迎春杯数学竞赛指导讲座(一)
第一讲 速算与巧算（一）
我们已经学过四则运算的定律和性质等基础知识。这一讲主要介绍基本定律和性质在加减法中的灵活运用，以便提高计算的技能技巧。
一、运用加法运算定律巧算加法
1．直接利用补数巧算加法
如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，那么我们就可以说这两个数互为补数，其中的一个加数叫做另一个加数的补数。
如：28＋52＝80，49＋51＝100，936＋64＝1000。
其中，28和52互为补数；49和51互为补数；936和64互为补数。
在加法计算中，如果能观察出两个加数互为补数，那么根据加法交换律、结合律，可以把这两个数先相加，凑成整十、整百、整千，……再与其它加数相加，这样计算起来比较简便。
例1 巧算下面各题：
（1）42＋39＋58；
（2）274＋135＋326＋265。
解：（1）原式＝（42＋58）＋39
＝100＋39＝139
（2）原式＝（274＋326）＋（135＋265）
＝600＋400＝1000
2．间接利用补数巧算加法
如果两个加数没有互补关系，可以间接利用补数进行加法巧算。
例2 计算986＋238。
解法1：原式＝1000－14＋238
＝1000＋238－14
＝1238－14＝1224
解法2：原式＝986＋300－62
＝1286－62＝1224
以上两种方法是把其中一个加数看作整十、整百、整千……，再去掉多加的部分（即补数），所以可称为“凑整去补法”。
解法3：原式＝（62＋924）＋238＝924＋（238＋62）
＝924＋300＝1224
解法4：原式＝986＋（14＋224）
＝（986＋14）＋224＝1224
以上方法是把其中一个加数拆分为两个数，使其中一个数正好是另一个加数的补数。所以可称为“拆分凑补法”。
3．相接近的若干数求和
下面的加法算式是若干个大小相接近的数连加，这样的加法算式也可以用巧妙的办法进行计算。
例3 计算71＋73＋69＋74＋68＋70＋69。
解：经过观察，算式中7个加数都接近70，我们把70称为“基准数”。我们把这7个数都看作70，则变为7个70。如果多加了，就减去，少加了再加上，这样计算比较简便。
原式＝70×7＋（1＋3－1＋4－2＋0－1）
＝490＋4＝494
二、利用减法性质巧算
1．从一个数里连续减去几个减数，可以从这个数里减去这几个减数的总和。用字母表示为：
a－b－c－e＝a－（b＋c＋e）
当连续减去的减数可以凑成整十、整百、整千时（即互为补数），可以先求出这几个减数的和。
例4 计算450－210－190。
解：原式＝450－（210＋190）
＝450－400＝50
2．从一个数里减去几个数的和，可以从这个数里连续减去这几个数。用字母表示为：
a－（b＋c＋e）＝a－b－c－e
当减去几个数的和时，如果有的加数和被减数的最后几位数相同，可以用被减数先减去这个减数，这种做法较简便。
例5 计算5405－（405＋240）。
解：原式＝5405－405－240
＝5000－240＝4760
3．一个数减去两个数的差，等于从这个数里减去第二个数，再加上第三个数。用字母表示为：
a－（b－c）＝a－b＋c
例6 计算：（1）1750－（750－290）；
（2）2480－（616－520）。
解：（1）原式＝1750－750＋290
＝1000＋290＝1290
（2）原式＝2480－616＋520＝2480＋520－616
＝3000－616＝2384
4．第一个数减去第二个数，再加上第三个数，等于从第一个数里减去第二个数与第三个数的差。用字母表示为：
a－b＋c＝a－（b－c）
例7 计算（1）4250－294＋94；
（2）3840－127＋327。
解：（1）原式＝4250－（294－94）
＝4250－200＝4050
（2）原式＝3840＋327－127
＝3840＋（327－127）
＝3840＋200＝4040
上面我们介绍的减法性质，实际上所运用的是“去括号或添括号法则”。去括号和添括号的方法是：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则无论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变：如果括号前面是“－”号，则无论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，即“＋”号要变为“－”号，“－”号要变为“＋”号。
只要弄清了去括号和添括号的规律，减法的性质是很容易记住的。例如：
a－b－c－e＝a－（b＋c＋e）
a－b＋c＝a－（b－c）
以上两等式右边添了括号，括号前是“－”号，所以添上括号后，括号里面的运算符号要改变。又如：
a－（b＋c＋e）＝a－b－c－e
a－（b－c）＝a－b＋c
以上两等式右边去掉了括号，原括号前面是“－”号，所以去括号后，原来括号里面的运算符号要改变。
5．当一个数连续减去若干个数，而这些减数成等差数列时，可以运用添括号法则，再根据等差数列求和进行计算。
例8 计算3800－1－2－3－……－80
解：原式＝3800－（1＋2＋3＋……＋80）（添括号）
＝3800－81×40
＝3800－3240＝560
6．带符号“搬家”、“抵消”方法的巧算。
根据加法交换律和结合律，可以把加数任意交换位置，或几个加数分组结合，使运算简便，而运算的结果不变。这种方法在加减混合运算中也完全适用。但在交换位置时必须注意带符号“搬家”。如：325＋46－125＋54这一道加减混合式题中，数字前面的符号则为它本身的符号。我们所说的带符号“搬家”，带的就是这个符号。例如：＋54，－125，＋46，而325前面没有符号，应看作＋325。带符号“搬家”则不会改变运算结果。
325＋46－125＋54＝300
325－125＋54＋46＝300
325＋54＋46－125＝300
54＋46＋325－125＝300
……
如果带符号“搬家”和交换律、结合律及去括号、添括号法则配合使用，则会使运算简便。 例9 计算：（1）109＋428－156＋141－128－44；
（2）78＋76＋83＋82＋77＋80＋79＋85。
解：（1）先把符号相同的数按符号“搬家”的方法凑在一起，再根据加法结合律及添括号法则使运算简便。
原式＝109＋428＋141－156－128－44
＝（109＋141）＋（428－128）－（156＋44）
＝250＋300－200
＝550－200
＝350
（2）在加减混合运算中，若有两数数字相同而符号相反，则可直接把这两个数“抵消”，而计算结果不变。如：9＋2－9＋3＝5。
在计算（2）题时，由于几个加数比较接近，先找到它们的“基准数”80。
原式＝80×8－2－4＋3＋2－3－1＋5
＝80×8＝640
说明：本题中－2和＋2抵消，－3和＋3抵消，－4、－1和＋5抵消，可书写为：
原式＝80×8－2－4＋3＋2－3－1＋5
＝640
同时本题也可以采取例9（1）的方法计算。
习题一
1．用简便方法计算：
（1）57＋24＋43
（2）895＋316
（3）176＋348＋252＋424
2．用简便方法计算：
（1）1780－290－410
（2）4695－（695－480）
（3）2730－（824－270）
3．计算
（1）6207－（207＋510）
（2）8645－297＋97
（3）204＋576－125＋196－176－75
（4）98＋101＋97＋100＋99＋103＋102＋100
第二讲 细观察、巧解题
讨论一个问题，首先需要观察，通过观察获得初步的感性认识，这样的初级认识可能还没有抓住本质，很可能看到的是表面现象。通过进一步分析，才有可能找到事物之间的内在联系，而找到这种联系后，才能找到解决问题的办法。现在，我们来讨论一些有趣的图中填数游戏。
例1 如图2－1，要求把它剪成形状完全相同的四块，并使每块上各数之和都相等。问应该怎样剪法？
解：首先注意到题目要求把原图剪成形状相同的四块，每块上各数之和相等。
图中共有12个方格，每块应有12÷4＝3个方格。
由图中各数可以算出每块各数之和：
（9＋4＋12＋5＋6＋11＋9＋14＋9＋10＋8＋3）÷4＝25
三个方格可组成长方形，但经过实验分割不成四个相同的长方形。分割成“L”形（如图2－2）是否可能呢？经过实验，只有一种分法。如图2－3。
说明：本题是要构造合乎要求的图形。为了克服实验的盲目性，首先要分析希望剪成的图形的形状、大小。在这基础上，再经过几次实验，就能很快找到解决问题的办法。
例2 把1－5这5个自然数，分别填入图2－4中五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。问如何填法？
解：一条直线上三个数之和是9，另一条直线上三个数之和也是9，那么两个和数相加为18。相加时，端点四个数只加一次，中央的数都是加了两次。于是有1＋2＋3＋4＋5＝1518－15＝3 可见是数3相加了两次，所以中央应填3。这样不难得出符合题意的一种填法。如图2－5。（其中2与4，1与5是可以换位置的）
例3 把1－6这六个自然数，分别填入图2－6的各圆圈内，使三角形每边三个数之和都等于10，能否写出一种填法？
解：每边三个数之和为10，三边总和为30，而1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，三角形三个顶点的三个圆圈内的数，每个数在相加时使用两次。
30－21＝9
顶点处三个数之和是9。而三数之和为9的只有三种情况：
1＋2＋6＝9，1＋3＋5＝9，2＋3＋4＝9。
通过实验，只有1，3，5填入顶点圆圈内，才有符合题意的解答。如图2－7，把1，3，5填入三角形三个顶点圆圈内，要使每边三个数之和为10，自然各边中间的三个数也就确定了。
例4 将1－7这七个自然数，分别填入图2－8中各圆圈内，使三个方向上三个数的和都等于12。你能否写出一种填法？
解：每个方向上三个数之和为12，三个和数相加是36，又1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，而中央位置填的数，在相加时，重复三次。由此得
36－28＝8
8÷（3－1）＝4
通过计算知道，中央位置应填4，每个方向上另两数之和应等于8（12－4＝8）。经实验有三种情况：
1＋7＝8，2＋6＝8，3＋5＝8。
这样很容易写出一种填法。如图2－9。图中1与7，2与6，3与5可以互换位置，且三个方向上任意两个方向上的两个数也可交换（如1、7与3、5互换位置）。
请思考，如果例4中要求三个方向上每三个数之和都等于10，则应怎样填法？
