥=864．

思维点拨：割补法是求多面体体积的常用方法．

思考题：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 2

3=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面

体的体积为（）（A ）

9 （B ）5 （C ）6 （D ）

解：D

（三）巩固练习： 1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（）个

Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４

(２)每个顶点处棱都是3条的正多面体共有________种

(３)一个凸多面体的棱数为３０，面数为１２，则它的各面多边形的内角总和为＿＿解：(1) B （２）3

（３）由欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝２０，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．

2、已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．

1(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．

3、一个简单多面体，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．解：设每个面的边数为x ，每个点出发的棱数为y 。则，

20)2(180

)2(3600

=-??-=x F x F …………..① 2

102

x x x F E ……..②

代入欧拉公式得

102

20=---+

x x x V 又y

x x y

E V y V E ?-=

=??=

)2(2022

代入上式5

3102-+=y x

有x 3,3≥≥y 得 V=12, F=20, E=30

思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２

4：连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿

解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为

2，体积为6

1)2

122

．所

以体积之比为１:６．

思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时．

挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（3

1arccos -π）

（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（2）

5：如图在棱长为a 的正四面体ABCD 内, 作一个正三棱柱A 1B 1C 1-A 2B 2C 2, 当A 1取在什么位置时,三棱柱的体积最大?

解:设A A 1=x (0

a 3

6和x 3

6则棱柱的高等于)(3

6x a -

∴V 三棱锥=

2)](2

2)(3

3a x a x x x a x

≤

-???=

(当a x 3

取等号)

∴当点A 1为棱AB 上的

2分点时,体积最大为

2a .

A B C

A 1

B 1

C 1

A 2

B 2

C 2

思维点拨：解有关组合体问题，主要考虑内外线段之间的关系式，有时需作一截面．

四、小结：

１、正多面体必备两个条件各面都是有相同边数的正多边形在各顶点都有相同数目的棱２、欧拉公式描述了简单多面体的顶点数，面数，棱数之间的规律．

３、有关多面体的计算问题与棱柱，棱锥的联系

五、作业：

一种球形多面体拼接结构(定稿)z

说明书摘要本实用新型涉及拼接结构，具体地说是一种球形多面体拼接结构。包括大小和结构均相同的十至三十片圆形插片，各圆形插片上由边缘处沿四个围绕圆心的弦向依次开设第一插槽、第二插槽、第三插槽及第四插槽，各插槽的开槽方向沿同一周向布设、并与圆心的圆心距相等，其中第一插槽和第三插槽相互平行、并分别位于与第一插槽垂直的第一直径的两侧，所述第二插槽和第四插槽相互平行、并分别位于与第二插槽垂直的第二直径的两侧；每片圆形插片通过其上四个插槽分别与另外四片圆形插片插接，与第一插槽和第四插槽插接的两个圆形插片相互插接，与第二插槽和第三插槽插接的两个圆形插片相互插接，依次类推，各圆形插片俩俩依次插接，形成半个或完整的球形多面体拼接结构。本实用新型拼接方便，强度高，不松散。

摘要附图

权利要求书 1. 一种球形多面体拼接结构，其特征在于：包括大小和结构均相同的十至三十片圆形插片（1），各圆形插片（1）上由边缘处沿四个围绕圆心的弦向依次开设第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24），所述第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24）的开槽方向沿同一周向布设、并各插槽与圆心的圆心距（s）相等，其中第一插槽（21）和第三插槽（23）相互平行、并分别位于与第一插槽（21）和第三插槽（23）垂直的第一直径（3）的两侧，所述第二插槽（22）和第四插槽（24）相互平行、并分别位于与第二插槽（22）和第四插槽（24）垂直的第二直径（4）的两侧；每片圆形插片（1）通过其上四个插槽分别与另外四片圆形插片（1）插接，与第一插槽（21）和第四插槽（24）插接的相邻两个圆形插片（1）相互插接，与第二插槽（22）和第三插槽（23）插接的相邻两个圆形插片（1）相互插接，依次类推，各圆形插片（1）均与其相邻的圆形插片（1）依次插接，形成半个或完整的球形多面体拼接结构。 2.按权利要求1所述的球形多面体拼接结构，其特征在于：所述第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24）均为条形豁口。 3.按权利要求2所述的球形多面体拼接结构，其特征在于：所述第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24）等长，所述第一插槽（21）和第三插槽（23）的盲端超过第一直径（3）、并超过的长度为0～s/10mm，所述第二插槽（22）和第四插槽（24）的盲端超过第二直径（4）、并超过的长度为0～s/10mm。 4.按权利要求2所述的球形多面体拼接结构，其特征在于：所述第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24）的槽宽均为w,所述圆形插片（1）的厚度为d，则3d＞w＞d。 5.按权利要求2所述的球形多面体拼接结构，其特征在于：所述第一插槽（21）、第二插槽（22）、第三插槽（23）及第四插槽（24）与圆心的圆心距（s）大于三分之一半径（r）。 6.按权利要求1所述的球形多面体拼接结构，其特征在于：所述第一直径

