数列综合讲义

数列

数列的概念与简单表示法

一、数列的概念

按一定顺序排列的一列数，叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.所以 数列的一般形式可以写成，??n a a a a ,,,321简记为{}n a 注：①项与项之间用“,”隔开；

②{}n a 与n a 是两个不同的概念：{}n a 表示数列，??n a a a a ,,,321而n a 只表示数列{}n a 的第n 项; ③数列与数集是两个不同的概念:数列中的数是有顺序的,且同一个数在一个数列中可以重

复出现；数集中的元素具有无序性和互异性； 二、数列的表示

1.列举法：将每一项按一定顺序一一列举出来表示数列的方法．

2.图象法：在坐标系中描出(n ，an) 这些孤立的点．

3.通项公式法：a n ＝f(n) ．n ∈N *

. 4.递推公式法：给出数列{a n }的第1项(或前几项)及之后各项与它相邻的前一项(或前几项) 之间的关系式来表示数列．

四、数列的通项公式 1.数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{

}n ?,2,1）为定义域的函数a n ＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如

果f(i)（i=1,2,3,…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…，f(n),… ①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想来解题；

②数列的特殊性：由于它的定义域是*

N

或它的有限子集，所以数列的图像是一系列孤立的点；

2.数列的通项公式

如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

①数列的的通项公式即第n 项的表达式； ②并不是所有的数列都有通项公式，如π的不足近似值组成的数列1，1.4，1.41，1.414，……就没有通项公式．

③若一个数列有通项公式，它的形式可能不唯一，如数列：－1，1，－1，1，……的通项公

式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋1

，也可以写成a n ＝?

????－1 （n 为奇数），1 （n 为偶数）.

④由通项公式可以写出数列中的每一项； 五、数列的递推公式

如果已知数列{a n }的首项(或前n 项)，且从第2项（或某一项）开始的任一项a n 与它的前一项1-n a （或前几项）简的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的递推公式， 如一阶递推a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)； 二阶递推a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n .

①并不是所有的数列都有递推公式；

②递推公式反应的是项与项之间的关系，通项公式反应的是项与项数之间的关系，它们之间

可以互相转化；

六、 数列单调性的判定 1.作差比较法:

①若a n1－a n >0恒成立，则数列{a n }是递增数列； ②若a n ＋1－a n <0恒成立，则数列{a n }是递减数列． 2.作商比较法：

①若a n >0，则当a n ＋1a n >1时，数列{a n }是递增数列，当a n ＋1

a n <1时，数列{a n }是递减数列；

②若a n <0，则当a n ＋1a n <1时，数列{a n }是递增数列，当a n ＋1

a n

>1时，数列{a n }是递减数列．

3.函数法：

将通项公式转化为函数的形式，通过判断函数的单调性来确定数列的单调性． 七、求数列的最大（小）项的方法 1.不等式组法 由?????a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.得数列的最大项a n ； 由?????a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.得数列的最小项a n ； 当解不唯一时，比较各解大小即可 2.函数法

将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n ∈N ＋这一条件． 八、由数列的递推公式求通项公式 1.形如：)(1n f a a n n +=+

累加法：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 2.形如：)(1n f a a n n =+

累乘法：

九、前n 项和S n 与a n 之间的关系

对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为???≥-==-2,1,11n S S n S a n n

n

等差数列

一、 等差数列的定义

1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．

2.数学语言：a n －a n －1＝d (n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *

)，其中d 为常数

①从第二项起；②同一个常数；③公差

d 为后一项减前一项；

④定义法可以判断一个数列是否为等差数列；

二、 等差中项

1.若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且2

b a A +=．

2.推论：{a n }是等差数列?112+-+=n n n a a a (n ∈N *

)

①任何两个数都有等差中项；②等差中项必唯一； ③等差中项法可以判断一个数列是否为等差数列；

三、等差数列的通项公式

1.通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d （n ∈N *

）； 首项a 1、公差d 、项数n 和第n 项a n ，知三求一 2.通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *

)．?d=

a m －a n

m －n

(m ≠n ) ①已知等差数列中的任意两项就可确定等差数列中的任意一项； ②上式通常用来求等差数列的公差；

3. 通项公式的结构特征：a n ＝dn ＋(a 1－d ),

①d ≠0时，a n 为关于n 的一次函数；

②d>0

时,数列{a n }是递增数列；d=0时，数列{a n }是常数列；d<0时，数列{a n }是递减数列．

③通项公式法法可以判断一个数列是否为等差数列；

四、等差数列的性质

若{a n }为等差数列，公差为d ，则： 1.m ＋n ＝p ＋q ?a m ＋a n ＝a p ＋a q （d ≠0）；

m ＋n=2p ?a m ＋a n ＝2a p （d ≠0）；其中m ，n ，p ，q ∈N

*

2.下标成等差数列的项仍为等差数列：a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，a k ＋3m ，……成等差数列，且公差为md.

3.若{a n }是公差为d 的等差数列，则{λa n +b}为等差数列．公差为d λ；

4.若{a n }、{b n }分别是公差为21d d 、的等差数列，则{λa n ＋μb n }为等差数列．公差为21d d μλ+；

5.等差数列的设项方法：

（1）通项法：设数列的通项公式，即设a n ＝a 1＋(n －1)d （n ∈N *

） （2）对称法：

当等差数列{a n }中n 为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项： …，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；

当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项： …，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．

五、 等差数列的前n 项和公式

1.等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则等差数列的前n 项和公式为：

2

)

(1n n a a n S +=

d

n n na ·2)1(1-+=, （在等差数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1、d 、n 、a n 、S n 五个量，知三求二） 2..常见等差数列的前n 项和公式：

()()n

n n n n n n n +=+++=-++++=++++222642125312

1321 3.公式的结构特征：

（1）2

)(1n n a a n S +=：形似梯形面积公式；

（2） （d ≠0时，S n

为关于n 的常数项为0的二次函数）

4..S n 的最值：d>0时，S n 有最小值；d<0时，S n 有最大值； n 取与对称轴较近的正整数时，S n 取得最值；

5.判断等差数列的方法

（1）定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *

)（d 为常数）?{a n }为等差数列 （2）等差中项法：112+-+=n n n a a a (n ∈N *

)?{a n }为等差数列 （3）通项公式法：a n 为关于n 的一次函数?{a n }为等差数列 （4）前n 项和公式法：S n 为关于n 的常数项为0的二次函数 六、等差数列及前n 项和的性质

等差数列{a n }的首项是a 1、公差是d 、第n 项为a n 、前n 项的和为S n 1.n 为奇数时，2

1+==n n na na S 中；或()n n a n S 121-2-=;

2.n n T S 、分别为等差数列n n b a 、的前n 项和，则n 为奇数时，2

1

21

++=n n n n b a T S 或1-21

-2m m n m T S a a =

3.数列??????n S n 为等差数列，公差为???

???2d （原公差的一半）

； 4.连续n 项求和仍成等差数列：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等差数列．公差是d n 2； 5.若()p m S S p m ≠=，则0=+p m S ；

6.若()p m m S p S p m ≠==,，则()p m S p m +-=+；

Bn An n d a n d S n +=???

?

?-+=

21222

7.奇偶问题：

（1）若等差数列的项数为2n(n ∈N *

)，记S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1，

则S 偶－S 奇＝nd ，

n

n a a S S 1

+=

奇偶； （2）若等差数列的项数为2n －1(n ∈N *

)，记S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n

－2

，

则S 奇－S 偶＝a n (中间项)，S 奇S 偶＝n

n －1

.

8.等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． （1）函数法：用求二次函数最值的方法来求其前n 项和的最值，需要注意：n ∈N

*；

n 取与对称轴较近的正整数时，S n 取得最值；

（2）图像法：利用二次函数图像的对称性来确定n 的值使S n 取最值； （3）通项法：

当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值：由0≥m a 得m n ≤，若m 为正数，则S n 最大值为S m =S m-1 若m 为分数，则S n 最大值为[]m S 当a 1<0，d ＞0时，S n 有最小值：由0≤m a 得m n ≤，若m 为正数，则S n 最小值为S m =S m-1 若m 为分数，则S n 最小值为[]m S 9.等差数列{a n }各项取绝对值后组成的数列{}n a 的前n 项和问题：

