基于小波变换的图像去噪
第1章绪论
由于各种各样的原因，现实中的图像都是带噪声的。噪声恶化了图像质量，使图像变得模糊。对同时含有高斯噪声和椒盐噪声的图像先进行混合中值滤波，在滤除椒盐噪声的同时，又很好地保留了图像中的物体细节和轮廓。小波域去噪处理具有很好的时频特性、多分辨分析特性等优点，可以看成特征提取和低通滤波功能的综合。小波模极大值去噪方法能有效地保留信号的奇异点信息，去噪后的信号没有多余振荡，具有较好的图画质量，改进后可以得到更满意的图像。小波相位滤波去噪算法是基于小波变换系数相关性去噪算法的，适于强噪声图像，去噪后也可以改善图像质量。
1.1课题背景
图像信息以其信息量大、传输速度快、作用距离远等优点成为人类获取信息的重要来源及利用信息的重要手段，而现实中的图像由于种种原因都是带噪声的。噪声恶化了图像质量，使图像模糊，甚至淹没和改变特征，给图像分析和识别带来困难。为了去除噪声，会引起图像边缘的模糊和一些纹理细节的丢失。反之，进行图像边缘增强也会同时增强图像噪声。因此在去除噪声的同时，要求最小限度地减小图像中的信息，保持图像的原貌。经典的图像去噪算法，如均值滤波、维纳滤波、中值滤波等，其去噪效果都不是很理想。
中值滤波是由图基（Turky）在1971年提出的，开始用于时间序列分析，后来被用于图像处理，在去噪复原中得到了较好的效果。它的基本原理是把数字图像或数字序列中的一点的值，用该点的一个邻域中的各点的中值代替。中值滤波在抑制椒盐噪声的同时又能较好地保持图像特征，图像也得到了平滑。对同时含有高斯噪声和椒盐（脉冲）噪声的图像，先进行混合中值滤波处理。基于极值的混合中值滤波兼容了中值滤波和线性滤波的优点，在滤除椒盐噪声的同时又对图像中的物体细节和轮廓进行了很好的保留。基于混合中值滤波和小波去噪相结合的方法，去噪效果好于单纯地使用小波变换去除噪声，或者单纯使用混合中值滤波去除噪声，能获得比单一使用任何一种滤波器更好的效果。
小波分析是20世纪80年代初Morlet提出的，经过20多年的研究，小波分析目前在图像处理等领域中得到广泛的应用。去噪处理是小波分析的一个重要应用，尤其是对高斯噪声的滤除。小波域信号去噪在兼容去噪和保留信号有意义特征方面，具有十分诱人的前景。其主要原因是小波变换具有很好的时频特性、多分辨分析特性等优点，可以看成特征提取和低通滤波功能的综合。小波模极大值去噪方法主要适用于信号中混有高斯噪声，且信号中含有较多奇异点的情况。该方法在去噪的同时能有效地保留信号的奇异点信息，去噪后的信号没有多余振荡，是原始信号的一个非常好的估计，且具有较好的图画质量。但是信噪比比较低时，模极大值去噪方法的效果不好，改进后则可以得到满意的图像。由于信号与噪声的幅值在小波变换下有不同的传播特性，因此多数去噪算法都是基于小波系数的幅值特性而设计的。小波相位去噪算法是基于小波变换系数相关性，是一种对幅度不敏感的小波去噪算法。该去噪算法适于强噪声图像，即信噪比较高的图像，去噪后也可以改善图像质量。
1.2本文的工作
本文首先对当前比较成功的图像去噪算法，均值滤波、中值滤波、维纳滤波和小波域去噪等图像去噪技术有一个较为全面的分析和比较。其次，针对实际去噪问题和去噪要求设计出较合理的三种去噪算法：混合中值滤波和小波域去噪相结合的算法、小波模极大值去噪、小波相位去噪。本文分析和阐述了这三种去噪方法的原理和特点，最后将这些去噪方法用MATLAB程序仿真实现，完成图像的去噪处理。
第2章 经典图像去噪技术的介绍
随着科学技术的发展，图像去噪的方法越来越多。经典的图像去噪算法有均值滤波、中值滤波、维纳滤波等等。这些去噪方法都有各自的优点和不足。
2.1 图像噪声
2.1.1 噪声来源
① 在光电、电磁转换过程中引起的人为噪声。
② 大气层电（磁）暴、闪电、电压和浪涌等引起的强脉冲性冲击干扰。
③ 由物理的不连续性或粒子性所引起的自然起伏性噪声。
2.1.2 噪声分类
图像是一种重要的信息源，其本质是光电信息。一幅图像在实际应用中可能存在各种各样的噪声，这些噪声可能在传输中产生，也可能在量化等处理中产生。根据噪声和信号的关系，可将其分为三种形式（),(y x f 表示给定原始图像，),(y x g 表示图像信号，
),(y x n 表示噪声）
： ① 加性噪声
含噪声的图像可表示为：),(),(),(y x n y x g y x f +=，即噪声与信号的关系是相加的。不管有没有信号，噪声都会存在。加性噪声干扰有用信号，因而不可避免地对通信造成危害，所以对图像进行相关处理前必须去除加性噪声。信道噪声及光导摄像管的摄像机扫描图像时产生的噪声，就属这类噪声。
加性噪声中包括椒盐噪声、高斯噪声等典型的图像噪声。椒盐噪声往往由图像切割引起的，是由图像传感器等产生的黑图像的白点、白图像上的黑点。去除脉冲干扰级椒盐噪声可以用均值滤波、维纳滤波等经典图像去噪技术进行去噪处理，而非线性滤波技术中值滤波是其中最常用的方法。高斯噪声就是n 维分布都服从高斯分布，即正态分布的概率密度函数的噪声。高斯噪声是图像含有的主要噪声，在小波域里能很好地实现去除高斯噪声。
② 乘性噪声
含噪声的图像可表示为：),(),(),(),(y x g y x n y x g y x f +=，即噪声与信号的关系是相乘的。信号在它在，信号不在也就不在。乘性噪声一般由信道不理想引起，飞点扫描器扫描图像时的噪声，电视图像中的相干噪声，胶片中的颗粒噪声就属于此类噪声。
③ 量化噪声
此类噪声与输入图像信号无关，是量化过程存在量化误差，再反映到接收端而产生。这类噪声不是我们研究的方向。
一般来说，图像噪声多是与信号直接相加的。因此，原则上乘性噪声信号的去除最好先转换为加性噪声。所以我们去噪的主要目的是去掉加性噪声的影响，即高斯噪声和椒盐噪声。
2.2 噪声模拟
研究图像去噪技术，首先要给图像添加噪声，进行噪声的模拟。数字图像噪声产生的途径有很多种。MATLAB 的图像处理工具箱提供imnoise 函数，可以用该函数给图像添加五不同种类的噪声。表2.1列出了imnoise 函数能够产生的五种噪声及对应参数。
具体的应用为：首先将图像读出来，然后给图像添加噪声。
I=imread('filename.tif')
J=imnoise(I, 'type', parameters)
其中，filename 为图像名称，且一般为灰度图像，参数type 指定滤波器的种类，parameters 是与滤波器种类有关的具体参数。
表2.1 imnoise 函数支持的噪声种类及其参数说明
2.3 经典图像去噪技术
现有的经典的图像去噪方法大致可以划分为两类：一类是空间域方法，主要采用各种图像平滑模板对图像进行卷积处理，以达到压抑或去除噪声的目的；另一类是频域方法，主要通过对图像进行变换以后，选用适当的频率带通滤波器进行滤波处理，经反变换后获得去噪声图像。常见的空域滤波有均值滤波、中值滤波和维纳滤波等方法。它们的基本特点都是让图像在傅里叶空间的某个范围内的分量受到抑制，同时保持其他分量不变，从而改变输出图像的频率分布，达到图像增强的目的。常见的频域滤波则有高通滤波和低通滤波等方法。
2.3.1 均值滤波
⒈ 基本原理
均值滤波器，是一种最常用的线性低通滤波器。这种方法的基本思想是，用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度值。均值滤波器所有的系数都是正数，为了保持输出图像仍在原来的灰度范围内，模板与像素邻域的乘积和都要除以9[1]。以33?邻域为例，假设当前的待处理像素为),(n m f ，最简单的一种均值滤波模板为：
????