正多面体与平面展开图

正多面体与平面展开图 By Laurinda..201604开始总结，网络搜集正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体

正方体展开图相对的两个面涂上相同颜色，正方体平面展开图共有以下11种。

邻校比我们学校早了几天举行段考，拿他们的数学卷子提供给学生充做模拟考，其中有一题作图题，不好做，它要求将右图，一个由正方形和等腰直角三角形组成的五边形，以两条线切割，重组成一个等面积的等腰直角三角形。这题让学生和我「奋战」了几节课，却总是画不成。理论上它是可以成立的，因为等腰直角三角形可以和一个正方形等面积，而且由商高定理可以知道，存在一个正方形A，它的面积等于任意两个正方形B、C的面积和。只要A的边长是这两个正方形B、C的边长平方和的正平方根即可。而正方形当然可以等积于一个等腰直角三角形。但是如何以两条直线完成这道题呢? 今天(5/19)，我利用周休继续思考这道题，终于完成了，做法如左。

多面体之Euler's 公式(V - E + F = 2) V =顶点数( number of vertices) ; E = 边数(number of edges) ; F = 面数(number of faces) 正四面体(Tetrahedron) V=4,E=6,F=4, 4 - 6 + 4 = 2 正六面体(Cube) V=8,E=12,F=6, 8 - 12 + 6 = 2 正八面体(Octahedron) V=6,E=12,F=8, 6 - 12 + 8 = 2 正十二面体(Dodecahedron) V=20,E=30,F=12, 20 - 30 + 12 = 2 正二十面体(Icosahedron) V=12,E=30,F=20,12 - 30 + 20 = 2

正多面体及足球的转动群

正多面体及足球的转动群一、正四面体（顶点数：4 棱数：6）转动群：12 1、以顶点为目标的转动群： 1）以顶点—面心为轴（1）1（3）1 8个 2）以棱中—棱中为轴（2）2： 3个 3）不动（1）4： 1个 2、以棱为目标的转动群： 1）以顶点—面心为轴（3）2： 8个 2）以棱中—棱中为轴（1）2（2）2：3个 3）不动（1）6： 1个 3、以面为目标的转动群： 1）以顶点—面心为轴（1）1（3）1： 8个 2）以棱中—棱中为轴（2）2： 3个 3）不动（1）4： 1个二、正六面体正方体（顶点数：8棱数：12）转动群：24 1、以顶点为目标的转动群： 1）以顶点—顶点为轴（1）2（3）2：8个 2）以棱中—棱中为轴（2）4： 6个 3）以面心—面心为轴（4）2： 6个 90 （2）4： 3个 180 4）不动（1）8： 1个 2、以棱为目标的转动群： 1）以顶点—顶点为轴（3）4： 8个 2）以棱中—棱中为轴（1）2（2）5：6个 3）以面心—面心为轴（4）3： 6个（2）6： 3个 4）不动（1）12： 1个 3、以面为目标的转动群： 1）以顶点—顶点为轴（3）2： 8个 2）以棱中—棱中为轴（2）3： 6个 3）以面心—面心为轴（1）2（4）1：6个 90度（1）2（2）2：3个 180度4）不动（1）6： 1个三、正八面体（顶点数：6 棱数：12）转动群：24 1、以顶点为目标的转动群： 1）以顶点—顶点为轴（1）2（4）1：6个（1）2（2）2：3个 2）以棱中—棱中为轴（2）3： 6个 3）以面心—面心为轴（3）2： 8个 4）不动（1）6： 1个

