高三数学高考导学练系列教案：平面向量

平面向量Array

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．

2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．

3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．

4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握

平移公式．

向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．

主要考查：

1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．

2．向量的坐标运算及应用．

3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．

4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的

形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．

第1课时 向量的概念与几何运算

1．向量的有关概念

⑴ 既有 又有 的量叫向量．

的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．

⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ．⑶ 且 的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法

⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．

⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ．3．实数与向量的积

⑴ 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下：① | λ |＝ ．

② 当λ＞0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＜0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＝0时，λ ．⑵ λ(μ)＝ ．

(λ＋μ)＝ ．

λ(＋b )＝ ．

⑶ 共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ．

4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ．

⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，＝2212e y e x +，则与共线的充要条件是 ．

例1．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设=，b AC =，求．解：＝－＝4

1(＋)－＝－

43＋4

1

变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（ ）A ．－＋2

1B ．－－21C ．－21D ．＋21解:A

例2. 已知向量2132e e -=，2132e e +=，2192e e -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使

b a

c μλ+=．

解:c ＝λ＋μb ?21e －92e ＝(2λ＋2μ)1e ＋(－3λ＋3μ)2e ?2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9?λ＝2，且μ＝－1

变式训练2：已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，点P 为平面上任意一点，求证：

4=+++证明 ＋＝2，＋＝2?＋＋＋＝4例3. 已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若a =，b =，试用a 、b 表示和．

解：连NC ，则b AD NC ==b a CN AB CN MC MN -=+=+=4

14

1；a

b NB NC BC 2

1-=-=变式训练3：如图所示，OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边的平行四边形，又＝

3

1

BC ，＝

3

1

，试用、表示，，．解:＝61＋65b ，＝32＋3

2

b ，

＝

21－6

1b 例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，t ∈R ，t 为何值时，，t ，3

1(＋)三向量的终点在一条直线上？

解：设])(3

1

[t +-=-λ (λ∈R)化简整理得：)3

1()132

(=-+-t λλ∵不共线与，∴???????

==???????

?=-=-21

2303

0132t t λλλ A D B O

A

C

N M

故21=

t 时，)(3

1

,,t +三向量的向量的终点在一直线上．变式训练4：已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果3,2,

a c

b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？

解：由题设知，23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+，,,C D E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE kCD =，即(3)32t a tb ka kb -+=-+，整理得(33)(2)t k a k t b -+=-.

①若,a b 共线，则t 可为任意实数；②若,a b 不共线，则有33020

t k t k -+=??

-=?，解之得，6

5t =.

综上，,a b 共线时，则t 可为任意实数；,a b 不共线时，6

5

t =.1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．

2．注意与O 的区别．零向量与任一向量平行．

3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB ∥CD ，需证∥，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证∥即可．

4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．

第2课时 平面向量的坐标运算

1．平面向量的坐标表示

分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x 、y ，使得＝x i ＋y j ．我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且|a |＝ ．

2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系．3．平面向量的坐标运算：

若a ＝(x 1、y 1)，＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则：

＋＝ －＝

小结归纳

基础过关

λ＝

已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则AB ＝ ．

4．两个向量＝(x 1、y 1)和＝(x 2、y 2)共线的充要条件是 ．

例1.已知点A

（2，3），B （－1，5），且＝3

1

AB ，求点C 的坐标．解＝

31＝(－1，32)，＝+＝(1,

311)，即C(1, 3

11

)变式训练1.若(2,8)OA =，(7,2)OB =-，则3

1

AB = . 解: (3,2)--提示：(9,6)AB OB OA =-=--例2. 已知向量＝(cos 2α，sin 2α)，＝(cos 2β，sin 2β)，|－|＝5

52，求cos(α－β)的值．解:|－|＝

55222552=--?)cos(βα2cos 2

2552βα--?＝55

222552=--?)cos(βα?cos 2

βα-＝53?cos(α－β)＝257-变式训练2.已知－2b ＝(－3，1)，2＋b ＝(－1，2)，求＋b ．解 ＝(－1，1)，b ＝(1，0)，∴＋b ＝(0，1)

例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，1e ＝＋2，2e ＝2－，且1e ∥2e ，求x ．解:1e ＝(1＋2x ，4)，2e ＝(2－x ，3)，1e ∥2e ?3(1＋2x)＝4(2－x)?x ＝