??????=11111111191H 将以上的均值滤波器加以修正，可以得到加权平均滤波器。例如：
??????????=1111211111011H ????
??????=1212421211612H ??????????=111101111813H 设一幅数字图像),(y x f 为N M ?的阵列，平滑后的图像为),(y x g ，它的每个像素的灰度由包含),(y x 的预定邻域的几个像素的灰度级的平均值所决定，如式（2.1），
∑∈=)
,(),(1),(s j i j i f k y x g （2.1） 式（2.1）中，S 是),(y x 像素点的不包含),(y x 像素点的预定邻域，K 是S 内的坐标点总数。
⒉ 滤波效果
对图像进行均值滤波处理，相当于让图像信号通过一低通滤波器。这种方法通过把突变点的灰度分散在其相邻点中，然后达到平滑作用。原始图像经过均值滤波后噪声得到了抑制，图像也得到了平滑。但是均值滤波对极限像素值（与周围像素灰度值相差较大的像素）比较敏感，同时也使图像边缘变得模糊[2]。
2.3.2 维纳滤波
维纳滤波是一种自适应滤波，它能根据图像的局部方差调整滤波器的输出。维纳滤波的最终目标是使恢复图像),(y x f ∧与原始图像),(y x f 的均方误差MSE 最小。维纳滤波器以最小均方误差MSE min 作为最优准则。
{}
????????????-==∧22),(),(m i n ),(m i n m i n y x f y x f E y x e E M S E （2.2） 因为对误差进行平方运算，使得大误差的分量远远小于小误差的分量，选择MSE min 就可以限制滤波输出的主要误差，也可以使用其他的最优原则进行分析（例如平均误差等）。但是这些准则将使得分析过程变得较为复杂，而且效果也不是很好。我们可以用MATLAB 中的wiener2函数对一幅图像进行自适应滤波，wiener 2函数的调用格式为：
J = wiener2(I,[M N],NOISE)
I 表示输入图像，[M N]表示卷积使用的邻域大小，缺省值为[3 3]；NOISE 为噪声强度，如果不指定此参数，那么wiener2函数将返回一个估计的噪声强度。
2.3.3 中值滤波
⒈ 基本原理
中值的定义为：有一组数n x x x x ,,,,321 ，把各数值按大小顺序排列于下，
)
,,,,(321321n in i i i x x x x Med y x x x x =≤≤≤ 其中，y 就称为序列n x x x x ,,,,321 的中值。
若n 为奇数，则中值y 为排在第
21+n 的数；n 为偶数时，则中值为排在第2n 的数与排在第12
+n 的数之和的平均值。例如有一序列为(80，90，200，110，120)，那么这个序列的中值为110。
中值滤波的基本原理是，把数字图像或数字序列中的一点用该点的一个邻域中各点值的中值代替[3]。把一个点的特定长度或者形状的邻域称做窗口。在一维情况下，中值滤波器是一个含有奇数个像素的滑动窗口，窗口正中间的那个像素的值用窗口中各像素的中值代替。
设输入序列为{}I i x i ∈,，I 为自然数合集或子集，n 为窗口长度。则滤波器输出为 ],,,,[u i i u i i x x x M e d x +-= （2.3） 式中，2
1-=∈n u I i ，。 中值滤波的概念很容易推广到二维，此时可以利用某种形式的二维窗口。二维窗口的形状可以取方形，也取近似圆形或十字形。一维、二维窗口内各点对输出的作用是相同的。如果希望强调中间点或距中间点最近的几个点的作用，可以采用加权中值滤波。
⒉ 滤波效果
中值滤波的主要功能是，让周围象素灰度值的差比较大的像素改取与周围的像素值接近的值，从而可以消除孤立的噪声点。中值滤波的滤波原理与均值滤波方法相似，但其输出值是由邻域像素的中间值而不是平均值决定的，因此中值对极限像素值远不如平均值那么敏感。中值滤波的效果比均值滤波好，对滤除图像的椒盐噪声尤其有效。
中值滤波在衰减噪声的同时不会使图像的边界模糊，从而获得比较满意的图像复原效果。而且在实际运算过程中不需要图像的统计特性，它的效果依赖于邻域的空间范围和中值计算中模板所覆盖的像素数。因此，改变滤波器的长度或者模板均可改变滤波器的性能。一般来说，小于中值滤波器面积的一半的亮或暗的物体基本上会被滤掉，而较大的物体会几乎不变地保存下来。中值滤波对图像中的细节处理不理想，对许多点、线等细节较多的图像不大适用。
第3章基于小波域的图像去噪技术的研究
本文用到的去噪方法主要是基于小波域的，小波域里的图像去噪技术有很多种。现如今，小波去噪技术已经广泛地应用在图像去噪领域。
3.1小波分析概述
小波(Wavelet)又称为子波，是一个有限的、均值为零的振荡波形。小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域。经过近20年的探索研究，重要的数学形式体系已经建立，理论基础更加扎实。
小波分析(Wavelet Analysis)的概念是1984年法国的地球物理学家J.Morlet在分析处理地球物理勘探资料时提出来的。小波变换的数学基础是19世纪的傅里叶变换，其后，理论学家A.Grossman采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。1985年，法国数学家Y.Meyer第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波。1988年，比利时的数学家Daubechies证明了紧支集正交标准小波基的存在，使得离散小波分析成为可能。1989年S.Mallat提出多分辨分析概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，使小波变换完全走向实用性。
信号分析专家S.Mallat提出的多分辨分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法——Mallat算法。Mallat算法的提出标志着小波理论获得突破，开创了小波理论应用于信号处理领域的新局面[4]。
