28分段函数解析式
专题28、分段函数的解析式问题
【例1】已知函数()f x 对实数x R ∈满足()()0,(1)(1)f x f x f x f x +-=-=+，若当[)0,1x ∈时，
3()(0,1),()12
x f x a b a a f =+>≠=⑴求[]1,1x ∈-时，()f x 的解析式；⑵求方程4()log 0f x x -=的实数解的个数. 定义域要做到不重不漏。【解析】()f x f +又(1)f x -=21x -，∴，()f x ∴()f x f +⑵()f x f +实数解的个数也就是函数的图像，
【例2】已知定义在R 上的函数2()(2)f x x =-.
⑴若不等式(2)(23)f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围；
⑵设()g x =()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ?的表达式． ，当
分段函数的几种常见题型和解法
函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像
高中数学-分段函数的几种常见题型及解法
分段函数常见题型及解法 【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数 它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数 ；它的定义域是各段函数定义域的并 集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域 例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)； 作图， 利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13
【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式 例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像 例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】 将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1 个单位 得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1
分段函数、解析式与图像含详解答案
解析式、分段函数、函数图像作业 题型一分段函数1．已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ??≤≤?=<?(1)画函数图像(2)求((1))f f -；(3)若0()2f x >,求0x 的取值范围. 题型二解析式 1.求下列函数的解析式 （1）已知2()f x x x =+，求(1)f x -的解析式 （2）若1)f x +=+ ()f x 的解析式（3）如果1f x ?? ???＝1x x -，则当x ≠0，1时，求()f x 的解析式（4）已知2112f x x x x ? ?+=+ ?? ?，求()f x 的解析式2.求下列函数的解析式 （1）已知函数()f x 是一次函数，若()48f f x x =+????，求()f x 的解析式； （2）已知 ()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +-=，求()f x 的解析式 （3）已知函数f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x，求()f x 的解析式． （4）已知函数()f x 的定义域是一切非零实数，且满足13()24f x f x x ??+= ??? ．求()f x 的解析式．
3.已知函数()21f x x =-，2,0,(){1,0,x x g x x ≥=-<求()f g x ????和()g f x ????的解析式．题型三函数图像 1.画出函数2)(x x f =的图像，并用变换的方法画出以下函数的图像。 （1）2)(2+=x x f （2）2)1()(-=x x f （3）2)2()(2 +-=x x f （4）32)(2+-=x x x f （5）542)(2 -+=x x x f 2.画出下列函数函数的图像。（1）11 )(-=x x f （2）21)(+=x x f （3）32 1)(+-=x x f （4）3241)(--=x x f （5）231)(+-=x x f 3.画函数12 x y x -=-的图像4.画下列函数的图像 （1）()3f x x =-（2）f（x）=|x 2﹣6x+8|（3）2 x y x =+（4）223y x x =-++（5）1 2|| y x =-
高中数学常见题型解法归纳含详解第15招 分段函数常见题型解法
【知识要点】 分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题. 1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为： 11 2 2() ()()() n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈??∈?=? ∈??∈?K K ，不要写成11 22 ()()()()n n n y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈??=∈?=?∈? ?=∈?K K .注意分段函数的每一段的自变量的取值范 围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面. 2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并. 3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并. 4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合. 5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合. 6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性. 7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. 虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】 题型一 分段函数的解析式问题 解题方法 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.
分段函数的几种常见题型及解法好
分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 2 22(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤?
