复旦固体物理讲义-15Bloch定理和能带概念

固体物理学5能带理论

第五章晶体中的电子能带理论电子在固体中的运动问题处理第一步简化 —— 绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上第二步简化 —— 单电子近似：每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动第三步简化 —— 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场复杂的多体问题转化为周期场中的单电子运动问题 5-1 布洛赫波函数一、布洛赫定理 1.晶格的周期性势场 (1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能之和； (2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势能与距离成反比)； (3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性； (4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。电子在一个具有晶格周期性的势场中运动 ()() n R r V r V +=其中n R 为任意格点的位矢。 ()ψψ E r V m =? ? ? ???+?-222 2. 布洛赫定理当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质： ),(e )(r R r n R k i n ψψ?=+ 其中k 为电子波矢，332211n a n a n a n R ++=是格矢。根据布洛赫定理波函数写成如下形式： ()()r u r k r k i k ?=e ψ ()()n k k R r u r u += 在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。

3.证明布洛赫定理 (1)引入平移对称算符)(n R T (2)说明: 0]?,?[=H T (3) λψψ=T ? n R k i n R ?=e )(λ (1)平移对称算符)(n R T )()()(n n R r f r f R T += )2()()()()(2n n n n R r f R r f R T r f R T +=+= )()()(n n l R l r f r f R T += )(?)()()(r H r r V r f ，，可以是ψ (2) 0]?,?[=H T )(2?22 r V m H +?-= ),()(n R r V r V += 在直角坐标系中： )()(22222222 n R r z y x r +?=??+??+??=? 2 332 22222112) ()()(a n z a n y a n x +??++??++??= 晶体中单电子哈密顿量H ?具有晶格周期性。 )(?)(?n R r H r H += )()(?)()(?)(?n n n R r R r H r r H R T ++=ψψ 0]?,?[=H T 平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数)(r ψ是H ?的本征函数，那么 )(r ψ也一定是算符)(?n R T 的本征函数。

固体物理

1。晶体结构中，常见的考题是正格子和倒格子之间的相互关系，布里渊区的特点及边界方程，原胞和晶胞的区别，晶面指数和晶向指数，面间距的计算，比如面心立方的倒格子是体心立方，算晶体结构中a/c，求米勒指数，以及表面驰豫和重构等等，拔高一点的话，可以考二维或三维的对称性操作，叫你写出点群，空间群甚至磁群。也可以考原子形状因子和几何结构因子。要特别注意x射线衍射得到的是倒空间中的照片。再拔高一点，可以考你准长程序的作用范围。让你求径向分布函数，回答测量非晶的实验方法，以及准晶和非晶的问题（penrose堆砌等，一般是定性的问答题） 2。固体的结合是主要做化学键和弱的非键电磁相互作用（注意不是弱相互作用！！）的计算，注意马德隆能的计算和晶体结构中计算次序的画法，然后要牢记born-mayer势和lenard-johns势等。并用它来计算一些物理量如分子间的平衡位置，分子间力和弹性模量甚至摩擦力等，并不容易。 3。晶格动力学和晶格热力学是晶格理论的核心和灵魂。求解一维单原子链最简单。一般考试时会让我们算质量不一样，或弹性系数不一样，或两者都不一样的一维双原子链，还会要我们回答声学波和光学波的特点，并让我们做色散关系的图的。拔高一点的话，可以出带电荷的一维双原子链，以及二三维和多原子链的情形，不过考的可能性不是太大，如果两节课算不完的话。双原子链可以退化为单原子链，这个很基本，几乎必考。晶格振动谱有一本专著，就叫《晶格振动光谱学》，高教出的。声子的正过程和倒逆过程是德文，这个记不住就对不住观众了，一般会问他们之间的差别，那个过程对热导没有贡献。计算晶体热容时，重点掌握debye模型和einstein模型，后者最基本，前者考试考得最多。用德拜模型算态密度，零点能，比热，声速以及其高低温极限是必考内容，注意死背debye积分（由Reman积分和Zeta积分构成），一定要记得结果。热膨胀是非线性作用的后果，会计算格林爱森常数。 4。晶体中的缺陷理论也很重要。缺陷的分类，0，1，2维缺陷的实例；小角晶界与刃位错，晶体生长与螺位错之间的关系需要熟练掌握。可能还要掌握伯格斯矢量，伯格斯定理和位错，位错线的画法。这都是很基本的内容。一般认为，扩散的主导因素是填隙原子。扩散的分类和扩散方程的求解，可能会结合点缺陷的寿命来出题。有时也可能考考色心,主要是F心，画图或问答题。以上讲的是晶格理论。一般认为固体物理可以分为晶格理论（含理想晶格理论，晶格结构，晶格动力学，晶格热力学以及