小波分析是时间-尺度分析与多分辨率分析的一种新技术，应用领域十分广泛。小波分析方法成功地应用在去噪领域，是由于小波变换具有如下特点[5]：
①低熵性：小波系数的稀疏分布，使得图像变换后的熵降低。
②多分辨性：由于采用了多分辨分析，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等。
③去相关性：因为小波变换可以对信号进行去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比空域更利于去噪。
④选基灵活性：由于小波变换可以灵活选择变换基，从而对不同的应用场合，对不同的研究对象，可以选用不同的小波母函数，以获得最佳的效果。
3.1.1时频特性
信号分析的主要目的，一般是为了获得时间和频域之间的相互关系。傅里叶变换的特点是域变换，它把时域和频域联系起来。傅里叶变换要求提供全部信号的信息，时域信号的局部改变会影响频域的全局改变，同样的频域中的某点变化也会影响全部的时域。这样信号分析就面临着一对矛盾：时域和频域局部化的矛盾。
相比而言，小波变换通过平移母小波可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(尺度)可获得信号的频率特性，是时间（空间）频率的局部化分析。小波变换通过伸缩平移运算，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分。即在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率；在高频情况下（频率变换不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。这样就能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，探测正常信号中的瞬态成分，解决了傅里叶变换不能解决的许多问题。因此，小波变换被誉为“数学显微镜”。
3.1.2多分辨率分析
多分辨率（多尺度）技术在许多信号和图像处理应用中的重要性已为人们所认识，主要三个方面[6]：
①尺度是许多物理现象内在特性。信号，特别是图像信号，含有不同分辨率的物理结构特征。
②多分辨率分析就是在不同尺度、不同分辨率下研究信号。从频域观点看，信号多分辨率分解相当于信号多频道分解。
③多分辨率技术往往表现出某些计算的优越性。
多分辨率分析的作用是将信号分解成不同空间的部分，多分辨率跟小波变换建立了密切的联系。小波变换作为信号分辨率分析的有力工具，而多分辨率分析理论又为小波变换提供了数学上的理论基础和一种构造各正交小波基、双正交小波基等的简单方法。
3.1.3常用小波函数
① Haar小波：最早、最简单的小波，本身是一个阶跃函数。
② Daubechies小波：其系列简写为dbN，N本身阶数，db是小波名字的前缀。
③ SymletA 小波族：即symN 小波族，类似于db 小波族，但具有更好的对称性。 ④ Molet 小波：是一个具有解析表达式的小波，但不具备正交性，所以只能满足连续小波的可允条件，不能做离散小波变换和正交小波变换。
3.2 小波变换
3.2.1 连续小波变换
设函数)(t ψ具有有限能量，即)()(2R L t ∈ψ，定义：
dt e t t j ωω-∞
∞-?ψ=
ψ)()( （3.1） 如果)(ωψ满足以下条件： ∞<∞∞-ψ=?ψωω
ωd C 2)( （3.2） 那么下式就称为小波函数：
)(1)(,a b x a
x b a -ψ=ψ R b R a a ∈∈≠,0且 （3.3） 其中，)(t ψ称为基小波函数，a 为尺度因子，b 为位移因子。若a >1，函数)(t ψ具有伸展作用，a <1，函数)(t ψ则具有收缩作用。由式（3.3）可以看出，小波函数就是一个满足式（3.2）的函数经过伸缩和平移得到的一族函数。
小波)(t ψ的选择既不是唯一的，也不是任意的，它应满足如下两个条件：
① 定义域是紧支撑的(Compact Support)，换句话说，就是在一个很小的区间之外，函数为零。也就是说函数应具有速降特性，以便获得空间局域化。
② 平均值为零，即
0)(=ψ?∞∞-dt t （3.4）
甚至其高阶矩阵也为零，即
0)(=ψ?∞∞-dt t t k 1,2,1,0-=N k （3.5） 上述两个条件可以概括为：小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。
事实上傅里叶变换就是所有时间上的信号与负指数的乘积之和。同样的，连续小波变换CWT(Continual Wavelet Transform)定义为，所有时间上的信号)(x f 与小波函数的乘积之和。
dx a b x a
x f dx x x f b a W b a f )(1)()()(),(,-ψ=ψ=??∞∞-∞∞
- （3.6） 其逆变换为
2
,0)(),(1)(a da db x b a W C x f b a f ψ=??∞-∞∞ψ （3.7） 式（3.6）为小波变换公式，式（3.7）为小波重构公式，从这两个式子可以看出，一个一维函数的连续小波是一个双变量函数，因此称连续小波变换是超完备的，因为它要求的存储量和代表的信息量都增加了。如果),(y x f 是一个二维函数，那么它的连续小波变换定义如下：
dxdy y x f b b a W y x b b a y x f ??ψ=,,),(),,( （3.8）
其中，x b 和y b 表示在两个维度上的平移。小波变换的时宽和频宽的乘积都很小，而且在时间和空间上都很集中。小波系数能非常清楚地说明在时间点上不连续点的准确位置。二维连续小波的逆变换的定义如下：
3,,0),(),,(1
)(a
da db db y x b b a W C x f y x b b a y x f y x ψ=???∞∞∞-∞∞-ψ （3.9） 3.2.2 离散小波变换
⒈ 离散小波的定义
连续小波变换主要用于理论上的分析，而在实际应用中离散小波变换DWT(Discrete Wavelet Transform)更适用于计算机处理。离散小波的定义表示为（100≠∈=a Z j a a j ，，）：
)()(1
