北京大学线性代数教程

《线性代数》

?THZ-PKU

主题

?数学重要主题:

方程+函数?微积分:

非线性线性(一次)?线性代数:一次方程组+一次函数组

y i =y i (x 1,?,x n )=a i,1x 1+?+a i,n x n

b i =a i,1x 1+?+a i,n x n , i=1,2,…,m

线性变换: n 个n 元线性函数组线性方程组

一次方程组n 元线性函数可由其中的系数排列成矩阵来表示

线性代数的难与易

?易:

1.简【方程函数千千万，一次最简单】

2.少【算法少：1+1】

(1)矩阵初等变换，(2)矩阵乘法?难:概念抽象(应用广泛),运算繁琐(大量重复)?代数好算不好懂,几何好懂不好算

?攻略：代数几何熔一炉,空间为体,矩阵为用

基本任务

?始以正合：熟练掌握两个算法(矩阵初等变换，矩阵乘法),包括借助计算机实现算法

?终以奇胜：将遇到的问题变成可用算法来计算的形式(建模),用算法解决

(a,b)的二元函数极小

最小二乘问题未知量(a,b)的二元一次方程组b前面的系数相同

第一章

线性方程组的解法§1.1 线性方程组的初等变换

引例

中学数学: 用数学归纳法证明

S n=12+22+…+n2 =n(n+1)(2n+1)/6

质疑: 1. 怎样想出来?

2. 能否如法炮制S n=1k+2k+…+n k?

国际歌:

?从来就没有救世主, 也不靠神仙皇帝,?要创造人类的幸福, 全靠我们自己.

尝试自己创造

例1:求S

=12+22+…+n2

-S n-1=n2

分析:S

反过来, 若一个函数f(n)满足f(n)-f(n-1)=n2, 则

S n =(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))

=f(n)-f(0),

∴当f(0)=0时, S n =f(n).

★当f(n)是多项式时, f(n)-f(n-1)是次数降1的多项式.

实施

解:(待定系数法) 待定S

n =f(n)=an+bn2+cn3满足

n2=f(n)-f(n-1)

=a+b(2n-1)+c(3n2-3n+1)

=(a+b+c)+(2b-3c)n+3c n2比较等式两边的系数，得线性方程组

c=1/3

b=1/2

a =1/6

S n=(1/3)n3+(1/2)n2+(1/6)n

如法炮制

求:S

=14+24+…+n4

=f(n)=a1n+a2n2+a3n3+a4n4+a5n5解:待定S

n4= f(n)-f(n-1)

a 1,?,a n ,

b 为已知给定的数,

x 1,?,x n 为未知量

?n 元一次或线性方程组:m 个n 元一次或线性方程组成

?n 元一次方程或n 元线性方程a i,1x 1+?+a i,n x n =b i , i=1,2,…,m

a 1,1x 1+?+a 1,n x n =

b 1

a 2,1x 1+?+a 2,n x n =

b 2?

a m,1x 1+?+a m,n x n =

b m

或

a 1x 1+?+a n x n =

b 如果方程组(1.1.3)中的未知量x 1,?,x n 分别替换为n 个已知数

c 1,?,c n 得到m 个恒等式a i,1c 1+?+a i,n c n =b i , i=1,2,…,m, 则称有序数组(c 1,?,c n )为(1.1.3)的一个解. (1.1.3)如果(1.1.3)中所有的b i =0,则称其为齐次线性方程组,

否则为非齐次线性方程组.齐次线性方程组有零解(称

为平凡解)

方程组的全体解的集合称为方程组的解集.

例A4:齐次方程组x 1+x 2+x 3=0x 1+x 2?x 3=0

解: (0,0,0), (1,-1,0), (-1,1,0), (2,-2,0), ….例A1: 非齐次方程组

x 1?x 2=?13x 1+x 2=9解: (2,3)例A2:非齐次方程组x 1?x 2=0

3x 1?3x 2=1

无解!线性方程组何时无解?