三维化学-空间正多面体

高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学第八节空间正多面体前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？【例题1】利用欧拉定理（顶点数－棱边数＋面数＝2），确定三维空间里的正多面体。【分析】从两个角度考虑：先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于60°，不存在这样的正多边形）。因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的）；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的），当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。 ①正三角形，三棱共顶点：设面数为x，则棱边数为3x/2（一面三棱，二面共棱），顶点数为x（一面三顶点，三顶点共面），由欧拉定理得x－3x/2＋x＝2，解得x＝4，即正四面体； ②正三角形，四棱共顶点：同理，3x/4－2x＋x＝2，解得x＝8，即正八面体； ③正三角形，五棱共顶点：同理，3x/5－3x/2＋x＝2，解得x＝20，即正二十面体； ④正方形，三棱共顶点：同理，4x/3－2x＋x＝2，解得x＝6，即正方体； ⑤正五边形，三棱共顶点：同理，5x/3－5x/2＋x＝2，解得x＝12，即正十二面体。【解答】共存在五种正多面体，分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。【例题2】确定各正多面体的对称轴类型Cn和数目（Cn表示某一图形绕轴旋转360°/n后能与原图形完全重合）【分析】①正四面体：过一顶点和对面的面心为轴，这是C3轴，显然共有四条；有C2轴吗？过相对棱的中点就是C2轴，共三条。将正四面体放入

使用GeoGebra软件构造多面体立体图形

使用GeoGebra软件构造多面体立体图形摘要：本文主要介绍使用软件GeoGebra绘制多面体的方法。首先简单介绍GeoGebra软件的窗口功能，简单绘图方法；之后对几种常见的多面体进行简单介绍；然后，结合具体实例介绍在GeoGebr中实现三维空间中动态旋转的正八面体和截角正四面体、截半正方体的构造，进而展现多面体构造过程和使用GeoGebra 软件给数学学习带来的便利。最后，介绍足球、菱形六十面体等复杂多面体的构造方法。关键词：GeoGebra 多面体 1. GeoGebra软件简介 GeoGebra是一款动态数学画图软件，绘图内容包含几何、代数、图形、表格等。GeoGebra的优越性体现在：一方面，GeoGebra是一个几何软件，可以在上面画点、线段、向量、多边形、直线、圆锥曲线和函数，也可以根据需要设计图形的颜色、显示方式等；另一方面，也可以通过直接输入曲线方程或点坐标或图形名称的方式，直接画出所需要的图形。因此，GeoGebra既可以处理变化的量（例如数据、向量、角度等），也可以对数值进行计算（例如函数的微分和积分，求解方程等）。由此可见，GeoGebra是一款可以处理代数问题也可以处理几何图形问题的软件。下面首先介绍一下GeoGebra软件的操作界面及基本使用规则。图1.1 如图1.1所示，用户操作界面是标准的窗口操作界面，有代数区、绘图区、菜单栏和工具栏。其中代数区显示图形中的点、线、面、变量等基本要素信息；绘图区显示所画出的图形，可以隐藏、设置颜色等；菜单栏中的“窗口”选项和文件中的“新建”选项都可以创建新的图形。创建时可以建立新的绘图区域，在视图中可以选择该区域的类型（绘图区2、代数运算区、作图过程、概率统计、3D绘图区等）。GeoGebra的重要的窗口有几何窗口、代数窗口和工作表窗口。1 2. 多面体图形简介 2.1多面体图形的基本性质多面体是指由多个平面多边形围成的几何体。常见的多面体有凸多面体、简单多面体、正多面体等，多面体图形有以下简单的性质： i. 一个多面体最少由四个面组成。多面体按面数可以分为四面体、五面体、六面体等。 ii. 欧拉公式：定点数+面数-棱数=2。 2.2多面体图形的类型多面体根据面与棱的分布特点亦可分为棱锥、棱柱、正多面体等。图2.1多面体图形 2.2.1正多面体正多面体又称柏拉图体（Platonic Solids），指多面体的各个面都是全等的正多边形。共有五种：正四面体（Tetrahedron）、正六面体或正方体（Hexahedron或Cube）、正八面体（Octahedron）、正十二面体（Dodecahedron）、正二十面体（Icosahedron）。