)(020200000,nb a a a a nb t a t m m m m m n m -ψ=-ψ=ψ-- （3.10） 则相应的小波变换可由式(3.11)定义。
dt nb t a t f a W m m
f )()(0020
-ψ=-∞∞--? （3.11）
⒉ 尺度函数 由尺度函数构造小波是小波变换的必经之路。尺度函数)(t ?应满足下列六个条件： ① ?∞
∞-=0)(dt t ?，它是一个平均函数。与小波函数)(t ψ相比较，其傅里叶变换)
(ωΦ具有低通特性，)(ωψ具有带通特性。 ② 1)(=t ?，即尺度函数是范数为1的规范化函数。
③ 尺度函数对所有的小波是正交的。
④ 尺度函数对于平移是正交的，但对于伸缩收缩来说不是正交的。
⑤ 某一尺度上的尺度函数可以由下一尺度的线性组合得到。
⑥ 尺度函数与小波是有关联的，小波可以由尺度函数的伸缩和平移的线性组合获得，这就是构造小波正交基的途径。
⒊ 紧支集概念
紧支集是小波变换中经常用到的数学概念，它是衡量小波性能的重要指标。函数
)(t f 的支集或支撑区supp f 是指其最大开集的补集。
函数的支集就是函数定义域的闭子集，也就是说这样一个最小的闭子集或区间],[b a ，使得在],[b a 之外函数)(t f 为零。如果说函数)(t f 是紧支集就是指)(t f 的支撑区supp f 是紧支集，即supp f ],[b a ?，],[b a 是有界闭区间。一个序列是紧支撑的，就是说有有限多的元素在域中为零，称它为有限支撑。与紧支集概念相联系的是函数的平滑性和速降性。
⒋ 正交小波变换
正交小波是从多尺度分析概念直接推广过来的，具有一定的特殊性，即在信号域和小波函数域其标准化正交基都是小波函数本身，而且其存在性也并未加以证明，那么更一般来讲，对于满足一定条件的标准化正交基，任何信号在这个正交基上展开的系数也也可以线性的叠加成原信号。正交小波是双正交小波的一个特例，双正交小波是正交小波去除某些程度正交上的推广。
一维小波变换里说的都是正交小波变换，它是对连续信号在小波基上进行分解。正交小波变换就是把信号分解到两个不同且相互正交的函数空间，一个是多尺度函数空间，一个是小波函数空间。用滤波器的观点看，就是把信号通过低频和高频滤波器分解为近似系数和细节系数两个部分。这样做基于的物理思想在于：去除信号在空间（时间）尺度的关联关系，把信号的重要性只能通过其数值表达；而与普通的滤波器的区别在于：基于小波的滤波器是可重构的，所以通过相同的滤波器可以把信号重构。
3.3 小波去噪
3.3.1 去噪原理
⒈ 去噪原则
信号去噪的原则主要有两点，一是要求去噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的方差最小(Minmax Estimator)；二是在大部分情况下，去噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。一般用正则性来刻划函数的光滑程度。正则性越高，函数的光滑性越好。
此外，因为图像信号都是二维的，在对数字图像去噪处理时要对小波进行二维离散小波变换。二维离散小波变换往往可以由一维信号的离散小波变换推导得到，而二维双正交小波变换可以分解为两个一维小波变换。即首先进行x 方向变换，然后进行y 方向变换，便可以完成二维正交变换；而逆变换反之就可实现。
假设)(x ?为一维尺度函数，)(y ?为相应的小波函数，则可以得到二维小波变换的基础函数：
)
,(),(),()
(),(),()()(),()
()(),(y x y x y x y y x y x y x y x y x y x D V H A ψψψ?ψψψ?ψ???==== )12.3( 其中，)(x ψ、)(y ψ分别是沿着x 和y 两个方向上的一维小波函数。A 是近似系数，H 是水平细节系数，V 是竖直细节系数，D 是对数细节系数。
对于图像而言，我们往往可以把它看成二维矩阵，一般我们假设图像矩阵的大小为N N ?，且有n N 2=(n 为非负整数)。任何平方可积的二维函数都能够分解，成为最低分辨率尺度上的平滑函数更高尺度上的细节函数。
具体的说，在经过每次小波变换后，图像便可分为四个大小为原始尺寸的四分之一的子块频带区域，它们分别是：低—低(LL)、低—高(LH)、高—低(HL)和高—高(HH)。如图3.1所示，它分别包含了相应频带上的小波系数，相当于在水平方向和竖直方向上进行隔点采样，进行下一层小波变换时，数据就集中在LL 频带。进一步对LL 子图像应用二维小波变换，构造下一尺度的四个子图像，直至得到满意的小波尺度为止。这里的LL 称为近似分量，HH 、LH 和HL 称为细节分量。小波变换为图像去噪提供很好的图像表示形式，通过对变换后的系数进行分析和适当的取舍再重构图像，最终实现图像的去噪处理。
图3.1 一次离散小波变换后的频率分布
⒉ 小波阈值化
图像原始信号可以分解为一系列的近似分量和细节分量，信号的噪声主要集中表现在信号的细节分量上。使用一定的阈值处理细节分量后，再经过小波重构就可以得到平滑的信号。在实际的工程中，有用信号常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号通常表现为高频信号。
给定一个阈值δ，所有绝对值小于某个阈值δ的小波系数被看成“噪声”，它们的值用零代替；而超过阈值的小波系数的数值用阈值δ缩减后再重新取值。这样就达到降低噪声的目的，同时保留了大部分信号的小波系数，因此可以较好的保持信号细节。
如果阈值太小，去噪后的信号仍有噪声存在；相反，阈值如果太大，重要信号特征将被滤掉，引起偏差。从直观上对于给定小波系数，噪声越大阈值δ就越大。大多数阈值选择过程是针对一组小波系数，即根据本组小波系数的统计特性，计算出一个阈值δ。
硬阈值化和软阈值化，是对绝对值超过阈值δ的小波系数进行缩减的两种主要方法。硬阈值是令绝对值小于阈值的信号点的值为零，这种方法的缺点是在某些点会产生
间断；软阈值在硬阈值的基础上将边界出现不连续的点收缩到零，这样可以有效地避免间断，使得重构后的信号比较光滑。
它们用数学式表示为，
硬阈值：???=,0,W W δ δδ<≥W W ； 软阈值：?