（1）等差数列{a n }的各项都为非负数，这种情形下{}n a 就等价于数列{a n }，则数列{}n a 的前n 项和为数列{a n }的前n 项的和S n ；

（2）等差数列{a n }的各项都为非正数，这种情形下{}n a 就等价于数列{-a n }，则数列{}n a 的前n 项和为数列{a n }的前n 项的和的相反数-S n ；

（3）等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，这种数列只有前面有限项（m 项）为非负数，其余所有项都为负数，可把数列{a n }分成两段处理，{}n a 的前n 项和T n =S m -(S n -S m )=2S m -S n （4）等差数列{a n }中，a 1<0，d ＞0，这种数列只有前面有限项（m 项）为非正数，其余都为正数，同样可以把数列{a n }分成两段处理，{}n a 的前n 项和T n =-S m +(S n -S m )=S n -2S m 总之，解决此类问题关键是找到数列{a n }的正负分界点；

等比数列

一、 等比数列的定义

1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示．

①从第二项起；②同一个常数；③公比

q 为后一项与前一项之比；

2.数学语言：

()21≥=-n q a a n n 或q a a n

n =+1(n ∈N *

)，其中q 为常数 ①0,0≠≠q a n ；

q>0时，各项同号，q<0时，为正负交替的摆动数列；

q=1时，为非零常数列(既是等差数列，又是等比数列)； q=-1时，各项的绝对值相等且S 2n =0;

②定义法可以判断一个数列是否为等比数列；

二、 等比中项

1.若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a ，b 的等比中项，ab G =2，即ab G ±=． （同号的两个正数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数）

2.推论：{a n }是等比数列?112

·+-=n n n a a a (n ∈N *

)

等比中项法可以判断一个数列是否为等比数列；

三、等比数列的通项公式

1.通项公式：11-?=n n q a a （n ∈N *

）； 首项a 1、公比q 、项数n 和第n 项a n ，知三求一 2.通项公式的推广：m n m n q a a -?=(m ，n ∈N *

)?m

n

m n a a q =

-(m ≠n ) ①已知等比数列中的任意两项就可确定等比数列中的任意一项； ②上式通常用来求等比数列的公比；

3.通项公式的结构特征：n

n n q q

a q a a ?=

?=-111 ①10≠>q q 且时，数列{a n }为关于n 的指数类函数；

②a 1>0,q>1

或a 1<0,0

a 1>0,01时，数列{a n }是递减数列； q=1时，数列{a n }是常数列；q<0时，数列{a n }是摆动数列；

③通项公式法法可以判断一个数列是否为等比数列；

四、等比数列的性质

若{a n }为等比数列，公比为q ，则： 1.

t

s n m a a a a t s n m ··=?+=+；

2

·2t

n m a a a t n m =?=+；其中m ，n ，s ，t ∈N *

；

2.下标成等差数列的项成等差比数列：a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，a k ＋3m ，……为等比数列，且公比为m q .

3.若{a n }是公比为q 的等比数列，则{}{}{}n n n n a a a a 、、

、21???

???

λ也为等比数列，公比分别为q q q

q 、、、21； 4.若{a n }、{b n }分别是公比为2

1

q q 、的等比数列，则{}?

?????n n n n b a b a 、·为等比数列，

公比分别为2121·q q

q q 、； 5.若{a n }是各项均为正数的公比为q 的等比数列，则{}n b a log 为等差数列，公比为q b log ； 6.若{a n }是公差为d 的等差数列，则{}n a b 为等比数列，公比为d b ； 7.等比数列的设项方法：

（1）通项法：设数列的通项公式，即设11-?=n n q a a （n ∈N *

）；

（2）对称法：三个数成等比数列时，可设这三个数分别为aq a q

a

、、；

注意：四个数成等比数列时，不能设为33aq aq q

a q

a 、、、，

这样隐含了公比02>q 这一条件，可能会产生失根； （3）若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a ，b 的等比中项，此即为设项的理论依据； 五、 等比数列的前n 项和公式

1.等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，其前n 项和公式为

()?????≠--=--==1,1111

,111q q q

a a q

q a q na S n n n

n

①在运用等比数列的前

n 项和公式时，一定要注意讨论公比q 是否为1.