222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） A C D 6．求分段函数得反函数 例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设 ()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式. 7．判断分段函数的奇偶性 例7．判断函数22(1)(0) ()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+
最新八年级一次函数分段函数经典讲解
认清分段函数,解决收费问题 定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在 k1x+b1 x≤a1 y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。 K3x+b3 a2≤x≤a3 ………… 应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。 (二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例 函数和常数函数。 (三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。 (四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。 分段函数应用题 分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。 收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例. 一、话费中的分段函数 例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：
几何画板中如何用一个解析式画分段函数的图像
几何画板中如何用一个解析式画分 段函数的图像 用几何画板中提供的符号函数sgn(x)=???1，（x ≥0）－1，（x<0） 可以将分段函数112121 211(),(,],(),(,],()(),(,],(),(,) n n n n n f x x x f x x x x F x f x x x x f x x x ----∈-∞??∈??=??∈?∈+∞?? 用一个解析式表示为 112211()()()t ()()n n n n F x t f x t f x f x t f x --=++++ 。 其中，设sgn(),(1,2,,n 1)i i x x i λ=-=- ，则
1112t λ+=，2122t λλ-=，3232t λλ-=，…，2112n n n t λλ----=，112n n t λ--=。 下面举例说明： 例1、32,(0),(),(0), x x F x x x ?≤?=?>?? 解：设1sgn()x λ=-，则1112t λ+=，1212t λ-=，那么 3232121sgn()1sgn(x)()22 x F x t x t x x x +---=+=+ ，画出图像如下图所示。 例2、21,(,1], ()3(2),(1,4],2x 9,x (4,),x x F x x x +∈-∞??=--∈??-∈+∞? 解：设1sgn(1)x λ=-，2sgn(4)x λ=-，则 1112t λ+=，，2122t λλ-=，2312 t λ-=。 那么112233()()()(x)F x t f x t f x t f =++＝ 1sgn(1)(1)2 x x +-?++ 2sgn(4)sgn(1)1sgn(4)[3(2)](29)22x x x x x -----?--+?- 画出图像如下图所示。
分段函数的几种常见题型及解法
复习教案： 分段函数的几种常见 题型及解法 数学组
分段函数的几种常见题型及解法 【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式. 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法. 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 对于分段函数类 型的求解不少同学感到困难较多， 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1． 求分段函数的定义域和值域 分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x 的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。 例1求函数4,23,0123,10x x y x x x x -+>?? =+<≤??+-≤≤? 的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 例5．求函数的值域。 解：因为当x≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，-x 2<0。
(强烈推荐)分段函数和求解析式
1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1 222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-??=-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤??=?>?+?求1[()]f f . 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤??=+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） 6．判断分段函数的奇偶性 例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+时 当0x =时, 当0x <, 7．判断分段函数的单调性 例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间. 8．解分段函数的方程 例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,) x x f x x x -?∈-∞=?∈+∞?, 则满足方程1()4f x =的x 的值为 9．解分段函数的不等式 例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -?-≤?=??>?, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ） 例12 ．设函数2(1)(1)()4(1) x x f x x ?+
高一分段函数函数解析式
【课前小测】 1、点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( ) A．(，1)B．(1，3) C．(2，6)D．(-1，-3) 2、已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( ) A．y=B．y=C．y=x D．y=x2 3、已知函数 ) 12 7 ( )2 ( )1 ( ) (2 2+ - + - + - =m m x m x m x f为偶函数，则m的值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4、函数的定义域是_____________________． 5、设函数则实数的取值范围是_______________
题型三：抽象函数的单调性 例1 函数f(x)对任意的a 、b ∈R ,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3. 例2 定义在区间（0，+∞）上函数f(x)满足f( )21x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)2）判断f(x （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 变式：已知函数y =f (x )对任意x ,y ∈R 均有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x ＞0时，f (x )＜0,f (1)=-32. (1)判断并证明f (x )在R 上的单调性； （2）求f (x )在［-3，3］上的最值. 变式2： 函数f(x)对任意的实数m 、n 有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x ＞0时有f(x)＞0. （1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数； （2）若f(1)=1,解不等式f ［log 2(x 2-x-2)］＜2.
实际问题中求分段函数的解析式
标题：实际问题中求分段函数的解析式 教材：高等教育出版社《数学（基础模块上）》 同学们，下面我们一起来学习在实际应用中，怎样求分段函数的解析式。这是高等教育出版社《数学（基础模块上）》高一的内容，出现在第三章第三节分段函数的实际应用举例这个教学内容中。本知识点的关键词是“分段函数”、“解析式”。求分段函数的解析式，首先需要弄清楚定义域的几个范围，然后写出不同范围内的解析式，最后得到分段函数的解析式。 如下题：从2012年2月起长沙市实行阶梯式水价的收取，四口之家及以下按户均计算，家庭每月用水分为三个级别：15吨以下为第一个级别，每吨2.58元；15—22吨为第二个级别，每吨3.34元；22吨以上为第三个级别，每吨4.09元。下面我们根据题意来找每月缴纳水费y （元）与用水量x （吨）之间的函数解析式。 由题意可知，缴纳水费的标准视用水量x 而定。当每月用水量在15吨以内，即150≤≤x 时，每吨水费按2.58元计算，则x 吨水应缴纳的水费x y 58.2=；当每月用水量在15至22吨之间，即当2215≤
分段函数与求函数解析式
分段函数 1．设f(x)= 1232,2,log (1),2, x e x x x -?2的解集为 (A)（1，2）?（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）? （10 ，+∞）(D)（1，2） 2．函数 |ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） 3.函数1 222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈- ??=-∈??∈+∞? 的定义域为________、值域为________ . 4．设,0.(),0. x e x g x lnx x ?≤=?>?则1(())2g g =__________ 5．已知sin (0),()(1)1(0). x x f x f x x π?则1111()()66f f -+的值为 . 6.设函数812(,1]()log (1,) x x f x x x -?∈-∞=?∈+∞?, 则满足方程1()4f x =的x 的值为 7．已知函数()2,166,1x x f x x x x ?≤?=?+->?? ，则()2f f -=???? ，()f x 的最小值是 ． 8.设函数?? ???>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a . 9．已知函数221,1()lg(1),1x x f x x x x ?+-≥?=??+
高三数学-高考知识点-分段函数复习题教师版
高三数学分段函数复习题 一、单选题 1．设函数，则满足的x的取值范围是 A. B. C. D. 2．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 3．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值范围是（） A. B. C. D. 4．已知函数，那么函数的值域为（） A. B. C. D. 5．设函数，若，则实数a的值为（） A. B. C. 或 D. 6．已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（） A. B. C. D. 7．已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则的取值范围为（）
A. B. C. D. 8．已知上的奇函数满足：当时，，则（） A. B. C. D. 9．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（） A. B. C. D. 10．设函数，，若对任意实数， 恒成立，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二、填空题 11．函数满足，且在区间上，则 的值为 ________． 12．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 13．已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________． 14．（2017新课标全国Ⅲ理科）设函数则满足的x的取值范围是____________.