固体物理教学大纲2018

《固体物理》课程教学大纲一、课程简介：固体物理学融汇了力学、热力学与统计物理学、电动力学、量子力学和晶体学等多学科的知识，在现代科学技术中起着非常重要的作用，是物理学的重要组成部分，是物理专业的必修基础课。二、教学目的本课程主要介绍固体物理学的基础知识和基本理论，为进一步学习和研究固体物理学各种专门问题及相关领域的内容建立初步的理论基础。在课程教学过程中，进一步培养学生的现代科学意识，提高分析问题与解决问题的综合能力及创新思维的能力。三、教学要求 1．了解固体物理学发展的主要历程及固体物理对现代物理学与现代科学技术发展的作用。 2．了解固体物理学及凝聚态领域的当代前沿概况。 3．掌握固体物理学的基本概念与基础理论。 4．掌握固体物理学分析与处理问题的基本手段和思想方法。 5．掌握固体的结构及其组成粒子（原子、离子、电子）之间的相互作用、运动规律，晶体结构与物质力学、热学、光学性质的之间的关系。重点是晶体结构、晶体结合、晶格振动、金属自由电子论、能带论等。四、课程重点与难点课程重点：一是晶格理论，二是固体电子理论。晶格理论包括：晶体结构的基本特点和类型及对称性质；确定晶体结构的X射线衍射方法；晶体的结合类型与特点；晶格振动与晶体的热学性质。固体电子论包括：固体中电子的能带理论；金属自由电子理论和电子的输运性质。课程难点：倒点阵的性质及其与正点阵的关系；晶体X射线衍射的分析；晶格振动的色散关系与模式密度；布洛赫定理及推论；晶体中电子的准经典运动与有效质量。五、选用教材及参考书目 1．使用教材

基泰尔，《固体物理导论》，化学工业出版社，2013年6月第8版； 2．教学参考书目（1）方俊鑫，陆栋，《固体物理学》（上册），上海科学技术出版社，1980年12月第1版；（2）阎守胜，《固体物理基础》，北京大学出版社2003年8月第二版；（3）陆栋，蒋平，徐至中，《固体物理学》，上海科学技术出版社，2003年12月第1版；（4）胡安，章维益，《固体物理学》，高等教育出版社，2005年6月第1版；（5）黄昆原著，韩汝琦改编，《固体物理学》，高等教育出版社，1988年10月第1版。六、课程内容：基本内容有两大部分：一是晶格理论，二是固体电子理论。晶格理论包括：晶体的基本结构；晶体中原子间的结合力和晶体的结合类型；晶格的热振动及热容理论；晶格的缺陷及其运动规律。固体电子论包括：固体中电子的能带理论；金属中自由电子理论。教学时间分配表第1章晶体结构第一节原子的周期性阵列第二节晶格的基本类型第三节晶面指数系统第四节简单晶体结构第五节原子结构的直接成像第六节非理想晶体结构第七节晶格结构的有关数据

固体物理总结能带理论完全版

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目录一、本章难易及掌握要求 (1) 二、基本内容 (1) 1、三种近似 (1) 2、周期场中的布洛赫定理 (2) 1）定理的两种描述 (2) 2）证明过程： (2) 3）波矢k的取值及其物理意义 (3) 3、近自由电子近似 (3) A、非简并情况下 (4) B、简并情况下 (5) C、能带的性质 (6) 4、紧束缚近似 (6) 5、赝势 (9) 6、三种方法的比较 (10) 7、布里渊区与能带 (11) 8、能态密度及费米面 (11) 三、常见习题 (14) 简答题部分 (14) 计算题部分 (15)

一、本章难易及掌握要求要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。了解内容： 1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。二、基本内容 1、三种近似

在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=r u u r r v u u v ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：()()ik r r e u r ψ?=r r r r ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受)(r u k ?调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+r v u u v ，n R ρ取布拉菲格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符μT ，)()()()(3 32211321a T a T a T R T m m m m ? ??? = b ．证明μT 与?H 的对易性。ααHT H T = c.代入周期边界条件，求出μT 在μT 与?H 共同本征态下的本征值