??-=,0),)(sgn(δδW W W δδ<≥W W Donoho 等人提出了一种通用阈值选取方法，从理论上给出并证明阈值与噪声的成
正比，其大小为：j N N j j j j 为在第，式中
σδlog 2=层子层带上的小波系数个数，j σ为噪声的方差。
⒊ 基本去噪模型
如果一个信号)(n f 被噪声污染后为)(n s ，那么基本的噪声模型为：
σ)()()(n e n f n s += （3.13） 其中)(n e 为噪声，σ为噪声强度。在最简单的情况下可以假设)(n e 为高斯白噪声，且σ=1。
小波变换的目的就是要抑制)(n e 以恢复)(n f ，即尽量将)(n e 去掉，并且尽量减少)(n f 的损失。与在经典去噪技术相比，小波分析在这方面有其优越性。尤其是)(n f 的分解系数比较稀松（即非零项很少）的情况下，这种方法的效率很高。这种可以分解为稀松小波稀松的函数的一个简单的例子，就是有少数间断点的光滑函数。
3.3.2 去噪步骤
MATLAB 中用于小波变换的函数为[C,L]=wavedec(X,N, 'wname'):用名称为wname 的小波函数完成对信号X 的一维多尺度系数组成。这个函数返回一个分解向量C 和程度向量L 。
⒈ 一维信号去噪
一般来说，一维信号的去噪处理可以分三步[7]：
① A=appcoef(C,L, 'wname',N)：用于小波分解结构[C,L]中提取一维信号在第N 层上的低频系数。
②D=detcoef(C,L,N)：用于小波分解结构[C,L]中提取一维信号在第N层上的高频系数小波，即分解高频系数的阈值量化。
③ X=waverec(C,L,N)：根据系数向量重构信号X。
其中，最重要的一步是如何选取阈值和进行阈值量化处理的方式，它直接关系到信号去噪处理的质量[8]。小波分析工具箱中用于信号去噪处理的函数如表3.1所示。
表3.1 用于信号去噪处理的MA TLAB函数
下面，对表3.1中部分函数进行说明。
①Ddencmp函数：
调用方式：[thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp(in1,in2,x)
● 输入参数x为一维或二维的信号向量或矩阵；
● in1为指定处理的目的是去噪还是压缩方式，in1=den，为信号去噪；
● in2为指定处理方式，in2=wv，为使用小波分解，in2=wp，为使用小波包分解；
● thr为函数选择的阈值；
● 输出参数sorh为函数选择的阈值使用方式，sorh=s，为软阈值，sorh=h，为硬阈值；
● 输出参数keepapp决定了是否对近似分量进行阈值处理，可选为1或0；
● 输出参数crit为使用小波包进行分解时选取的熵函数类型。
②Thselect函数：
thr=thselect(x,tptr)：根据信号x和阈值选取标准tptr来确定一个去噪处理过程中所采用的自适应的阈值。
● tptr=rigrsure：使用Stein的无偏似然估计原理所得到自适应阈值；
● tptr=heursure ：启发式阈值选择，为最优预测变量阈值选择；
● tptr=sqtwolog ：固定阈值；
● tptr=minimaxi ：采用极大极小值原理选择阈值。
③ Wden 函数：
当[xd,cxd,lxd]=wden(x,tptr,sorh,scal,n, 'wname')时，返回信号经过小波去噪处理后的信号xd ，及小波分解结构[cxd, lxd]。
当[xd,cxd,lxd]=wden(c,l,tptr,sorh,scal,n, 'wname')时，由有噪信号的小波分解结构得到去噪处理后的信号xd ，及其小波分解结构[cxd,lxd]。
● 输入参数tptr 为阈值选择标准；
● 输入参数sorh 为函数选择的阈值使用方式，即sorh=s ，为软阈值；sorh=h ，为硬阈值； ● 输入参数scal 规定了阈值处理随噪声水平的变化；
scal=one ，不随噪声水平变化；
scal=sln ，根据第一层小波分解的噪声水平估计进行调整；
scal=mln ，根据每一层小波分解的噪声水平估计进行调整。
④ Wpdencmp 函数：
[xd,cxd,lxd,perf0,perfl2]=wdencmp('lvd',c,l,'wname',n,thr,sorh)；返回信号经过小波去噪处理后的信号xd ，及其小波分解结构[cxd, lxd]。对于二维情况和有输入参数lxd 时,thr 必须为一个N 3的矩阵，它含有水平、斜向和垂直三个方向的独立阈值。
● perf0和perfl2是恢复和压缩范数百分比。
● n 为小波分解的层数。
● wname 为正交小波基函数。
⒉ 二维信号去噪
图像信号都是二维的，因此二维信号的去噪是非常重要的。二维信去噪的命令和一维信号的命令很相似，提供的功能也一样，只是多了后缀“2”。 这个过程其中涉及到以下几个主要函数，具体应用如表3.2所示。
● wavedec2：用于二维信号的多层分解。
● detcoef2：求得某一层次的细节系数。
● appcoef2：求得某一层次的近似系数。
● waverec2：多层小波重建原始信号，要求输入参数同小波分解得到的结果的格式一致。
● wrcoef2：重建小波系数至某一层次，要求输入参数同小波分解得到的结果的格式一致。
表3.2 二维小波去噪命令和调用方式
第4章 图像去噪技术的设计方案
实现图像去噪的方法有多种，可以采用经典的图像去噪技术，也可以采用在图像去噪领域迅速发展的小波域去噪，而在小波域里又有许多种不同的去噪方法。针对具体的去噪要求本文设计三种不同的方案，实现图像的去噪。
4.1 混合中值滤波与小波去噪相结合
4.1.1 混合中值滤波
⒈ 噪声检测
而混合噪声却是集中在高频部分。典型的反映为黑图像上有白点，白图像上有黑点，与其他像素点的灰度值有较大的差异，因而它必是某一邻域内的灰度极值。故可以用局部求极值的方法，实现信号与噪声的区分。噪声的一种判定方法是：如果该窗口的中心像素灰度为窗口内的极值，则判定为噪声，否则为信号。
这种基于极值的噪声检测方法尽管较好的实现噪声的检测，但是对图像细节的影响较大。因此在本文中噪声的检测方法是考虑其邻域均值，根据给定的系数进行判定，用公式表示为：
?????<>=为其他信号，
或噪声，000000j i W N X N j i j i i n j n X nW Me X n Me X X αβα （4.1） 其中WNXN nW Me α为不包括窗口中心像素灰度值的均值，α、β分别为信号噪声分区系数。
⒉ 具体滤波步骤
先对含有高斯噪声和椒盐噪声影响的图像，进行混合中值滤波[9]。中值滤波与线性如低通、高通滤波的结合形成了混合中值滤波。混合中值滤波兼容了中值滤波和线性滤波的优点，在滤除椒盐噪声的同时，又对图像中的物体细节和轮廓进行了很好的保留。该方法可以显著提高图像的清晰度、可懂度和信噪比。具体处理流程如图4.1所示。
图4.1 混合中值滤波流程图
4.1.2小波去噪处理
小波域去噪的方法有很多，在这里采用小波包分析的方法进行图像去噪处理[10]。
⒈小波包的基本理论
研究小波包的目的在于从多分辨率分析出发采用滤波的思想，建立小波包基库，以便从中选择最合适的基来分解信号或逼近被分析函数。一般来说，小波包分析包括小波基包和小波框架包。
MATLAB为小波包变换提供了一些命令，这些命令主要包括：
①分解命令：包括小波树分解命令wpcoef，完全分解命令wpdec和wpdec2，以及小波树节点分解命令wpsplt。
②重建命令：包括小波树重建命令wprcoef，完全重建命令wprec和wprec2，以及小波树节点重建命令wpjoin。
③小波树操作命令：包括besttress，bestlevt，entrupd，get，read，wenergy，wp2wtree，wpcutree等。
从滤波器的角度，小波包变换跟离散小波变换没有本质区别，只是在原有的基础上按同样的方法对近似系数进行分解，所以其实现方法和离散小波变换方法相同[11]。
小波变换图像去噪综述
科技论文写作大作业小波变换图像去噪综述 院系： 班级： 学号： 姓名：