高三数学多面体与正多面体

高三数学多面体与正多面体 9.11多面体与正多面体【教学目标】了解多面体、正多面体的概念【知识梳理】 1若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．３每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体． 4.正多面体有且只有5种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体【点击双基】 1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是答案：B 2.正多面体只有_____________种，分别为 ________________. 答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中

点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________. 解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可. 答案：【典例剖析】【例1】已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于 A.－ B. C.－ D. 解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得 cosθ==－（设正方体的棱长为2）. 答案：A 【例2】试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离. 解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n?=x+y=0，n?=y－z=0，解得

多面体与正多面体

高三第一轮复习数学---多面体一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；二、教学重点：１、欧拉公式（如何运用） 2、割补法求体积三、教学过程：（一）主要知识： 1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。一切凸多面体都是简单多面体。 4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体． 5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式． 6 思维方式: 空间想象及转化思想特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体．（二）例题分析：例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（）个Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４ (2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿解：(1) B （２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30）思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E= 2 1(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．

几种正多面体的相互呼应

几种正多面体的相互呼应南师附中江宁分校韦恩培近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。 1、常用的三种正多面体的呼应众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1）在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2）在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3）在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4）在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5）在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。图（1）图（2）图（3）图（4）图（6）相互转化的目的。 2、应用呼应解题

在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（） A ．3π B ．4π C ．3π3 D ．6π 提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为π3，选A 。例2、有一棱长为a 的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为（） A ．2 a π B ． 22 2a π C ．2 2 1a π D ． 24 1a π 提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为 a 2 2 的正方体的内切球，易求得其表面积为221a π，故选C 。例3、如图（6）棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，过11BC A 的平面截去正方体一角（三棱锥111BC A B -），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为。提示：根据图（2）在正方体中可以产生正八面体得，所剩下几何体为正方体的六个面中心作为顶点的正八面体，易求得其体积为 3 6 1a 。例4、在甲烷的分子式4CH 中，四个H 位于一个正四面体的四个顶点上，C 位于该正四面体的中心，现已知H 与H 之间的距离为a ，则C 与H 之间的距离为。提示：由图（1）易知：该问题等价于已知正方体的面对角线长为a ，求正方体对角线长的一半。易求得结果为 a 4 6 。例5、正三棱锥S —ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（） A ． 90 B ． 60 C ． 45 D ． 30 提示：根据图（1）易知答案为C 。

塑料吸管制作的多面体

塑料吸管制作多面体 ——国外青少年DIY科技动手做介绍（二）每年暑假期间（7月底至8月初），日本都举办有“日本全国青少年科学实验节”。近二十年，已成为传统性的活动，很受日本中小学生、家长、教师的欢迎。在活动期间，设在东京的主会场每天都有一万多人来活动。开展的活动项目全部都是由青少年亲自动手实验、亲自动手制作。每天有七、八十个项目，每个项目所需要的器材、材料由大会组织者和项目组织者提供给中小学生，且可以把实验、制作的作品免费带走。本栏目将向大家介绍一些日本青少年科技节中有趣的、取材方便、制作简单的项目。本文介绍的是一个数学DIY的项目，非常有趣味，且取材于日常、身边常见的塑料吸管、橡皮筋，用它们来设计、搭建一些立体几何体，以帮助人们建立立体几何的空间感，以利于数学的学习和空间想象力。图一2009年日本“全国青少年科学实验节”上，“塑料吸管制作多面体”的展台丁云涛摄利用塑料吸管、橡皮筋可以搭建正多面体（正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体）以及其它多面体、C60（即碳60）的化学结构（足球形）等。下面我们介绍正四面体和正十二面体的制作方法。

