消元——二元一次方程组的解法
消元——二元一次方程组的解法（消元法）
一、教学设计思路
在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。
二、教学目标
（一）知识目标
通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法。根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”解方程组；会借助二元一次方程组解简单的实际问题；提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。
（二）能力目标
通过大量练习来学习和巩固这种解二元一次方程组的方法。
（三）情感目标
体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程。由此感受“划归”思想的广泛应用。
三、教学重点难点疑点及解决办法
重点是用代入法解二元一次方程组。
难点是代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法）解二元一次方程组。
疑点是如何“消元”，把“二元”转化为“一元”。
解决办法是一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形。
四、教学方法：引导发现法，谈话讨论法，练习法，尝试指导法
五、课时安排：1课时。
六、教具学具准备：电脑或投影仪。
七、教学过程
教师活动学生活动设计意图
（一）创设情境，激趣导入
在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y
场)，可以列方程组
x y22
2x y40
+=
?
?
+=
?表示本章引言中
问题的数量关系。如果只设一个未知数(设胜x场)，
这个问题也可以用一元一次方程
________________________[1]来解。
分析：[1]2x＋(22－x)=40。
观察
上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2]
[2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容。看图，分
析已知条
件
思考
师生互动
列式解答
思考，同
桌交流
总结
从生活中的实
际问题引入，激
发了学生的学
习兴趣，对新课
起着过渡作用。
培养学生的合
作交流能力，分
析能力及表达。
设计意图
（二）概念教学
可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y倾听，理为概念的引出
＝22－x，将第2个方程2x＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(22－x)＝40。解这个方程，得x＝18。把x＝18代入y=22－x，得y＝4。从而得到这个方程组的解。（教师在课件中一步步导出过程）
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。[3]
[3]通过对上面具体方程组的讨论，归纳出“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的消元思想，这是从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解它。
归纳
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法[4]
[4]这是对代入法的基本步骤的概括，代入法通过“把一个方程(必要时先做适当变形)代入另一个方程”进行等量替换，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，从而实现消元。解，师生
互动，学
生边听边
练
倾听，理
解全班齐
读
记忆
同桌交流
学习
学生归纳
展示交流
成果
其他同学
倾听，理
解
教师总结
学生倾听
和理解概
念
做好铺垫
理解消元思想
是本节课的重
难点，要分析透
彻。
由浅入深，精辟
总结消元思想。
对概念进行深
入的了解
及时强调让学
生对新知识掌
握得更加完整。
（三）例题教学
例1 用代入法解方程组
分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比
较简便。
解：由①，得x＝y＋3。③
把③代入②，得 ([5]把③代入①可以吗?试试看。) 3(y十3)一8y=14。
解这个方程，得y＝一1。
把y=－l代入③，得 ([6]把y＝－1代入①或②可以吗?) x＝2
所以这个方程组的解是思考
独立完成
老师与个
别学生互
动适时指
导
同桌交流
选同学分
析和回答
解题过程
培养学生思考
及解决问题的
能力
检验学生对知
识的掌握程度。
[5]由于方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程
②，而不能代入①。为使学生认识到这一点，可以让其试试把
③代入①会出现什么结果。
[6]得到一个未知数的值后，把它代入方程①②③都能得
到另一个未知数的值。其中代入方程③最简捷。为使学生认识
到这一点，可以让其试试各种代入法。
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装
(250 g)两种产品的销售数量比(按瓶计算)为2:5。[7]某厂每
天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装
两种产品各多少瓶?
[7]两种产品的销售数量比为2:5，即销售的大瓶数目与小
瓶数目的比为2:5。这里的数目以瓶为单位。
分析：问题中包含两个条件：
大瓶数：小瓶数＝2：5，
大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液=总生产量。
解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶。
根据大、小瓶数的比以及消毒液分装量与总生产量的相等
关系，得
由①，得
把③代入②，得
解这个方程，得x=20 000。
把x=20 000代入③，得y=50 000，
这个方程组的解是
答：这个工厂一天应生产20 000大瓶和50 000小瓶消毒
同学回答
正确适当
表扬后提
问[5]
[6]学生
尝试并给
出回答
学生自由
读题,分
析条件,
列出方程
组并解答
用展台展
示几个具
有典型性
的同学的
解答过
程,讲解
时注重思
路和格
式.
注意代入
原方程组
检验
通过总结，再次
加深学生对知
识的掌握程度，
给学生充分发
挥的空间。
在学生形成解
题思维之后，放
手让学生完成，
给学生自我展
示的空间。
揭露学生可能
出现的问题和
遇到的障碍，并
及时更正，使学
生少走弯路。
液。
(四)代入法解题步骤
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
这个框图以用代入法解一个具体的二元一次方程组的过程为例，展示了代入法的解题步骤，以及各步骤的作用。它可以作为代入法解二元一次方程组的一般步骤的典型。
讨论
解这个方程时，可以先消去x吗？试试看。
（五）巩固练习
课本P98-99 1、3
（六）小结
1．解二元一次方程组的思想：
2．引导学生总结出用代入法解二元一次方程组的解题步骤。
3．用代入法解二元一次方程组的技巧：
①变形的技巧; ②代入的技巧．
通过这节课的学习，我们要熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确．
（七）拓展提高
作业精编P55 教师用课
件展示思
维和解题
流程,学
生注意观
察和理
解.