固体物理学能带理论小结

能带理论一、本章难易及掌握要求要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度。本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。了解内容： 1）能带的成因及对称性； 2）万尼尔函数概念； 3）波函数的对称性。二、基本内容 1、三种近似在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的

运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：()()ik r r e u r ψ?=，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受 ) (r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+，n R 取布拉维格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符T ，)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m = b ．证明T 与?H 的对易性。α αHT H T = c.代入周期边界条件，求出T 在T 与?H 共同本征态下的本征值 λ。即?? ???+=+=+=)()( ()() ()(332211a N r r a N r r a N r r ψψψψψψ3 2 1 321,,a k i a k i a k i e e e ???===λλλ d. 将λ代入T 的本征方程中，注意T 定义，可得布洛赫定理。

复旦固体物理讲义-32缺陷问题及电子态特征

本讲要解决的问题及所涉概念 ?缺陷（点缺陷、面缺陷）问题的特点 *晶体的平移周期性在某区域内被破坏 *但大部分区域原子排列仍然有序 #点缺陷除了点之外 #面缺陷（表面、界面）如把垂直于面的方向看作一维，那也相当于点缺陷 ?缺陷的电子态特征 *束缚态 *共振态 http://10.107.0.68/~jgche/缺陷及其电子态特征1

第32讲、缺陷及其电子态特征 1.周期性破缺问题 *缺陷（点缺陷、表面和界面） 2.定性描写——周期性破缺体系电子态特征 *束缚态(bound states) *共振态(resonances) 3.定量描写 *模型方法 #集团模型(cluster) #薄片模型(slab)，超原胞模型(supercell) *微扰（格林函数）方法 4.方法比较 http://10.107.0.68/~jgche/缺陷及其电子态特征2

1、周期性破缺问题 ?Bloch定理在固体物理学基础理论中的重要地位——能带理论，晶格动力学，… *Bloch定理基础——晶体的三维平移周期性 ?点缺陷、表面、界面等周期性破缺体系*无序也是周期性被破坏 *点缺陷、表面、界面，虽然三维周期性已经被破坏，但并不是完全无序 *与完整周期性体系相比，三维平移周期性仅在一个较小的范围内被破坏——其余部分仍然有序 #点缺陷：除了点，其他地方仍然有序 #表面、界面问题：除了垂直面方向，平行于面的二维周期性仍保持 http://10.107.0.68/~jgche/缺陷及其电子态特征3

2、定性描写——周期性破缺体系电子态特征 ?缺陷引起的电子态有什么特征？ ?局域态，定域在缺陷附近！ *束缚态 *共振态 *通过表面这个周期性破缺系统（对称性在垂直于表面方向被破坏）的例子来认识这个问题 http://10.107.0.68/~jgche/缺陷及其电子态特征6

固体物理总结

在没有碰撞时,电子与电子(独立电子近似)、电子与离子(自由电子近似)之间得相互作用完全忽略;无外场时,每个电子作匀速直线运动;在外场存在时,服从牛顿定律。 k空间得概念:参量空间,状态空间。把波矢k瞧作空间矢量,相应得空间称为k空间。 T=0时,N个电子得基态可从能量最低得k=0态开始,按能量从低到高,每个k态占据两个电子,依次填充。最后,占据区形成一个球,称为费米球。能态密度:T=0时,基态,单位体积自由电子气体得基态能量E。费米-狄拉克函数得性质:随温度发生变化。极限情况: 一般情况:随着T得增加,发生变化得能量范围变宽,但在任何情况下,此能量范围约在附近±kBT范围内。温度不为零时,电子占据态与非占据态之间得界面不在就是某个等能面电子占据态与非占据态得界限可以近似为一个薄层。电子漂移速度: 等离子体频率:自由电子气体作为整体相对正电荷背景集体运动得频率。低频端(从直流到远红外),金属对光波有明显得衰减。(安检,金属屋子信号屏蔽) 可见光到近红外波段,金属就是高反射得。(铜镜,镜子) 电磁波频率大于等离子频率时,金属就是透明得。(金属可以作为滤波片,分离近红外-可见光与XUV/x-ray)