正四面体的制作正四面体是由四个等边三角形构成的立体几何体。材料：塑料吸管、橡皮筋（下面以120mm长为例）四根、透明胶条工具：刻度尺、剪刀、制作过程： 1、将塑料吸管剪裁成38mm长的小段，共需6段； 2、顺着吸管长度用剪子剪开一条口子； 3、用橡皮筋将塑料吸管段穿成串 ○1一根橡皮筋穿有三个塑料吸管段（此时构成一个等边三角形）一个 ○2一根橡皮筋穿有两个塑料吸管段一个 ○3一根橡皮筋穿有一个塑料吸管段一个 4、将○2（穿有两个塑料吸管段的橡皮筋）穿过○1（穿有三个塑料吸管段已成三角形的）中的一根吸管段；此时构成两个连接在一起的两个三角形； 5、将○3（穿有一个塑料吸管段的橡皮筋）穿过○1、○2中各一个吸管段，此时已形成一个正四面体； 6、此时的正四面体共有六根吸管段，其中三根吸管段都有两根橡皮筋穿过，另三根吸管段都只有一个橡皮筋穿过，为保证正四面体的牢固、稳定性，我们再用一根橡皮筋分别穿过只有一个橡皮筋的吸管段。必要时，可用透明胶条将开口封上。此时一个漂亮的立体几何形状——正四面体就完成了！

解决几何体的外接球与内切球

解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．（二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

正多面体外接球面上点的性质

正多面体外接球面上点的性质福建福清三中王钦敏本文已发表于《中学数学》文［1］、［2］分别介绍了正四面体和正六面体这两个正多面体外接球面上的点到各顶点距离的平方和成定值的有趣性质．本文就这类问题再行讨论．为引申问题方便起见，我们用如下证法替代文［1］、［2］对下面的性质1、2的证明方法．性质1 正六面体外接球面上任一点到各顶点距离的平方和为定值．证明如图1，设正六面体ABCD －D C B A ''''的棱长为a ，外接球心为O ，P 为外接球面上任意一点．显然，正六面体的对角线D B '通过球心Ｏ，故?='∠90PD B ．因此，在△PD B '中有 22223a D B DP P B ='=+' ① 同理可得 2223a AP P C =+'； ② 2223a BP P D =+'； ③ 2223a CP P A =+'； ④ 将①、②、③、④相加得

22222222212a CP BP AP DP P A P D P C P B =++++'+'+'+' 性质２正四面体外接球面上任一点，到各顶点距离的平方和为定值．证明由于在图１中，三棱锥AC D B '-'与三棱锥D C A B ''-都是正四面体，故欲证性质２，仅须证 222226a CP AP P D P B =++'+' ⑤ 其中a 保持性质１中的原义．连结C B '，设其中点为O ，连结BP 、CP 、P C '、P B '和P O '．在△PC B '中，利用三角形中线长公式得 )(22222C O P O CP P B '+'=+'；同理，在△C BP '中有 )(22222C O P O P C BP ''+'='+．因C O C O ''=', 故2222P C BP CP P B '+=+'；同理可得 2222P A DP AP P D '+=+'. 将上面两式相加，利用性质１的结论可得结论⑤．这里给出的新证法比原证法来得简洁且连贯．其中性质１的证法具有普遍性，由于正八、十二、二十面体的对角线均通过其外接球心，故用与性质１的证法相同的方法可证得

高考第一轮复习数学多面体与正多面体

9.11 多面体与正多面体 ●知识梳理 1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体. 2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. ●点击双基 1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是 A B C D 答案：B 2.正多面体只有_____________种，分别为________________. 答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、BB 1的中点，则直线AM 与CN 所成的角的余弦值是_____________. 解析：过N 作NP ∥AM 交AB 于点P ，连结C 1P ，解三角形即可. 答案： 5 2 ●典例剖析【例1】已知甲烷CH 4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cos θ等于 A.－31 B. 31 C.－ 21 D. 21 解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得 cos θ= 3 32)22()3()3(2 22??-+=－ 3 1 （设正方体的棱长为2）. 答案：A 【例2】试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离. 解：如图，设正八面体的棱长为4a ，以中心O 为原点，对角线DB 、AC 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－22a ，0）、B （22a ，0，0）、C （0，22a ，

