函数解析式求法总结及练习题
2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b
=+=++=++函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1 设
)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ， ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===321
2b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ．
二、配凑法：已知复合函数
[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．
例2 已知
221)1(x
x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
例3 已知
x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ．
x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ．
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．
解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点．
则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32
22y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2． 把⎩⎨⎧-='--='y
y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得
672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．
例5 设
,)1(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f ． 解 x x f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x 1，得：x
x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：x
x x f 323)(--=． 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1
1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴，又11)()(-=+x x g x f ① ，用x -替换x 得：1
1)()(+-=-+-x x g x f ，即11)()(+-=-x x g x f ② ，解① ②联立的方程组，得1
1)(2-=x x f ，x x x g -=21)( 小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、1()f x ；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简
单化，从而求得解析式．
例7 已知：
1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ． 解对于任意实数x 、y ，等式
)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 不妨令0x
=，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f ． 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f ．
例5：已知
(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。 解析：令0,a =则2()(0)(1)1f b f b b b b -=--=-+ 令b x -= 则2()1f x x x =++
小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解
析式．
例8 设
)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的N b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 解
+∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(， 又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①
令①式中的x ＝1，2，…，n －1得：(2)(1)2(3)(2)3()(1)f f f f f n f n n -=-=--=，，
， 将上述各式相加得：
n f n f ++=-32)1()(，2)1(321)(+=+++=∴n n n n f ， +∈+=∴
N x x x x f ,2
121)(2
三、练习
（一）换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2．若
x x x f -=1)1(,求)(x f . （二）．配变量法3．已知
221)1(x x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 4．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .
（三）．待定系数法5．设
)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++, 求
)(x f 与)(x g .
6．设二次函数
)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.
（四）．解方程组法 7．设函数
)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.
8．（1）若
x x x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . （2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).
（五）．特殊值代入法9．若)()()(y f x f y x f ⋅=+,且2)1(=f ，求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ .
10．已知：
1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f
（六）．利用给定的特性求解析式.
11．设
)(x f 是偶函数,当x ＞0时, x e x e x f +⋅=2)(,求当x ＜0时，)(x f 的表达式.
12．对x ∈R,
)(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1,0]时, x x x f 2)(2+=求当x ∈[9,10]时)(x f 的表达式.
例6、已知函数
)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。(1)求)0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。
练 习
求函数的解析式
例1．已知f (x )= 22x x -，求f (1x -)的解析式． （ 代入法 / 拼凑法 ）
变式1．已知f (x )= 21x -， 求f (2x )的解析式．
变式2．已知f (x +1)＝223x x ++，求f (x )的解析式．
例2．若f [ f (x )]＝4x ＋3，求一次函数f (x )的解析式． （ 待定系数法 ）
变式1．已知f (x )是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f (x )．
例3．已知f (x )-2 f (－x )＝x ，求函数f (x )的解析式． （ 消去法/ 方程组法 ）
变式1．已知2 f (x )- f (-x )＝x ＋1 ，求函数f (x )的解析式．
变式2．已知2 f (x )-f 1x ⎛⎫
⎪⎝⎭
＝3x ，求函数f (x )的解析式．
例4．设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++， 求f （x ）的解析式． （ 赋值法 / 特殊值法）
变式1．已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1， 求f （x ）的解析式．
(完整版)函数解析式的练习题兼答案
函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；1．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=x+2，则f（x）=（） A．x+1 B．2x﹣1 C．﹣x+1 D．x+1或﹣x﹣1 【解答】解：f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，f[f（x）]=x+2， 可得：k（kx+b）+b=x+2．即k2x+kb+b=x+2，k2=1，kb+b=2． 解得k=1，b=1．则f（x）=x+1．故选：A． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 9．若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（） A．f（x）=9x+8 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣4 【解答】解：令t=3x+2，则x=，所以f（t）=9×+8=3t+2． 所以f（x）=3x+2．故选B． (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； 18．已知f（）=，则（） A．f（x）=x2+1（x≠0）B．f（x）=x2+1（x≠1） C．f（x）=x2﹣1（x≠1）D．f（x）=x2﹣1（x≠0） 【解答】解：由， 得f（x）=x2﹣1， 又∵≠1， ∴f（x）=x2﹣1的x≠1．故选：C． 19．已知f（2x+1）=x2﹣2x﹣5，则f（x）的解析式为（） A．f（x）=4x2﹣6 B．f（x）= C．f（x）=D．f（x）=x2﹣2x﹣5 【解答】解：方法一：用“凑配法”求解析式，过程如下： ； ∴． 方法二：用“换元法”求解析式，过程如下： 令t=2x+1，所以，x=（t﹣1）， ∴f（t）=（t﹣1）2﹣2×（t﹣1）﹣5=t2﹣t﹣，
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法试题及其答案
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴? ?????=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知2 21)1 (x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
函数解析式的求法例题
函数解析式的求法练习 一、换元法 1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2．若x x x f -=1)1(,求)(x f . 3．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .
4.若x -2 3(，求)2(f． )2 = f- x x 5.知f(x-1)= 2x-4x，解方程f(x+1)=0 6.已知f(x+1 )= 2x+1 ，求f(x)解析式。
二、待定系数法 7.已知)(x f 是一次函数，且64)]([+=x x f f ，求)(x f ． 8.已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。 9．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.
三、配凑法 10.若221 )1 (x x x x f +=-，求()f x ． 11.若x x x f 2)1(+=+,求)(x f . 四、解方程组法 12．已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．
13. 若,)(2)1(x x f x f =+求)(x f ． 14.设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 x x f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 五．特殊值代入法 15.对于一切实数y x ,有x y x x f y x f )12()()(+--=-都成立，且.1)0(=f 求).(x f
高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习
高中数学求函数解析式解题方法大全 及配套练习 一、定义法： 根据函数的定义求解析式用定义法。 【例1】 【例2】 【例3】 【例4】
二、待定系数法：（主要用于二次函数） 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式。 它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 【例1】 【解析】 【例2】已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求 f（x）的解析式. 解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则f（0）= c= 0 ① f（x+1）（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b ② 由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、②得 解得 故f（x）= x2+7x. 【例3 】
三、换元（或代换）法： 道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 如：已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式，把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域. 【例1】 【解析】 【例2】 【例3】 【例4】
（1） 在（1 （2） 1 （3） 【例5】 （1（2）由 【例6】 四、代入法：
求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 【例1】 解 则 解得 ， 上， (五 )配凑法 【例1】： 当然，上例也可直接使用换元法
(完整版)求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的九种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2 )1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ? ??=++=+822b a b b a 解得 ???==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
求函数解析式题型方法总结
求函数解析式题型方法总结 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2 )1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ? ??=++=+822b a b b a 解得 ???==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法 一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） 若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。 【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。 设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=? 解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7 分析：所求的函数类型已定，是一次函数。 设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1 例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2 )()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴????? ?=-===32 1 2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为 22，求函数)(x f y =的解析式。 分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ② 顶点式：()为函数的顶点 点其中k h a k h x a x f ,,0)()(2 ≠++= ③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f 解法1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，则 由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2 ++=bx ax x f 由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(2 2 +--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②
函数解析式的几种基本方法及例题
函数解析式的几种基本 方法及例题 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2） 已知2 21)1 (x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x (2)设.)(,,,1111111 11-=∴-=-===x x f t t t f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).