晶体结构包括两个最主要得特征:1、重复排列得具体单元——基元。2、晶格:基元重复排列得形式,一般抽象为空间点阵,称为晶体格子,简称晶格,由布拉维格子得形式来概括。原胞:晶体中体积最小得周期性重复单元。某一格点为中心,作其近邻格点连线得垂直平分面,这些平面围成得以格点为中心得最小体积单元—WS原胞。晶胞:能表现对称性得单元,但就是未必最小。 7类晶系:三斜、单斜、正交、四方、三角、六角、立方。群由群元素集合与规定乘法定义。封闭性:若a,b∈G,则存在唯一确定得c∈G,使得a*b=c; 结合律:任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c); 单位元:存在e∈G,对任意a∈G,满足a*e=e*a=a,称e为单位元; 逆元:任意a∈G,存在唯一确定得b∈G, a*b=b*a=e(单位元),则称a与b互为逆元素,简称逆元,记作a-1=b。点群:在点对称操作基础上组成得对称操作群称为点群。点群得元素:点对称操作。点群得乘法:连续操作。点对称操作:绕固定轴得转动、镜面反映、中心反演。对称要素:固定轴、镜像面、反演点。倒格子定义:对布拉维格子中所有格矢,满足得全部端点得集合,构成布拉维格子,称为正格子得倒格子。同一晶体得正格子与倒格子有相同得对称性。体心立方得倒格子为面心立方; 面心立方得倒格子为体心立方; 简单立方得倒格子仍为简单立方。

固体物理--能带理论

固体物理中关于能带理论的认识摘要:本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论,以期对能带理论的概念更细致的把握。关键词:能带理论电子共有化绝热近似平均场近似周期场假定引言能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论，对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用,是一种晶体周期性的势场。能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。 1 能带理论的假定能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。如果不采用一些简化近似,从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。 1.1 绝热近似考虑到电子与核的质量相差悬殊。可以把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子——声子相互作用。电子运动时,可以认为核是不动的。电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。 1.2 平均场近似因为所有电子的运动是关联的。可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，既所有电子都满足同样的薛定谔方程，只要解得方程，就可得晶体电子体系的电子状态和能量。使多电子问题简化为一个单电子问题，所以上述近似也称单电子近似。 1.3 周期场假定薛定谔方程中势能项是原子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期性。代表一种平均势能，应是恒量。因此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场的单电子定态问题，上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带论。 2 电子的共有化运动我们知道,由于原子核对电子的静电引力, 使得电子只能围绕原子核在一定

能带理论学习体会

能带理论的学习心得这学期学习了《固体物理学》这门课，《固体物理学》这门课是后续专业课的一门基础课，具有重要的地位。其中的第四章的能带理论又是这门课的重中之重，现在我就把我读过能带理论后的一些理解和感受写出来，和大家一起来分享。《固体物理学》基本把能带理论的基础的东西都说的很清楚了，概括起来的话，能带理论研究的是固体中电子运动规律的一种近似理论。固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。能带理论就属这种单电子近似理论。首先，我来说说能带理论中的几个重要名词。能级(Energy Level)：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。能带(Energy Band)：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。致使高原子核较远的壳层发生交叠，売层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子売层上去，这种现象称为电子的共有化。从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。禁带(Forbidden Band)：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。价带(Valence Band)：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。导带(Conduction Band)：价带以上能量最低的允许带称为导带。接下来，我来说明一下我对孤立原子的能带和固体的能带，以及能带理论的一些理解：孤立原子的外层电子可能取的能量状态(能级)完全相同，但当原子彼此靠近时，外层电子就不再仅受原来所属原子的作用，还要受到其他原子的作用，这使电子的能量发生微小变化。原子结合成晶体时，原子最外层的价电子受束缚最弱，它同时受到原来所属原子和其他原子的共同作用，已很难区分究竟属于哪个原子，实际上是被晶体中所有原子所共有，称为共有化。原子间距减小时，孤立原子的每个能级将演化成由密集能级组成的准连续能带。共有化程度越高的电子，其相应能带也越宽。孤立原子的每个能级都有一个能带与之相应，所有这些能带称为允许带。相邻两允许带间的空隙代表晶体所不能占有的能量状态，称为禁带。若晶体由N个原子(或原胞)组成，则每个能带包括N个能级，其中每个能级可被两个自旋相反的电子所占有，故每个能带最多可容纳2N个电子。价电子所填充的能带称为价带。比价带中所有量子态均被电子占满，则称为满带。满带中的电子不能参与宏观导电过程。无任何电子占据的能带称为空带。未被电子占满的能带称为未满带。例如一价金属有一个价电子，N个原子构成晶体时，价带中的2N个量子态只有一半被占据，另一半空着。未满带中的电子能参与导电过程，故称为导带。固体的导电性能由其能带结构决定。对一价金属，价带是未满带，故能导电。对二价金属，价带是满带，但禁带宽度为零，价带与较高的空带相交叠，满带中的电子能占据空带，因而也能导电，绝缘体和半导体的能带结构相似，价带为满带，价带与空带间存在禁带。无