②在等差数列的通项公式及前

n 项和公式中共有a 1、d 、n 、a n 、S n 五个量，知三求二；

2. 公式的结构特征：

()()11-111111≠-=--=--=q Aq A q q

a

q a q q a S n n n n ，

（1≠q 时，n q 的系数与常数项互为相反数）

3.判断等比数列的方法 （1）定义法：：

()21≥=-n q a a n n 或q a a n

n =+1(n ∈N *

)，

（q 为常数）?{a n }为等比数列； （2）等差中项法：112

·+-=n n n a a a (n ∈N *

)?{a n }为等比数列； （3）通项公式法：n

n n q q

a q a a ?=

?=-111?{a n }为等比数列 （4）前n 项和公式法：()()1111≠-=--=q Aq A q

q a S n n n ， 七、等比数列及前n 项和的性质

等比数列{a n }的首项是a 1、公比是q 、第n 项为a n 、前n 项的和为S n 1. “片段和”性质：

连续n 项的和仍成等差数列：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…为等比数列．公差是n

q ；

注：这连续m 项的和必须非零才能成立

2.“相关和”性质：n m m m n n n m S q S S q S S +=+=+；()n n

n S q S +=12；

n n

n

q S S +=12 3.项的个数的“奇偶”性质： 若等比数列{a n }的项数为n ，

当n 为偶数时，;;1-3142n n a a a S a a a S ++=++=奇偶则

q S S =奇

偶

； 当n 为奇数时，;;14231-++=++=n n a a a S a a a S 偶奇则()偶奇偶奇S a S q qS a S n =-+=;1；

数列求和的6种方法

方法一、公式法求和

适用：已知数列类型，直接写出前n 项和；

1、等差数列的前n 项和公式 ：S n ＝(a 1＋a n )n 2＝na 1＋n (n －1)

2d ；

2、等比数列的前n 项和公式 ：S n ＝????

?

na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，

常用公式：

1、1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)

2；

2、1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；

3、12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)

6.

4、()2

3

3

3

3

21321??

?

??+=++++n n n

例 1 . 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列?

??

???n S n 的前n 项和，求T n .

解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋1

2

n (n －1)d .

∵S 7＝7，S 15＝75，∴?

??

??

7a 1＋21d ＝7，

15a 1＋105d ＝75.即?

??

??

a 1＋3d ＝1，

a 1＋7d ＝5.解得?

??

??

a 1＝－2，

d ＝1.

∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋1

2

(n －1)． ∵

S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列?

??

???n S n 是等差数列，其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n . 例2．求和S ＝1＋x ＋x 2＋x 3＋…＋x n . 解：当x ＝1时，S ＝1＋1＋…＋1＝n ＋1，

当x ＝0时，S ＝1，

当x ≠1且x ≠0时，S ＝1－x n ＋

11－x

.

综上S ＝???

??

1 x ＝0n ＋1 x ＝1

1－x n ＋1

1－x x ≠1且x ≠0

.

方法二、分组求和

适用：如果数列{c n }的通项公式可以写成c n ＝a n +b n 的形式，且数列{a n }、{b n }是等差数列或

等比数列或能转化为可以求和的数列； 例3 等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .

由已知得????? a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1

＋6d )＝15，解得?????

a 1＝3，

d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.

(2)由(1)可得b n ＝2n

＋n .

所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝

2(1－210)1－2

＋(1＋10)×10

2＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.

例4数列{a n }的通项公式a n ＝n cos

n π

2

，其前n 项和为S n ，求S 2016

解：本题考查了数列求和中的分组求和思想方法．

∵y ＝cos

n π

2的周期T ＝2π

π

2

＝4，∴可分四组求和． a 1＋a 5＋…＋a 2013＝0，

a 2＋a 6＋…＋a 2014＝－2－6－…－2 014＝504·(－2－2 014)

2

＝－504×1 008，

a 3＋a 7＋...＋a 2015＝0， a 4＋a 8＋...＋a 2016＝4＋8＋ (2016)

504·(4＋2 016)

2

＝504×1 010，

∴S 2016＝0－504×1 008＋504×1 010＝504·(－1 008＋1 010)＝1 008.