求函数解析式的方法练习题
求函数解析式的方法 一、代入法 1、已知函数f(x)=x 2+2x+a,f(bx)=9x 2-6x+2,其中x ∈R,a,b 为常数，则f(ax+b)=_______ 2、已知a,b 为常f(x)=x ______5,2410)(,3x 422=-++=+++b a x x b ax f 则 二、换元法 的解析式求、)(,2)1(12x f x x f -= 三、待定系数法 设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22 求f(x)的解析式。
四、配方（凑）法 已知f(x+221x )x 1x +=，求f(x)的解析式 五、构造法 1、定义在区间（-1,1）上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg （x+1） 则f(x)的解析式为_________ 2、已知函数f(x)+3f(x 1)=3x (x ≠0)求f(x)的解析式。 3、已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且满足f(x)+g(x)=x 2+2x,分别求f(x)、g(x)的解析式
4、已知函数f(x)=x )2,(2lg )1a 2-≠∈++++a R a a x （ 若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式. 5、若函数f(x),g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)=e x ，则有 A 、f(2) 人教版2020秋七年级上册数学二次函数解析式求法方法总结及专题训练 方法一：一般式)0(2 ≠++=a c bx ax y 题目条件特征：任意给定三个点，无明显规律，我们一般设一般式来求解。 例1：已知二次函数的图象经过A （0，－1），B （1，－3），C （－1，3）三点，求这个二次函数的解析式。 变式训练1： 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A （2，0），B （0，－1），C （4，5）三点．求二次函数的解析式． 变式训练2：已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （1，0），B （0，－5），C （2，3）．求这个二次函数的解析式。 方法二：交点式（两点式）))((21x x x x a y --= 题目条件特征：给定抛物线图象并标出与x 轴的交点，或给定的已知点为（1x ,0）和（2x ，0）的形式，一般设成两点式。 例1：已知抛物线的图象如图所示，求它的解析式． 例2：已知抛物线经过三点A （－1，0），B （4，0），C （0，－2），求抛物线的解析式。 变式训练1：根据图中条件求抛物线的解析式． 变式训练2：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（－2，0），（3，0），（0，4），求此抛物线的解析式。 方法三：顶点式k h x a y +-=2 )(（a ≠0） 题目条件特征：给定顶点坐标 例1：已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y 轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式。 变式训练1：已知顶点坐标为（1,3），且过点（3,0），求抛物线的解析式。 变式训练2:若二次函数的图象的顶点坐标（2，1），且经过点（1，-2），求二次函数的解析式。 当堂小测 1. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）经过点（－2，0），（3，0），（0，4），求此抛物线的解析。 函数的解析式 目标：掌握求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际 问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用． 重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函 数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有 意义外，还要符合实际问题的要求． 一、函数的解析式 （一）、函数的表示： 1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法 2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法. 3、解析法：如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法 （二）、函数的解析式求法 题型1、代入法 例1、()21f x x =+，求(1)f x + 题型2、待定系数法 例2、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()0f x =的两实根平方和为10，图像过点(0,3)， 求()f x 解析式 题型3、换元法 例3、已知：() 12f x x x +=+，求()f x 。 练习：1、2134(31)x x f x +-+= ，求()f x 解析式 2、2(31)965f x x x +=-+，求()f x 解析式 题型4、消元法（构造方程组法） 例4、已知函数()f x 满足()213f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求函数()f x 的解析式。 练习、()()1f x f x x +-=-，求()f x 解析式 题型5、抽象函数的解析式的求法 例5、(06·重庆)已知定义域为R 的函数f(x)满足ƒ(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. （Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)； （Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0,使得f(x 0)= x 0,求函数f(x)的解析表达式. 解：（Ⅰ）因为对任意x ∈R ，有f(f(x)- x 2 + x)=f(x)- x 2 +x ， 所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2. 又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.； 若f(0)=a ，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a. （Ⅱ）因为对任意x εR ，有f(f(x))- x 2 +x)=f(x)- x 2 +x.； 又因为有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)- x 0. 所以对任意x ∈R ，有f(x)- x 2 +x= x 0.； 在上式中令x= x 0,有f(x 0)-x 20 + x 0= x 0, 又因为f(x 0)- x 0，所以x 0- x 20=0，故x 0=0或x 0=1.