学生观察
集全评议
动手实践
独立完成
交流答案
谈谈本节
课的收获
学生独立
完成，下
课后交
上，老师
当天批
改，学生
当天订
正。
通过总结，再次
加深学生对知
识的掌握程度。
培养学生思考
及解决问题的
能力。
巩固检验对知
识的理解
体现本节课的
主要内容和思
想方法
对已学知识进
行实际的运用，
真正达到熟能
生巧。
（八）板书设计
八、点评
本教案的设计，符合学生的年龄特点，有利于学生探索重在让学生参与知识产生、发展，应用的全过程。让学生充分感知多项式及相关概念的形成过程，很大的发挥了学生的主体地位，但学生独立提出问题较少。
高斯列主元消元法解线性方程组
高斯列主元消元法解线性方程组 一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中， A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ?? ? ? ?= ? ? ? ? ??? T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068) 二、原理及步骤分析 设 n n ij R a A ?∈=][)1(，n n R b b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。若约化主元素 ),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。 如果在消元过程中发现某个约化主元0) (=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。此外，即 使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。 为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。相应过程为： （1）选主元：在子块的第一列中选择一个元) (k k i k a 使) (max k ik n i k k k i a a k ≤≤= 并将第k 行元与第k i 行元互换。 （2）消元计算：对k=1,2,……n-1依次计算 ()()()?? ?? ?????++=-=++=-=++==++n k k i b m b b n k k j i a m a a n k k i a a m k k ik k i k i k kj ik k ij k ij k kk k ik k ik ,,2,1,,2,1,,,2,1) ()()1() ()()1()() ()( （3）回代求解
二元一次方程组的解法——消元法
7.2 二元一次方程组的解法 第一课时 教学目的 1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元——次方程组为一元一次方程。 2．使学生了解“代人消元法”，并掌握直接代入消元法。 3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。 重点、难点 1．重点；用代入法解二元一次方程组。 2．难点：体会用一个未知数表示另一个未知数进行代入消元。 教学过程 一、回顾旧知 1．什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解? 2．把3x+y＝7改写成用x的代数式表示y的形式。 指名回答，其他学生补充。 二、讲授新知 回顾上一节课的问题2。 在问题2中，如果设应拆除旧校舍xm2，建新校舍ym2，那么根据 题意可列出方程组。 y-x=20000×30% ① y=4x ② 思考：怎样解这个方程组? 分析：方程②表明，可以把y看作4x，因此，方程①中的y也可以看成4x，即把②代人①(得到一元一次方程，实际上此方程就是设应拆除旧校舍xm2，所列的一元一次方程)。 解：把②代入①，得 4x-x=20000×30% 3x=6000 x=2000 把x=2000代入②，得 y=8000 所以x=2000 y=8000 答：应拆除2000 m2旧校舍，建造8000 m2新校舍。 这样就把二元转化为一元，把“未知”转化为“已知”。你能用同样的方法来解问题1中的二元一次方程组吗? 让学生自己概括上面解法的思路，然后试着解方程组。对有困难的同学，教师加以引导。并总结出解方程的步骤。 1. 选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。 2．把③代人另一个方程，得一元一次方程。 3．解这个一元一次方程，得一个未知数的值。 4．把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。 以上解法是通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的，这种
解二元一次方程组练习题经典
学习好资料欢迎下载 解二元一次方程组练习题 梅州）解方程组2013?．1．（ 淄博）解方程组．2．（2013? 邵阳）解方程组：2013?．3．（ （4．2013?．遵义）解方程组 2013?．湘西州）解方程组：5．（ （6．2013?荆州）用代入消元法解方程组． ．?汕头）解方程组2013．7（ ?2012．8（湖州）解方程组． 学习好资料欢迎下载
广州）解方程组2012?．9．（ 常德）解方程组：?10．（2012 2012?．南京）解方程组（11． 厦门）解方程组：12．（2012?． ．2011?永州）解方程组：（13． 14．（2011怀化）解方程组：?． 桂林）解二元一次方程组：．?（15．2013 ?（．162010．南京）解方程组： 学习好资料欢迎下载 丽水）解方程组：（2010?17．
广州）解方程组：．?．18（2010 巴中）解方程组：．? 19．（2009 天津）解方程组：? 20．（2008 宿迁）解方程组：．2008? 21．（ 桂林）解二元一次方程组：．（22．2011? ?郴州）解方程组：200723．（ ．?（24．2007常德）解方程组： 学习好资料欢迎下载 宁德）解方程组：2005?25．（