例5 将1－8这八个自然数，分别填入图2－10中的八个空方格中，使四个边上的各算式都成立。解：设左边三个数用a，b，c表示，右边三个数用d，e，f表示，上、下边的中间方格内填的数用g，h表示。那么有：
a÷b＝c
d＋e＝f
a－g＝d
c×h＝f
把除法、减法算式转化成乘法、加法算式，得
b×c＝a
d＋g＝a
d＋e＝f
c×h＝f
通过分析可知，b，c，h都不等于1，它们都不小于2，所以a，f都不会小于6，但不能等7（因为7＝1×7）。因此a，f中一定一个等于6，另一个等于8。
2×4＝8
2×3＝6
取c＝2，a＝8，f＝6，b＝4，h＝3，据此可取g＝7，d＝1，e＝5。这是适合题意的一种填法。如图2－11。
思考本题是否还有别的填法？如果有请再写出一种填法。
习题二
1．将1－8这八个自然数，分别填入图2－12的各方格中。使上面四个格，下面四个格，左面四个格，右面四个格，中间四个格，边角四个格，对角线四个格中各数之和都相等。你能否设计出三种填写方法？
2．将1－7这七个自然数，分别填入图2－13中各圆圈内。使三条直线上每三个数之和都等于12。请写出一种填法，如果不限制三数之和等于12，只要三条直线上三个数之和相等，怎样填法？
3．将1－6这六个自然数，分别填入图2－14中各圆圈内，使三角形每边三个数之和都等于12。请写出一种填法。
4．将1－7这七个自然数，分别填入图2－15中各圆圈内。使三个方向上三个数之和都等于14，请写出一种填法。
5．将1－8这八个自然数，分别填入图2－16中各圆圈内。使“双线”大圆圈中五个小圆圈内五个数之和都等于21。
第三讲 趣味算式（一）
趣味算式是指与数字及其运算有关的趣味数学问题。这类问题的题目类型多样，解题方法灵活，有利于提高逻辑思维能力和推理能力，也有利于提高计算能力。解题时主要运用有关整数运算方面的知识，所以也有利于巩固整数运算的有关性质和法则。
解答趣味算式题，首先要熟悉以下的一些基本知识
1．和、差、积、商的位数
（1）两个n位数的和，最多是n＋1位数，最少是n位数（n是自然数）。如999＋999＝1998，100＋100＝200。
一个m位数与一个n位数的和（m＞n，m、n是自然数），最多是m＋1位数，最少是m位数，如999＋99＝1098，1000＋100＝1100。
（2）两个n位数的差（n是自然数），最多是n位数，如99－10＝89。
一个m位数与一个n位数的差（m＞n，m、n是自然数），最多是m位数，最少是一位数，如999－10＝989，1000－999＝1。
（3）两个n位数的积，最多是2n位数（n是自然数），最少数2n－l位数，如99×99＝9801，10×10＝100。
一个m位数与一个n位数的积，最多是m＋n位数，最少是m＋n－1位数（m、n是自然数），如999×99＝98901，100×10＝1000。
（4）两个n位数的商，当商是自然数时，它是一位数（n是自然数）。
一个m位数除以一个n位数，当商是自然数时，它最多是m＝n＋1位数，最少是m－n位数（m ＞n，m、n是自然数），如9999÷11＝909，1001÷91＝11。
2．乘数与积的个位数字
如果已知两个数相乘积的个位数字，那么两个乘数的个位数字的可能情况见下表：
如果n个数的个位数字都相同，那么它们的积的个位数字的可能情况见下表：
3．奇偶性
我们知道2，4，6，8，10，12，…这些数是偶数，1，3，5，7，9，11，…这些数是奇数，奇、偶数在运算中有以下一些基本性质：
（1）n个偶数的和、差、积还是偶数，如8＋16＝24，38－20＝18，16×4＝64。
（2）两个奇数的和与差都是偶数，如7＋9＝16，13－7＝6。
（3）两个奇数的积还是奇数，如7×5＝35。
（4）一个奇数与一个偶数的和与差都是奇数，如3＋4＝7，12－7＝5。
（5）一个奇数与一个偶数的积是偶数，如14×3＝42。
下面分类介绍趣味算式问题，这一讲先讲“添运算符号”问题。
按题目给定的条件和要求，添运算符号或括号，是数字趣题中较简单的一类问题。解这类问题，没有一定的法则，需进行试添，试添可以从前往后顺推，也可以从后往前倒推，使问题逐步由繁到简，最终得到解决。
例1 王老师批改作业时发现，李强同学的一个计算题的结果正确，但丢掉了括号，于是出现了如下错误等式：
9×8＋12÷6－2＝45
请你替李强同学添上括号，使等式成立。
分析与解：因为没有括号的算式，要求先乘除后加减，所以添括号应在含有加、减运算符号的各数中考虑，比如对6－2添括号，计算得4，又因为6前面是除号，所以6前面的算式如果能得180，就可以求得本题的一个解，而9×（8＋12）正好等于180，于是得到本题的一个解： 9×（8＋12）÷（6－2）＝45
又因为（8＋12）÷（6－2）＝5，于是又得本题的一个解：
9×[（8＋12）÷（6－2）]＝45
例2 在下面等式中的□内填上适当的运算符号，也可以添上适当的括号，使等式成立。
9□8□7□6□5□4□3□2□1＝60
分析与解：因为题目给出的数字较多，所以要分段试填运算符号。如将等式左边分成前四个数字和后五个数字这样两段，如果5□4□3□2□1中的□都填加号，则得15，那么9□8□7□6□中的□填运算符号后，只要它与15进行运算后得60，就能得到题目的一个解。
因为9＋8－7－6＝4，所以本题的一个解是
（9＋8－7－6）×（5＋4＋3＋2＋l）＝60
又如对前五个数进行试填，因为（9－8＋7－6）×5＝10，而后四个数4＋3－2＋1＝6，这样又可以得到题目的一个解：
（9－8＋7－6）×5×（4＋3－2＋1）＝60
本题还有其他解，请同学们自己找找。
例3 在下列数字间，添上运算符号和括号，使等式成立。
4 4 4 4＝1 ①
4 4 4 4＝2 ②
4 4 4 4＝3 ③
4 4 4 4＝4 ④
4 4 4 4＝
5 ⑤
（天津市“我爱数学”竞赛试题）
分析与解：可以从后往前进行倒推，如①中的最后一个4前面先添一个“－”号或“÷”号，即
4 4 4－4＝1
于是问题转化为对4 4 4＝5进行试添运算符号，显然4÷4＋ 4＝ 5，于是得到①的一个解：4÷4＋4－4＝1
若在最后一个4前添“÷”号，即
4 4 4÷4＝1
问题又转化为对444＝4进行试添运算符号，显然4＋4－4＝4，于是又得到①的一个解： （4＋4－4）÷4＝1
如果把四个4分成前后各两个数来考虑，则又可得下面的解：
（4＋4）÷（4＋4）＝1
（4×4）÷（4×4）＝1
（4÷4）÷（4÷4）＝1
②、③、④、⑤也有多种添法，请同学们自己动手试填。
例4 把＋、－、×、÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立。
（5○13○7）○（17○9）＝12
分析与解：按运算顺序，等式中两个括号内的数要先进行计算，最后进行两个括号之间的运算。所以解本题，应先确定两个括号之间的符号。在试填过程中发现，如果括号之间填“＋”号，其它三个○内填“－”、“×”、“÷”，则不论怎么填都不能使等式成立；如果在两个括号之间用“－”或“×”，也不能使等式成立。
当两个括号之间用“÷”时，因为要求前面括号内计算结果是后面括号内计算结果的12倍，所以后面括号内的○应填“－”号，即17－9＝8；因为5＋13×7＝96，于是本题的解是 （5＋13×7）÷（17－9）＝12
例5 在下面的十五个3之间添上＋、－、×、÷号，使下面的算式成立。
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3＝1993
分析与解：因为本题数字多，也不限制必须每两个数字间都要添运算符号，所以可将给的数字，先凑出一个接近1993的数，如3333÷3＋333×3＝2110就是一个接近1993的数，而且已经用了九个3，剩下六个3，因为2110－1993＝117，所以只要用剩的六个3凑出一个117的数就可以了。因为33×3＝99，（3＋3）×3＝18，99＋18＝117，所以得到本题的一个解
3333÷3＋333×3－33×3－（3＋3）×3＝1993
本题也可以用另外的方法凑出接近1993的数，如333×3＋333×3＝1998，因为1998－1993＝5，所以只要用剩下的七个3凑出一个5即可，实际上3÷3＋3÷3＋3＋3－3＝5，所以又得到本题的一个解
333×3＋333×3＋3÷3＋3÷3＋3＋3－3＝1993
例6 在算式1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝303的合适位置添上括号（ ），使等式成立。
分析与解：这种题目只能用试验方法，找到题目的解。因为添括号是为了改变运算顺序，所以要把先乘后加，用括号改为先加后乘，另外要考虑括号内应包含哪些数，也就是括号应添在哪个位置。下面进行试算。
括号放在（1＋2×3＋4×5＋6×7＋8）×9＝303处，显然不行，因为左边运算结果比303大，另外括号内不论得什么数，也不可能是303除以9的商。
括号放在（1＋2×3＋4×5＋6×7）＋8×9＝303处，显然等于没有添括号。
括号放在（1＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9＝303处试算的结果，等式正好成立，所以本题的解是
（1＋2×3＋4×5＋6）×7＋8×9＝303
习题三
1．在下列的等式中，添上合适的括号，使等式都成立。
（1）4＋28÷4－2×3－1＝1
（2）4＋28÷4－2×3－1＝4
2．在下列等式的□处，填上加号或乘号，并添上适当的括号，使等式成立。
1□2□3□4□5＝100
3．在下列等式中的四个4之间添上运算符号，并在适当位置上添上括号，使等式成立。
4 4 4 4＝1
4 4 4 4＝4
4 4 4 4＝5
4．在五个3之间，分别用不同方法添上运算符号和括号，使等式成立。
3 3 3 3 3＝1
3 3 3 3 3＝9
3 3 3 3 3＝9
3 3 3 3 3＝3
5．在十六个2的适当地方，添上运算符号或括号，使计算结果等于已知数。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝1993
6．在123456789的某些数字中间分别添上加号或减号，使所得式子的值等于100。
7．添上运算符号和括号，使 1 2 3 4 5＝1
8．在下面算式的合适的地方，添上（ ）和[ ]，使所得结果等于已知数。
1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1395
9．将算式的四个○，分别填上＋、－、×、÷四个运算符号，并在□中填上一个数字，使算式成立。
9○13○7＝100 14○2○5＝□
10．将合适的＋、－、×、÷、（ ）、[ ]符号填进算式，使算式结果都等于1。