摘要小波图象去噪已经成为目前图象去噪的主要方法之一.在对目前小波去噪文献进行理解和综合的基础上,首先通过对小波去噪问题的描述,揭示了小波去噪的数学背景和滤波特性;接着分别阐述了目前常用的3类小波去噪方法,并从小波去噪中常用的小波系数模型、各种小波变换的使用、小波去噪和图象压缩之间的联系、不同噪声场合下的小波去噪等几个方面,对小波图象去噪进行了综述;最后,基于对小波去噪问题的理解,提出了对小波去噪方法的一些展望 关键词：小波去噪小波萎缩小波变换图象压缩 1.前言 在信号数据采集及传输时，不仅能采集或接收到与所研究的问题相关的有效信号，同时也会观测到各种类型的噪声。在实际应用中，为降低噪声的影响，不仅应研究信号采集的方式方法及仪器的选择，更重要的是对已采集或接收的信号寻找最佳的降噪处理方法。对于信号去噪方法的研究可谓是信号处理中一个永恒的话题。传统的去噪方法是将被噪声污染的信号通过一个滤波器，滤除掉噪声频率成分。但对于瞬间信号、宽带噪声信号、非平稳信号等，采用传统方法具有一定的局限性。其次还有傅里叶(Fourier)变换也是信号处理中的重要手段。这是因为信号处理中牵涉到的绝大部分都是语音或其它一维信号，这些信号可以近似的认为是一个高斯过程，同时由于信号的平稳性假设，傅立叶交换是一个很好的信号分析工具。但也有其不足之处，给实际应用带来了困难。 小波变换是继Fourier变换后的一重大突破，它是一种窗口面积恒定、窗口形状可变(时间域窗口和频率域窗口均可改变)的时频局域化分析方法，它具有这样的特性；在低频段具有较高的频率分辨率及较低的时间分辨率，在高频段具有较高的时间分辨率及较低的频率分辨率，实现了时频窗口的自适应变化，具有时频分析局域性。小波变换的一个重要应用就是图像信号去噪。将小波变换用于信号去噪，它能在去噪的同时而不损坏信号的突变部分。在过去的十多年，小波方法在信号和图像去噪方面的应用引起学者广泛的关注。本文阐述小波图像去噪方法的原理，概括目前的小波图像去噪的主要方法，最后对小波图像去噪方法的发展和应用进行展望。 2小波图像去噪的原理 所谓小波变化，即:
外文翻译小波变换在图像处理中的仿真及应用
论文翻译 通信102 吴志昊 译文： 小波变换在图像处理中的仿真及应用 一、课题意义 在传统的傅立叶分析中, 信号完全是在频域展开的, 不包含任何时频的信息, 这对于某些应用来说是很恰当的, 因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要, 所以人们对傅立叶分析进行了推广, 提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法, 如短时傅立叶变换, Gabor 变换, 时频分析, 小波变换等。而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷, 具有多分辨率分析的特点, 使其在图像处理中得到了广泛应用。 传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。 小波变换是一种快速发展和比较流行的信号分析方法, 其在图像处理中有非常重要的应用, 包括图像压缩, 图像去噪, 图像融合, 图像分解, 图像增强等。小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。除了连续小波(CWT)、离散小波(DWT), 还有小波包(Wavelet Packet)和多维小波。 小波分析在图像处理中有非常重要的应用, 包括图像压缩, 图像去噪, 图像融合, 图像分解, 图像增强等。小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间一频率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越引进人们的重视，其应用领域来越来越广泛。 二、课题综述 （一）小波分析的应用与发展 小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象可以看作是二维信号)，在小波分析的许
小波变换去噪基础地的知识整理
1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值
基于小波变换的图像去噪
第1章绪论 由于各种各样的原因，现实中的图像都是带噪声的。噪声恶化了图像质量，使图像变得模糊。对同时含有高斯噪声和椒盐噪声的图像先进行混合中值滤波，在滤除椒盐噪声的同时，又很好地保留了图像中的物体细节和轮廓。小波域去噪处理具有很好的时频特性、多分辨分析特性等优点，可以看成特征提取和低通滤波功能的综合。小波模极大值去噪方法能有效地保留信号的奇异点信息，去噪后的信号没有多余振荡，具有较好的图画质量，改进后可以得到更满意的图像。小波相位滤波去噪算法是基于小波变换系数相关性去噪算法的，适于强噪声图像，去噪后也可以改善图像质量。 1.1课题背景 图像信息以其信息量大、传输速度快、作用距离远等优点成为人类获取信息的重要来源及利用信息的重要手段，而现实中的图像由于种种原因都是带噪声的。噪声恶化了图像质量，使图像模糊，甚至淹没和改变特征，给图像分析和识别带来困难。为了去除噪声，会引起图像边缘的模糊和一些纹理细节的丢失。反之，进行图像边缘增强也会同时增强图像噪声。因此在去除噪声的同时，要求最小限度地减小图像中的信息，保持图像的原貌。经典的图像去噪算法，如均值滤波、维纳滤波、中值滤波等，其去噪效果都不是很理想。 中值滤波是由图基（Turky）在1971年提出的，开始用于时间序列分析，后来被用于图像处理，在去噪复原中得到了较好的效果。它的基本原理是把数字图像或数字序列中的一点的值，用该点的一个邻域中的各点的中值代替。中值滤波在抑制椒盐噪声的同时又能较好地保持图像特征，图像也得到了平滑。对同时含有高斯噪声和椒盐（脉冲）噪声的图像，先进行混合中值滤波处理。基于极值的混合中值滤波兼容了中值滤波和线性滤波的优点，在滤除椒盐噪声的同时又对图像中的物体细节和轮廓进行了很好的保留。基于混合中值滤波和小波去噪相结合的方法，去噪效果好于单纯地使用小波变换去除噪声，或者单纯使用混合中值滤波去除噪声，能获得比单一使用任何一种滤波器更好的效果。
小波变换图像去噪的算法研究自设阈值
基于小波的图像去噪 一、小波变换简介 在数学上，小波定义卫队给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造，()x ψ称为母小波，（mother wavelet ）或者叫做基本小波。一组小波基函数，()}{,x b a ψ，可以通过缩放和平移基本小波 来生成： ())(1 ,a b x a x b a -ψ=ψ （1） 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i （2） 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和()x b a ,ψ的内积： () dx a b x a x f f x W b a b a )(1)(,,,-ψ=ψ=?+∞ ∞- （3） 与时域函数对应，在频域上则有：