岳阳）解方程组：?．（2011．26 苏州）解方程组：．27．（2005? ?（2005江西）解方程组：28． 29．（2013自贡模拟）解二元一次方程组：．? 黄冈）解方程组：．?（30．2013 解二元一次方程组练习题学习好资料欢迎下载 参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题） 梅州）解方程组．2013? 1．（ 考点：解二元一次方程组；解一元一次方程． 专题：计算题；压轴题． 分析：①+②得到方程3x=6，求出x的值，把x的值代入②得出一个关于y的方程，求出方程的解即可． 解答： 解：， ①+②得：3x=6， 解得x=2， 将x=2代入②得：2﹣y=1， 解得：y=1． ∴原方程组的解为． 点评：本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组的应用，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中． 2．（2013?淄博）解方程组． 考点：解二元一次方程组． 专题：计算题． 分析：先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可． 解答： 解：， ①﹣2×②得，﹣7y=7，解得y=﹣1； 把y=﹣1代入②得，x+2×（﹣1）=﹣2，解得x=0， 故此方程组的解为：．点评本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键 3．（2013?邵阳）解方程组：．
熟练二元一次方程组解法练习题精选(含答案)
二元一次方程组解法练习题 一．解答题（共16小题） 1．解下列方程组 （1） （2） （3）)(6441125为已知数a a y x a y x ? ? ?=-=+ （4） （5） （6） ． （7） （8） ? ??=--+=-++0)1(2 )1()1(2 x y x x x y y x （9） （10） ?????? ?=-++=-++1 213 2 22 1 32y x y x 2．求适合的x ，y 的值． 3．已知关于x ，y 的二元一次方程y=kx+b 的解有和 ． （1）求k ，b 的值． （2）当x=2时，y 的值． （3）当x 为何值时，y=3？
1．解下列方程组 （1）（2）；（3）；（4）（5）．（6） （7）（8 ） （9） （10） ； 2．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，而得解为，乙看错了方程组中的b ，而得解为． （1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解.
二元一次方程组解法练习题精选参考答案与试题解析 一．解答题（共16小题） 1．求适合 的x ，y 的值． 得到一组新的方程 解：由题意得： ，，∴ 2．解下列方程组 （1） （2） （3） （4） ． 故原方程组的解为． 故原方程组的解为 ．）原方程组可化为．所以原方程组的解为 ）原方程组可化为：x=x=代入×﹣所以原方程组的解为3．解方程组：
：原方程组可化为，所以方程组的解为 4．解方程组： ）原方程组化为 y=． 所以原方程组的解为 5．解方程组： 解： 即 解得 所以方程组的解为． 6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和． （1）求k，b的值． （2）当x=2时，y的值． （3）当x为何值时，y=3？ 的二元一次方程组，再运用加减消元 ）依题意得： ， ． y=x+
《消元──解二元一次方程组》教学设计
《消元──解二元一次方程组》教学设计（第1课时） 一、内容和内容解析 1．内容 代入消元法解二元一次方程组 2．内容解析 二元一次方程组是解决含有两个提供运算未知数的问题的有力工具，也是解决后续一些数学问题的基础。其解法将为解决这些问题的工具。如用待定系数法求一次函数解析式， 在平面直角坐标系中求两直线交点坐标等． 解二元一次方程组就是要把二元化为一元。而化归的方法就是代入消元法，这一方法同样是解三元一次方程组的基本思路，是通法。化归思想在本节中有很好的体现。 本节课的教学重点是：会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组，体会解二元一次方程组的思路是消元． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组 （2）理解解二元一次方程组的思路是消元，体会化归思想 2．教学目标解析 （1）学生能掌握代入消元法解一些简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出简单的二元一次方程组的解， （2）要让学生经历探究的过程．体会二元一次方程组的解法与一元
一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想 三、教学问题诊断分析 1．学生第一次遇到二元问题，为什么要向一元转化，如何进行转化。需要结合实际问题进行分析。由于方程组的两个方程中同一个未知数表示的是同一数量，通过观察对照，可以发现二元一次方程组向一元一次方程转化的思路 2．解二元一次方程组的步骤多，每一步需要理解每一步的目的和依据，正确进行操作，把探究过程分解细化，逐一实施。 本节教学难点理：把二元向一元的转化，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。 四、教学过程设计 1．创设情境，提出问题 问题1篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？你能用一元一次方程解决这个问题吗？ 师生活动：学生回答：能。设胜x场，负(10-x)场。根据题意，得2x+(10-x)=16 x=6,则胜6场，负4场 教师追问：你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗? 师生活动：学生回答：能．设胜x场，负y场．根据题意，得 我们在上节课，通过列表找公共解的方法得到了这个方程组的解，
二元一次方程组的解法----加减消元法
二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 姓名初亚兵 工作单位濮阳县化肥厂职工子弟学校 学科（专业）初中数学
二元一次方程组的解法 ——加减消元法教学设计 一、教学内容解析： 本节课内容节选自人教版七年级数学下册第8章第二节第2课时。是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。教材的编写目的是让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。 二、教学目标设置： 通过对新课程标准的学习，我把本节课的三维教学目标确定如下： （一）知识与技能目标： 1、学会用加减消元法解二元一次方程组； 2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元； 3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。 （二）过程与方法目标： 1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法； 2、经历个体思考探究、小组交流、全班交流的合作化学习过程理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。 （三）情感态度及价值观： 1、培养学生学会自主探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯； 2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心； 教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。 教学难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。三、学生学情分析： 我所任教的班级学生基础比较好，他们已经具备了一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。大多数学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问
消元解二元一次方程组教案
§8.1.2用代入消元法解二元一次方程组 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）会用代入法解二元一次方程组。 （2）能体会“代入法”解二元一次方程组的基本思路。 2、过程与方法： （1）通过代入消元，使学生初步了解把“未知”转化为“已知”，和把复杂问题转化为简单问题的思想方法。 （2）培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较为简单的方程进行变形。 3、情感与态度： （1）训练学生的运算技巧，养成检验的习惯。 （2）通过本节课的学习，渗透化归的数学思想。 二、教学重点与难点 1、重点： 用代入消元法解二元一次方程组 2、难点： （1）消元的思想。 （2）探究如何用代入法将“二元”化为“一元” 三：教学过程设计 1、创设情境
问题：在1500年前，《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题，那就是雉 兔同笼问题，它是这样描述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问雉兔几何？把它翻译成现代汉语也就是说有若干只鸡和兔子同在一个笼子里， 从上面数，有35个头，从下面数，有九十四只脚，问鸡和兔子分别有多少只？ 2、新课引入 我们昨天已经初步学习二元一次方程组，所以对于上面的问题，我们知道可以用 二元一次方程组来解决。下面请大家自己在本子上列式，正好检验昨天大家是否 认真听课了，也请一个同学来帮帮老师列式： 解：设鸡有x 只，兔有y 只。 依题意得： ???=+=+9442 35y x y x 由①可得x -=35y 把③带入②中得 94x -354x 2=+）（ 解得23x = 把23x =带入③中得12y = 所以原方程的解为? ??==12y 23 x 3、新课讲解 （1）带入消元法：上面的解法，是把二元一次方程组中的一个方程的一个未知 数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求 得这个二元一次方程组的解，这种方法就叫做代入消元法，简称代入法。 （2）消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数， 那么就把二元一次方程组转换为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个 未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决问题
线性方程组的Guass消元法求解
西京学院数学软件实验任务书 课程名称数学软件实验班级数学0901 学号0912020112 姓名*** 实验课题 线性方程组高斯消去法，高斯列主元消去法，高斯全 主元消去法 实验目的熟悉线性代数方程组高斯消去法，高斯列主元消去法，高斯全主元消去法 实验要求运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成 实验内容线性方程组高斯消去法 线性方程组高斯列主元消去法线性方程组高斯全主元消去法 成绩教师
实 验 报 告 实验名称：Guass 消元法编程求解线性方程 实验目的：进一步熟悉理解Guass 消元法解法思路 学习matlab 编程 实验要求： 已知：线性方程矩阵 输出：线性方程组的解 程序流程： 输入矩阵 调用函数求解矩阵 输出方程组的解 实验原理： 消元过程： 设0) 0(11 ≠a ，令乘数) 0(11 ) 0(11/a a m i i -=，做（消去第i 个方程组的i x ）操 作1i m ×第1个方程+第i 个方程（i=2，3，.....n ） 则第i 个方程变为1 )1(2)1(2 ...i n in i b x a x a =++ 这样消去第2，3，… ，n 个方程的变元i x 后。原线性方程组变为 ?? ?? ? ????=++=++=++) 1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(22)0(1)0(11)0(11... . . ... ...n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a
这样就完成了第1步消元。 对线性方程组中有第2，3，.。。。N 个方程组成的n —1元线性方程组做同样的处理，消去其除第一个方程组之外的所有变元2x ，可得到 ???? ?? ? ??????=++=++=++=++)3()3(3)3(3)2(3)2(33)2(33)1(2)1(22)1(22)0(1)0(11)0(11... . . . ... ... ...n n nn n n n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a b x a x a 依次类推，当做到n-1步消元后，就完成了Guass 消元过程，得到上三角方程组 实验内容：利用Guass 消元操作的原理，求解线性方程组 ?? ?? ? ????==++=++--) 1()1()1(2)1(22)1(22) 0(1)0(11)0(11 . . ... ...n n n n nn n n n n b x a b x a x a b x a x a 回代过程： 在最后的一方程中解出n x ，得：) 1() 1(/--=n nn n n n a b x 再将n x 的值代入倒数第二个方程，解出1-n x ，依次往上反推，即可求出方程组的解： 其通项为3, (1) -n 2,-n k /)() 1(1 )1()1(=- =-+=--∑k kk n k j j k kj k k k a x a b x 流程图如下：
