几何图形折叠问题

几何图形折叠问题

【疑难点拨】

1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．

2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．

3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．

4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．

【基础篇】

一、选择题：

1..（2018?四川凉州?3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）

AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=

A．

2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．

A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π

3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）

A． B． C． D．

4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）

A． B．C．3 D．3

5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）

A．1 B． C．2 D．

二、填空题：

6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．

7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．

8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．

三、解答与计算题：

9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△ADE≌△CED；

（2）求证：△DEF是等腰三角形．

10.（2018?山东枣庄?10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．

【能力篇】

一、选择题：

11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．

A．4 B．5 C．6 D．7

12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：

①四边形AECF为平行四边形；

②∠PBA=∠APQ；

③△FPC为等腰三角形；

④△APB≌△EPC．

其中正确结论的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

13.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）

A． B．C． D．

二、填空题：

14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、

且点F在矩形ABCD

15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）

①当E为线段AB中点时，AF∥CE；

②当E为线段AB中点时，AF=9

5

；

③当A、F、C三点共线时，AE=；

④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．

三、解答与计算题：

16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．

（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；

（2）如图2，①求证：BP=BF；

②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；

③当BP=9时，求BE?EF的值．

17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△ADE≌△CED；

（2）求证：△DEF是等腰三角形．

18.（2018?江苏盐城?10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、 .将沿翻折后得到 .

（1）试说明点在上；

（2）在线段的延长线上取一点，使 .求证：为的切线；

（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.

【探究篇】

19.（2018年江苏省泰州市?12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD 边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）

（1）根据以上操作和发现，求的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P

在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

20.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，

（1）当AM= 时，求x的值；

（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.

几何图形折叠问题

【疑难点拨】

1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．

2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．

3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．

4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．

【基础篇】

一、选择题：

1..（2018?四川凉州?3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）

A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=

【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．

【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．

B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．

D、∵sin∠ABE=，

∴∠EBD=∠EDB

∴BE=DE

∴sin∠ABE=．

故选：C．

【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．

2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．

A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π

【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．

【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．

【解答】解：如图，∵CD⊥OA，

∴∠DCO=∠AOB=90°，

∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，

∴∠ODC=∠BOD=30°，

作DE⊥OB于点E，

则DE=OD=3，

∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，

则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，

故答案为：36π﹣108．故选A

3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）

A． B． C． D．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．

【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，

∴AE=AB，∠E=∠B=90°，

又∵四边形ABCD为矩形，

∴AB=CD，

∴AE=DC，

而∠AFE=∠DFC，

∵在△AEF与△CDF中，

，

∴△AEF≌△CDF（AAS），

∴EF=DF；

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=6，CD=AB=4，

∵Rt△AEF≌Rt△CDF，

∴FC=FA，

设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，

在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，

则FD=6﹣x=．

故选：B．

4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）

A． B．C．3 D．3

【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC 的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．

【解答】解：

∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，

∴∠B=∠EAF=45°，

∴∠AFB=90°，

∵点E为AB中点，

∴EF=1

2

AB，EF=

3

2

，

∴AB=AC=3，

∵∠BAC=90°，

∴BC=，

故选：B．

【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．

5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）

A．1 B． C．2 D．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．

【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．

【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．

∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，

∴∠GFE=60°．

∵AF∥GE，∠AFG=60°，

∴∠FGE=∠AFG=60°，

∴△GEF为等边三角形，

∴EF=GE．

∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，

∴∠HGE=30°．

在Rt△GHE中，∠HGE=30°，

∴GE=2HE=CE，

∴GH==HE=CE．

∵GE=2BG，

∴BC=BG+GE+EC=4EC．

∵矩形ABCD的面积为4，

∴4EC?EC=4，

∴EC=1，EF=GE=2．

故选C．

二、填空题：

6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．

【解答】解：分两种情况：

①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．

∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；

②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，

由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD\1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．

故答案为：或．

7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．

【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．

【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，

如图，过点K作KM⊥BC于点M，

设KM=x，则EM=x、MF=x，

∴x+x=+1，

解得：x=1，

∴EK=、KF=2，

∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，

∴BC的长为3++．

【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．

【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，

∴∠EBG=∠EGB．

∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．

又∵AD∥BC，

∴∠AGB=∠GBC．

∴∠AGB=∠BGH．

∵∠DGH=30°，

∴∠AGH=150°，

∴∠AGB=∠AGH=75°，

故答案为：75°．

【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状

和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

三、解答与计算题：

9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△ADE≌△CED；

（2）求证：△DEF是等腰三角形．

【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；

（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=CD．

由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，

∴AD=CE，AE=CD．

在△ADE和△CED中，，

∴△ADE≌△CED（SSS）．

（2）由（1）得△ADE≌△CED，

∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，

∴EF=DF，

∴△DEF是等腰三角形．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．

10.（2018?山东枣庄?10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．

【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；

（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；

（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．

【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF．

∴DG=GE=DF=EF．

∴四边形EFDG为菱形．

（2）EG2=GF?AF．

理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF=GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2=FO?AF．

∵FO=GF，DF=EG，

∴EG2=GF?AF．

（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2=GF?AF，AG=6，EG=2，

∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．

解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．

∵DF=GE=2，AF=10，

∴AD==4．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴，即=．

∴GH=．

∴BE=AD﹣GH=4﹣=．

【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO?AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．

【能力篇】

一、选择题：

11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：

由折叠的性质可得AE=A1E．

∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．

∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．

故答案为：5．故选B

12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：

①四边形AECF为平行四边形；

②∠PBA=∠APQ；

③△FPC为等腰三角形；

④△APB≌△EPC．

其中正确结论的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：①如图，EC，BP交于点G；

∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．

∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．

∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；

∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；

②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；

③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．

∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；

④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．

∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；

其中正确结论有①②，2个．

故选B．

13.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）

A． B．C． D．

【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计

算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．

【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，

∵D为AB的中点，

∴OD⊥AB，

∴AD=BD=AB=2，

在Rt△OBD中，OD==1，

∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．

∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，

∴=，

∴AC=DC，

∴AE=DE=1，

易得四边形ODEF为正方形，

∴OF=EF=1，

在Rt△OCF中，CF=，

∴CE=CF+EF=2+1=3，

而BE=BD+DE=2+1=3，

∴BC=3．

故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．

二、填空题：

14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、

且点F在矩形ABCD

【解答】解：连接GE．

∵点E是CD的中点，∴EC=DE．

∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，∴EF=DE，∠BFE=90°．在Rt△EDG和Rt△EFG 中

，∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL），∴FG=DG．

∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．

故答案为：．