正多面体与球

正多面体与球一、正方体与球如图：正方体1111ABCD A B C D -中，设其棱长为a 问题1：正方体1111ABCD A B C D -（如：AC 、BD 、1AB 等）共有_____条，它们的长度均为__________（用正方体的棱长a 表示）；正方体1111ABCD A B C D -（如：1AC 、1BD 等）共有_____条，长度均为__________（用正方体的棱长a 表示）．问题2：过正方体1111ABCD A B C D -的三个顶点A 、1B 、1D 作该正方体的截面 11AB D ，再过顶点1C 、B 、D 也作该正方体的截面1C BD ，你感受到这两个截面有什么位置关系？这两个截面将正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1AC 分成三条线段，你知道这三条线段的长度有什么关系吗？你可以利用等体积法证明你的结论．结论：_______________________________________________________．

问题3：在初中的学习过程中,我们知道内切圆与外接圆．类比正方形的内切圆与外接圆，设想一下正方体有内切球和外接球吗？ ⑴正方形的内切圆与正方形的__________相切；由此可以类比：正方体的内切球的球面与正方体的__________相切． ⑵正方形的__________都在它的外接圆上；由此可以类比：正方体的__________都在它的外接球的球面上． ⑶正方形的边长为a ，则它的内切圆的半径为__________；由此可以类比：正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为_________． ⑷正方形的边长为a ，则它的外接圆的半径为__________；由此可以类比：正方体的棱长为a ，则它的外接球的半径为_________．注意：类比得到的结论不一定正确．这里，你得到的结论是正确的吗？再仔细考虑一下，看看能不能证明你的结论．问题4：在正方体1111ABCD A B C D -中还有一种球，它的球面和正方体的 12条棱都相切，它的半径应该比该正方体的内切球的半径_____，比该正方体的外接球的半径_____（填“大”或“小”）．想正方体的底面平行的平面）有什么关系？利用这一点，你可以求出这个正方体的棱切球的半径为_____（用正方体的棱长a 表示）．二、正四面体与球如图：正四面体ABCD 中,设其棱长为b ．问题5：顶点A 在底面BCD 内的正投影应该为底面BCD ?的_____心．

三年级科技小制作-正多面体

三年级科技小制作-正多面体正多面体这个是三年级科技小制作，所谓正多面体是指多面体的各个面均呈全等正多边形，每个正多面体的各边的长和顶角的交角均相等。常见正多面体有：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。三年级科技小制作所需材料和工具：纸板、白胶、铅笔、直尺、广告色、剪刀、美工刀三年级科技小制作制作过程：三年级科技小制作相关知识●魔方魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的，魔方系由富于弹性的硬塑料制成的六面正方体。魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一起被称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹。当初厄尔诺·鲁比克教授发明魔方，仅仅是作为一种帮助学生增强空间思维能力的教学工具。但要使那些小方块可以随意转动而不散开，不仅是个机械难题，还牵涉到木制的轴心、座和榫头等问题。直到魔方在手时，他将魔方转了几下后，才发现如何把混乱的颜色方块复原竟是个有趣而且困难的问题。厄尔诺·鲁比克决心大量生产这种玩具。魔方发明后不久就风靡世界，人们发现这个小方块组成的玩具实在是奥妙无穷。魔方核心是一个轴，并由二十六个小正方体组成。包括中心方块六个，固定不动，只一面有颜色，边角方块八个(三面有色)(角块)可转动，边缘方块十二个(两面有色)(棱块)亦可转动。玩具在出售时，小立方体的排列使大立方体的每一面都具有相同的颜色。当大立方体的某一面平动旋转时，其相邻的各面单一颜色便被破坏，而组成新图案立方体，再转再变化，形成每一面都由不同颜色的小方块拼成。玩法是将打乱的立方体通过转动尽快恢复成六面呈单一颜色。魔方品种较多，平常说的都是最常见的三阶立方体魔方。其实，也有二阶、四阶、五阶等各种立方体魔方(目前有实物的最高阶为九阶魔方)。还有其他的多面体魔方，魔方的面也可以是其他多边形。如五边形十二面体：五魔方，简称五魔，又称正十二面体魔方。 1

几何体的外接球与内切球

几何体的外接球与内切球 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、体积分割是求内切球半径的通用做法。一、外接球（一）多面体几何性质法 1、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为。（二）补形法 1、，则其外接球的表面积是 . 2、设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 . 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径. 设其外接球的半径为R ，则有2R = 3、三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥 O ABC -外接球的表面积为（） A ．2 6a π B ．2 9a π C ．2 12a π D ．2 24a π 4、三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ?是正三角形 ⊥PA 平面 62,==AB PA ABC 则该球的体积为（） A. π316 B. π332 C. π48 D. π364 答案及解析： 10.B