方法三、错位相减法

适用：如果数列{c n }的通项公式可以写成c n ＝a n ·b n 的形式，且数列{a n }是等差数列、{b n }

是等比数列，可采取乘公比后错位相减法求和；

步骤：第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项

之积构成的，则可用此法求和．

第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q .

第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对齐，然后两边同时作差． 第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T n .

例 5 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列{b n a n

}的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公比为q ，

由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 2

1q ＝a 1q 2

，又a n >0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n

. (2)由题意知：S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)

2

＝(2n ＋1)b n ＋1，

又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋1

2

n .

因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋1

2n ＋1，

两式相减得12T n ＝32＋(12＋122＋…＋1

2n －1)－2n ＋12n ＋1＝32＋12[1－(12)n －

1]

1－12－2n ＋12n ＋1＝52－12n －1－2n ＋12

n ＋1.

所以T n ＝5－2n ＋5

2

n .

例 6 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝n

a n

，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当x ＝0时，1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －

1＝1；

当x ＝1时，1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －

1＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2

，

当x ≠0且x ≠1时．记S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －

1，则xS n ＝x ＋2x 2＋…＋(n －1)x n －

1＋nx n 两式相减得：(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x

n

－

1

－nx n

＝1－x n

1－x

－nx n ∴S n ＝

1－(1＋n )x n ＋nx n ＋

1

(1－x )2

由2S n ＝3a n －1① 2S n －1＝3a n －1－1②(n ≥2) ①－②得2a n ＝3a n －3a n －1，∴a n

a n －1＝3(n ≥2)，

又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －

1.

（2）由①得：b n

＝n

3n－1

∴T n＝1

30＋

2

31

＋

3

32

＋…＋

n

3n－1

，③

1

3

T n＝

1

31

＋

2

32

＋…＋

n－1

3n－

1

＋

n

3n

，④

③－④得：

2

3

T n＝

1

30

＋

1

31

＋

1

32

＋…＋

1

3n－1

－

n

3n

＝

1－

1

3n

1－

1

3

－

n

3n

＝

3

2

－

2n＋3

2×3n

∴T n＝

9

4

－

6n＋9

4×3n

.

方法四、裂项相消法

适用：如果数列{a n}的每一项都可以拆成两项或三项等，并使它们在相加时除了首位各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，可利用裂项相消法求和.

1、等差型：

1

a n a n＋1＝

1

d(

1

a n－

1

a n＋1

)，

1

a n a n＋2＝

1

2d(

1

a n－

1

a n＋2

)．其中{a n}是等差数列

常见：()?

?

?

?

?

+

-

=

+k

n

n

k

k

n

n

1

1

1

1

；()()?

?

?

?

?

+

-

=

+1

2

1

1-

2

1

2

1

1

2

1-

2

1

n

n

n

n

其它:()()()()()?

?

?

?

?

?

+

+

+

=

+

+2

1

1

-

1

1

2

1

2

1

1

n

n

n

n

n

n

n

()

()()

()n

n

n

n

n

n

n

1

1

2

1

1-

2

1

1

2

1-

2

4

1-

??

?

?

?

?

+

+

=

+

?

-

()()??

?

?

?

+

+

=

+1

2

1

-

1-

2

1

2

1

1

1

2

1-

2

42

n

n

n

n

n

2、无理型：

1

n＋k＋n

=()n

k

n

k

-

+

1

3、对数型：

n

a

n

a

n

n

a

a

a

a

a

log

log

log1

1-

=

+

+

4、指数型：

()

()()b

a

b

a

b

a

b

a

a

a

n

n

n

n

n

+

-

+

=

+

+

-

+

+1

1

1

1

1

，因为()n

n

n a

a

a

a-

=

-+1

1

5、三角函数型：()()β

α

β

α

β

αtan

tan

1

tan

tan

tan?

+

-

=

-

6、阶乘和组合数公式型：()!1

!+

=n

nn；1

1

-

+

=

-m

n

m

n

m

n

C

C

C

7、差比型：{}n a是等差数列，{}n b是等比数列，()()1

1

1

1

1

-

-+

=

?

+

=

?