； 若x 0=0，则f(x)- x 2 +x=0，即f(x)= x 2 –x. 但方程x 2 –x=x 有两上不同实根，与题设条件矛质，故x 2≠0. 若x 2=1,则有f(x)- x 2 +x=1，即f(x)= x 2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为f(x)= x 2 –x+1（x ∈R ）. 题型6、实际应用问题 例6、用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式. 练习：．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元； （2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）． 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值． 解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意， 如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}． 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y 19 1515 1010550≤<≤<≤<≤ 函数解析式求法例题及练习 函数解析式的求法 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例如，设f(x)是一次函数，且f[f(x)] = 4x + 3，求f(x)。解：设f(x) = ax + b(a ≠ 0)，则f[f(x)] = af(x) + b = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b。根据题意，有a^2 = 4，即a = 2或a = -2.当a = 2时，b = 1；当a = -2时，b = 3.因此，f(x) = 2x + 1或f(x) = -2x + 3. 二、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解 析式，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复 合函数的定义域，而是g(x)的值域。例如，已知f(x + 1) = x^2 + 2(x ≥ -1)，求f(x)的解析式。解：由题意可得f(x + 1) = (x + 1)^2 - 2，即f(x) = x^2 - 2(x ≥ -2)。 三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义 域的变化。例如，已知f(x + 1) = x + 2x，求f(x + 1)。解：令t = x + 1，则t ≥ 1，x = (t - 1)^2.由题意可得f(x + 1) = x + 2x，即f(t) = (t - 1)^2 + 2(t - 1) = t^2 - 1，因此f(x) = x^2 - 1(x ≥ 1)。 四、函数性质法：已知函数奇偶性及部分解析式，求f(x) 解析式。本类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。 例如，已知定义在R上的偶函数f(x)，当x ≥ 2时，f(x) = x - 2x^2，求f(x)解析式。解：当x。0，依题有f(-x) = (-x) + 2x^2 = x + 2x^2.又因为f(x)是定义在R上的偶函数，故f(-x) = f(x)。所以当x < 0时，f(x) = x + 2x^2.当x ≥ 0时，f(x) = x - 2x^2. 点M(x,y)在y=g(x)上，因此有y=x^2+x。将x'=-x-4代入 得6-y=(-x-4)^2+(-x-4)，整理得y=-x^2-7x-6，因此g(x)=-x^2- 7x-6. 递推法：根据题目中的条件f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，令a=x， b=1，得f(x)+f(1)=f(x+1)-x。又因为f(1)=1，因此有f(x+1)- f(x)=x+1.令x=1和2n-1，得f(2)-f(1)=2，f(3)-f(2)=3，f(n)-f(n-1)=n。将上述式子相加得f(n)-f(1)=2+3+。+n，因此 f(n)=1+2+3+。+n=n(n+1)/2，因此f(x)=x(x+1)/2. 一次函数的解析式的专项练习 宇文皓月 一次函数的解析式的求法是初中函数的基础。 一. 一般型 例1. 已知函数 y m x m =-+-()332 8 是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知m m 281 30-=-≠⎧⎨ ⎩ ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 注意：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要包管k ≠0。如本例中应包管m -≠30 二. 已知一点 例 2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解： 一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1） ∴-=-123k ，即k =1 故这个一次函数的解析式为y x =-3 变式问法：已知一次函数y kx =-3，当x =2时，y ＝－1，求这个函数的解析式。 三. 已知两点 已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由题意得024=-+=⎧⎨ ⎩k b b 故这个一次函数的解析式为y x =+24 四. 已知图象 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由图可知一次函数y kx b =+的图像过点（1，0）、（0，2） ∴有020=+=+⎧⎨ ⎩k b b 故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 与座标轴相交 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线l 1：y k x b =+11；l 2：y k x b =+22。当k k 12=，b b 12≠时，l l 12// 直线y kx b =+与直线y x =-2平行，∴=-k 2。 又 直线y kx b =+在y 轴上的截距为2，∴=b 2 故直线的解析式为y x =-+22 六. 平移 例 6. 把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为y kx b =+， 直线y x =+21向下平移2个单 [基础巩固] 1．由下表给出函数y ＝f (x )，则f (f (1))等于( ) A ．1 C ．4 D ．5 解析 由题意得f (1)＝4，所以f (f (1))＝f (4)＝2. 答案 B 2．已知f (x －1)＝1 x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝1 1＋x B ．f (x )＝1＋x x C ．f (x )＝1 x ＋2 D ．