1 2 3＝1
1 2 3 4＝1
1 2 3 4 5＝1
1 2 3 4 5 6＝1
1 2 3 4 5 6 7＝1
1 2 3 4 5 6 7 8＝1
1 2 3 4 5 6 7 8 9＝1
第四讲 趣味算式（二）
这一讲介绍如何解“填数字”问题。这类问题和添运算符号不同，它已经给出运算关系，而要求填写出数字。解决填数字问题，也没有一定法则，掌握这类问题的解法，首先要熟悉第三讲提到的整数运算的有关基本知识，还要掌握一些解题技巧，例如要用到列举法、筛选法、反证法等。解这类问题的关键，是找到解题的突破口。
例1 把1－9这九个数字，分别填入下面算式的□内，使每个等式都成立。
□＋□＝□ ①
□－□＝□ ②
□×□＝□ ③
分析与解：因为1－9这九个数，每取三个数字试乘的情况，要比试加、试减的情况简单，所以应从③式入手试填，试填发现有两种情况：2×3＝6与2×4＝8符合题目要求。
因为1－9九个数中，有四个偶数和五个奇数，而两个奇数或两个偶数的和与差都是偶数，一奇一偶的积、差又都是奇数，这就决定了①、②两式中，只能含有偶数个奇数，而③式中又不可能含3个奇数，所以③式只能是2×3＝6。
第二步，由剩余的六个数字组成①式，它们的可能情况是，1＋4＝5，1＋8＝9，1＋7＝8，4＋5＝9，经试填发现，在1＋4＝5和1＋8＝9的条件下，无法组成②式，所以应舍去。
当1＋7＝8时，②式的组成是9－5＝4或9－4＝5，当4＋5＝9时，②式的组成是8－1＝7或8－7＝1，所以满足题目要求的解有
本题的分析、解题过程说明，以③式入手就是找到了突破口，然后列举可能出现的情况，运用和整数运算有关的知识，将不符合条件要求的情况筛选掉，可以得到题目的解答。
例2 有一个算式，式中画的“×”表示缺掉的数字，求除数的所有不同的质因数的和。（本题是北京市第一届小学迎春杯数学竞赛试题）
分析与解法1：为了便于分析，将算式中的部分待定数字用字母代替。
所以商数为989。
第一个数字只能是9，④式的第一个数字只能是8，所以b＝1，C＝2；
分析与解法2：本题也可以直接求得除数。
位数字为8。
因为③式的三位数减去④式的三位数得三位数，可以判定8与除数的十位数字相乘没有进位，所以b＝1，或b＝0，又因为很容易判定d＝9，所以b＝0是不可能的。
通过试乘，除数取113时，则113×8＝904，积的首位数字大于8，不符合要求，而除数取111时，则111×9＝999，不是四位数，也不符合要求，所以除数只能是112。
如果本题要求把所有缺掉的数字都补上，那也不难，因为求得除数和商数后，除法竖式就成为已知。
例3 下列乘法竖式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，请你用合适的数字代替汉字，使乘法竖式成立。
分析与解：显然，本题应从先确定“大”与“山”所表示的数字入手。因为被乘数的最高位数字“大”与乘数“山”的积仍然是“山”，所以“大”表示1。
因为被乘数的个位数字“山”与乘数“山”的积的个位数字为1，所以只能是“山”表示9。
因为被乘数的百位数字“好”，与乘数9相乘时没有进位，“好”又不能再表示1，所以“好”表示0。
因为被乘数的十位数字“河”与乘数9相乘，积的个位数字是0，而被乘数的个位数字9与乘数9相乘时，向十位进8，所以“河”表示8。
所以本题的解是
例4 下列加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用合适的数字代替字母，使加法竖式成立。
分析与解：从加数与和的个位数字入手。
因为Y＋N＋N＝Y，所以N＝5或N＝0，但N＝5时，加数的十位数字T＋E＋E的和就不可能得T，所以只能是N＝0，同时判定E＝5。
因为加数的百位数字相加，必须向千位进1或2，且千位还必须向万位进1，所以表示0＝9，同时判定I＝1。
因为加数百位数字的和要向千位进2，所以它在22至28之间，可判定T＝7或T＝8。若T＝7，则R＝8，X＝3，这时，只剩数字2、4、6还没有取用，它们要代替S、F、Y，但是S只能比F大1，所以出现矛盾，即T不能是7。
当T＝8时，则R＝6或R＝7，而R＝6时，X＝3，乃出现矛盾，所以只能取R＝7，这时，X＝4，所剩数字为2、3、6，取S＝3，F＝2，Y＝6，就全部完成数字代替字母的解题过程，题目给出的加法竖式是
（本题是美国数学月刊上的一个数字趣题。其中三个加数与和，正好是英文的四个数词40、10、10、60）
下列加法竖式，是一个和例4类似的数字趣题，其中三个加数与和，也正好是英文的四个数词，它们是5、2、1、8，请同学们自己动手解这道题。
例5 下列算式中的O代表奇数，X代表偶数。请你用适当的数字代替O和X，使算式成立。
分析与解：从被乘数、乘数和部分积入手，因为被乘数OX X与乘数个位数字X相乘，部分积是一个四位数，并且它的个位数字是偶数。因为188×8＝1504，其千位数字是1；所以被乘数O××中的百位数字O要大于1；因为用O乘以乘数××的十位数字X得数不大于8，所以被乘数O××中的O只能是3，而乘数××中的十位数字×只能是2。在此条件下可以进行试乘，按要求被乘数3××乘以乘数的十位数字2，应该得×O×。从试乘中得知，被乘数3××只能取306，308，326，346，348，而这些数再乘以偶数4或6，都不能得到×O××，而乘以8时，只有其中的346、348可以得到×O××，但是由于346×28＝9688，不符合最后得积OO××的要求，所以本题只有唯一解
例6 下列的算式中，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，如果它们都成立。
迎迎×春春＝杯迎迎杯 ①
数数×学学＝数赛赛数 ②
春春×春春＝迎迎赛赛 ③
那么，迎＋春＋杯＋数＋学＋赛＝？（1988年北京市迎春杯数学竞赛试题）
分析与解：因为③中的乘数相同，所以试乘过程中的情况最少，经试乘得88×88＝7744，所以，春＝8，迎＝7，赛＝4，再代入①得77×88＝6776，所以，杯＝6。
再分析②，被乘数是“数数”，而乘积的个位数字也是“数”，这就是说，除去8、7、4三个数，剩余的1、2、3、5、9中，只有5能满足这个要求，所以，数＝5；而且“学”必须是奇数，从1、3、9三个奇数中试乘结果知，学＝9，即；55×99＝5445。所以
迎＋春＋杯＋数＋学＋赛＝7＋8＋6＋5＋9＋4＝39
例7 有人把中国古代趣词中的名言佳句与“虫食算”结合起来，制作了一些风格优异的小品，下面就是其中的一例。
年年×岁岁＝花相似 ①
岁岁÷年年＝人÷不同 ②
上面的两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，试解出这两道算式。
分析与解：由②得
“岁岁”＜“年年”；而由两个相同数字组成的两位数是11，22，33，…，99，显然“岁岁”不能是11，因为如果是11，乘积的个位数应该是“年”，这不符合题目要求。如果“岁岁”是33，因为“岁岁”＜“年年”，“年年”最小也应该是44，但是44×33＝1452，与①中积是三位数矛盾，而55×22＝1210，也与①中积是三位数矛盾，所以“年年”只能是33或44。取“年年”为
33，则33×22＝726，仍不符合题目要求（想想为什么？），所以“年年”只能是44，故所求的两道算式是：
44×22＝968
22÷44＝5÷10
习题四
1．将1－9这九个数字，填入下列各题的□内，使等式成立。
（3）□□×□＝□□□＝□×□□
2．补全下列各残缺的算式：
3．下式中的A，应代表什么数字？
4．下面算式中的a、b、c，应代表什么数字？
5．把下面式子里的“奇”和“偶”，分别换成奇数和偶数，使等式成立。
6．把下面式子里的“质”换成质数，使等式成立。
7．下面两个算式中的不同汉字代表不同的数字，请你将它们改成数字的算式。
8．下面题中的a、b、c、d表示互不相同的数字。试求出使两个算式都成立的a、b、c、d所表示的数字。
9．下面乘式中的“趣味数字”四个字代表四个互不相同的数字，每个“□”中可以填0－9
中的任何一个数字，但最高位不能填0，试确定算式中的每个数字。
10．题中三个英语单词CROSS、ROADS、DANGER的词意是“通过”、“十字路口”、“危险”，用这三个单词正好能写成下面的加法算式。已知O代表数字2，S代表数字3，并且要求不同字母代表不同数字，问O、S之外的字母代表什么数字时算式成立？
第五讲 奇数与偶数
一张画面向上的扑克牌，将它翻动一次，扑克牌就会变成画面向下。再翻动一次，它的画面又会向上。不停地翻动，就会发现，当翻动的次数是2，4，6，8…时，扑克牌的画面向上；当翻动的次数是1，3，5，7，9……时，扑克牌的画面向下。这样，就把整数分成了两类：一类是2，4，6，8，10…叫作偶数；另一类是1，3，5，7，9…叫作奇数。
特别地，0也是偶数。
偶数中只有2是质数，其余都是合数。也就是说，质数中只有2一个偶数，其余都是奇数。
自然数是一奇一偶顺序排列的。两个连续的自然数，必然是一个奇数，一个偶数。
奇数和偶数在运算中表现出不同的特性。一个数在与奇数进行加减运算时，必会改变其奇偶性。即一个奇数加上（或减去）一个奇数，其得数将是一个偶数；一个偶数加上（或减去）一个奇数，其得数将是一个奇数。一个数在与偶数进行加减运算时，必会保持其奇偶性。即一个奇数加上（或减去）一个偶数，其得数将是一个奇数；一个偶数加上（或减去）一个偶数，其得数将是一个偶数。而在进行乘法运算时则不同，任何一个数乘以偶数，都得偶数；而只有奇数乘以奇数时，才得奇数。
我们将以上性质总结如下：
（1）奇数±奇数＝偶数
奇数±偶数＝奇数
偶数±偶数＝偶数
（2）奇数×奇数＝奇数
奇数×偶数＝偶数
偶数×偶数＝偶数
进一步，我们还可以得到：
（3）奇数个奇数相加，和为奇数；
偶数个奇数相加，和为偶数；
任意个偶数相加，和为偶数。
（4）如果两个整数的和为奇数，那么这两个数一定是一奇一偶；
如果两个整数的积为奇数，那么这两个数一定都是奇数。
例1 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？
解：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。5个奇数的和为奇数。所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面
都向下。而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。
例2 有6张扑克牌，画面都向上。小明每次翻转其中的5张，那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次？