何时有解? 何时有惟一解? 如何求解?

三个未知量的线性方程确定一空间平面. 三个平面

的交点就是三个方程组成的线性方程组的解.

例A3:非齐次方程组x 1?x 2=13x 1?3x 2=3

解: (2,1), (1,0), (3,2),…..

1.为什么要学习线性方程组

2.三角形方程组的解法

3. 不是三角方程组怎么办?

方法: 保持同解,变成三角形

. 线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组. 大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位.上三角形线性方程组:从上到下每个方程比上

一个方程少含一个未知

数,即等号左边左下角

是空白.

插值问题

例2. 求曲线y = ax2+bx+c 过(1,1),(2,2),(3,0). 解:尝试用中学的加减消去法

a =-3/2, b= 1/2,c=-3

因此，曲线方程

y =(-3/2)x2+(1/2)x-3§1.1.2(Page 3)

方程(3)减方程(2);

方程(2)减方程(1);方程(3)减方程(2);

基本同解变形

1. 两个方程互换位置:

2. 某个方程乘非零常数:

3. 某个方程的常数倍加到另一方程:

?任意方程组U 中各方程分别乘常数再相加得到的新

方程称为方程组U 的线性组合

?变形前后方程组互为线性组合它们同解

§1.1.2(Page 4)上述三类变形称为线性方程组的初等变换一般的线性方程组的求解化成三角形求解(消元法)

U, W 表示方程组

作业

?习题1.1(Page 7): 3, 4, 5

分离系数法

方程组同解变形只是对系数运算(加减乘除):将系数排成矩阵(纵横排列的二维数据表格)代表方程组,进行同样的变

形

§1.2(Page 7)

?方程组U 的线性组合/初等变换, 相应的是“系数矩阵”的行的线性组合/矩阵的初等行变换.

Page 8在数学中，矩阵(Matrix)

是指纵横排列的二维数

据表格，最早来自于方

程组的系数及常数所构

成的方阵. 这一概念由

19世纪英国数学家凯利

首先提出.

矩阵是线性代数中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科

中. 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；

计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵. 矩阵的运算是数值分

析领域的重要问题. 将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际

应用上简化矩阵的运算. 对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀

疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法. 在天体物理、量子力

学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广.

a 1,1a 1,2?a 1,n a 2,1a 2,2?a 2,n ????

a m,1a m,2?a m,n

m ×n 矩阵: 由m n 个数排列成的m 行n 列的矩形数表m,n 为正整数a i,j 为第i 行第j 列的元素或第(I,j)元素数表中的每个数称为矩阵的一个元素或分量n 维行向量: 1×n 矩阵a 1,1

a 1,2?a 1,n a 1,

a 2,?,a n m 维列向量: m ×1矩阵a 1,1a 2,1

a m,1a 1a 2?a m m =n 时的矩阵称为m 阶方阵简记为简记为零矩阵:a i,j =0, 1≤i ≤m,1≤j ≤n

零向量a i =0, ?i

?PageRank，网页排名，又称网页级别、Google左侧排名或佩奇排

名，是一种由搜索引擎根据网页之间相互的超链接计算的技术，

而作为网页排名的要素之一，以Google公司创办人拉里·佩奇

(Larry Page)之姓来命名. Google用它来体现网页的相关性和重要性，

在搜索引擎优化操作中是经常被用来评估网页优化的成效因素之

一. Google的创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1998年在斯坦福大

学发明了这项技术.

?PageRank通过网络浩瀚的超链接关系来确定一个页面的等级.

Google把从A页面到B页面的链接解释为A页面给B页面投票，

Google根据投票来源(甚至来源的来源，即链接到A页面的页面)和

投票目标的等级来决定新的等级。简单的说，一个高等级的页面

可以使其他低等级页面的等级提升.