=n

n

n

n

n

q

bb

n

kb

q

b

b

kn

b

a

c

设

因为

1

1

bb

n

kb+是关于n的一次式，于是，设()()

[]()()

[]1

11

1

1-

-+

-

+

-

=

+

-

-

+

=n

n

n

n

q

A

B

q

n

q

A

q

B

n

A

q

B

An

c①

②

和公式

例 7 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .

①求{a n }的通项公式； ②求数列{

a n

2n ＋1

}的前n 项和．

解：①因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．

两式相减得(2n －1)a n ＝2. 所以a n ＝2

2n －1

(n ≥2)．

又由题设可得a 1＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1

(n ∈N *

)．

② 记{a n 2n ＋1}的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2

(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1

.

例 8 已知数列{1n ＋n ＋1}的前n 项和S n ＝9，求n 解：记a n ＝

1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n ；则a 1＝2－1，a 2＝3－2，a 3＝4－3，…，a n ＝n ＋1－n .

∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1. 令n ＋1－1＝9，解得n ＝99.

例 9 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1

＋n －2.

①求数列{a n }的通项公式； ②设b n ＝log 2(a n －1)，1

1

+=

n n n b b c ，求n c 的前n 项的和n T 解：①由?

????

S n ＝2n ＋

1＋n －2

S n －1＝2n

＋(n －1)－2(n ≥2)，则a n ＝2n ＋1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，综上a n ＝2n ＋1.

②由b n ＝log 2(a n －1)＝log 22n ＝n .得n c =1n (n ＋1)

∴n T ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1

n ＋1

例 10 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n

－1

4n

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n .

解：(1)∵d ＝2，∴S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2＝2(a 1＋1)，S 4＝4a 1＋12＝4(a 1＋3)

∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 1·S 4＝S 2

2，即4a 1(a 1＋3)＝4(a 1＋1)2，，解得a 1＝1 ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.

(2)b n ＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1??

?

??++12

11-21n n ③

则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1

.

当n 为偶数时，T n ＝??

?

??++--???

??-+-++??

? ??+??? ?

?+121121121321513

1-311n n n n ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 当n 为奇数时，T n ＝??? ??++-+??? ??-+-+??? ??+??? ??+121121121321

-5131-311n n n n ＝1＋

12n ＋1＝2n ＋22n ＋1 ∴T n

＝?????

2n ＋2

2n ＋1，(n 为奇数)2n

2n ＋1，(n 为偶数)

或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －

1

2n ＋1

.

例 11 求数列n n n a 3)12(?-=的前n 项的和n T

解： 设()[]()()n n n n B A An B An B n A a 32323311?++=?+-?++=+

由??

?-=+=1

2322B A A 得，???-==21B A

∴()[]()()()n n n n n n n n n a 32-31-32-32-111?-?=?-?+=++

()()()3

3

132313233313230313301

145342312+?-=?--?-++?-?+?-?+?+?++?=∴++n n n n n n n S

方法五、倒序相加法 适用：与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和

相加的方法求解．

例 12 设f (x )＝x 21＋x 2

，求f (12 019)＋f (1

2 018)＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)

解：∵f (x )＝x 21＋x 2

，∴f (x )＋f (1

x )＝1.

令S ＝f (12 019)＋f (1

2 018

)＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)．①

则S ＝f (2 019)＋f (2 018)＋…＋f (1)＋f (12)＋…＋f (1

2 019

)．②

∴2S ＝4 037，∴S ＝4 037

2

注意：本题易错在项数异错得出错误结论2S ＝4 038. 方法六、并项求和法

适用：若数列中相邻两项或几项的和是同一常数或者有规律可寻，可采取并项求和法； 例 13 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n

a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，求S 60 解：∵a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，

∴a 3－a 1＝1，a 5－a 3＝1，a 7－a 5＝1，…，且a 4＋a 2＝1，a 6＋a 4＝1，a 8＋a 6＝1，…. ∴{a 2n －1}为等差数列，且a 2n －1＝1＋(n －1)×1＝n ，即a 1＝1，a 3＝2，a 5＝3，a 7＝4，…. ∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋1＋2＝4，S 8－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3＋4＋1＝8， S 12－S 8＝a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5＋6＋1＝12，….

∴该数列构成以4为首项，4为公差的等差数列．∴S 60＝4×15＋15× 14

2

×4＝480.