())(,ωωa e a x j b a ψ=ψ- （3） 可以看出，当|a|减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且()x b a ,ψ的窗口中心向|ω|增大方向移动。这说明连续小波的局部是变化的，在高频时分辨率高，在低频时分辨率低，这便是它优于经典傅里叶变换的地方。总体说来，小波变换具有更好的时频窗口特性。 二、图像去噪描述 所谓噪声，就是指妨碍人的视觉或相关传感器对图像信息进行理解或分析的各种因素。通常噪声是不可预测的随机信号。由于噪声影响图像的输入、采集、处理以及输出的各个环节，尤其是图像输入、采集中的噪声必然影响图像处理全过程乃至最终结果，因此抑制噪声已成为图像处理中极其重要的一个步骤。 依据噪声对图像的影响，可将噪声分为加性噪声和乘性噪声两大类。由于乘性噪声可以通过变换当加性噪声来处理，因此我们一般重点研究加性噪声。设f(x,y)力为理想图像，n(x,y)力为噪声，实际输入图像为为g(x,y)，则加性噪声可表示为: g(x,y)= f(x,y)+ n(x,y)， （4） 其中，n(x,y)和图像光强大小无关。 图像去噪的目的就是从所得到的降质图像以g(x,y)中尽可能地去除噪声n(x,y)，从而还原理想图像f(x,y)。图像去噪就是为了尽量减少图像的均方误差，提高图像的信噪比，从而尽可能多地保留图像的特征信息。 图像去噪分为时域去噪和频域去噪两种。传统图像去噪方法如维纳滤波、中值滤波等都属于时域去噪方法。而采用傅里叶变换去噪则属于频域去噪。这些方法去噪的依据是一致的，即噪声和有用信号在频域的不同分布。我们知道，有用信号主要分布于图像的低频区域，噪声主要分布在图像的高频区域，但图像的细节信息也分布在高频区域。这样在去除高频区域噪声的同时，难免使图像的一些细节也变得模糊，这就是图像去噪的一个两难问题。因此如何构造一种既能降低图像噪声，又能保留图像细节特征的去噪方法成为图像去噪研究的一个重大课题。
小波变换图像去噪MATLAB实现
基于小波图像去噪的MATLAB 实现 一、 论文背景 数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。数字图像处理最早出现于 20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所“污染”的现象。如果图像被污染得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。根据研究表明，当一图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。本论文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。 二、 课题原理 1.小波基本原理 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造，()x ψ称为母小波，（mother wavelet ）或者叫做基本小波。一组小波基函数，()}{,x b a ψ，可以通过缩放和平移基本小波 来生成：
())(1 ,a b x a x b a -ψ=ψ （1） 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i （2） 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和()x b a ,ψ的积： ( )dx a b x a x f f x W b a b a )(1)(,,,-ψ= ψ=?+∞∞- （3） 与时域函数对应，在频域上则有： ())(,ωωa e a x j b a ψ=ψ- （4） 可以看出，当|a|减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且()x b a ,ψ的窗口中心向|ω|增大方向移动。这说明连续小波的局部是变化的，在高频时分辨率高，在低频时分辨率低，这便是它优于经典傅里叶变换的地方。总体说来，小波变换具有更好的时频窗口特性。 2. 图像去噪综述 所谓噪声，就是指妨碍人的视觉或相关传感器对图像信息进行理解或分析的各种因素。通常噪声是不可预测的随机信号。由于噪声影响图像的输入、采集、处理以及输出的各个环节，尤其是图像输入、采集中的噪声必然影响图像处理全过程乃至最终结果，因此抑制噪声已成为图像处理中极其重要的一个步骤。 依据噪声对图像的影响，可将噪声分为加性噪声和乘性噪声两大类。由于乘性噪声可以通过变换当加性噪声来处理，因此我们一般重点研究加性噪声。设
小波变换去噪
小波变换的图像去噪方法 一、摘要 本文介绍了几种去噪方法，比较这几种去噪方法的优缺点，突出表现了小波去噪法可以很好的保留图像的细节信息，性能优于其他方法。 关键词：图像；噪声；去噪；小波变换 二、引言 图像去噪是一种研究颇多的图像预处理技术。一般来说, 现实中的图像都是带噪图像。为了减轻噪声对图像的干扰，避免误判和漏判，去除或减轻噪声是必要的工作。 三、图像信号常用的去噪方法 （1）邻域平均法 设一幅图像f (x, y) 平滑后的图像为g(x, y)，它的每个象素的灰度值由包含在(x, y)制定邻域的几个象素的灰度值的平均值决定。将受到干扰的图像模型化为一个二维随机场，一般噪声属于加性、独立同分布的高斯白噪声。可见，邻域平均所用的邻域半径越大，信噪比提高越大，而平滑后图像越模糊，细节信息分布不明显。 （2）时域频域低通滤波法 对于一幅图像，它的边缘、跳跃部分以及噪声都为图像的高频分量，而大面积背景区和慢变部分则代表图像低频分量，可以设计合适的低通滤波器除去高频分量以去除噪声。 设f(x,y)为含噪图像，F(x,y)为其傅里叶变换，G(x,y)为平滑后图像的傅里叶变换，通过H，使F(u,v)的高频分量得到衰减。理想的低通滤波器的传递函数满足下列条件： 1 D(u，v)≤D H(u,v)= 0 D(u，v)≤D 式中D0非负D(u，v)是从点(u，v)到频率平面原点的距离，即，即D(u, v) = u2 + v2 (3)中值滤波 低通滤波在消除噪声的同时会将图像中的一些细节模糊掉。中值滤波器是一种非线性滤波器，它可以在消除噪声的同时保持图像的细节。 (4)自适应平滑滤波 自适应平滑滤波能根据图像的局部方差调整滤波器的输出。局部方差越大，滤波器的平滑作用越强。它的最终目标是使恢复图像f*(x,y) 与原始图f(x,y) 的均方误差 e2 = E ( f (x, y) ? f *(x, y))2 最小。自适应滤波器对于高斯白噪声的处理效果比较好. （5）小波变换图像信号去噪方法 小波变换去噪法的基本思想在于小波变换将大部分有用信号的信息压缩而将噪声信息分散。对信号进行小波分解，就是把信号向L2 ( R) ( L2 ( R) 是平方可积的实数空间) 空间各正交基分量投影，即求信号与各小波基函数之间的相关系数，亦即小波变换值。“软阈值化” ( soft-thresholding) 和“硬阈值化”( hard-thresholding) 是对超过阈值之上的小波系数进行缩减的两种主要方法。一般说来，硬阈值比软阈值处理后的图像信号更粗糙，所以常对图像信号进行软 阈值的小波变换去噪。如图2 所示，横坐标代表信号( 图像) 的原始小波系数，纵坐标
基于小波变换的图像去噪方法研究毕业设计
题目基于小波变换的图像去噪方法研究
毕业论文﹙设计﹚任务书 院(系) 物理与电信工程学院专业班级通信1101班学生姓名陈菲菲 一、毕业论文﹙设计﹚题目基于小波变换的图像去噪方法研究 二、毕业论文﹙设计﹚工作自 2015 年 3 月 1 日起至 2015 年 6 月 20 日止 三、毕业论文﹙设计﹚进行地点: 物理与电信工程学院实验室 四、毕业论文﹙设计﹚的内容 1、图像处理中，输入的是质量低的图像，输出的是改善质量后的图像。常用的图像处理方法有图像增强、复原、编码、压缩等。一般图像的能量主要集中在低频区域中，只有图像的细节部的能量才处于高频区域中。因为在图像的数字化和传输中常有噪声出现，而这部分干扰信息主要集中在高频区域内，所以消去噪声的一般方法是衰减高频分量或称低通滤波，但与之同时好的噪方法应该是既能消去噪声对图像的影响又不使图像细节变模糊。为了改善图像质量，从图像提取有效信息，必须对图像进行去噪预处理。 设计任务： （1）整理文献，研究现有基于小波变换的图像去噪算法，尝试对现有算法做出改进； （2）在MATLAB下仿真验证基于小波变换的图像去噪算法。 2、要求以论文形式提交设计成果，应掌握撰写毕业论文的方法，应突出“目标，原理，方法，结论”的要素，对所研究内容作出详细有条理的阐述。 进度安排： 1-3周：查找资料，文献。 4-7周：研究现有图像去噪技术，对基于小波变换的图像去噪算法作详细研究整理。 8-11周：研究基于小波的图像去噪算法，在MATLAB下对算法效果真验证。 12-14周：分析试验结果，对比各种算法的优点和缺点，尝试改进算法。 15-17周：撰写毕业论文，完成毕业答辩。 指导教师陈莉系(教研室) 系(教研室)主任签名批准日期 2015.1.1 接受论文 (设计)任务开始执行日期 2015.3.1 学生签名