假设一个由4个页面组成的小团体：A, B, C和D. 如果所有页面都链向A，那么A的

PR(PageRank)值将是B，C及D的Pagerank 总和

PageRank值是一个特殊矩阵中的特征向量

2019春北京大学网络教育学院线性代数作业答案

春季学期线性代数作业一、选择题（每题2分，共20分） 1.（教材§1.1，课件第一讲）行列式（B ）。 A.13 B.-11 C.17 D.-1 2.（教材§1.3，课件第二讲）下列对行列式做的变换中，（B ）不会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以一个非零数 B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行 C.互换两行 D.互换两列 3.（教材§2.2，课件第四讲）若线性方程组无解，则a的值为（ D ）。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.（教材§3.3，课件第六讲）下列向量组中，线性无关的是（C ）。 A. B. C. D. 5.（教材§3.5，课件第八讲）下列向量组中，（D ）不是的基底。 A. B. C. D.

6.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，和均为实数，则下列结论不正确的是（ A ）。 A. B. C. D. 7.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，则（ C ）。 A. B. C. D. 8.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（ D ）。 A. B. C. D. 9.（教材§4.3，课件第十讲）下列矩阵中，（A ）不是初等矩阵。 A. B. C. D. 10.（教材§5.1，课件第十一讲）矩阵的特征值是（B ）。 A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分）

11.（教材§1.1，课件第一讲）行列式的展开式中，的一次项的系数是 2 。 12.（教材§1.4，课件第三讲）如果齐次线性方程组有非零解，那么的值为0或1 。 13.（教材§2.3，课件第四讲）齐次线性方程组有（填“有”或“没有”）非零解。 14. （教材§3.1，课件第五讲）已知向量则。 15. （教材§3.3，课件第六讲）向量组是线性无关（填“相关”或“无关”）的。 16. （教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，那么。 17. （教材§4.2，课件第九讲）已知矩阵，那么。 18. （教材§5.1，课件第十一讲）以下关于相似矩阵的说法，正确的有1,2,4

北大版线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ；解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

北京大学线性代数2016期末考试题

线性代数B期末试题－2016年秋第一题（20分）：令A∈M n[?]为一可逆矩阵，u,v∈?n，定义分块矩阵 C=?A u v?0? 1)（10分）求u,v的一个充分必要条件使得矩阵C可逆。 2)（10分）在1)的条件满足的情况下求C?1。第二题（20分）： 1)（10分）求a的取值范围，使得矩阵 A=?1a a a1a a a1? 正定。 2)（10分）判断下列矩阵是否正定（给出判断依据）： A=?32250 12 1 0211?1003?，B=?32240000 00001111?，C=? 2?1 ?1200?10 0?10 02?1 ?12 ? 第三题（15分）：令矩阵A,B∈M n(?)。 1)（5分）设A是对称正定矩阵，B是对称矩阵，证明存在可逆矩阵P使得P?AP=I且P?BP为对角矩阵。 2)（10分）设A和B均为对称半正定矩阵，证明存在可逆矩阵P使得P?AP和P?BP为对角矩阵。如果B仅是对称矩阵，同样的结论是否成立？如果成立，给出证明，否则给出一个反例。第四题（15分）：令L＝D2+2D+1为线性空间V=<1,sin(x),cos(x)?sin(x)> 上的线性变换，求其在基{1,sin (x),cos(x)?sin(x)}下的矩阵。第五题（10分）：证明任何一个秩为r的矩阵总可以写成r个秩为1的矩阵之和。第六题（10分）：在?2中，对于任意α,β∈?2，定义二元函数 (α,β)=a1b1?a1b2?a2b1+4b1b2 求证(α,β)是?2的一个内积，并求?2关于该内积的一个标准正交基。第七题（10分）：对任一矩阵C，我们定义range(C)为矩阵C列向量组生成的线性空间，定义ker (C)为齐次线性方程组Cx=0的解空间。?m是标准内积空间。 1)（5分）令A∈M m×n(?)，证明ker(A?)⊕range(A)=?m。 2)（5分）令矩阵A∈M m×n(?)，β∈range(A)??m，γ∈?n，d∈?。证明下面的两个命题为等价命题： a.线性方程组Ax=β的任何一个解x都满足γ?x=d。 b.存在一个向量α∈?m，使得γ=A?α，d=β?α。