f (x )＝1＋x 解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， 所以f (t )＝1t ＋1＋1＝1 2＋t ， 所以f (x )＝1 x ＋2. 答案 C 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋1，x ＜1且x ≠－1， x －1，x ≥1，则f (2)＝________. 解析 f (2)＝2－1＝1. 答案 1 4．已知函数f (x ＋1)＝x ，则函数f (x )的解析式是____________ . 解析 解法一 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， 代入f (x ＋1)＝x ，得f (t )＝(t －1)2. 所以f (x )＝(x －1)2(x ≥1)． 解法二 f (x ＋1)＝(x )2＝[(x ＋1)－1]2， 令x ＋1＝t ，则t ≥1， 所以f (t )＝(t －1)2， 即f (x )＝(x －1)2(x ≥1)． 答案 f (x )＝(x －1)2(x ≥1) 5．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域． 解析 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －5 3 4 3 －5 … 描点，连线，得函数图象如图： (1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4， f (3)＝0， 所以f (3) 函数专题之解析式问题 求函数解析式的方法 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方 f(x)的解析式。 ，∴f(x)=2x+7 待定系数法 ()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。 x y ()f x 例题： 解法一、 1222x x a ∆ -= =2248b ac a ∴-=21 ()21 2f x x x ∴=++1 c =又1 ,2,12a b c = ==解得2 ()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40 a b -=得 解法二、 (0)1f =41 a k ∴+=1 2 22x x -=222 k a -∴=1 ,12 a k ∴= =-221 ()(2)1 21 212 f x x x x ∴=+-=++()y f x =2 x =-得的对称轴为 (2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k =++设 二 【换元法】（注意新元的取值范围） 已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入 ))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。 三【配凑法（整体代换法）】 若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。 求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设 x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （ x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 解： f （ x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 练习：1）已知f （x+ x 1）=3x +31x ，求f(x)。 2）已知f （x+x 1）=28x +28x +1，求f(x)。 3) 已知2211(),f x x x x -=+求()f x . 4) f （sinx ）=-x 2sin 2 cos(2x)，求f(x ）函数解析式。 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ⎩⎨⎧=++=+8 22b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 函数解析式的求法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数），可用待定系数法; 1．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=x+2，则f（x）=（) A．x+1 B．2x﹣1 C．﹣x+1 D．x+1或﹣x﹣1 【解答】解:f（x）是一次函数，设f(x)=kx+b,f［f（x)］=x+2, 可得：k（kx+b）+b=x+2．即k2x+kb+b=x+2，k2=1，kb+b=2． 解得k=1，b=1．则f（x）=x+1．故选:A． (2)换元法：已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法,此时要注意新元的取值范围；9．若函数f（x)满足f（3x+2）=9x+8,则f（x)是( ） A．f(x）=9x+8 B．f(x）=3x+2 C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x)=﹣3x﹣4 【解答】解:令t=3x+2，则x=，所以f(t）=9×+8=3t+2． 所以f（x）=3x+2．故选B． (3)配凑法：由已知条件f(g（x）)＝F（x)，可将F(x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式； 18．已知f（）=,则（） A．f（x）=x2+1（x≠0） B．f（x）=x2+1(x≠1） C．f（x）=x2﹣1(x≠1)D．f（x）=x2﹣1（x≠0) 【解答】解：由， 得f（x）=x2﹣1， 又∵≠1， ∴f（x）=x2﹣1的x≠1．故选：C． 19．已知f（2x+1）=x2﹣2x﹣5，则f(x）的解析式为（） A．f（x）=4x2﹣6 B．f(x）= C．f（x)=D．f（x)=x2﹣2x﹣5 【解答】解：方法一：用“凑配法”求解析式，过程如下： ； ∴． 方法二：用“换元法”求解析式，过程如下: 令t=2x+1，所以,x=（t﹣1）， ∴f(t）=（t﹣1)2﹣2×（t﹣1）﹣5=t2﹣t﹣, ∴f(x)=x2﹣x﹣，故选：B． （4)消去法：已知f(x）与f 或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。 21．若f（x）对任意实数x恒有f(x）﹣2f（﹣x）=2x+1,则f（2）=（） A．﹣B．2 C．D．3 【解答】解：∵f（x)对任意实数x恒有f（x）﹣2f(﹣x）=2x+1， ∴用﹣x代替式中的x可得f（﹣x）﹣2f（x）=﹣2x+1， 联立可解得f（x）=x﹣1，∴f（2）=×2﹣1=故选：C 函数解析式的求解及常用方法练习题 一．选择题（共25小题） 2．若幂函数f（x)的图象过点（2，8），则f（3）的值为（） A．6 B．9 C．16 D．27人教版2020秋七年级上册数学二次函数解析式求法方法总结及专题训练
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