固体物理总结材料能带理论完全版

标准文案

目录一、本章难易及掌握要求 (1) 二、基本容 (1) 1、三种近似 (1) 2、周期场中的布洛赫定理 (2) 1）定理的两种描述 (2) 2）证明过程： (2) 3）波矢k的取值及其物理意义 (3) 3、近自由电子近似 (3) A、非简并情况下 (4) B、简并情况下 (5) C、能带的性质 (6) 4、紧束缚近似 (6) 5、赝势 (9) 6、三种方法的比较 (10) 7、布里渊区与能带 (11) 8、能态密度及费米面 (11) 三、常见习题 (14) 简答题部分 (14) 计算题部分 (15)

一、本章难易及掌握要求要求重点掌握： 1）理解能带理论的基本假设和出发点； 2）布洛赫定理的描述及证明； 3）一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论，明白三维近自由电子近似的思想； 4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算； 5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用； 6）会计算能态密度及明白费米面的概念。本章难点： 1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。了解容： 1）能带的成因及对称性； 2）费米面的构造； 3）赝势方法； 4）旺尼尔函数概念； 5）波函数的对称性。二、基本容 1、三种近似

在模型中它用到已经下假设： 1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。多体问题化为了多电子问题。 2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。多电子问题化为单电子问题。 3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。单电子在周期性场中。 2、周期场中的布洛赫定理 1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：()()n ik R n r R e r ψψ?+=，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：()()ik r r e u r ψ?=，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受 ) (r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+，n R 取布拉菲格子的所有格矢成立。 2）证明过程： a. 定义平移算符T ，)()()()(3322113 2 1 a T a T a T R T m m m m = b ．证明T 与?H 的对易性。α αHT H T = c.代入周期边界条件，求出T 在T 与?H 共同本征态下的本征值

复旦固体物理讲义-18能带计算方法简介

上讲回顾 ?金属、绝缘体和半导体 *电子如何填充能带→可用原胞内电子填充判断？ *满带、空带、禁带。满带不导电！ ?结构因子与布里渊边界能级简并的分裂*物理原因同X射线衍射的消光现象→原胞内等价原子波函数在布里渊区边界反射相干 ?三维空晶格模型的能带结构 *为何发生能带重叠？能带简约图如何得到？由于3D 布里渊区的复杂结构，与1D不同，高布里渊区能带 E(k+K)并不一定比低布里渊区能带高，例子 *如何给出能带结构？沿B区边界高对称轴，因为能带在布里渊区边界上简并被打开，发生畸变。可反映能带特征。特别对金属，除此外与自由电子类似http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介1

本讲要解决的问题及所涉及的相关概念?如何从3D空晶格模型过渡到典型的金属能带? *布里渊区边界简并是否打开？ ?典型的半导体能带结构? *半导体能带特征 *直接带隙、间接带隙、直接跃迁、带间跃迁 ?能带结构如何得到？→计算→如何计算能带? #对相互作用的合理地截断与近似 #对基函数的合理地取舍与近似 ?两种主要的能带结构计算方法物理思想*赝势方法 *紧束缚方法 http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介2

第18讲、能带计算方法简介 1.空晶格能带过渡到典型的金属能带 2.半导体能带结构 3.能带计算方法的物理思想 4.近自由电子近似——平面波方法 5.举例——只取两个平面波 6.平面波方法评论 7.赝势 http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介3

1、空晶格能带过渡到金属能带http://10.107.0.68/~jgche/能带计算方法简介4

“固体物理Ⅰ”课程教学大纲

北京工业大学 “固体物理Ⅰ”课程教学大纲英文名称：Solid State Physics 课程编号：课程类型：专业限选课学时：32 学分：2 面向对象：材料科学与工程专业及相关专业先修课程：普通物理、材料科学基础一、课程性质和目的（任务）《固体物理Ⅰ》是材料科学与工程专业的专业限选课。其任务是让学生掌握固体物理的基本规律、基本概念和处理固体物理学问题的特有方法，为后续课程的学习奠定必要的理论基础，同时培养学生综合所学知识分析问题和解决问题的能力。二、课程教学内容及要求总体目的和要求：（1）了解固体物理学发展的基本情况，以及固体物理学对于近代物理和近代科技的发展起的作用。（2）掌握固体物理学的基本概念和基本规律，培养掌握科学知识的方法。（3）熟悉应用固体物理学理论分析和处理问题的手段方法。章节要求第一章绪言（1学时）要求了解固体物理的发展过程和当前固体物理研究进展，了解固体物理理论与材料性能与应用之间的关联性。第二章晶体结构（5学时）