数值线性代数北大版问题详解全

数值线性代数习题解答习题1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得 [注意]考虑到存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。 [解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）

（2）计算上三角矩阵。运算量大约为. （3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。 [解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使 [解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。

[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即，从而即A的LU分解是唯一的。６．设的定义如下证明A有满足的三角分解。 [证明]令是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下容易验证：７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式证明仍是对称阵。 [证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为

北大版-线性代数第一章部分课后标准答案详解

北大版-线性代数第一章部分课后答案详解

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北京大学线性代数方博汉线代B物院2018秋期末考试题(回忆版)

2018秋线性代数期末(回忆版) 教师：?博汉 (1)(20分) V 为实数域 ? 上 n 维线性空间，若正交线性映射 f:V →V 特征值为1的特征?空间 W 维数为 n ?1 。证明 f =id -?2P ，其中 id - 为 V 上恒同映射， P 为向 W 的正交补空间 W 0 的正交投影映射。 (2)(20分) 复数和四元数的矩阵表? ? 设 V 为实数域上2阶实矩阵空间 M 2×2(?) 的?空间，试找到?组基 {1,i} ，使得 1 ?1=1, 1?i =i ?1=i,i ?i =?1 ? 设 V 为实数域上2阶复矩阵空间 M 2×2(?) 的?空间（所以共有8维），试找到?组基 {1,i,j,k} 使得 1?1=1,1?i =i ?1=1, 1?j =j ?1=j,1?k =k ?1=1 i 2=j 2=k 2 =i ?j ?k =?1 (3)(20分) 设矩阵 A =>0 00001101 0010000@ 若将 A 视为实数域上正交矩阵，求?组正交基，使得A 化为标准的分块对?化的形式(10分)；若将A 视为?矩阵，求?空间中?组正交基，使得A 对?化。(10分) (4)(20分) 若A 为复数域上 n 阶?阵，定义 exp (A )=D A E k!G EHI =I +A +A 22!+A L 3!+? 可以?Jordan 标准形证明，对于任意矩阵，右边的式?是收敛的(你不?证明)。 ? (10分)证明： expOtr (A )R =det (exp (A))

?(10分)证明：若A是反对称矩阵，则 exp (A) 是正交矩阵。(提?：先证明若AB=BA，则 exp(A+B)=exp(A)?exp (B) 可以直接?这个结论证明，得5分) (5)(20分) 设 V 为复数域上 n 维线性空间。我们知道 V?V 上有同构 σ(α?β)=β?α (a) (2分) 设 S={v∈V?V |σ(v)=v } ，S 是 V?V 的?空间(你不?证明这个事实)，求 S 的维数，设 V 的?组基为 {e\,e2,?,e]}。 (b) (10分) 证明：对于任意的 v∈S ，存在 V 中?组基 {α\,α2,?,α]} 使得 v=α\?α\+α2?α2+?+αE?αE ?负整数 k 依赖于 v ，且 k

北大版线性代数第一章部分课后答案详解

习题： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：（1） 0100002 ;0 001000 n n -（2）00100 200 1000 n n -；解：（1） 01 0002 001000 n n -=() () 23411n τ-123n ??? ?=() 1 1!n n --