解：同上题一样，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它由画面向上变为画面向下。要使6张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。6个奇数的和为偶数。所以翻动的总张数为偶数时才能使6张牌的牌面都向下。
小明每次翻动5张，只有翻动偶数次时，翻动的总张数才为偶数。
翻动两次时，一张牌最多被翻两次。而要使每张牌画面向下，就要使每张牌翻动的次数是奇数。小于2的奇数只有1。从而要使每张牌画面向下只能翻动6张。而小明翻了5×2＝10张。所以翻两次不能使6张牌画面向下。
翻动4次时，每张牌最多翻4次。而要使每张牌画面向下，就要使每张牌翻动的次数是奇数。小于4的奇数有1和3。即使每张牌都翻动3次，也只翻动了6×3＝18张。而小明翻了5×4＝20张。所以翻4次也不能使6张牌画面都向下。
翻动6次时，可以使6张牌画面都向下。下面给出一种方法：
第一次翻动第1、2、3、4、5张；
第二次翻动第1、2、3、4、6张；
第三次翻动第1、2、3、5、6张；
第四次翻动第1、2、4、5、6张；
第五次翻动第1、3、4、5、6张；
第六次翻动第2、3、4、5、6张。
这样，每张牌都翻动了5次，所以每张牌的画面都向下。
例3 博物馆有并列的5间展室，保安人员在里面巡逻。他每经过一间，就要拉一下这间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间…，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间…。如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？
分析：当一个房间的开关被拉动偶数次时，这间房间的灯亮着，反之则熄灭。警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，又从第1展室开始重复这个过程。在这个过程中，2、3、4展室的电灯开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次。
解：100＝8×12＋4
即警卫走了12个来回，并重新走过第l、2、3、4、展室。这时有如下情形：
第1展室的电灯开关被拉动了12＋1＝13（次）；
第2展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25（次）；
第3展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25（次）；
第4展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25（次）；
第5展室的电灯开关被拉动了12次。
所以，第1、2、3、4展室的灯熄灭了，第5展室的灯亮着。
例4 甲盒中放有180个白色围棋子和 181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子。李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少次后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？
解：不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会放一个棋子回甲盒。所以他每拿一次，甲盒中的棋子数就减少一个。所以他拿180＋181－1＝360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒中的黑子数不变。就是说，李平每次从甲盒中拿出的黑子数是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。
例5 图5－1是一张8×8的正方形纸片。将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？
解：如图5－2我们在方格内顺序地填上奇、偶两字。这时就会发现，要从上长方形纸片，不论怎样剪，都会包含一个奇，一个偶。我们再数一下奇字和偶字的个数，奇字有30个，偶字有32个。
所以这张纸不能剪成若干个1×2的长方形纸片。
习题五
1．1＋3＋5＋…＋1993的得数是奇数还是偶数？
2．两个数的和，减去这两个数的差，其得数是奇数还是偶数？
3．相邻两个整数的和是奇数还是偶数？
4．一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：
1，1，2，3，5……
那么这串数的第100个是奇数还是偶数？
5．30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？
6．一个小于200的奇数，它的各位数字之和是奇数，并且它可表示成两个两位数的积，那么这个数是几？
7．小红将99个球放入十几个盒子，其中有些盒子中放了12个球，其余的各盒放5个。问他共有多少个盒子？
8．将1－9这9个数字填入3×3的方格中，每格填一个数字。要求满足以下两个条件：
（1）如把每行看成一个三位数，那么第一行加上第二行，恰好等于第三行；
（2）相邻两个数字所在的格子也相邻。
第六讲几何图形的计数趣谈
一、常用的几个简单几何图形的计数公式
1．数线段、三角形、（锐）角的公式
数出图6－1中各条线段上线段的总条数。
图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。
图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。
图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。
图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。所以图6－1(d)中共有10条线段。算式为4＋3＋2＋1＝10。
图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两
条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。所以图6－1（e）中共有15条线段。算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。
将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。
另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。
依此类推，可得：
任意相邻四条小线段连起来组成的新线段共有n－4条。
任意相邻五条小线段连起来组成的新线段共有n－5条。
……
任意相邻n－2条小线段连起来组成的新线段，共有
（n－（n－2）＝）2条。
最后相邻的n－1条小线段连起来组成1（＝n－（n－1））条新线段。
此时，线段的总条数为
（n－1）＋（n－2）＋……＋2＋1
这样便得到如何数类似图6－1中线段总条数的公式：
当一条线段上共n个点（包括两个端点）时，这条线段上线段总条数为：
1＋2＋…＋（n－1） ①
即线段总条数为从1开始的（n－1）个连续自然数的和。
把图6－1稍加变化，可得图6－2。图6－2各图中的三角形有下面两个特点：一是所有三角形有一个共公的顶点，二是所有三角形的底边都在同一条直线上。
图6－2(a)、(b)、(c)中三角形的个数与底边的个数一样多。即图6－2(a)中三角形的个数有6个（6＝1＋2＋3），图6－2(b)中三角形的个数有10个（1＋2＋3＋4＝10）。图6－2(c)中三角形的个数有15个（1＋2＋3＋4＋5＝15）。
这说明公式①还可以用来数类似于图6－2中三角形的总个数。
另外公式①还可以用来数如图6－3中锐角的总个数，即从锐角AOB的顶点O，在其内部引n －1条射线，此时图中锐角的总个数也是：
1＋2＋…＋（n－1）＋n
2．数长方形的公式
先看图6－4中有多少个长方形（图中ABCD是一个长方形，长方形内每条竖线都平行于BC，每一条横线都平行于AB）。
这个问题与数线段有十分密切的关系。由公式知道：AB边上共有（1＋2＋3＋4＋5＝）15条线段；AD边上共有（1＋2＋3＝）6条线段。把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形（包括正方形），所以图6－4中长方形的总数为
（1＋2＋3＋4＋5）×（1＋2＋3）
一般情况下，如果有类似于图6－4的任一长方形，一边上有n＋1个点，其相邻一边上有m
＋1个点（m、n是自然数）；相邻两点间的距离可以相等，也可以不相等。过这些点分别做对边的平行线，与另一边相交，这些平行线将原长方形分割成许多长方形，此时图中长方形的总数为：（1＋2＋…＋n）×（1＋2＋…m） ②
利用公式②还可以计算图6－5(a)、(b)中平行四边形和梯形的总数。
3．数正方形的公式
分别数出图6－6中各图内的所有正方形的个数（图中每个小格都是正方形）。
为方便起见，我们假定每个小方格的边长为1个长度单位。
图6－6（a）中大正方形边长为2个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（2×2）＝4个，边长为2个长度单位的正方形有1个。所以，正方形总数为
1×1＋2×2＝5（个）
图6－6（b）中大正方形边长为3个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（3×3＝）9个，边长为2个长度单位的正方形有（2×2＝）4个，边长为3个长度单位的正方形有1个。所以，正方形的总数为
1×1＋2×2＋3×3＝14（个）
图6－6（c）中大正方形边长为4个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（4×4＝）16个，边长为2个长度单位的正方形有（3×3＝）9个，边长为3个长度单位的正方形有（2×2＝）4个，边长为4个长度单位的正方形有1个。所以，正方形的总数为
1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30（个）
图6－6（d）中大正方形边长为5个长度单位。其中边长为1个长度单位的正方形有（5×5＝）25个，边长为2个长度单位的正方形有（4×4＝）16个，边长为3个长度单位的正方形有（3×3＝）9个，边长为4个长度单位的正方形有（2×2＝）4个，边长为5个长度单位的正方形有1个。所以，正方形的总数为