19．已知函数 （1）若的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若，解关于x的不等式.
参考答案 1．D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果. 详解：将函数的图像画出来， 观察图像可知会有，解得， 所以满足的x的取值范围是，故选D. 点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 2．A 【解析】分析：判断分段函数两段的单调性，当时， 为指数函数，可判断函数在上为减函数；第二段函数的图像开口向下，对称轴为，可得函数在区间上为减函数。时，两段函数值相等。进而得函数在上为减函数。根据单调性不等式可变为。解得。
分段函数与复合函数
分段函数 1.已知函数f （x ）＝2 32,1,,1, x x x ax x +?=?≤?，则1 (())9f f = A.4 B. 1 4 C.-4 D- 14 【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211 (())(2)294 f f f -=-==， 所以B 正确. 3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ?? ?>---≤-0 ),2()1(0 ),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-, (2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=, (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2 ()2()g x x x R =-∈，()4,(), (),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4??- ?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4?? -?+∞???? 【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。 依 题 意 知 222 2 2(4),2()2,2 x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??， 2 22,12()2,12 x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或 5.若函数f(x)=21 2 log ,0, log (),0x x x x >?? ?-f(-a),则实数a 的 取值范围是
分段函数的几种常见题型及解法
分段函数的几种常见题型及解法 【关键词】 分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 反函数; 奇偶性; 方程; 不等式. 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以3 1 2 314 [()]( )1()13 f f f =-= =+-. 3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移 1 个单位, 得解析式为11 22(2)111 y x x =-+-=-, 所以()22([f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 2 ()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得2 22(10) ( )2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 y x
初中分段函数总结
初中分段函数知识点总结 分段函数的定义 对于同一函数关系,当自变量的取值范围不同,函数的关系式也不相同时,这样的函数称为分段函数. 如绝对值函数x y=就是分段函数,它可以写成 () () ? ? ? < - ≥ = x x x x y的形式,其图象 如下图所示,为一条折线. 图（1）绝对值函数的图象 注意: （1）分段函数是同一个函数,不是多个函数. （2）求分段函数的关系式时,应在每个关系式的后面注明相应的自变量的取值范围. （3）求分段函数的函数值时,应看自变量的值在哪个取值范围内,然后代入相应的关系式求值. 求分段函数的函数值 求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值在哪一段自变量的取值范围内,然后代入该段的解析式求值. 例1. 若函数 () () ? ? ? < ≥ + = 4 1 2 x x x x y,则当2 = x时,函数y的值是【】 （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 分析:这是关于分段函数的问题.因为2 = x在x≥0的范围之内,所以对应的函数
值应把2=x 代入函数关系式12+=x y 求得. 解: ∵02> ∴当2=x 时,5122=+?=y . 故选【 A 】. 已知分段函数的函数值,求自变量的值. 方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值. 注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数自变量的取值范围内,不在的应舍去. 例2. 若函数()() ???>≤+=22222x x x x y ,则当8=y 时,自变量x 的值是 【 】 （A ）6± （B ）4 （C ）6±或4 （D ）4或6- 分析:注意分类讨论以及自变量相应的取值范围. 解:当x ≤2时,822=+x ,解之得:6-=x （6=x 舍去）; 当2>x 时,82=x ,解之得:4=x . 综上所述,自变量x 的值是4或6-,故选【 D 】. 分段函数的应用 票价问题 例3. 某风景区集体门票的收费标准是20人以内（含20人）,每人25元;超过20人,超过的部分每人10元. （1）写出应收门票费y （元）与游览人数x （人）之间的函数关系式; （2）利用（1）中的函数关系式,计算某班54名学生去该风景区游览时,购门票共花了多少元. 分析:（1）,这是分段函数,分两种情况讨论:x ≤20,20>x ; （2）求出函数关系式后,根据自变量的取值范围把54=x 代入相应的函数关系式求值即可. 解:（1）()()() ???>-+?≤=20201020252025x x x x y