正多面体制作方法

正三角形的画法第一步：用圆规画一个圆，第二步：半径不变，把圆规的针脚放在圆周上任意一点P画弧与圆交于两点A、B，第三步：半径不变，把圆规的针脚放放在点A处再画画弧与圆交于两点P、Q(P是第二步

中的P)，第四步：以A、B、Q为顶点作△ABQ，则△ABQ即为圆内接等边△。正四边形的画法取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O 于M、N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,是取AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片正五边形的画法 ①以O为圆心，r为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和AP。 ②平分半径ON，得OK=KN。 ③以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H，AH即为正五边形的边长。 ④以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E点，

正七变形的画法 P H ①以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径MN、HP. ②过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT 的平行线，把MN七等分. ③以M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或奇数点（图中是1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、M.再分别以AB、BC、CM为边长，在圆周上从A点（或M点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正七边形. 正八边形的画法

正九边形的画法内接9边形画法：先画一个圆。再画两个相互颠倒的内接等边三角形。再把6角星的对角两两相连。得到6个与两个等边三角形的底边的6个交点。选择每一个交点为圆心，到圆内部正六边形的底边的任意一端点的距离为半径，画圆，与大圆产生2个交点。把所有交点画出来再相连，就得到正九边形。

正多面体的顶点坐标

正多面體的頂點坐標國立台灣師範大數學系陳創義要利用GSP 來作多面體，先要從立體的基本正多面體下手，在正多面體中有許多的對稱，包括旋轉對稱、面對稱、線對稱、點對稱等，因此下列舉出旋轉對稱中的旋轉軸置於z 軸時，某些較簡單形式的頂點坐標標出來，其中旋轉軸在四面體選取的有點到底面中心的連線及兩稜中點連線兩種，另外，正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體選取的有面中心到面中心的連線、稜中點到稜中點的連線、頂點到頂點的連線三種。若一線段長度為a ，正射影到xy 平面的長度為b ，該線段正投影到z 軸的長度為c ，利用畢氏定理知道它們的關係是a 2=b 2+c 2。正四面體頂點坐標令表繞旋轉角度O R O a b a b a b O ==-+(,),(,)(,)(cos s i n ,s i n cos ).00θθθθθθ (一) v v v R O v R O 1001283013312083013424083013 ==-=?-=?-(,,);( ,,);((,)(,),);((,)(,),). (二) v v v v 12301322301330231340231 3 ==-=-=--( ,,);(,,);(,,);(,,). 正六面體頂點坐標

(一 ) 12(3(453;64;71;8 2.v v v v v v v v v v v v =====-=-=-=- (二 ) 12(34(53;64;72;8 1.v v v v v v v v v v v v =====-=-=-=- (三 ) 1111(0,0,1);2( );3(((,120)();4(((,240)();33333354;62;73;8 1.v v v R O v R O v v v v v v v v ===?=?=-=-=-=- 正八面體頂點坐標 (一 ) 12((,1203((,24043;51;6 2.v v R O v R O v v v v v v ==?=?=-=-=- (二 ) 12(3(0,1,0); 43;52;6 1.v v v v v v v v v ====-=-=- (三) 1(1,0,0);2(0,1,0);3(0,0,1);43;52;6 1.v v v v v v v v v ====-=-=-