2

1

变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，b ＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥3．

证明: k ＝θ

θ

sin cos 2- ∴k －3＝

θ

π

θsin )

3cos(22-

-≥0 ∴k≥3

例4. 在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．

(1) 若＝(3，5)，求点C 的坐标；

(2) 当||＝||时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，

)5,1()5,9()0,6()5,3(00--==+=+=y x

得x 0＝10 y 0＝6 即点C(10，6)

(2) ∵= ∴点D 的轨迹为(x －1)2＋(y －1)2＝36 (y ≠1)

∵M 为AB 的中点 ∴P 分的比为2

1 设P(x ，y)，由B(7，1) 则D(3x －14，3y －2) ∴点P 的轨迹方程为)1(4)1()5(22≠=-+-y y x

变式训练4.在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||＝2，求的坐标．

解 已知A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)， D (－3，9)

则四边形OBDC 为菱形 ∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDC 的对角线OD ∵2103==

∴)5

103,510(10

32-

==

1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．

2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．

第3课时 平面向量的数量积

1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和b ，过O 点作＝，＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与b 的 ．当θ＝0°时，与b ；当θ＝180°时，与

b ；如果与b 的夹角是90°，我们说与b 垂直，记作 ．

2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x 1, y 1)，b ＝(x 2, y 2)，则·b ＝ ． 3．向量的数量积的几何意义：

|b |cosθ叫做向量b 在方向上的投影 (θ是向量与b 的夹角)．

·b 的几何意义是，数量·b 等于 ．

小结归纳 基础过关

4．向量数量积的性质：设、b 都是非零向量，是单位向量，θ是与b 的夹角． ⑴ e ·a ＝a ·e ＝ ⑵ ⊥b ?

⑶ 当与b 同向时，·b ＝ ；当与b 反向时，·b ＝ ． ⑷ cosθ＝ ． ⑸ |a ·b |≤ 5．向量数量积的运算律： ⑴ ·b ＝ ； ⑵ (λ)·b ＝ ＝·(λb ) ⑶ (＋)·c ＝

例1. 已知||＝4，|b |＝5，且与b 的夹角为60°，求：(2＋3b )·(3－2b )． 解:(2＋3b )(3－2b )＝－4

变式训练1.已知|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝5，求|2a －3b |的值． 解:56

例2. 已知向量＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－2

2

π

θπ

<

<．

(1) 若a ⊥b ，求θ； (2) 求|＋b |的最大值． 解：(1)若⊥，则0cos sin =+θθ 即1tan -=θ 而)2

,2(ππθ-∈，所以4

π

θ-

=

(2))4sin(223)cos (sin 23π

θθθ+

+=++=+

当4

π

θ=

时，+的最大值为12+

变式训练2：已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<． (1)求证：a b + 与a b -互相垂直；

(2)若ka →

+→

b 与a k →

-→

b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)． 证明：

222222()()(cos sin )(cos sin )0a b a b a b ααββ+?-=-=+-+=

a b ∴+ 与a b -互相垂直

（2）k a →

+(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→

=++,

a k →

-(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→

=--,

2

12cos()k a b k k βα→

+=++-212cos()a kb k k βα→

-=+--,

2212cos()12cos()k k k k βαβα++-=++-cos()0βα-=，2

πβα-=

例3. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝0，判断△ABC 是哪类三角形．

解:设BC 的中点为D ，则(-)(2-+)＝0?2BC ·AD ＝0?BC ⊥AD ?△ABC 是等腰三角形.

变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，则△ABC 的形状是 . 解: 直角三角形.提示：(1,1),(3,3),0,AB AC AB AC AB AC ==-?=⊥ 例4. 已知向量m ＝(cosθ, sinθ)和n ＝(2－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|n m +|＝5

2

8，求cos(8

2

π

θ+

)的值.

解:+＝(cos θ－sin θ＋2, cos θ＋sin θ)由已知(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝25

128

化简：cos 25

7)4

(=

+π

θ 又cos 2

25

162

)

4cos(1)8

2(=+

+=+π

θπ

θ

∵θ∈(π, 2π) ∴cos 25

16

2)

4cos(1)82(=+

+=+π

απ

θ<0

∴cos 25

162)

4

cos(1)82(=

++=+π

απθ＝－54

变式训练4.平面向量13

(3,1),(,

22

a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3)x a t b =+-,,y ka tb =-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =.