（2） 00100 200 1 0000 n n -=() ()()() 12211n n n τ---123n ??? ?=() ()() 122 1!n n n --- 4.设n 阶行列式：A= 11 11 n n nn a a a a ，B=111112122122212 12n n n n n n n n nn a a b a b a b a a b a b a b a -----，其中0b ≠，试证明：A=B 。证明： B= 111112122122212 12n n n n n n n n nn a a b a b a b a a b a b a b a -----= () ( ) []12 121212 12121n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a b a b a b τ---∈-∑！ = ()( ) []12 121212 1212 1()n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a a a b b b τ---∈-∑！ = ()( ) []12 121212 (1)(2)() 12 1n n n n s s s s s s n s s s n s s s n a a a b τ-+-+ -∈-∑ ！ = ()( ) []12 1212 121n n n s s s s s s n s s s n a a a τ∈-∑ ！ =A 命题得证。 5.证明：如下2007阶行列式不等于0： D= 22 22 33332007 2007 2007 2007 1 220062007232007200834200820082007200820082008；证明：最后一行元素，除去2007 2007是奇数以外，其余都是偶数，故含2007 2008 的因式也都是偶数。若最后一行取2007 2007 ，则倒数第二行只有取2006 2007 才有可能最后乘积为奇数，以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。故原命题得证。习题

北京大学线性代数期末考试

北京大学工学院课程试卷第1页共1页课程名称：线性代数与解析几何姓名：学号： 2007-2008学年第（1）学期期末本试卷共 8 道大题，满分 100 分一． (15分) 给定点P (1,3,4)-和平面π:2350x y z +--=，写出平面的法线，并求P 到π 的距离；在平面上找一点Q ，使Q 到点P 的距离就是P 到π的距离。二． (15分) 在R 4中求由向量4{}i α生成的子空间的维数与一组基，并将它扩充为R 4的一组基，其中1234{1,1,3,0},{1,2,0,1},{1,1,1,1},{2,1,3,1}=--===αααα。三． (20分) 证明：秩为r 的矩阵可以表示成r 个秩为1的矩阵之和。四． (10分) 设m n R ?∈A 是实数域上的矩阵，证明：()()T r r =A A A ，举例说明：如果将数域扩大为复数域，即m n C ?∈A ，则结论不成立。又对任意的m s R ?∈B ，存在n s R ?∈C 上的使T T =A AC A B 。五． (10分) 设,(0)n n n s P P s ??∈∈>A B ，(),()r n s r s =-=A B ，那么0=AB 的充分必要条件是对于齐次线性方程组=Ax 0的任意解0n P ∈x ，存在惟一的0s P ∈y ，使得00=x By 。六． (10分) 假设在平面中给定了三条直线 :(1,2,3)i i i i u x v y w i +== , 围成一个有限面积的三角形，试求：a) 三条直线满足的条件；b)三角形的面积。如有可能，在空间中给定了四个平面 :(1,2,3,4)i i i i i a x b y c z d i π++==，作相应的讨论。七． (10分) 微商d dx = 是线性空间[]n P x （全体次数小于n 的多项式以及零多项式）上的线性变换。现设n >1， a) 对于任意的 []n P x ∈α，n = α0，但存在[]n P x ∈β，使1n -≠ β0。 b)找出[]n P x 的一组基{}i n α，使得在这组基下的矩阵为0101010?? ? ? ?= ? ? ??? D ； c){}i n α的选择不是惟一的，即可选另一组基{}i n β，它对应的矩阵也是D ，但是 ({})({})i s i s L L =βα至少对某个 1s n ≤<不成立；d)推广b)与c)。如果是n 维线性空间 V /P 上的线性变换，且1,n n -=≠ 00，证明存在一组基，使得在这组基下的矩阵是a) 中的 D 。八． (10分) 以下各命题中考虑的n 维Euclid 空间V /R 中的向量都不为零， a)证明：不存向量组1{}i n +α，使得(,)0i j =αα对任意的11i j n ≤<≤+成立； b)举例说明：存在向量组1{}i n +β，使得(,)0i j ≤ββ对任意的11i j n ≤<≤+成立； c)证明：在向量组2{}i n +γ中至少存在一对下标 12s t n ≤<≤+，使得 (,)0s t >γγ。