例 14 若a n ＝(－1)n ·n 2

，求数列{a n }的前n 项和S n ＝ 解：由题意知S n ＝－1＋22－32＋42－52＋62＋…＋(－1)n n 2

当n 为偶数时S n ＝(－1＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[(－1)n －

1(n －1)2＋(－1)n n 2]

＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)

2

；

当n 为奇数时S n ＝(－1＋22)＋(－32＋42)＋…＋[(－1)n －2(n －2)2＋(－1)n －

1(n －1)2]－n 2

＝1＋2＋3＋…＋(n －1)－n 2＝－n (n ＋1)

2

综上可知S n ＝?????

n (n ＋1)2(n 为偶数)

－n (n ＋1)2(n 为奇数)

.

求数列通项公式的8种方法

一、形如：)(1n f a a n n +=+

累加法：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1

所以数列

的通项公式为

。

例 2 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n

＋1

2

n ，a 1＝1，求数列

的通项公式

解：由题意知a n －a n －1＝1

2

n －1

∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝12n －1＋12n －2＋…＋12＋1＝1－12n

1－

12

＝2－12n －1；

所以数列的通项公式为a n ＝2－

12

n －1. 二、形如：)(1n f a a n n =+

累乘法：

例 3 在数列{a n }中，a n ＋1＝(n ＋1)a n ，求a n . 解：因为a n ＋1＝(n ＋1)a n ，所以a n ＋1

a n

＝n ＋1， 所以

a n a n －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1，…，a 3a 2＝3，a 2

a 1

＝2，a 1＝1，

累乘可得，a n ＝n (n －1)(n －2)…·3·2·1＝n ！. (注：把从1到n 的所有正整数的积记为n ！) 例 4 在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝

n ＋2

3

a n ，求a n

解：由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23

a n －n ＋1

3

a n －1，

∴

a n a n －1＝n ＋1n －1， ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2

a 1

＝3， 以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝

n n ＋12.又∵a 1＝1，∴a n ＝n n ＋1

2

.

三、形如 )(1n f pa a n n +=+，待定系数法（构造法）

通法：等号两边同除以1+n p ，则

1

11

)

(++++=n n

n

n n p

n f p a p a 另 n n n p a b =，则1

1)(+++=n n

n p n f b b ，再累加得n b ，则n

n n p b a = 1、)(n f 为常数，形如q pa a n n +=+1，构造等比数列{}m a n +

设)(1m a p m a n n +=++，其中q m pm =-，另 m a b n n += ，则n n pb b =+1，则{}n b 为等比数列； 例 5 已知数列{a n }满足a 1＝－2，且a n ＋1＝3a n ＋6，求a n 解：∵a n ＋1＝3a n ＋6，∴a n ＋1＋3＝3(a n ＋3)，

又a 1＝－2，∴a 1＋3＝1∴{a n ＋3}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＋3＝3

n －1

，∴a n ＝3

n －1

－3.

2、)(n f 为次幂型函数，形n n n qr pa a +=+1 等号两边同除以1+n r ，则

r q r a r p r a n n n

n +=

+1，另n

n n r a b =，则r q

b r p b n

n +=+1，下同1

3、)(n f 为多项式型函数，可设))(()1(1n g a p n g a n n -=+-+，构造等比数列

形如 t qn pa a n n ++=+1，可设)()1(1m n a p m n a n n ++=++++λλ

形如 s rn qn pa a n n +++=+21，可设())(1)1(221r mn n a p r n m n a n n +++=++++++λλ 例 7 已知数列

满足1321++=+n a a n n ，11=a ，求数列

的通项公式

解：设)(2)1(1m n a m n a n n ++=++++λλ，其中，3-2=λλ12=--λm m ，即43==m ，λ

所以)43(24)1(31++=++++n a n a n n ，令43++=n a b n n ，则n n b b 21=+，8711=+=a b 所以{}n b 是首项为8，公比为2的等比数列，n n b 28?= 所以4328++=?n a n n ，所以4-3-28n a n n ?= 例 8 已知数列