《消元——解二元一次方程组》教案
《消元——解二元一次方程组》教案1 第一课时 ★新课标要求 （一）知识与技能 1．知道代入法的概念． 2．会用代入消元法解二元一次方程组． （二）过程与方法 1．通过探索，了解解二元一次方程的“消元”思想，初步体会数学的化归思想． 2．培养探索、自主、合作的意识，提高解题能力． （三）情感、态度与价值观 1．在消元的过程中体会化未知为已知、化复杂为简单的化归思想，从而享受数学的化归美，提高学习数学的兴趣． 2．通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神． ★教学重点 用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元． ★教学难点 用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉． ★教学方法 1．关于检验方程组的解的问题．教学时要强调代入“原方程组”和“每一个”这两点． 2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性． 3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．教师启发、引导，学生观察、试验、比较、思考，讨论、交流学习成果． ★教学过程 一、引入新课 教师活动：请同学们回忆上节课我们讨论的篮球联赛的问题．大家可以得到两种方程﹙组﹚．设此篮球队胜x 场，负y 场． 方法一：2(22)40x x +-=； 方法二：22240 x y x y +=??+=? 方法一得到的方程是我们学过的一元一次方程．大家很容易解得18x =．所以该篮球队胜18场，负22184-=场． 二、进行新课 1．代入消元法的概念 方法二得到的是二元一次方程组，怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什
消元法解线性方程组
消元法解线性方程组 学校：青海师范大学 院系：数学系 专业：数学与应用数学 班级：10B 指导教师：邓红梅 学号：20101611218 姓名：梅增旺
摘要：线性方程组在数学的各个分支，在自然科学，工程技术，生产实际中经常遇到，而且未知元的个数及方程的个数可达成百上千，因此它的理论是很重要的，其应用也很广泛。本篇将就解线性方程组在此做一浅谈，以消元法为主要方法。消元法是解一般线性方程组行之有效的方法，早在中学大家都已经有接触，消元法的基本思想是通消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组进行求解。 关键字：线性方程组消元法求解 Abstract: linear equations in various branches of mathematics, natural science,engineering technology, often encountered in actual production, and the unknown element number and the number of equations can be hundreds, so itis important in the theory, its application is very extensive. This article on thesolution of linear equations based on a discussion, mainly by means ofelimination method. Elimination method is the general linear equations ofeffective early in high school, everyone has a contact, the basic idea ofelimination method is through the elimination of the equations of deformationinto easy to solve with the solution of equations. Keywords:elimination method for solving linear equations
消元——二元一次方程组的解法
消元——二元一次方程组的解法（消元法） 一、教学设计思路 在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。 二、教学目标 （一）知识目标 通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法。根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”解方程组；会借助二元一次方程组解简单的实际问题；提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。 （二）能力目标 通过大量练习来学习和巩固这种解二元一次方程组的方法。 （三）情感目标 体会解二元一次方程组中的“消元”思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程。由此感受“划归”思想的广泛应用。 三、教学重点难点疑点及解决办法
重点是用代入法解二元一次方程组。 难点是代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法）解二元一次方程组。 疑点是如何“消元”，把“二元”转化为“一元”。 解决办法是一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形。 四、教学方法：引导发现法，谈话讨论法，练习法，尝试指导法 五、课时安排：1课时。 六、教具学具准备：电脑或投影仪。 七、教学过程 教师活动学生活动设计意图 （一）创设情境，激趣导入 在8.1中我们已经看到，直接设两个未知数(设胜x场，负y 场)，可以列方程组 x y22 2x y40 += ? ? += ?表示本章引言中 问题的数量关系。如果只设一个未知数(设胜x场)， 这个问题也可以用一元一次方程 ________________________[1]来解。 分析：[1]2x＋(22－x)=40。 观察 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2] [2]通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程。这正是下面要讨论的内容。看图，分 析已知条 件 思考 师生互动 列式解答 思考，同 桌交流 总结 从生活中的实 际问题引入，激 发了学生的学 习兴趣，对新课 起着过渡作用。 培养学生的合 作交流能力，分 析能力及表达。 设计意图 （二）概念教学 可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y=22说明y倾听，理为概念的引出