1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＝55（个）
一般而言，如果类似图6－6中大正方形边长为n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形有（n×n＝）n2个，边长为2个长度单位的正方形有（n－1）×（n－1＝）即（n－1）2个，…，边长为n－2个长度单位的正方形有（3×3＝）9个，边长为n－1个长度单位的正方形有（2×2＝）4个，边长为n个长度单位的正方形有1个。所以，如果类似图6－6的大正方形各边上都有n个彼此相等的小格，那么图中正方形的总数为
12＋22＋32＋…＋n2 ③
二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用
例1 图6－7中共有多少个三角形？
分析与解：将图6－7旋转一下，应添上字母得图6－8。在图6－8中，线段AB将整个图形分为上、下两部分，利用前面的分式①，马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）。
仔细观察便可发现，除了上面那56个三角形外，还有下列三角形，它们是三角形ACD、ECD、FCD、HCD、ICD、JCD、BCD，共七个。这一来，图中三角形的总个数为
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋7＝63（个）
注意：在计数时，千万不要把三角形ACD等给遗漏了，这是数图形中一个很重要的问题或原则，简称为“不漏”。
例2 图6－9中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？
分析与解：为方便起见，我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分。
先看正中间部分。中间部分是每边有六个相等小格的正方形，按前面提到公式③计算，共有（12＋22＋32＋42＋52＋62＝）91个正方形。
再看上下部分。因为图形上、下部分是对称的，所以可只看上部分，上部分除了两个小正方形外，还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形，一共有3个正方形，上下部分合起来应添（（2＋1）×2＝）6个正方形。
最后再看左、右部分，因为图形左右也是对称的，所以可只看左边那部分。左边那部分除了6个小正方形外，还有4个由四个小正方形拼成的较大的正方形，2个由九个小正方形拼成的较大的正方形，1个由十六个小正方形拼成的较大的正方形。左、右部分合起来应再添（（6＋4＋2＋1）×2＝）26个正方形。
把上述三部分正方形的个数加起来，就得到了问题的答案。图6－9中共有正方形。
91＋6＋26＝123（个）
例3 图6－10中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？
分析与解：为方便起见，把图6－10各顶点和交点标上字母，得图6－11。把图6－11先分成内外两层。
按前面提到的公式②，长方形ABCD与A1B1C1D1中各有（（1＋2＋3＋4）×（1＋2＋3）＝）60个长方形。
再看上面，夹在长方形ABCD与A1B1C1D1之间的长方形GG1H1H、H1I1IH、GG1I1I不包含在上面那些长方形中，另外还有长方形GN1M1H、HM1L1I、GN1L1I也不包含在上面已提到的那些长方形中，同样下面也有长方形N1NMM1、MM1L1L、NN1L1L、NG1H1M、M1H1I1L、NG1I1L也不包含上面已提到的那些长
方形中，所以应在内外两层（60×2＝）120个长方形外，再添加刚才提到的（6×2＝）12个长方形。
再看左边，和刚才讨论上面情况一样，应加上长方形EFF1E1、EFJ1R1。同样右边也应添上长方形JKK1J1、KE1F1L。所以应在刚才所提及的长方形外，再添加刚才提到的（2×2＝）4个长方形。
另外中间的长方形PQQ1P1、QQ1R1R1、PRR1P1，在计算长方形ABCD与A1B1C1D中的个数时，这三个长方形都计算了一次，因此重复了，故在计算总数时，应减去这重复的三个长方形。
把上面三种情况所得出的长方形个数相加，然后减去重复的那3个长方形，便是题目的结果。故图6－10中长方形的总数为
60×2＋6×2＋2×2－3＝133（个）
做此题时，有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形，所以在数图形个数时，不但要避免遗漏也要避免重复，这也是数图形中一个很重要的问题或原则，简称“不重”。为了避免犯这两个错误，以后在数简单图形个数时，一定要记住“不重不漏”的原则。
习题六
1．图6－12的各图中各有多少条线段？
2．图6－13的各图中各有多少个三角形？
3．图6－14的各图中各有多少个锐角？
4．数一数图6－15中有多少个三角形？
5．图6－16的各图中各有多少个长方形（图（a）和图（b）最外边的四边形都是一个长方形，另外，两图中所有横线段彼此平行，所有竖线段彼此平行）
希望杯数学竞赛小学三年级试题知识讲解
希望杯数学竞赛小学三年级试题
希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）．
（4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是．
10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？
15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874）19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问：
北京市小学生第十五届《迎春杯》数学竞赛试卷
北京市小学生第十五届《迎春杯》数学竞赛 初 赛 一、填空题(每小题7分，共42分) 1．计算： =?÷--2 17]5.3)3225.8(532[ 。 2．计算： 1.025.668625.08 599?+?-? = 。 3．如右图，长方形ABCD 的长为6厘米，宽为2厘米。经过点A 做一条线段AE 把长方形分成两部分，一部分是直角三角形，另一部分 是梯形。如果梯形的面积是直角三角形面积的3倍，那么，梯形的周 长与直角三角形周长的差是 厘米。 4．已知D C B A ,,,和A D D B C B C A ++++,,,分别表示l 至8这八个自然数，且互不相等。如果A 是D C B A ,,,这四个数中最大的一个数，那么A ,是 。 5．有甲，乙两只手表，甲表每小时比乙表快2分钟，乙表每小时比标准时间慢2分钟。请你判断，．甲表是否准确？ 填写“是”或“否")。 6．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是l 0。这些自然数共有 个。 二、填空题(每小题6分，共36分) 1．求满足下面等式的方框中的数： （+322□）÷45 324.0433=-，□= 。 2．某种商品，如果进价降低l0％，售价不变，那么毛利率 (毛利率=进价 进价售价-×100％可增加12％。原来这种商品售出的毛利率是 。 3．如右图，正方形DEOF 在四分之一圆中，如果圆的半径为1厘米， 那么，阴影部分的面积是 平方厘米。π(取3．14) 4．甲、乙两车都从A 地出发经过B 地驶往C 地，A ，B 两地的距离等于B ，c 两地的距l 离。乙车的速度是甲车速度的80％。已知乙车比甲车早出发l l 分钟，但在B 地停留了7分钟，甲车则不停地驶往c 地。最后乙车比甲车迟4分钟到达c 地。那么，乙车出发后 分钟时，甲车就超过乙车。 5．下面方阵中所有数的和是 。 I
2018年世界少年奥林匹克数学竞赛六年级海选赛试题含答案
六年级 第1页 六年级 第2页 绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 六年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、有甲、乙两个两位数，甲数的 27等于乙数的 2 3 ，这个两位数的差最多是。 2、如果15111111111111111*=++++，242222222222*=+++，33*=3+33+333，那么7*4=。 3、由数字0,2,8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个。 4、如图，正方形的边长是2（a+b ），已知图中阴影部分B 的面积是7平方厘米，则阴影部分A 和C 面积的和是平方厘米。 5、一辆出租车与一辆货车同时从甲地出发，开往乙地出租车4小时到达，货车6小时到达，已知出租车 比货车每小时多行35千米。甲乙两地相距千米 6、一个长方体铁块，被截成两个完全相同的正方体铁块，两个正方体铁块的棱长之和比原来长方体铁块的棱长之和增加了16厘米，则原来长方体铁块的长是。 7、四袋水果共46个，如果第一袋增加1个，第二袋减少2个，第三袋增加1倍，第四袋减少一半，那么四袋水果的个数就相等了，则第四袋水果原先有个。 8、有23个零件，其中有一个次品，不知它比正品轻还是重，用天平最少次可以找出次品。 9、123A5能被55整除，则A=。 10、在一次数学游戏中，每一次都可将黑板上所写的数加倍或者擦去它的末位数，假定一开始写的数是458，那么经过次上述变化得到14. 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、1232001 1 2320012002200220022002 ++++L 12、6328862363278624?-? a +省市 学校 姓名 赛场 参赛证号 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 封 线 内 不 要 答 题
数学竞赛专题讲座七年级第1讲_跨越—从算术到代数(含答案)
第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。 华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献． 纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题讲解 【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础． 【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断．