满足32221+++=+n n a a n n ，11=a ，求数列

的通项公式

解：设)(2)1()1(221r mn n a r n m n a n n +++=++++++λλ

其中，1-2=λλ，222=--λm m ，32=--m r r 即741===r m ，，λ 所以)74(27)1(4)1(221+++=++++++n n a n n a n n ， 令742+++=n n a b n n ，则n n b b 21=+，131211=+=a b 所以{}n b 是首项为13，公比为2的等比数列，n n b 213?= 则742132+++=?n n a n n ，所以7-4-n -2132n a n n ?=

4.形如：11-++=n n n qa pa a ，可设()11-++=+n n n n ma a r ma a ，（{}1-+n n ma a 为等比数列）

例 9 已知数列{}n a 中，()12125,2,2+33n n n a a a a a n --===≥，求求{}n a 的通项公式.

四、形如：p

qa pa a n n n +=

--11

()

2,n n N *≥∈（r q p 、、均为常数0≠q ），取倒数法

两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子.

例 10 已知1

1122,2

n n n a a a a --==+ ()

2,n n N *≥∈ ，求通项n a

解：

1122n n n a a a --=

+ ∴111211122

n n n n a a a a ---+==+， 即111111122n n a a a --==且 ()

2,n n N *≥∈ ∴ 数列1n a ??????

是以12

为首项，以12

为公差的等差数列， ∴()1111222

n

n n a =+-?= 12

(2)22n n a n n

a a n

∴=≥=∴=

也符合上式12

(2)22n n a n n

a a n ∴=≥=∴=也符合上式

符合上式12(2)22n n a n n a a n

∴=≥=∴=也符合上式

五、形如：1(2)p

q n

n a a n -=≥（,p q 为非零常数）

，取对数法 例11：已知()2

113,2n n a a a n -==≥ ， 求通项n a

解：由()2

11

3,2n n a a a n -==≥知0n a >，在21n n a a -=的两边同取常用对数得

211lg lg 2lg n n n a a a --==， 即1

lg 2lg n n a a -=

∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列 ，故1

12lg 2lg3lg3n n n a --==

122

13(2)33n n n n a n a a --

∴=≥=∴=也符合上式符合上式12213(2)33n n n n a n a a --∴=≥=∴=也符合上式

六、已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系式，求n a .

用n S 与n a 的关系式法

例 12 ：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 解： 111121a S n ==-==时，当；

当2≥n 时，1--=n n n s s a =()()12121----n n =1

2-n

而111==s a 符合上式，12-=∴n n a

例 13 ：设数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝3n 2

－2n ＋1，求通项n a

解：设a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝T n ，

当n ＝1时，a 1＝T 1＝3×12

－2×1＋1＝2，

当n ≥2时，na n ＝T n －T n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2

－2(n －1)＋1]＝6n －5，因此a n ＝6n －5n

，

显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝?????

2，n ＝1，6n －5

n ，n ≥2.

???≥-==-2

,1,11

n S S n S a n n n

七、奇偶分析法

(1) 对于形如()1n n a a f n ++=型的递推公式求通项公式

①当()

1n n a a d d ++=为常数（d 为常数）时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，

其通项分奇数项和偶数项来讨论.

②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n ++=，()11n n a a f n -+=-两式相减， 得到()()+111n n a a f n f n --=--，分奇偶项来求通项. (2) 对于形如()1n n a a f n +?=型的递推公式求通项公式

①当()

1n n a a d d +?=为常数（d 为常数）时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.

②当()f n 为n 的函数时，由()1n n a a f n +?=，()11n n a a f n -?=-两式相除， 得到()

()

+111n n f n a a f n -=-，分奇偶项来求通项.

例 14 ;已知数列{}n a 满足1113,2n

n n a a a +??=?= ???

，求{}n a 的通项公式.

八、不动点法：形如 ()()1111,2a f a n d

a c b

a a a n n n ≠≥+?+?=

--的分式型递推数列

若满足()00x x f =，则称0x 为函数()x f 的不动点.令()x d

cx b

ax x f =++=

，解方程 1、若()x x f =有两个互异实根21x x 、，则?

?

????--21x a x a n n 是等比数列 2、若()x x f =有两个互异实根0x ，则?

?

???

?-01x a n 是等差数列 3、若()x x f =无实根，则{}n a 是周期数列