基于小波变换的图像处理综述
Value Engineering 1小波变换的定义 小波分析是对Fourier 分析的一个重要补充和完善。因此，小波变换的定义应该是尽可能的由少数几个函数生成的；而理想的小波基应该是类似于Fourier 分析的。小波分析主要可以分为两个变换，即连续小波变换和离散小波变换。 2小波分析处理图像的发展 小波分析是一个不断发展的过程，经历“应用-理论-应用”的循环过程。小波分析是多学科交叉理论的结晶，包含泛函数分析、数值分析、分形理论、信息论、调和理论以及逼近论和时频分析等。并提出一种自适应的时-频局部化方法，可在时-频域任意转换，可聚焦任意信号的时段和频段，称为数学中的“望远镜”和“显微镜”。小波变换是Fourier 变换的深层次发展，是近年来工程领域关注的热点，将小波分析用于无损检测、医学CT 、构件探伤等。小波起源就与信号处理密不可分，1984年，法国工程师J.Morlet 和Grossman 对地质信号的分界提出了伸缩、平移的概念，首次提出”Wavelets ”一词。1985年，法国大数学家Meyer 提出光滑正交小波的理念，证明一维小波的存在性，构造出小波函数，是小波数学理论的先驱。随后与他的学生Lemarie 提出多尺度分析的思想。1988年，比利时数学家Ingrid Daubechies 构造出具有紧支撑的有限光滑小波函数，并撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets ）》为小波研究和应用领域的专家学者提供了系统的小波理论讲解。1989年，Mallat 在多分辨的基础上，构造mallat 算法进行分解和重构，打开了小波应用的大门。1990年，Latto 和Tenenbaum 将小波分析用于偏微分方程求解，为小波分析的普及、发展及应用提供了动力。 3小波在图像处理中的主要应用：3.1图像变换小波变换具有捕获点奇异性的能力， 而一维信号中的奇异性主要表现为点奇异性，因此，利用小波变换处理一维信号可以取得很好的效果。图像变换相当于是对数字图像阵列的预处理。因为图像阵列维数相对较大，能够直接进行处理复杂度高、计算繁复，就需要一种算法将它变换，减少计算量，小波变换亦能达到良好去除冗余度的效果。 3.2图像压缩 数字图像的压缩目的即减少图像所需的比特数，经小波变换，通过时间域压缩图像的压缩比比传统的压缩方法高，速度快，而压缩后要能够保持信号与图像的特征基本是不变的，这也是一种有损压缩，但是在传递中抗干扰能力相对较强。Shappro 推倒出离散正交小波变换，提出“嵌入”式的“零树”小波编码图像压缩方法，相比于其它图像编码方法压缩比高、无方块效应。目前，基于小波变换的基础发展起来的图像编码方法称为新的静止图像压缩标准。而基于小波变换分析的压缩方法比较成功的是格型矢量量化小波系数编码，小波包最优基方法，多级树集合分裂算法（SPIHT ），小波域多尺度ARMA 模型纹理方法等。 3.3图像增强与恢复 图像去噪方法分空域滤波、频域滤波和最优线性滤波法。Donoho 和Johnstone 在高斯噪声模型下，应用多维独立正态变量决策理论，提出了小波阈值去噪方法和改进的信号去噪的软阈值方法和硬阈值方法，推导出VisuShrink 阈值公式及SureShrink 阈值公式，从理论上证明该阈值是渐进最优的。Weaver 等人通过分析小波变换高频、低频系数的相关特性，提出基于小波变换域内高、低系数相关的去噪方法。图像复原即利用模糊理论、粗糙集理论等去模糊，研究表明，模糊图像是由降质函数与清晰图像卷积得到，通过分析使图像模糊的因素，如高斯噪声、脉冲噪声、白噪声等，建立图像退化模型，根据采集图像提供的资料恢复清晰的图像。 3.4图像分割 —————————————————————— —作者简介：黄奎（1990-），男，重庆人，硕士，研究方向为水工结构工程。 基于小波变换的图像处理综述 Overview of Image Processing Based on Wavelet Transform 黄奎HUANG Kui （重庆交通大学， 重庆400074）（Chongqing Jiaotong University ，Chongqing 400074，China ） 摘要：小波分析主要广泛应用在科学研究和工程技术中。虽然在现阶段的小波理论相对成熟，近些年关于小波理论的应用和研 究也在不断的发展和更新。小波变化在图像处理领域中的应用也囊括图像与处理的所有方面。本文通过介绍小波变换的起源，将小波 应用在图像处理中的压缩、还原图像、边缘检测和图像分割，宏观剖析小波的研究现状历史、发展动向及优势。 Abstract:The wavelet analysis is widely used in scientific research and engineering technology.Although the wavelet theory is relatively mature at this stage,the application and researches on the wavelet theory in recent years is also in constant development and renewal.The application of wavelet transform in image processing covers all aspects of image processing.Through the introduction of the origin of wavelet transform,and by applying wavelet in image compression,image restoration,edge detection and image segmentation,this article analyzes the research situation,development trend and advantage of wavelet. 关键词：小波分析；图像；应用；边缘检测；宏观剖析Key words:wavelet analysis ；image ；application ；edge detection ；macro analysis 中图分类号：TP391文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）08-0255-02·255· DOI:10.14018/https://www.360docs.net/doc/4f14611503.html,13-1085/n.2015.08.143
小波去噪文献综述
图像去噪处理 1.1 小波去噪 在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。这个问题可以表述为： ()()s opt f f -=ββmin arg ()()代表最优解opt f f opt opt β= 为噪声图像为原图像n s n s f f f f f ,,+= {} (){} J j J j span W f f I 212,?ψ===，为实际图像 {} 的函数空间影射为W I T →=ββ 由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。由此可见，小波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图1-2所示。 图1-1小波去噪的等效框图 1.1.1小波变换理论基础 1.连续小波变换 设()()R L t 2∈ψ，其傅里叶变换为()w ψ，当()w ψ满足允许条件(完全重构条件)：