要求学生掌握晶体的宏观特性、晶体的微观结构、常见的晶体结构、晶体的对称性和晶面与晶向的概念；了解倒格子与布里渊区的概念 [1] 了解晶格基矢，晶格的周期性、空间点阵的概念，掌握原胞、晶胞，晶列、晶面指数的表示方法 [2] 理解晶体结构的对称性 [3] 理解密堆积、配位数 [4] 了解倒易点阵，倒格子（布里渊区）第三章晶体结合（6学时）要求学生掌握晶体结合的普遍特性；熟悉离子键，共价键，金属键，分子键，氢键和的特性；理解晶体结合类型与原子负电性的关系。 [1] 掌握晶体结合的一般性描述 [2] 理解晶体结合的基本类型及特性 [3] 了解晶体结合与原子的负电性第四章晶格振动（6学时）要求学生重点掌握一维单原子链的振动方程与格波解的形式，理解一维双原子链振动和三维晶格振动；掌握声子的概念与特性；理解模式密度的概念；理解晶格热容与晶格振动的关系；了解晶格中的热传递。 [1] 掌握一维晶格振动 [2] 了解三维晶格振动 [3] 掌握声子的概念 [4] 理解晶格振动的模式密度和晶格热容 [5] 了解晶格热传导

复旦固体物理讲义-13晶体结构衍射实验

上讲回顾 ?晶体结构衍射理论 *Bragg定律 *von Laue方程 *结构因子（消光条件）注意区分是晶面指数还是密勒指数 http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法1

本讲内容 ?晶体结构实验方法，晶体结构实验方法原理及其适用范围 *倒易空间 *实空间 ?准晶 *不满足平移对称，比如具有五度转动对称 *但可以看作是高维格子在低维的投影即，虽然不满足平移周期性，但也有一定的规律http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法2

第13讲、晶体结构实验方法 1.晶体结构衍射实验 *原理：Ewald球 *方法：von Laue方法、转动晶体法 2.晶体结构其他实验方法 *倒空间：电子衍射，中子衍射 *实空间：FIM，STM *计算机（模拟）实验 3.准晶——另类有序 4.第二章小结 5.例题 http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法3

1、晶体衍射实验方法 ?原理 *Ewald球构造法 ?实验 *von Laue方法 *转动单晶法 http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法4

Ewald construction 反射球 ?衍射斑点与衍射条件 *可根据观察到的斑点与推断晶体结构的特征 *理解衍射方法原理 ?CO= 2π/λ，入射方向，在C以CO为半径作圆，球面上的倒格点P满足衍射条件，将产生衍射，在PC方向可得衍射极大 *K的两端都是倒格点o c p http://10.107.0.68/~jgche/晶体结构实验方法5

固体物理总结

在没有碰撞时，电子与电子（独立电子近似）、电子与离子（自由电子近似）之间的相互作用完全忽略；无外场时，每个电子作匀速直线运动；在外场存在时，服从牛顿定律。 k空间的概念：参量空间，状态空间。把波矢k看作空间矢量，相应的空间称为k空间。T=0时，N个电子的基态可从能量最低的k=0态开始，按能量从低到高，每个k态占据两个电子，依次填充。最后，占据区形成一个球，称为费米球。能态密度：T=0时，基态，单位体积自由电子气体的基态能量E。费米-狄拉克函数的性质：随温度发生变化。极限情况：一般情况：随着T的增加，发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在附近±kBT范围内。温度不为零时，电子占据态和非占据态之间的界面不在是某个等能面电子占据态和非占据态的界限可以近似为一个薄层。电子漂移速度：等离子体频率：自由电子气体作为整体相对正电荷背景集体运动的频率。低频端（从直流到远红外），金属对光波有明显的衰减。（安检，金属屋子信号屏蔽）可见光到近红外波段，金属是高反射的。（铜镜，镜子）