历届(第1-21届)希望杯数学竞赛初一试题及答案(最新整理)
希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题................................................ 003-005 希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题................................................ 010-012 希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题................................................ 017-020 希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题................................................ 023-026 希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题................................................ 031-032 希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题................................................ 037-040 希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题................................................ 047-050 希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题................................................ 055-058 希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题................................................ 063-066 希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 ............................................... 070-073 希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题................................................ 077-080 希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题................................................ 084-087 希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题................................................ 095-098 希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题................................................ 102-105 希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题................................................ 110-113 希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题................................................ 117-120 希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题................................................ 126-129 希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题................................................ 135-138 希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题................................................ 144-147 希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题................................................ 148-151 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题............................................ 158-161 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题............................................ 166-169 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题............................................ 170-174 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 175-178 希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题............................................ 181-184 希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 185-189 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题............................................ 192-196 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题............................................ 197-200
级迎春杯数学竞赛试卷(1)
二年级数学竞赛试卷（1） 第1—第4题每题7分，其他每题8分。 （1）一瓶油、边瓶带油重5千克，吃了一半油，边瓶带油重3千克。瓶里还有________油，瓶有__________重。 （2）工人师傅要把一根圆钢锯成4段，每锯断一次要用9分钟。全部锯完一共要用_______分钟。 （3）我国第一天河长江比黄河长836千米。黄河长4640千米，长江长________千米 （4）幼儿园的王教师有26个苹果，至少要拿出________个，剩下的正好可以分给8个小朋友。 （5）服装店卖书童装套数是成年人服装的2倍，卖出成年人服装8套，卖出童装______套。 （6）买一双布鞋要7元，________，买一双皮鞋要________元。 （7）第一组同学做了8只风筝，________，第二组同学做了________只风筝。 （8）20个同学去慰问军属，每5个人分1组，可以分________组，每组慰问3家，共慰问________家。 （9）拖拉机厂去年生产拖拉机2625台，今年比去年多生产27台，今年生产拖拉机________台。 （10）王老师买来5角邮票4张，1元邮票20张。1元邮票的张数是5角________倍。 （11）四年级同学制作科技作品48件，三年级比四年级少8件。三年级制作科技作品________件。 （12）金鱼池里养了39条黑金鱼，养的红金鱼的条数是黑金鱼的4倍，
红金鱼养了_____条，黑金鱼和红金鱼一共有_____条。 （13） 2只同样重的西瓜加上2千克的铁块正好与10千克的铁块同样重，一只西瓜重_____千克。 小学二年级数学思维竞赛试卷（2） 一、按规律填数。（各4分）完卷时间40分钟 ⑴ 1、2、3、1、2、6、1、2、12、1、2、24、（）、（）、（） ⑵ 1、2、3、6、7、（）、（） ⑶ 1、1、2、3、5、8、（）、（） ⑷ 2、5、6、9、10、13、14、（）、（） 二、填空。（各7分） 1、在一次数学考试中规定，做对一道题得5分，做错一道题扣3分，小伟做了10道题，共得了34分，他做对了（）道题。 2、小刚用棋子围了一个空心的正方形，每边有16粒棋子，并且正方形的四个顶点上都有一粒棋子，小刚一共用了（）粒棋子。 3、小明从1写到100，他共写了（）个数字“1”。 4、一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，笼子里共有（）只鸡、（）只兔。 5、林林心里想到三个数，它们的和是12，又知道第二个数比第一个大1，第三个又比第二个大1，林林心中想的这三个数是（）、（）、（）。 6、邮局门前共有5级台阶，若规定一步只能登上一级或两级，上这个台阶共有（）种不同的走法。 7、今年爸爸的年龄比小明大30岁，前5年爸爸比小明大（）岁。 8、小冬家住在六楼，他从一楼走到三楼用了2分钟，照这样计算从一楼走到六楼共用了（）分钟。 9、16只猴子分装在5个笼子里，每个笼子猴子数不一样，你知道每个笼子里该有（）、（）、（）、（）、（）只猴子。 10、同学们排队，按照３名女同学２名男同学的顺序排队，３０名同学中，有（）名女同学，（）名男同学。 11、用8个8组成的数，它们的和正好等于1000。 （）＋（）＋（）＋（）＋（）＝1000
2017奥林匹克数学竞赛试题及答案