消元--解二元一次方程组知识点总结(含例题)
消元—解二元一次方程组知识点教案 1．代入消元法解二元一次方程组 （1）消元思想的概念 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做__________思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）代人法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数 用含有另一个未知数的代数式表示出来． ②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程． ③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方 程组的解． 2．加减消元法解二元一次方程组 （1）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称__________． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数． ②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转 化为一元一次方程． ③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值， 从而得到方程组的解．
MATLAB之GAUSS消元法解线性方程组
Matlab之Gauss消元法解线性方程组 1.Gauss消元法 function x=DelGauss(a,b) %Gauss消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;%存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k);%计算行列式 end det=det*a(n,n); for k=n:-1:1%回代求解 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);
end Example: >>A=[1.0170-0.00920.0095;-0.00920.99030.0136;0.00950.0136 0.9898]; >>b=[101]'; >>x=DelGauss(A,b) x= 0.9739 -0.0047 1.0010 2.列主元Gauss消去法： function x=detGauss(a,b) %Gauss列主元消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1;%存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 amax=0;%选主元 for i=k:n if abs(a(i,k))>amax amax=abs(a(i,k));r=i; end end if amax<1e-10 return;
人教版七年级下册消元——解二元一次方程组练习题(含答案)
8.2消元——解二元一次方程组练习题 一、选择题 1. 二元一次方程组{x ?y =4x +y =2 的解是( ) A. {x =3y =?7 B. {x =1y =1 C. {x =7y =3 D. {x =3 y =?1 2. m 为正整数，已知二元一次方程组{mx +2y =103x ?2y =0 有整数解，则m 2的值为( ) A. 4 B. 49 C. 4或49 D. 1或49 3. 在解方程组{ax +5y =104x ?by =?4 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a ，得到的解为{x =?3y =?1，乙看错了方程组中的b ，得到的解为{x =5y =4 .则原方程组的解( ) A. {x =?2y =8 B. {x =15y =8 C. {x =?2y =6 D. {x =?5 y =8 4. 方程组{2x +y =?x +y =3 的解为{x =2y =?，则被遮盖的两个数分别是( ) A. 1，2 B. 5，1 C. 2，?1 D. ?1，9 5. 若二元一次方程组{x +y =33x ?5y =4 的解为{x =a y =b ，则a ?b =( ) A. 1 B. 3 C. ?14 D. 74 6. 用加减法解方程组{4x +3y =7?①6x ?5y =?1?② 时，若要求消去y ，则应( ) A. ①×3+②×2 B. ①×3?②×2 C. ①×5+②×3 D. ①×5?②×3 7. 利用加减消元法解方程组{2x +5y =3①5x ?3y =6② ，下列做法正确的是( ) A. 要消去y ，可以将①×5+②×2 B. 要消去x ，可以将①×3+②×(?5)
二元一次方程的解法(代入消元法)
二元一次方程的解法 1.用一个未知数表示另一个未知数 (1)24x y +=，所以________x =； (2)345x y +=，所以________x =，________y =； (3) ５x-2y=10，所以x = ，________y =． 2.用代入法解二元一次方程组 例1：方程组（1）92x y y x ……①………②ì+=??í?=?? （2） ???-=+=1521 2x y y x （3）???-=+=-.154,653y x y x （4）???=-=-.43,532y x y x （5）?? ?=-=+. 72, 852y x y x 练习巩固：解下列方程组： （1）???-==+236y x y x （2）???=+-=-10235y x y x （3）? ? ?-=-=-2.32872x y y x （4） ?? ?-==+. 2,72y x y x （5） ?? ?=-=+. 2,6y x y x （6） ?? ?=+=-4 23,52y x y x (7) ???=+=-.63,72y x y x (8) ???=+=-.543,72y x y x (9) ???-==+. 1, 623x y y x