2015北京大学考研数学线性代数重点内容与题型总结

2015北京大学考研数学线性代数重点内容与题型总结经过暑假强化阶段学习以后，从九月开始进入复习巩固阶段，也是提高阶段的尾端，也就是说，如果考生顺利完成了提高阶段的复习，将为冲刺阶段提供足够空间，反之则可能打乱整个复习进程.这段时间，考生还是要坚持两条腿走路，即知识点总结和题型总结,也就是要把书由厚读到薄，把知识转化成自己的东西，这样才会越学越轻松。线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。和高数与概率统计相比，由于线性代数的学科特点，同学们更应该要注重对知识点的总结。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，同学们必须注重计算能力。线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做总结，希望对同学们后期的复习有所帮助。一行列式行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现。所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。 1重点内容:行列式计算 (1)降阶法这是计算行列式的主要方法，即用展开定理将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。 (2)特殊的行列式有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等，必须熟练掌握相应的计算方法。 2常见题型 (1)数字型行列式的计算 (2)抽象行列式的计算 (3)含参数的行列式的计算 (4)代数余子式的线性组合

北大远程教育2018线性代数作业答案

2018年秋季学期线性代数作业（作业完成人：圆梦深圳2016 秋金融学何小生）一、选择题（每题2分，共36分） 1.（教材§1.1）行列式（C）。 A.5 B.6 C.7 D.8 2.（教材§1.1）行列式（D ）。 A. B. C. D. 3.（教材§1.2）行列式（A）。 A.26 B.-26 C.30 D.-30 4.（教材§1.3）下列对行列式做的变换中，（B）会改变行列式的值。 A.对行列式取转置 B.将行列式的某一行乘以233 C.将行列式的某一行加到另外一行 D.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行 5.（教材§1.3）行列式（23/3 ）。我认为没有正确答案 (提示：参考教材P32例1.3.3) A.2/9 B.-2/9 C.-10/3 D. 10/3

6.（教材§1.4）若线性方程组有唯一解，那么（B）。 A.2/3 B.1 C.-2/3 D.1/3 7.（教材§2.2）矩阵 1010 2311 3141 1132 ?? ?? ?? ?? ?? -- ?? 的秩是（D）。 A.1 B.2 C.3 D.4 8.（教材§2.2）若线性方程组无解，则a的值为（ C ）。 A.-1 B.-2 C.-3 D.0 9.（教材§3.1）已知向量，，，则向量（ A ）。 A. B. C. D. 10.（教材§3.3）已知向量组线性无关，下面说法错误的是（C ）。 A.如果，则必有; B. 矩阵的秩等于向量的个数； C.元齐次线性方程组有非零解； D.向量组A 中任何一个向量都不能由其余的个向量线性表示。 11.（教材§3.3）下列向量组中，线性无关的是（D ）。 A. B. C.

北京大学15秋《线性代数》在线作业答案

15秋北京大学《线性代数》在线作业答案 2015年秋季学期线性代数作业一、选择题（每题2分，共36分） 1.（教材§1.1）行列式（）。 A.13 B.11 C.10 D.7 2.（教材§1.1）行列式（）。 A.B.C.0D. 3.（教材§1.2）行列式（）。 A.40 B.-40 C.70 D.-70 4.（教材§1.3）下列对行列式做的变换中，（）会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以3 B.对行列式取转置 C.将行列式的某一行加到另外一行 D.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行 5.（教材§1.3）行列式（）。 A.2/9 B.2/3 C.8/9 D.3/4 6.（教材§1.4）若线性方程组有唯一解，那么（）。 A.2/3 B.1 C.-2/3 D.1/3 7.（教材§2.2）矩阵的秩是（）。 A.1 B.2 C.3 D.4 8.（教材§2.2）若线性方程组无解，则a的值为（）。 A.-1 B.-2 C.-3 D.0 9.（教材§3.1）已知向量，，，则向量（）。 A.B.C.D. 10.（教材§3.3）已知向量组线性无关，下面说法错误的是（）。 A.如果，则必有; B.矩阵的秩等于向量的个数； C.元齐次线性方程组有非零解； D.向量组A中任何一个向量都不能由其余的个向量线性表示。 11.（教材§3.3）下列向量组中，线性无关的是（）。 A. B. C. D. 12.（教材§3.3）下列向量组中，线性相关的是（）。 A. B. C. D. 13.（教材§4.1）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，为实数，则下列结论不正确的是（）。 A.B.