绝密★启用前 世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。 2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。 3、比赛时不能使用计算工具。 4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 三年级试题（Ａ卷） （本试卷满分120分，考试时间90分钟） 一、填空题。（每题5分，共计50分） 1、仔细观察，想一想接着该怎么画。 2、一只猫吃完1条鱼需要6分钟，5只猫同时吃完5条同样大小的鱼需要分钟。 3、国庆阅兵中，15辆坦克排成一队，从前往后数，战士小李驾驶的坦克是第6辆，那么从后往前数这辆坦克是第_______辆。 4、车站里的汽车每隔15分钟一班，小青想搭8:45的一班车去图书馆，但是她到达车站的时间已经是8:47，那么她还要等_______分钟才能搭乘下一班汽车。 5、一只大白兔的重量是2只松鼠的重量，1只松鼠的重量是3只小鸡的重量，1只大白兔的重量等于_______只小鸡的重量。 6、东村到西村有3条路，西村到南庄有4条路。那么从东村经过西村到南庄一共有_______条路可走。 7、学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了名新生。 8、妈妈买来一块豆腐准备做鱼头豆腐汤，让小军动手切8块，小军最少要切刀。 9、王奶奶有两篮桃子，从第一个篮子里拿3个放入第二个篮子里，两个篮子里桃子就一样多，已知第二个篮子里原来有8个桃子，第一个篮子里原来有______个桃子。 10、下图中有个三角形。 二、计算题。（每题6分，共计12分） 11、2015＋201＋20－15＋5 12、1000-9-99-8-98-7-97-6-96-5-95-4-94-3-93-2-92-1-1 三、解答题。（第13题6分，第14题8分，第15题10分，第16题10分，第17题12分，第18题12分，共计58分） 13、一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半，已知头长3米，这条大鲨鱼全长有多少米？ 14、超市新进6箱足球，连续4天，每天卖出8个。服务员重新整理一下，剩下的足球正好装满2箱。原来每箱有几个足球？ 15、小丽和小晴两人比赛爬楼梯，小丽跑到3楼时，小晴恰好跑到2楼，照这样计算，小丽跑到9楼，小晴跑到几楼？ 16、三年级（2）班有46人，新学期开学要从A、B、C、D、E五位候选人中选出一位班长，每人只能投一票。投票结束（没人弃权），A得24票，B得选票占第二位，C、D得票同样多，E得票最少只得4票。那B得多少票？ 17、有两层书架，共有书173本，从第一层拿走38本后，第二层的书是第一层的2倍还多6本，第二层原有多少本书？ 18、小张和小赵两人同时从相距1000米的两地相向而行，小张每分钟行120米，小赵每分钟行80米，如果一只狗与小张同时同向而行，每分钟跑460米，遇到小赵后，立即回头向小张跑去，遇到小张再向小赵跑去，这样不断地来回跑，直到小张和小赵相遇为止，狗共跑了多少米？
(完整word版)希望杯数学竞赛小学三年级试题
希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数．
8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成．（2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？
14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问： （1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 23．有10只盒子，54只乒乓球，把这54只乒乓球放到10只盒子中，要求每个盒子中最少放1只乒乓球，并且每只盒子中的乒乓球的只数都不相同，如果能放，请说出放的方法；如果不能放，请说明理由．
北京市第届“迎春杯”小学数学竞赛
第15届“xx杯”小学数学竞赛初赛 一、填空题 1.计算：_______． 2.计算：99××68+6.25×0.1= ________． 3.如右图，长方形ABCD的长为6厘米，宽为2厘米。经过点A做一条线段AE把长方形分成两部分，一部分是直角三角形，另一部分是梯形．如果梯形的面积是直角三角形面积的3倍，则，梯形的周长与直角三角形周长的差是 ________厘米． 4.已知A，B，C，D和A+C，B+C，B+D，D+A分别表示1至8这八个自然数，且互不相等．如果A是A，B，C，D这四个数中最大的一个数，那么A是________． 5.有甲、乙两只手表，甲表每小时比乙表快2分钟，乙表每小时比标准时间慢2分钟．请你判断，甲表是否准确？________．（只填写“是”或“否”） 6.已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．这些自然数共有 ______个． 二、填空题 7.求满足下面等式的方框中的数：，□＝________． 8.某种商品，如果进价降低10％，售价不变，那么毛利率（毛利率＝ ）可增加12％，则原来这种商品售出的毛利率是________．? 9.如右图，正方形DEOF在四分之一圆中，如果圆的半径为1厘米，那么，阴影部分的面积是________平方厘米．（取3．14．） 10.甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离．乙车的速度是甲车速度的80％．已知乙车比甲车早出发11分
钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地．最后乙车比甲车迟4分钟到达C地．那么，乙车出发后________分钟时，甲车就超过乙车．? 11.下面方阵中所有数的和是________．（缺图） 12.把1，2．3，4，5，6，7．8，9按另一种顺序填在下表的第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数的和都是平方数．（缺图） 三、解答题： 13.甲、乙两辆清洁车执行车、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？ 14.今有重量为3吨的集装箱4个，重量为2.5吨的集装箱5个，重量为1.5吨的集装箱14个，重量为1吨的集装箱7个．那么，最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱？（要求给出一种方案） 答?案 1. 7． 2. 20． 3. 6厘米． 4. 6． 5.否． 6. 11个． 7.1.5．8.8%．9.0.285平方厘米．10.27分． 11. 4872500．12.依次填写．13.60千米．14.12辆．
最新奥林匹克数学竞赛试题
奥林匹克数学竞赛试题（几何部分）Mathematics Olympic test (geometric part) 1.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=50°，点E,F,M,N 分别为四条边的中点，求证：BC=EF+MN.【简单】 2.已知在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为平 行四边形ABCD外一点，且∠APC=∠BPD=90°，求证：平行四边形ABCD为矩形.【简单】
3.已知在三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上一点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F.求证：PE+PF=CD.【简单】 4.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD⊥AB，AH⊥FH，EF⊥AB，求证：EF=CD+FH.【简单】 5.已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形，连结AD，延长CE交AD与F,求证：CF⊥AD.【简单】
6.已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AD交BE于F，连结CE交AB于G，连结FG，求证：FG∥CD.【简单】 7.已知三角形ABC为正三角形，内取一点P，向三边作垂线，交AB 于D，BC于E,AC于F，求证：PD+PE+PF=三角形的高.【简单】
8.已知三角形ABC为正三角形，AD为高，取三角形外一点P，向三边（或边的延长线）作垂线，交AB的延长线AE于M，交AC的延长线AF于N，交BC于Q，求证：PM+PN-PQ=AD.【中等】 9.已知在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O，DE平分∠ADC交AC 于F，若∠BDE=15°，求∠COE的度数.【中等】
高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题
竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试 一、选择题（每题4分，40分） 1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ） A ．()h x 的最大值是M+N B ．()h x 的最小值是m ＋n C ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+ D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集 2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定的 4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝ 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ） A ．S ≠?T B ．T ≠ ?S C ．S=T D ．S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） A ．9 B ．6 C ．18 D ．16 6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ） A ．方程没有整数根 B ．方程有两个相等的整数根 C ．方程有两个不相等的整数根 D ．不能判定方程整数根的情况 7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin 22 x y x x =-的值域是（ ） A ．( B ．( C ． D ． 8、已知e tan ） 第二讲 创造的基石——观察、归纳与猜想 当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的． 从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性． 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石． “要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家，数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理、由猜想来发现的．”______G ．波利亚 链接：G ．波利亚，美籍匈牙利人，现代著名数学家，他的《怎样解题》等著作，被誉为第二次世界大战后的数学经典著作之一． 观察、实验、猜想是科学技术创造过程中一个重要方法，通过观察和实验提出问题，再提出猜想和假设，最后通过推理去证明假设和猜想． 举世瞩目的“数学皇冠上的明珠”——哥德巴赫（德国数学家）猜想，就是从下面这些等式：6=3+3,8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11．归纳得出：“任何不小于6的偶数均可以表示成两个奇质数的和．”我国数学家陈景润于1973年证明了“1+2”，离解决哥德巴赫问题，即“1+1”仅一步之遥． 例题讲解 【例1】 (1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…… 问：前2001个圆中，有 个空心圆． (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l ，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 ． (舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示． 【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： 像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )． A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系．是解本例的关键． ．．．．．．四条直线相交，最多有六个交点 三条直线相交，最多有三个交点两条直线相交，最多只有一个交点 刚刚结束的“中环杯”初赛，今年题型的变化纷纷让学生们措手不及，历来中环杯的难度都是各热门的数学杯赛竞赛中偏高的，小学中热门的数学竞赛，由于“希望杯”相对而言更注重基础，因此似乎对考生来说是最有“希望”拿到证书的数学竞赛。而掌握“希望杯”备考及竞赛过程中的几个要点，对取得好成绩大有帮助。更多信息请点击>> 破解简单题目中的玄机 “希望杯“主要考察学生奥数基础知识的掌握情况，一般奥数教材里的数论、几何、应用题等都会考到，覆盖面较广。比如学生的计算能力；是否能熟记基本的知识点；有无学会对知识和解题方法进行归纳总结，并举一反三，触类旁通等。 相对于其他杯赛，“希望杯”命题风格非常直白，考察学生运用知识点解决实际问题的能力。考试题目虽然比较简单，但可能暗藏陷阱，学生一不留神就可能“中招”。 “希望杯”竞赛的一个特色就是面向的参赛群体非常广泛。在校成绩突出的学生有机会获奖；成绩并不突出但学习踏实的学生同样也有机会获奖。“希望杯”的最终评奖结果在每年的六月初揭晓，而第一试是在每年三月初就公布成绩，进入第二试的比例为20%。有一点要提醒大家注意，“希望杯”第一试往往是“一题两解”，考生在解题时要考虑周全可能包含的各种情况，切勿粗心大意。 专家认为，“希望杯”思维能力竞赛的试题内容不超教学大纲，不超进度，贴近现行的数学课本，又稍高于课本。试题活而不难，巧而不偏，能将知识、能力的考察和思维能力的培养结合起来，而不只是让学生单纯地解答数学题目。 更重视解题过程 由于“希望杯”考察的知识点不偏不刁，这就对不一定具有数学天分但是学习踏实的同学很有利；而且“希望杯”的第二试试题重视解题过程，平时学习习惯好，作业过程认真清晰的学生有希望冲击更高的奖项。从这两点可以看出，“希望杯”非常有利于大部分成绩并不突出的同学获奖，这也是“希望杯”有别于其他杯赛的重要区别之一。 奥数知识基础相对扎实、解题认真的考生最适合报考“希望杯”，那些在学校学习处于中等偏上、学有余力的同学都可以参加。对他们来说，参加考试最大的意义在于检验知识的灵活运用能力。“希望杯”强调灵活的变通，这正符合喜欢思考、善于思考的学生的需求。学生不妨看看“希望杯”基础在哪，基础之上的变通又在哪，从而检测自己对于数学学习的掌握情况。我们建议只要对数学有兴趣者都可以参加，“希望杯”注重基础知识点的考察，难度又稍高于平时。考生要想获得名次，就肯定要花时间去“吃透”这些知识点。如果学生能以此标准来要求自己，那学起基础数学就更是应对自如了。 历年真题是法宝 四年级奥林匹克数学竞 赛题目 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 四年级奥林匹克数学竞赛题目 一、计算题 (4分) 1、11×40＋39×48＋8×11 ＝ 2、1996＋1997＋1998＋1999＋2000＋2001＋2002＋2003＋2004＝ 二、填空题 (27分) 1、找规律填数: 21 26 19 24 ( ) ( ) 15 20 2、用0--4五个数字组成的最大的五位数与最小的五位数相差( )。 3、用0、5、8、7这四个数字，可以组成（）个不同的四位数。 4、小明每天晚上9时30分睡觉，早晨6时30分起床，那么他的睡眠时间是（）小时。 5、甲、乙、丙三人站成一排照相，有（）种排法。 6、从午夜零时到中午12时，时针和分针共重叠（）次。 7、环形运动场上正在进行长跑比赛。在每位参加赛跑的运动员前面有7个人在跑着，在每位运动员的后面，也有7个人在跑着，现在运动场上一共有（）名运动员。 8、一块豆腐，要想切成八块，最少的（）刀就可以完成。 9、妈妈使用一个平底锅烙饼，这个平底锅每次只能放2张饼，1张饼要烙两面，烙熟一面要3分钟，烙熟3张饼至少需要（）分钟。 三、选择题 (21分) 1、公园要建一个正方形花坛,并在花坛四周铺上2米宽的草坪,草坪的面积是96平方米,花坛和草坪的面积总和 是( )平方米. (A)204 (B)190 (C)196 (D)100 2、小明每分钟走50米,小红每分钟走60 米,两人从相距660米的两村同时沿一条公路相对出发,8分钟后两人相 距( )米. (A)75 (B)200 (C)220 (D)110 3、右图的周长是（）分米.。 4分米 5分米 （A）22 （B）20 （C）18 （D）28 4、500张白纸的厚度为50毫米，那么（）张白纸的厚度是 750毫米。 C. 7500 5、6个男生的平均体重是40千克，4个女生的平均体重是 30千克，这10个同学的平均体重是（）千克。 A、35 B、38 C、36 竞赛讲座01 －奇数和偶数 整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质： （1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数； （2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶； （5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题 例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？ □+□=□，□-□=□， □×□＝□□÷□＝□. 解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数. 例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组 是整数，那么 （A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数. （C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数 分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C） 例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数. 分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都 添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数. 2.与整除有关的问题 例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？ 解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有 a1=0, 偶 a2=1 奇 a3=3a2-a1, 奇 a4=3a3-a2, 偶 a5=3a4-a3, 奇 a6=3a5-a4, 奇 ……………… 由此可知： 当n被3除余1时，a n是偶数； 当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则 a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4. 解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为 b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17. 要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.2009年第二十届“希望杯”全国高二数学邀请赛(第2试)
数学竞赛专题讲座七年级第2讲创造的基石—
数学希望杯竞赛
四年级奥林匹克数学竞赛题目完整版
数学竞赛专题讲座共35讲全套