解：由13

(3,1),(,

22

a b =-=得0,||2,||1a b a b ?=== 2

2

222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +-?-+=-+?--?+-=

33311

(3),()(3)44

k t t f t t t =-=-

1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．

2．注意a ·b 与ab 的区别．a ·b ＝0≠＞a ＝，或b ＝．

3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合．

第4课时 线段的定比分点和平移

1． 设P 1P 2是直线L 上的两点，点P 是L 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ使P 1＝λ2PP ，λ叫做 ．

2．设P 1（x 1、y 1），P 2（x 2、y 2），点P （x 、y ）分21P P 的比是λ时，定比分点坐标公式为： ，中点坐标公式： 。

3． 平移公式：将点P （x 、y ）按向量＝（h 、k ）平移得到点P'（x'，y'），则 ．

例1. 已知点A(－1, －4)，B(5, 2)，线段AB 上的三等分点依次为P 1、P 2，求P 1、P 2的坐标及A 、B 分21P P 所成的比.

解 ⑴ P 1(x －2) P 2(3, 0) (2) －2

1, －2

变式训练1.设|AB|＝5，点p 在直线AB 上，且|PA|＝1，则p 分所成的比为 ． 解:

6

1

41-或 例2. 将函数y ＝2sin （2x ＋

65π）＋3的图象C 进行平移后得到图象C'，使C 上面的一点P （6

π

、小结归纳

典型例题 基础过关

2）移至点P'（

4

π

、1），求图像C'对应的函数解析式． 解: C'：y ＝2sin(2x ＋

3

2π

)＋2 变式训练2：若直线2x －y ＋c ＝0按向量＝(1, －1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则c 的值为 （ ）

A ．8或－2

B ．6或－4

C ．4或－6

D ．2或－8 解: A

例3. 设＝(sinx －1, cosx －1)，)2

2,22(=，f (x)＝?，且函数y ＝f (x)的图象是由y ＝sinx 的图象按向量平移而得，求. 解:c ＝(－

2,24

-+ππ

k ) (k ∈z)

变式训练3：将y ＝sin2x 的图象向右按作最小的平移，使得平移后的图象在[kπ＋2

π

, kπ＋π] (k ∈Z)上递减，则＝ ． 解:(

4

π

，0) 例4. 已知△ABC 的顶点A(0、0)，B(4、8)，C(6、－4)，点M 内分AB 所成的比为3，N 是AC 边上的一点，且△AMN 的面积等于△ABC 的面积的一半，求N 点的坐标． 解:由

||||||||AC AB AN AM S S ABC AMN ??=??＝2

1

得

32||||=AC AN 2=NC

AN

∴ N(4，－3

8)

变式训练4.已知△ABC 的三个顶点为A （1，2），B （4，1），C （3，4）． (1)求AB 边上的中线CM 的长及重心G 的坐标；

(2)在AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把△ABC 的面积分成4︰5两部分（三角形面积：四边形面积），求点P 的坐标 解:)3

4,3()3

7,38(2

26

p G CM =

1．在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比λ．

2．平移公式反映了平移前的点P(x 、y)和平移后的点P'(x'、y')，及向量＝(h ，k)三者之间的关系．它的本质是'＝．平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆．

平面向量章节测试题

一、选择题

1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是 ( )

A.（1，2）

B.（-3，4）

C. （3，-4）

D. 以上都不对 2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )

A.（-5k,4k ）

B. (-10，2）

C. (54

,k k

-) D.（5k, -4k ）

3. △ABC 中,=a, =b,则等于 ( )

A.a+b

B.-(a+b)

C.a-b

D.b-a

4.化简

52(a －b)－31(2a+4b)+152

(2a+13b)的结果是 ( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a+51b D. 51a －5

1b 5.已知|p|=22,|q|=3, p 与q 的夹角为4

π

,则以a=5p+2q,b=p －3q 为邻边的平行四边形的一条

对角线长为 ( )

A.15

B.15

C. 16

D.14 6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p ∥,则k 的值为 ( ) A.109-

B.109

C.1019-

D.10

19 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( )

A. P 在△ABC 的内部

B. P 在△ABC 的外部

C. P 是AB 边上的一个三等分点

D. P 是AC 边上的一个三等分点

8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC 面积的

4

1

,则线段AM 的长度是 ( )

A.5 C.