电磁波频率大于等离子频率时，金属是透明的。（金属可以作为滤波片，分离近红外-可见光与XUV/x-ray）晶体结构包括两个最主要的特征：1、重复排列的具体单元——基元。2、晶格：基元重复排列的形式，一般抽象为空间点阵，称为晶体格子，简称晶格，由布拉维格子的形式来概括。原胞：晶体中体积最小的周期性重复单元。某一格点为中心，作其近邻格点连线的垂直平分面，这些平面围成的以格点为中心的最小体积单元—WS原胞。晶胞：能表现对称性的单元，但是未必最小。 7类晶系：三斜、单斜、正交、四方、三角、六角、立方。群由群元素集合和规定乘法定义。封闭性：若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c；结合律：任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c)；单位元：存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元；逆元：任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a-1=b。点群：在点对称操作基础上组成的对称操作群称为点群。点群的元素：点对称操作。点群的乘法：连续操作。点对称操作：绕固定轴的转动、镜面反映、中心反演。对称要素：固定轴、镜像面、反演点。倒格子定义：对布拉维格子中所有格矢，满足的全部端点的集合，构

固体物理中的能带理论

固体物理中的能带理论摘要本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。关键词：能带理论包络函数近自由电子近似 1 引言能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、K.P方法[12]。人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。使得对这些结构的器件的设计有所依据。并对一些器件的特性进行了合理的解释。固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。半导体能带结构的具体形态与晶格结构的对称性和价键特性密切相关，不同的材料〔如Si,Ge与GaAs,InP)能带结构各异，除带隙宽度外、导带底价带顶在k空间的位置也不同，GaAs,InP等化合物材料的导带底价带顶同处于k 空间的中心位置，称为直接带隙材料，此结构电子-空穴的带间复合几率很大，并以辐射光子的形态释放能量，由此引导人们研制了高效率的发光二极管和半导体激光器，在光电子及光子集成技术的发展中，其重要性可与微电子技术中的晶体管相比拟。

复旦固体物理讲义-30专题五：超导电性 (优选.)

h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e / 超导电性 1 本讲目的 ?超导电现象及物理原因

h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e / 超导电性 2 第30讲、超导电性 I .传统超导现象及其微观理论 1.低温超导现象 2.临界温度、电流、磁场 3.M e i s s n e r 效应 4.超导体是否理想导体？ 5.C o o p e r 对 6.单电子隧穿效应和B C S 的验证 7.J o s e p h s o n 效应 I I .铜氧化物高温超导 1.氧化物超导的发现 2.结构共性与超导电性 I I I .铁基高温超导

h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e / 超导电性 3 I 、传统超导现象及其微观理论 ?1911年, H . K . O n n e s (1913得诺贝尔奖)?1957年, J . B a r d e e n , L . N . C o o p e r a n d J . R . S c h r i e f f e r (B C S 理论，1972得诺贝尔奖) ?1962年, B . D . J o s e p h s o n (1973得诺贝尔奖)

h t t p ://10.107.0.68/~j g c h e / 超导电性 5 O n n e s 发现超导现象 ?与新技术有密切联系 *1908年荷兰物理学家O n n e s 成功液化氦气，T <4.2K ，开创了低温物理研究 ?1911年 *为观察杂质电阻，选择当时可提纯最高的水银*发现4.15K 附近水银电阻突然消失*这条曲线是可逆*O n n e s 因此而获1913年的N o b e l 物理奖

固体物理总结

《固体物理》课程报告本课程由五个章节组成，分别是：一、晶体的X射线衍射二、晶体的结合与晶格振动三、晶体的缺陷与运动四、固体能带理论五、碳团簇及沸石第一章晶体最基本的特点是晶体结构的周期性，其可借助于基元、布拉菲格子、基矢和原胞等物理概念和术语来描述。基元——组成晶体的基本结构单元格点（结点）——晶体中代表基元的抽象点布拉菲格子——格点在空间周期无规则的分布所排列形成的阵列基元+布拉菲格子=晶体结构原胞——组成晶体的最小周期平移单元简单格子——组成晶体原胞的粒子只有一种且这些粒子的化学成分和所处的环境相同晶列的取向可用晶列指数来标志。倒格子——与布拉菲格子相对应的、长度倒数空间中的点阵。倒格子空间中晶体电子的状态是波矢的周期函数，而且其能量还具有和晶体相同的对称性。在二维情况下，布里渊区边界为所有倒格矢的中垂线。简单方格子的倒格子是简单立方格子。距原点最近的6个格点的倒格矢的中垂面围成第一布里渊区。面心立方格子的倒格子是体心立方格子，距原点最近邻的倒格子点有八个，次近邻的倒格点有六个，这些倒格点到原点连线的中垂面围成面心立方格子的第一布里渊区。每个布里渊区的体积等于一个倒原胞的体积。晶体的对称操作可分为两类：平移对称和点对称操作。平移对称操作组成平移群，点对称操作组成点群，两者结合起来构成空间群。能填满整个平面的正多边形只有三角形、四边形和六边形。七大晶系——按布拉菲格子的点对称性将布拉菲格子分为三斜、单斜、正交、三角、正方、六方和立方七大晶系。表示晶体中粒子紧密程度的物理量为配位数密堆积共有两种堆积方式：六角密堆积和立方米堆积具有密堆积结构的晶体，其原子间的作用力既没有方向性也没有饱和性。计算X射线衍射强度在空间的分布可分三步： 1、先计算被一个原子内的各个电子散射的电磁波的相互干涉，得到所谓的原子散射因子。 2、在计算一个晶胞内各原子散射波之间的相互干涉，由所谓的集合结构因子表达。 3、最后在考虑各晶胞散射波之间的相互干涉。原子散射因子是晶体中的某一个组成原子对入射波散射本领的量度，它等于该原子内所有电子在选定方向散射波的振幅的几何和与单一电子的散射波振幅之比。几何结构因子——一个晶胞内所有原子沿选定方向散射波振幅的几何和与单个电子的散射波的振幅之比。