混凝土科学与工程复习2012.5

复习一、名词解释（每题3分，18分）胶凝材料：凡是在物理、化学作用下，从浆体变成坚固的石状体，并能胶结其他物料，且具有一定机械强度的物质，统称为胶凝材料。水泥：凡是磨细成粉末状，与适量的水混合后，经过一系列物理。化学变化能由可塑浆体变成坚硬的石状体，并能将砂、石等散粒状材料胶结在一起，能保持并发展其强度的水硬性胶凝材料。混凝土：是指由无机的、有机的或无机有机复合的胶凝材料、颗粒状骨料以及必要时加入的化学外加剂和矿物掺合料等组分按一定比例拌合，并在一定条件下经硬化后形成的复合材料。混凝土外加剂：在混凝土拌合前或拌合时加入的，掺量不大于水泥质量的5%，并能按要求改变混凝土性能的材料，称为混凝土外加剂。集料的表观密度：是指包括非贯穿毛细孔在内的单位体积的质量。混凝土混合料的工作性，又称和易性，混凝土混合料在施工过程中，即在搅拌、运输、浇灌等过程中能最大限度地保持均匀密实而不发生分层离析现象的性能。混凝土的收缩：混凝土随失水产生的收缩称为干燥收缩。温度收缩，碳化收缩。混凝土的耐久性：指混凝土材料在设计使用寿命期间，经受各种内在或外来自然因素及有害介质的作用，能够保持其正常共做性能。碱骨料反应：（AAR）当水泥含碱量较高，混凝土恰好使用了某些活性骨料时，水泥中的碱类和骨料的活性物质烦死化学反应，使混凝土发生不均匀膨胀，造成开裂的现象，称为碱骨料反应。高性能混凝土：靠传统的组分和普通的拌合、浇筑、养护方法不可能制备出的具有所要求的各种性质和均质性的混凝土。矿物掺合料：在配置混凝土时加入的能改变新拌混凝土和硬化混凝土性能的无机矿物细粉。混凝土标准抗压强度：用150mm*150mm*150mm的立方体试件昨晚标准试

立体构成教案设计

《立体构成》课程教学大纲一、课程性质《立体构成》在艺术设计专业课程体系中属专业必修课。是艺术领域中研究空间造型的公共必修课程之一，在设计教学中具有举足轻重的作用。教学中利用材料进行模拟构造，创造纯粹的形态造型，从而引导学生从形态要素的立场出发，熟练掌握三维形体的造型规律，为以后的环艺和工业设计奠定基础。本课程的先修课程为《色彩构成》、《平面构成》，后续课为《包装设计》；本课程所属的二级学科是艺术设计学，研究对象为立体元素和空间构成设计，主要方法为熟悉、掌握立体空间的造型规律，以便学生在实践运用中能够独立完成设计工作。二、教学目的通过本课程教学，使学生了解立体构成国内外应用动态、前沿理论，理解三维空间设计元素的组织规律，掌握三维空间中点线面的构成法则,使学生具备空间设计能力以及室内外、景观设计的应用能力。为下一步进行视觉传达、环艺设计、工业设计教学做好前期准备。在此基础上通过系统教学，为以后的设计工作奠定坚实基础，使学生能胜任在设计研究机构、设计公司及高等院校从事设计开发、教学科研等工作。三、教材教参教材：《立体构成教程》，愈爱芳，浙江人民美术出版社，2004。教参：《立体构成》，李刚，辽宁美术出版社，2006；《立体构成》，文增，辽宁美术出版社，2003。四、教学方式课程以课堂讲授为主，课堂示范，自习和讨论为辅的方式组织教学，结合多媒体教学。五、教学内容及时数

根据《山西大同大学本科人才培养方案（2008年修订）》，本课程总教学时数为36学时,其中讲授12学时,实践24学时。具体如下：理论教学：理论12学时，基本内容如下：第一章立体构成概述（2课时）一、立体构成的概念及起源 1、概念：立体构成也称空间构成,立体构成是以一定的材料和视觉为基础,以结构力学为依据,将造型要素按照一定的构成原则\审美,进行组合拼装,构造,从而创造一个符合设计意图的、具有一定美感的、全新的三维形态的过程。 2、起源：“立体构成”这门课程起源于1919年，是德国包浩斯学院在创办后确立的。西方绘画领域：立体主义；俄国构成主义；荷兰风格派；包豪斯：三大构成二、立体构成的基本元素点\线\面\体三、立体构成的形式法则对比与统一、对称与均衡、节奏与韵律、比例与习性、稳定与轻巧四、立体构成的材料表现第二章半立体构成（2课时）一、半立体概念半立体构成是介于平面与立体之间的形态,又称为浮雕,是三维空间的半立体状态。二、半立体构成方法 1、由平面形态转变为有厚度的立体。 2、采用正负形与图底分离后再进行立体化

多面体与正多面体

一种球形多面体拼接结构(定稿)z

正多面体与平面展开图

正多面体及足球的转动群

三维化学-空间正多面体

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