25 9.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a=e 1+2e 2,b=2e 1+e 2,,则|a+b|的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+

10.若⊥a,则a 与b 的夹角为 ( )

A.300

B.450

C.600

D.750

11.把一个函数的图象按向量a=(3π,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+6π

)-2,

则原函数的解析式为 ( )

A.y=sinx

B.y=cosx

C.y=sinx+2

D.y= -cosx 12.在△ABC 中，=c, BC =

a, CA =b,则下列推导中错误的是 ( )

A.若a·b<0,则△ABC 为钝角三角形

B. 若a·b=0,则△ABC 为直角三角形

C. 若a·b=b·c,则△ABC 为等腰三角形

D. 若c·( a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形 二、填空题

13.在△ABC

,4==且,8=?AC AB 则这个三角形的形状是 . 14.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .

15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c,则c= . 16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a=b=0; ②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则

);2

,2(21

2121y y x x AB ++= ③已知a,b,c 是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|

④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a=λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 . 三、解答题

17.如图,ABCD 是一个梯形

,//=, M 、N 分别是,的中点,已知=a,=b,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN

18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果=e 1+e 2,=2e 1+8e 2,=3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线;

⑵试确定实数k,使ke 1+e 2和e 1+ke 2共线.

19.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为AD.⑴求证:AB ⊥AC;⑵求点D 与向量的坐标.

A

B

N

M

D

C

20.已知△ABC 的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB 边上的中线CM 的长;⑵在AB 上取一点P ,使过P 且平行与BC 的直线PQ 把ABC 的面积分成4:5两部分,求P 点的坐标.

21.已知a 、b 是两个非零向量，证明：当b 与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb 的模取得最小值.

22.已知二次函数f(x) 对任意x ∈R ，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,2

1

), c=(cos2x,1),d=(1,2)。

（1）分别求a·b 和c·d 的取值范围；

（2）当x ∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集.

平面向量章节测试题参考答案

一、BCDBA ；DDADB ；BD

二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a －2b ; 16.①③④ 三、17.∵||=2||∴2=∴21

21==

a,=b －21a , MN =4

1a －b 18.⑴∵BD BC CD =+=5e 1+5e 2=5 , ∴//又有公共点B,∴A 、B 、D 共线 ⑵设存在实数λ使ke 1+e 2=λ(e 1+ke 2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=1± 19.⑴由0=?可知⊥即AB ⊥AC

⑵设D （x,y ）,∴)2,1(),5,5(),4,2(++==--=y x y x ∵BC AD ⊥ ∴5(x-2)+5(y-4)=0

∵// ∴5(x+1)－5(y+2)=0

∴???

????==2

527

y x ∴D(2

5,

27))23

,23(-=AD

20.⑴2

26

||),25,21()23,25(=--=∴M

⑵设P （x,y ）

44||22

,59||33

APQ APQ BPQC ABC S S AP AP AB S S AB ???=∴=∴=∴= )1,3(32)2,1(-=

--∴y x )3

4

,3(P ∴ 21. 当

b 与a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ= -

2

a b

b 22

2)()+-a b a b a 当λ= -2

a b

b 时，| a+λb |取得最小值. ∴当b 与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb 的模取得最小值. 22. (1）a·b=2sin 2x+1≥1 c·d=2cos 2x+1≥1 （2）∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于x=1对称 当二次项系数m>0时, f(x)在（1，+∞）内单调递增， 由f(a·b)>f(c·d)? a·b > c·d, 即2sin 2x+1>2cos 2x+1

又∵x ∈[0,π] ∴x ∈3(,)4

4

ππ

当二次项系数m<0时,f(x)在（1，+∞）内单调递减， 由f(a·b)>f(c·d)? a·b > c·d, 即2sin 2x+1<2cos 2x+1

又∵x∈[0,π] ∴x∈

3 [0,)(,]

44

ππ

π、

故当m>0时不等式的解集为

3

(,)

44

ππ

;当m<0时不等式的解集为