C.D. 14.（教材§4.1）已知矩阵，矩阵，则（）。 A.B. C.D. 15.（教材§4.1）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（）。 A.B. C.D. 16.（教材§4.2）已知矩阵，则（）。 A.B.C.D. 17.（教材§4.3）下列矩阵中，（）不是初等矩阵。 A.B.C.D. 18.（教材§5.1）矩阵的特征值是（）。 A.B. C.D. 二、填空题（每题2分，共24分） 19.（教材§1.1）行列式的值是。 20.（教材§1.4）如果齐次线性方程组有非零解，那么的值为。 21.（教材§2.2）线性方程组的系数矩阵是：_________，系数矩阵的秩等于. 22.（教材§2.3）齐次线性方程组（填“有”或“没有”）非零解。 23.（教材§4.1）设，，则_______ 24．（教材§3.3）设向量与向量线性相关，则= 25.（教材§3.3）向量组是线性（填“相关”或“无关”）的。 26.（教材§4.1）已知矩阵，矩阵，那么。 27.（教材§5.2）设矩阵，已知是它的特征向量，则所对应的特征值为：________ 28.（教材§4.1）已知上三角矩阵，求。 29.（教材§4.2）已知矩阵，那么。 30.（教材§5.1）以下关于相似矩阵的说法，正确的有（多选）。 ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则。二、解答题（每题8分，共40分） 31.（教材§4.1）已知矩阵，，求（1）;（2）。 32.（教材§4.1）已知矩阵，，求。 33.（教材§1.3）计算行列式。 34.（教材§3.4）求向量组的一个极大无关组和秩数。

北大版-线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1.写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a 2.用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：（1） 0100002 ;0 001000 n n -（2）00100 2 00 1000 n n -；解：（1） 01 0002 001000 n n -=() () 23411n τ-123n ??? ?=() 1 1!n n --

（2） 00100 200 10 000 n n -=() ()()() 12211n n n τ---123n ??? ?=() ()() 122 1!n n n --- 4.设n 阶行列式：A= 11 11 n n nn a a a a ，B=111112122122212 12n n n n n n n n nn a a b a b a b a a b a b a b a -----，其中0b ≠，试证明：A=B 。证明： B= 111112122122212 12n n n n n n n n nn a a b a b a b a a b a b a b a -----= () ( ) []12 121212 12121n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a b a b a b τ---∈-∑！ = ()( ) []12 121212 1212 1()n n n n s s s s n s s s s s n s s s n a a a b b b τ---∈-∑！ = ()( ) []12 121212 (1)(2)() 12 1n n n n s s s s s s n s s s n s s s n a a a b τ-+-+ -∈-∑ ！ = ()( ) []12 1212 121n n n s s s s s s n s s s n a a a τ∈-∑ ！ =A 命题得证。 5.证明：如下2007阶行列式不等于0： D= 22 22 33332007 2007 2007 2007 1 220062007232007200834200820082007200820082008；证明：最后一行元素，除去2007 2007是奇数以外，其余都是偶数，故含2007 2008 的因式也都是偶数。若最后一行取2007 2007 ，则倒数第二行只有取2006 2007 才有可能最后乘积为奇数，以此类推，只有次对角线上的元素的积为奇数，其余项的积都为偶数。故原命题得证。习题1.3

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