（10）???=-=+.102,8y x y x （11）???=+=+.52,42y x y x （12）? ??=-=-.1383,32y x y x 将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 代入消元法解方程组的步骤是： ①用一个未知数表示另一个未知数； ②把新的方程代入另一个方程，得到一元一次方程（代入消元）； ③解一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把这个未知数的值代入一方程，求出另一个未知数的值； ⑤检验，并写出方程组的解. 例2、（1）? ??-=-=+8547 32y x y x （2）541538x y x y -=?? +=?①② 1.对于方程432=-y x ,用含x 的代数式表示y ，则结果是 ；如果用含y 的代数式表示x ，结果是 ， 2.已知方程25-=-y x ，如果用含x 的代数式表示y ，则结果是 ；如果用含y 的代数式表示x ，结果是 . 3.根据你的喜爱，把下列方程变形为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式. 131=-y x ）（ (2)15105=-y x (3)1267=+y x （4）1035=-y x 4.解下列方程组：
消元---解二元一次方程组教学反思
反思一：消元---解二元一次方程组教学反思 常言道：举一反三，触类旁通。数学教学尤其如此。旨在于对一个数学知识点反复例举、反复引导、反复训练，进而对类似问题能够参考性的对比解决并且不断提升知识的认知水平。消元二元一次方程组的解法这个课时的思想就是把未知数的个数递减而逐一解决。我在教学这个内容中得到如下反思。 一、在这节课的开始应该充分利用教材关于胜负问题的例子，让学生首先明白两个方程中的x都表示胜的场数，y都是表示负的场数，这个过程就是为了消除学生在以下的代入消元法和加减消元法中为什么能够互换的疑虑。这是个好的开端。 二、充分强调等式的变化。虽然这是个复习的问题，但是，让学生反复演练这样的等式变换是一个必要的过程，它将为后面的代入法顺利进行起到铺垫的作用。 三、在进行代入消元法时，遵循由浅入深、循序渐进的原则，引导并强调学生观察未知数的系数，注意系数是1的未知数，针对这个系数进行等式变换，然后代入另一个方程。在这个教学过程中，学生的学习难点就是当未知数的系数不是1的情况，教师就应该运用开课前复习的等式变换的知识点：用含有一个字母的代数式表示另一个字母，引导学生熟练进行等式变换，这个过程教师往往忽略训练的深度和广度，要引起注意把握训练尺度。 四、在进行加减消元法时，难点是：相同未知数的系数不相同也不是互为相反数的情况。基于此，教学原则也应该是由易到难、逐次深入的原则。教师应该先让学生熟悉简单的未知数相同或互为相反数这类题目的加减消元法则和原理;继而认真展示成倍数关系的未知数的系数;然后出示一些比如：3x-5y=10，2x+10y=1，等等的问题，提示学生怎样使相同未知数的系数相同或互为相反数，这时教师要帮助学生认真分析，强调遵循求几个数最小公倍数的原则，使它们相同未知数的系数变成为它们的最小公倍数，然后进行加减消元法去解决问题。 这就是我在这个课程教学的一些反思。 反思二：消元---解二元一次方程组教学反思 1、这节课的主要内容是用代入法解二元一次方程组。这种代入消元法的关键是如何选择一个方程，如何用含一个未知数的式子去表示另一个未知数。所以在教学上要抓住这个关键来讲解。 2、在教学过程中，学生虽然学会了用代入法解二元一次方程组，但是在结构不同的方程组中，学生就有点不知所措，不懂选择哪个方程代入另一个方程，以至 使运算简便。而是盲目地规定消那个未知数，使得计算量很大。出现这种问题的 原因是，没有抓住教师在课堂上强调的关键。针对这个问题，在以后的教学中， 我会再强调这个解题的关键，甚至还专门利用课余时间，帮他们补回来。让他们在这方面多
第一章线性方程组的解法(新)
第一章线性方程组的解法 求解线性方程组是科学研究和工程应用中最普遍和最重要的问题，超过75%的科学研究和工程应用中的数学问题，在某一阶段都与线性方程组的求解有关．本章介绍求解线性方程组的消元法及其矩阵形式． 引例交通流量问题 随着城市人口以及交通流量的增加，城市道路交通拥堵问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一.为解决这个世界性难题，各国政府和民间都进行了广泛的研究，提出了提高交通管理水平、增强交通参与者的素质、扩大道路容量、限制车辆增长速度等政策及车牌限行、设置单向行驶道路等措施.以上的政策和措施的一个基础性工作就是各道路的车流量的统计与分流控制.使各道路的交通流量要达到平衡,所谓交通流量平衡是指在每个路口进入的车辆数与离开的车辆数相等．图1是某一城市的道路交通网络图，所有车道都是单行道．箭头给出了车辆的通行方向，数字是高峰期每小时进入和离开路口的车辆数．在满足交通流量平衡的条件下，试问如何分流车辆． 图1 为了保证交通流量平衡，得线性方程组
12 23345461 56300,200,300,100,300.x x x x x x x x x x x x +=??-=-?? -+=??-=-??-+=? （） 问题归结为讨论线性方程组（）是否有解若有解，求出方程组的解． 第一节 线性方程组的消元法 一、线性方程组的概念 设12,, ,n x x x 为实未知量，12,,,,n a a a b 为实数，n 为正整数．方程 1122n n a x a x a x b ++ += 称为含未知量12,,,n x x x 的线性方程．由m 个含未知量12,, ,n x x x 的线性方程组成的方 程组 1111221121122222 1122,,, n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? （） 称为n 元线性方程组，其中,(1,2, ,;1,2,,)ij i a b i m j n ==为实数．若 1122,,,n n x c x c x c === （） 使（）中的每一个方程都成立，则称（）为方程组（）的解． 如果线性方程组（）有解，则称方程组（）是相容的；否则，称方程组（）是不相容的． 线性方程组解的全体所构成的集合称为该线性方程组的解集．显然，如果线性方程组不相容，其解集必为空集．能表示线性方程组全部解的表达式称为方程组的通解或一般解． 具有相同解集的线性方程组称为同解方程组或等价方程组． 二、线性方程组的消元法 中学所学的解线性方程组的消元法是求解线性方程组简单有效的方法．现在我们回忆消
消元——解二元一次方程组(含答案)
完成情况 消元——解二元一次方程组 班级：_____________姓名：__________________组号：_________ 第一课时 一、旧知回顾 1．对课本引言中出现的“篮球联赛”的问题，先列出一元一次方程解决，再列出二元一次方程组。如何来解这样的方程组呢，请认真进行对比。 二、新知梳理 2．探究活动一：一元一次方程与二元一次方程组的关系： （1）观察方程x ＋y ＝2①与y ＝2－x ②，思考①是如何转化到②的？ （2）二元一次方程组，如何化为一元一次方程2x ＋(10－x)＝22？通过预习 ???=+=+22210 y x y x 仿照例1请写出完整的解题过程。 学前准备