固体物理重要知识点总结

固体物理重要知识点总结晶体：是由离子，原子或分子（统称为粒子）有规律的排列而成的，具有周期性和对称性非晶体：有序度仅限于几个原子，不具有长程有序性和对称性点阵：格点的总体称为点阵晶格：晶体中微粒重心，周期性的排列所组成的骨架，称为晶格格点：微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）晶体的周期性和对称性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质称为晶体结构的周期性。晶体的对称性指晶体经过某些对称操作后，仍能恢复原状的特性。（有轴对称，面对称，体心对称即点对称）密勒指数：某一晶面分别在三个晶轴上的截距的倒数的互质整数比称为此晶面的密勒指数配位数：可用一个微粒周围最近邻的微粒数来表示晶体中粒子排列的紧密程度，称为配位数致密度：晶胞内原子所占体积与晶胞总体积之比称为点阵内原子的致密度固体物理学元胞：选取体积最小的晶胞，称为元胞：格点只在顶角，内部和面上都不包含其他格点，整个元胞只含有一个格点：元胞的三边的平移矢量称为基本平移矢量（或者基矢）；突出反映晶体结构的周期性元胞:体积通常较固体物理学元胞大；格点不仅在顶角上，同时可以在体心或面心上；晶胞的棱也称为晶轴，其边长称为晶格常数,点阵常数或晶胞常数；突出反映晶体的周期性和对称性。布拉菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合而且每个格点周围的情况都一样复式格子：晶体由两种或者两种以上的原子构成，而且每种原子都各自构成一种相同的布拉菲格子，这些布拉菲格子相互错开一段距离，相互套购而形成的格子称为复式格子，复式格子是

由若干相同的布拉菲格子相互位移套购而成的声子：晶格简谐振动的能量化，以hv l来增减其能量，hv l就称为晶格振动能量的量子叫声子非简谐效应：在晶格振动势能中考虑了δ2以上δ高次项的影响，此时势能曲线能是非对称的，因此原子振动时会产生热膨胀与热传导点缺陷的分类：晶体点缺陷：①本征热缺陷：弗伦克尔缺陷，肖脱基缺陷②杂质缺陷：置换型，填隙型③色心④极化子布里渊区：在空间中倒格矢的中垂线把空间分成许多不同的区域，在同一区域中能量是连续的，在区域的边界上能量是不连续的，把这样的区域称为布里渊区爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？答：按照爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦模型的格波的频率大约为1013Hz，属于光学支频率，但光学格波在低温时对热容的贡献非常小，低温下对热容贡献大的主要是长声学格波，也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。陶瓷中晶界对材料性能有很大的影响，试举例说明晶界的作用答：晶界是一种面缺陷，是周期性中断的区域，存在较高界面能和应力，且电荷不平衡，故晶界是缺陷富集区域，易吸附或产生各种热缺陷和杂质缺陷，与体内微观粒子（如电子）相比，晶界微观粒子所处的能量状态有明显差异，称为晶界态。在半导体陶瓷，通常可以通过组成，制备工艺的控制，使晶界中产生不同起源的受主态能级，在晶界产生能级势垒，显著影响电子的输出行为，使陶瓷产生一系列的电功能特性（如PTC特性，压敏特性，大电容特性等）。