（3）归纳代入消元法： 三、试一试 3．把下列方程改成用含x 的式子表示y 的形式（1）， 。 52=+y x =y （2）， 。 450x y --==y 4．用代入法解下列方程组：（解题格式请参照P91－92页例1） ① ② ★通过预习你还有什么困惑？ 25342x y x y -=??+=? ① ②23328y x x y =-?? +=?①②
一、课堂活动、记录 1．解二元一次方程组的基本思想是什么？2．用代入法解方程组的基本步骤是什么？ 二、精练反馈A 组： 1．把下列方程改成用含y 的式子表示x 的形式：（1）x ＋2y ＝1 （2）5x －3y=x 2．用代入法解下列方程组： （1） （2）3759y x x y =+??+=? ①②21235x y x y -=?? +=?① ② B 组： 3．有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛。篮、排球队各有多少支参赛？ 课堂探究
二元一次方程组的解法代入消元法
二元一次方程组的解法——代入消元法 ●教学内容 人教版七年级下第八章二元一次方程组第二节 ●教学目标 1、会用代入法解二元一次方程组 2、初步体会解二元一次方程组的基本思想——消元 3、通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探索 精神 ●教学重点、难点 重点：用代入法解二元一次方程组 难点：探索如何用代入法将二元转化为一元的消元过程 ●教学过程 一、提出问题，探究方法 问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得一分，某队想在全部22场比赛中得到40分，这个队胜负场数分别是多少？
法一：可列一元一次方程来解 法二：可列二元一次方程组来解 解:设这个队胜了x 场，解：设这个队胜场数分别为x 场， 则负了（22-x ）场，由题意的得 负了y 场，由题意得 2x+（22-x ）=40（以下略）???←-=x y 22? ??=+=+40222y x y x 二、代入法解二元一次方程组的一般步骤 ???=+=+)2(402)1(22y x y x 解：由（1）得y=22-x (3) 。。。。。选择变形 把（3）代入（2）得
2x+(22-x)=40 。。。。。。代入消元 解得x=18 。。。。。。。解一元方程 把x=18代入（3）得y=4 。。。。。返代求值 ∴???==4 18y x 。。。。。。。规范写解 师生一起归纳代入消元法的一般步骤并强调注意事项：选择一个系数较为简单的方程变形，将变形后的式子代入另一个方程得一个一元一次方程，解这个一元一次方程（不需详细步骤），将一元一次方程的解代入（3）求出另一未知数的值（代入（1）（2）也可，但代入（3）往往要简便些），然后规范写解。 三、 尝试练习
(完整版)解线性方程组的消元法及其应用
解线性方程组的消元法及其应用 （朱立平 曲小刚） ● 教学目标与要求 通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵. ● 教学重点与难点 教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵. 教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵. ● 教学方法与建议 先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的. 引例 解线性方程组 ??? ??=+-=+=++132724524321 21321x x x x x x x x )3()2()1( 解 （1）???→??)2()1(?????=+-=++=+13245247 232132121x x x x x x x x )3()2()1(????→?+-?+-?) 3()2()1()2()4()1(?????-=+-=+=+133524567232 3221x x x x x x )3()2()1(
????→?+-?)3()65 ()2(??????? =--=+=+76 724567233221x x x x x )3()2()1( 用回代的方法求出解即可. 问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1）交换方程次序，（2）以不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的k 倍.那么对于高阶方程组来说，是否也可以考虑用此方法. 2.矩阵的初等变换 定义1 阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加而增加的矩阵. 定义2 下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换： i. 互换矩阵的两行（例如第i 行与第j 行，记作j i r r ?）， ii. 用数0≠k 乘矩阵的某行的所有元素（例如第i 行乘k ，记作i kr ）， iii. 把矩阵某行的所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第j 行的k 倍加到第i 行上，记作j i kr r +）. 同理可以定义矩阵的初等列变换. 定义 3 如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作 A ~ B . 注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵. 3. 高斯消元法 对于一般的n 阶线性方程组 ?????? ?=++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112 22221211 1212111 )()2()1(n （3.1） 若系数行列式0det ≠A ，即方程组有唯一解，则其消元过程如下： 第一步，设方程（1）中1x 的系数01≠l a 将方程)(l 与（1）对调，使对调后的第一个方程1x 的系数不为零.作)1(11 1 a a i i - ),3,2(n i Λ=，得到同解方程组 ?? ? ????=++=++=+++)1()1(2)1(2) 1(2 )1(22)1(22)0(1)0(12)0(121)0(11n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 第二步，设0) 1(22≠a ，保留第二个方程，消去它以下方程中的含2x 的项，得